En los Ejercicios 13 y 14 del Capítulo 1 se pidió demostrar, respectivamente, que las mediatrices y las bisectrices de un triángulo son concurrentes. En los Ejercicios 5 y 7 del Capítulo 2 se pidió demostrar, respectivamente, que las alturas y las medianas de un triángulo son también concurrentes. A las mediatrices, bisectrices, alturas y medianas de un triángulo se les suele llamar rectas notables del triángulo y a los puntos donde concurren, es decir, al circuncentro, al incentro, al ortocentro y al centroide se les suele llamar puntos notables del triángulo. No son aquéllas las únicas rectas notables, ni éstos los únicos puntos notables. Enseguida estudiaremos algunas y algunos otros.
Se llaman bisectrices exteriores de un triángulo a las rectas que dividen en dos partes iguales a los ángulos exteriores del triángulo
En un triángulo ABC (vea la Figura 5.1), las bisectrices exteriores de los ángulos B y C, a cuyo punto de intersección llamaremos I1, equidistan de los lados AB y BC, la primera, y de AC y BC la segunda, luego, el punto I1 equidista de los tres lados del triángulo, de dos de ellos exteriormente y del tercero, BC, interiormente; pero, como la bisectriz interior del ángulo en A equidista de AB y de AC, tenemos que I1 también está en ella. En otras palabras, las bisectrices de dos ángulos exteriores y la del ángulo interior restante son concurrentes en I1. Ello significa que se puede trazar un círculo con centro en I1 tangente a los tres lados del triángulo; a dicho círculo se le conoce como excírculo y a I1 como excentro. Es obvio que hay tres excírculos y tres excentros para cada triángulo.
Una propiedad interesante de los excírculos es que las distancias entre el vértice cuya bisectriz interior contiene al incentro (A en la Figura 5.1) y los puntos en que las tangentes trazadas desde dicho vértice tocan al excírculo (Z1 y Y1 en la Figura 5.1) son iguales a la mitad del perímetro del triángulo. Es decir, A Z1 = A Y1 = s.
63 Figura 5.1
Esto se puede demostrar fácilmente si recordamos que BZ1 = BX1 y X1C = Y1C; así que, si llamamos p al perímetro, tendremos que
p = AB + BC + CA = AB + BX1 + X1C + CA = AB + BZ1 + Y1C + CA = = 2(AB + BZ1) = 2 AZ1, es decir, s = ½ p = AZ1.
Por otra parte,
p = AZ + ZB + BX + XC + CY + YA = 2AZ + 2ZB + 2XC = 2AB + 2XC, por lo tanto, s = AB + XC, de donde, XC = s – AB = BZ1 = BX1.
Como XC=BX1, entonces, XX1+X1C=BX+XX1.
Esto implica que el punto medio L del lado BC es también punto medio del segmento X1X. Análogamente para los otros lados del triángulo.
Definiciones: Al triángulo que se forma al unir los pies de las alturas se le suele llamar triángulo pedal de las alturas; asimismo, al que se forma al unir los pies de las medianas se le llama triángulo pedal de las medianas o triángulo mediano y al que se forma al unir los pies de las bisectrices se le llama triángulo pedal de las bisectrices.
Dado un triángulo ABC, el triángulo mediano, es semejante a él, lo cual podrá demostrar el lector sin dificultad. El triángulo pedal de las alturas tiene como bisectrices interiores a las propias alturas y como bisectrices exteriores a los lados del triángulo ABC. La demostración de esta propiedad se deja como ejercicio. I1 A Z1 Y 1 X1 B C I Z Y X
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Circunferencia de los nueve puntos: Una propiedad interesante de los pies de las alturas y de los puntos medios de los lados de todo triángulo es que son concíclicos.
Sea ABC un triángulo; L, M y N los puntos medios de los lados BC, CA y AB, respectivamente; D, E y F los pies de las alturas correspondientes a los vértices A, B y C; y H el ortocentro. Vea la Figura 5.2
Figura 5.2
El triángulo AMD es isósceles, puesto que M es el punto medio de la hipotenusa del triángulo rectángulo ADC, ello implica que MD=AM=MC=NL, esto último por ser el cuadrilátero MNLC un paralelogramo; entonces, el cuadrilátero MNLD es un trapecio isósceles y, por lo tanto, es un cuadrilátero cíclico (Ejercicio 15 del Capítulo 3); análogamente, los cuadriláteros NLEM y NFML son cíclicos y por lo tanto los tres puntos medios y los tres pies de las alturas están en un círculo.
Por otra parte, si P es el punto medio entre el vértice A y el ortocentro H, NP es paralela a BE, por el Teorema de Tales —lo cual implica que el ángulo P NL es recto, al igual que el ángulo LDA—, por lo que el cuadrilátero PNLD es también cíclico (Ejercicio 14 del Capítulo 3), por lo tanto, P está en el círculo que contiene a los puntos medios y a los pies de las alturas del ∆ABC (la demostración completa se pide en el Ejercicio 18). Obviamente, los puntos medios entre el ortocentro y los otros dos vértices cumplen con las mismas propiedades que P, por lo que hemos encontrado nueve puntos notables del triángulo que están en una circunferencia, de ahí que a ésta se le conozca como la circunferencia de los nueve puntos del triángulo ABC. Figura 5.2 bis.
A B L C M N H F D E P
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Figura 5.2 bis
Esta circunferencia tiene algunas propiedades interesantes que se verán en los ejercicios, por lo pronto vamos a determinar su centro y su radio:
Como el ángulo PNL es recto, ello implica que un diámetro de la circunferencia es PL, por lo que su centro será el punto medio de PL y su radio la mitad de la medida del segmento PL.
La Línea de Simson: Robert Simson trabajó en la Universidad de Glasgow durante la primera mitad del siglo XVIII, se dedicó principalmente a la recopilación y traducción al inglés de los trabajos de Euclides y de otros matemáticos importantes de la antigüedad. Encontró una propiedad muy interesante que se enuncia en el siguiente teorema:
Teorema de Simson: Si desde un punto P del circuncírculo de un triángulo ABC se trazan perpendiculares PX, PY y PZ a los lados AB, BC y CA, respectivamente, los puntos X, Y y Z son colineales.
A la línea que los une se le conoce como línea de Simson del punto P correspondiente al triángulo ABC.
C B A N M L E D F H P R Q
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Figura 5.3
Para demostrar esta propiedad vamos a auxiliarnos con la Figura 5.3. Notemos que los cuadriláteros PACB, PYAZ y PZXB son inscriptibles. El primero por hipótesis, el segundo porque los ángulos opuestos AZP y PYA son rectos, por construcción; y el tercero, porque los ángulos PZB y PXB son rectos, también por construcción. Entonces, el ángulo PZX es suplementario del ángulo XBP, que a su vez es suplementario del PAC y, por lo tanto, el ángulo PZX resulta suplementario del ángulo YAP, que es igual al YZP, de donde los ángulos PZX y YZP resultan ser también suplementarios y, por ello, los puntos X, Y y Z colineales, que es lo que queríamos demostrar.
¿Cómo se enunciaría entonces el recíproco del Teorema de Simson?
Si ahora tomamos dos puntos distintos P y Q en el circuncírculo de un triángulo ABC, es interesante averiguar el ángulo que forman sus líneas de Simson; para ello tracemos perpendiculares desde P y Q a uno de los lados del triángulo dado, digamos que al lado BC, como se muestra en la Figura 5.4, hasta cortar al circuncírculo en los puntos P’ y Q’. Tracemos ahora los segmentos AP’ y AQ’, que resultan ser paralelos a las respectivas líneas de Simson. Veamos el caso del segmento AP’:
El ángulo PXY es igual al ángulo PBY, pues el cuadrilátero PYXB es cíclico, según se demostró anteriormente; pero el ángulo PBY, o PBA, es igual al PP’A, por subtender el mismo arco, es decir, ∠PXY =∠PP’A, lo que implica YX//AP’. Del mismo modo, WS//Q’A.
A C B P X Z Y
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Figura 5.4
Entonces, el ángulo entre las líneas de Simson, WSX, es igual al Q’AP’. De donde se deduce el importante corolario siguiente:
Corolario: Las líneas de Simson de un triángulo, correspondientes a dos puntos distintos cualesquiera, no pueden ser paralelas, lo que significa que, para un triángulo dado, sólo hay una línea de Simson en cada dirección. Para terminar, vamos a demostrar que la línea de Simson de un punto P, en el circuncírculo de un triángulo cualquiera ABC, corta al segmento que une al ortocentro H con el propio P en su punto medio, lo cual quiere decir que dicho punto de intersección pertenece al círculo de los nueve puntos del propio triángulo, como demostraremos a continuación:
Figura 5.5
Sea ABC un triángulo cualquiera, P un punto en su circuncírculo, H el ortocentro, X y Y los pies de las perpendiculares de P a BC y a AB, respectivamente, K el punto de intersección de la altura desde A y el circuncírculo, Q la intersección entre la recta PK y el lado BC, S la
B C A Q P W Y X S Q' P' A C B P K Y X H Q S W
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intersección entre PK y XY, que es la línea de Simson, y W la intersección entre PH y la propia línea de Simson (vea la Figura 5.5).
En el Ejercicio 23 del Capítulo 2, se pidió demostrar que el segmento que une a los puntos H y K es bisecado por el lado BC, usaremos esa propiedad enseguida: como BC es perpendicular a HK, ello implica que el triángulo HQK es isósceles; como además el ángulo PKA es igual al ángulo PBA, pues subtienden el mismo arco, el ángulo PXS será igual a ellos, ya que el cuadrilátero BXYP es cíclico.
Entonces, como el ángulo SXQ es el complementario del ángulo PXS y el ángulo XQS es igual al ángulo CQK, el cual a su vez es el complementario del ángulo PKA, los ángulos SXQ y XQS son iguales y, por lo tanto, el triángulo SXQ es isósceles. Como el triángulo PXQ es rectángulo, el ángulo QPX es igual al ángulo PXS, resulta que el triángulo PXS es también isósceles y, por lo tanto, el lado PS es igual al lado SX e igual al lado SQ.
En consecuencia, S es el punto medio del segmento PQ y, puesto que HQ es paralela a SX, el triángulo PSW resulta ser semejante al triángulo PQH; la razón de semejanza es ½, de donde W es el punto medio del segmento PH. En resumen, hemos demostrado que la línea de Simson de un punto P del circuncírculo de un triángulo corta a la mitad al segmento que une a dicho punto con el ortocentro, lo cual implica que si movemos a P por el circuncírculo, W describirá una circunferencia de la mitad del radio del circuncírculo, en particular, cuando P coincida con alguno de los vértices del triángulo, W coincidirá con el punto medio entre el vértice y el ortocentro, todo ello implica que la circunferencia que describe W es precisamente la circunferencia de los nueve puntos del triángulo dado.
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Ejercicios
1. ¿Cuáles de los puntos notables enunciados en este capítulo caen siempre dentro del triángulo?
2. Dados tres puntos A, B y H, no colineales, construya un triángulo que tenga a A y a B como vértices y a H como ortocentro.
3. Dados tres puntos no colineales A, B y G, construya un triángulo que tenga a A y a B como vértices y a G como punto mediano.
4. Dados tres segmentos, construya un triángulo con ellos como medianas. 5. Demuestre que el ángulo formado por la línea que va de un vértice A al circuncentro O y la altura AD trazada desde ese mismo vértice, es bisecado por la bisectriz del ángulo correspondiente al propio vértice. Vea la siguiente figura:
6*. Demuestre que la suma de las medianas de un triángulo es mayor que las tres cuartas partes del perímetro del triángulo, pero menor que el propio perímetro.
7. Demuestre que el circuncentro de un triángulo ABC es ortocentro del triángulo LMN, donde L, M y N son los puntos medios de BC, CA y AB, respectivamente.
8. Demuestre que el área de un triángulo puede calcularse multiplicando el radio de su incírculo por su semiperímetro: A∆ = r s.
9. Demuestre que el área de un triángulo puede calcularse multiplicando el radio de uno de los excírculos por la diferencia del semiperímetro y el lado al cual es tangente interiormente el excírculo respectivo: A∆ = r’(s-a) = r’’(s-b) = r’’’(s-c). C B A N L D O
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10. Demuestre que si los radios de los excírculos valen r’, r’’ y r’’’, y el radio del incírculo vale r, se cumple que el recíproco de r es igual a la suma de los recíprocos de r’, r’’ y r’’’.
11. Demuestre que la suma de los recíprocos de las alturas de un triángulo es igual a la suma de los recíprocos de los radios de los excírculos.
12. Demuestre que el triángulo formado por los excentros de un triángulo ABC es isósceles si y sólo si el triángulo ABC es también isósceles.
13. En la Figura 5.1, demuestre que Y1Y = ZZ1 = BC. 14. En la Figura 5.1, demuestre que XX1 = CA – AB.
15*. Use la Figura 5.1, para obtener la fórmula de Herón enunciada al final del Capítulo 4.
16. Sea ABC un triángulo, D el punto en que la altura desde A corta a BC, E el punto en que la altura desde B corta a CA, F el punto en que la altura desde C corta a AB y H el ortocentro del triángulo. Demuestre que se cumple la siguiente igualdad: AH ×HD = BH ×HE = CH ×HF.
17*. Demuestre que las alturas de un triángulo son las bisectrices interiores del triángulo pedal correspondiente.
18. Sean AD y BE dos alturas del triángulo ABC. Sean N y L los puntos medios de los lados AB y BC, respectivamente y sea P el punto medio entre A y el ortocentro H del triángulo. Demuestre que el ángulo P NL es recto.
19. Demuestre que el punto mediano de un triángulo cae sobre la recta determinada por el ortocentro y el circuncentro del propio triángulo y que divide al segmento determinado por éstos en razón 2:1 (A dicha línea se le conoce como línea de Euler).
20. Demuestre que la distancia del punto medio de un lado de un triángulo al circuncentro de éste es igual a la mitad de la distancia del ortocentro al vértice opuesto del lado considerado.
21. Encuentre las circunferencias de los nueve puntos correspondientes a un triángulo equilátero, a un triángulo isósceles y a un triángulo rectángulo. 22. Demuestre que el centro de la circunferencia de los nueve puntos de un triángulo ABC está en la recta que une al ortocentro H y al circuncentro O del triángulo y que es el punto medio del segmento determinado por ellos; como ya se dijo, a la línea que contiene a estos puntos se le conoce como línea de Euler (Ejercicio 20 de este capítulo).
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23. En la figura anterior, demuestre que el cuadrilátero APLO es un paralelogramo.
24. Demuestre que el radio de la circunferencia de los nueve puntos de un triángulo es igual a la mitad del radio del circuncírculo del propio triángulo. 25. Nombre los seis triángulos congruentes con el triángulo mediano cuyos vértices son algunos de los puntos señalados en la Figura 5.2.
26. Construya un triángulo dados los tres pies de sus alturas.
27. Demuestre que el circuncírculo de un triángulo biseca a cada uno de los segmentos determinados por el incentro y los excentros.
28. Construya un triángulo, dados dos de sus vértices y el centro del círculo de los nueve puntos.
29. Demuestre que las líneas que unen a cada uno los puntos medios de los lados de un triángulo con los puntos medios entre el ortocentro y los vértices respectivamente opuestos, son bisectrices del triángulo formado por el punto medio respectivo y los pies de las alturas en los otros lados del triángulo. (En la figura auxiliar de los Ejercicios 23 y 24 de este mismo capítulo, LP es bisectriz del triángulo LEF).
30. Si tres circunferencias del mismo radio tienen un punto en común y se cortan por pares en otros tres puntos, demostrar que el circuncírculo del triángulo formado por estos últimos puntos tiene el mismo radio que las circunferencias dadas. Demuestre también que el punto común de las circunferencias dadas es el ortocentro del triángulo.
31. ¿Cuál es la línea de Simson de un vértice de un triángulo?
C B A N M L O E D F H P J R Q
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32. Demuestre que si se inscriben dos triángulos en una circunferencia, las líneas de Simson correspondientes a cada triángulo referidas a un punto P del circuncírculo, formarán un ángulo, cuyo valor es independiente del punto P que se elija.
33. Construya un triángulo dado su circuncírculo, su ortocentro y uno de sus vértices.
34. Dado un triángulo ABC, encuentre tres puntos en el circuncírculo tales que sus líneas de Simson formen un triángulo semejante a ABC.
35. Dado un triángulo ABC y una recta l, encuentre el punto en el circuncírculo de ABC tal que la línea de Simson de ese punto sea paralela a l. 36. Dado un cuadrilátero ABCD, encuentre un punto en el plano tal que si se trazan líneas perpendiculares de él a cada uno de los lados del cuadrilátero los puntos de intersección sean colineales ¿Cuántas soluciones puede haber? 37. Sea AD la altura desde A de un triángulo ABC. Sea P la intersección de dicha altura y el circuncírculo del triángulo. Demuestre que la línea de Simson de P es paralela a la tangente al circuncírculo que pasa por A.
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