Probabilidad condicional

La probabilidad condicional es un concepto elemental pero muy importante, que se utiliza con mucha frecuencia en el c´alculo de probabilidades. En los resultados que veremos en esta secci´on mostraremos las situaciones en las

1.13 Probabilidad condicional 73

que se aplica la probabilidad condicional para reducir ciertas probabilidades a expresiones m´as sencillas.

Definici´on 1.10 Sean A y B dos eventos y supongamos que B tie- ne probabilidad estrictamente positiva. La probabilidad condicional del eventoA, dado el eventoB, se denota por el s´ımboloP_pA_|B_qy se define como el cociente

P_pA_|B_{q “} PpAXBq

P_pB_q . (1.3)

El t´erminoP_pA_|B_q se lee “probabilidad deA dadoB” y es claro, a partir de la definici´on, que es necesaria la condici´onP_pB_qą0 para que el cociente est´e bien definido. No existe una definici´on establecida para P_pA_|B_q cuan- do P_pB_{q “}0. En ocasiones se usa la expresi´on PBpAq para denotar a esta probabilidad. En la expresi´on (1.3), el evento B representa un evento que ha ocurrido, y la probabilidad condicionalP_pA_|B_qes la probabilidad de A

modificada con la informaci´on adicional de queB ha ocurrido.

A

B

Ω

Figura 1.26

As´ı, uno puede imaginar que el espacio muestralΩdel experimento aleatorio se ha reducido al evento B de tal forma que todo lo que se encuentre fuera de este evento tiene probabilidad condicional cero. La afirmaci´on anterior es evidente a partir de observar que siAyBson ajenos, entonces el numerador de la probabilidad condicional (1.3) es cero.

Ejemplo 1.22 Considere el experimento de lanzar un dado equilibrado y defina los eventos

A _{“ t}2u “ “Se obtiene el n´umero 2”,

B _{“ t}2,4,6_{u “} “Se obtiene un n´umero par”.

Es claro queP_pA_{q “}1_{6, sin embargo, sabiendo queB ha ocurrido, es decir, sabiendo que el resultado es un n´umero par, la probabilidad del evento A

es ahora P_pA_|B_{q “} PpAXBq P_pB_q “ P_pt2uq P_pt2,4,6_uq “ 1{6 3_{6 “ 1 3.

Es decir, la informaci´on adicional de la ocurrencia del evento B ha hecho que la probabilidad de A se incremente de 1_{6 a 1_{3. _‚ Es interesante comprobar que la probabilidad condicional P_pA_|B_q, vista como una funci´on del eventoA, cumple los tres axiomas de Kolmogorov, es decir, satisface:

a) P_pΩ_|B_{q “}1. b) P_pA_|B_qě0.

c) P_pA1YA2|Bq “PpA1|Bq `PpA2|Bq cuandoA1XA2 “ H. En consecuencia, la funci´on A _ÞÑ P_pA_|B_q es una medida de probabilidad y por lo tanto cumple todos los resultados conocidos para cualquier medida de probabilidad, por ejemplo:

1. P_{pH |}B_{q “}0.

2. P_pA_|B_{q “}1´P_pAc_|B_q.

3. P_pA1YA2|Bq “PpA1|Bq `PpA2|Bq ´PpA1XA2|Bq.

En la secci´on de ejercicios se encuentran algunas otras propiedades generales de la probabilidad condicional y en las siguientes secciones se ver´an dos ejemplos importantes de aplicaci´on de esta nueva probabilidad: el teorema de probabilidad total y el teorema de Bayes.

1.13 Probabilidad condicional 75

Ejercicios

102. A partir de la definici´on de probabilidad condicional, demuestre direc- tamente las siguientes afirmaciones:

a) P_pA_|B_{q “}1_´P_pAc_|B_q. b) SiA1 ĎA2 entoncesPpA1|BqďPpA2|Bq. c) P_pA1|Bq “PpA1XA2|Bq `PpA1XAc2|Bq. d) P<sub>p</sub>A1YA2|Bq “PpA1|Bq `PpA2|Bq ´PpA1XA2|Bq. e) P_pŤ8 k“1Ak|Bqďřk8“1PpAk|Bq.

f) Si A1, A2, . . . son eventos ajenos dos a dos entonces

P_p 8 ď k“1 Ak|Bq “ 8 ÿ k“1 P_pAk|Bq.

103. Sean A y B dos eventos tales que P_pA_{q “} 1_{4, P_pB_|A_{q “} 1_{2 y

P_pA_|B_{q “} 1_{2. Determine y justifique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) A yB son ajenos. b) A_“B. c) P_pB_{q “}1_{4. d) P_pAc_|Bc_{q “5{6.} e) P_pBc_|Ac_{q “}5_{6. f) P_pA_|B_{q `}P_pA_|Bc_{q “}2_{3. 104. Demuestre o proporcione un contraejemplo para las siguientes afirma-

ciones generales. a) P_pB_|B_{q “}1. b) P_pA_|B_{q “}P_pB_|A_q. c) P_pA_|B_{q `}P_pA_|Bc_{q “1.} d) P_pA_|B_qěP_pA_q. e) Si P_pA_|B_qěP_pA_q entoncesP_pB_|A_qďP_pB_q. f) Si P_pA_qąP_pB_q entoncesP_pA_|C_qąP_pB_|C_q. g) Si P_pA_qą0 yP_pB_qą0 entonces P_pA_|B_qą0. h) P_pA_{q “}P_pB_{q ô}P_pA_|C_{q “}P_pB_|C_q.

i) A_ĎBc _ôP_pA_|B_{q “}0.

j) P_pA_qďP_pB_{q ô}P_pA_|C_qďP_pB_|C_q. k) A_ĎB _ôP_pA_|C_qďP_pB_|C_q.

l) P_pA_|B_{q “}P_pA_|Bc_{q ô}P_pB_|A_{q “}P_pB_|Ac_q.

m) Si B_XC _{“ H}entoncesP_pA_|B_YC_{q “}P_pA_|B_{q `}P_pA_|C_q. 105. Para cada inciso proporcione un ejemplo en el que se cumpla la afir-

maci´on indicada. Estos ejemplos no demuestran la validez general de estas afirmaciones.

a) P_pA_|B_{q “}0 peroP_pA_qą0. b) P_pA_|Bc_{q “}P_pAc_|B_q.

106. ¿EsP_pA_|B_q menor, igual o mayor aP_pA_q?En general, no existe una relaci´on de orden entre estas cantidades. Proporcione ejemplos de eventos A y B en donde se cumpla cada una de las relaciones de orden:

a) P_pA_qăP_pA_|B_q. b) P_pA_{q “}P_pA_|B_q. c) P_pA_qąP_pA_|B_q.

107. Un grupo de personas esta compuesto de 60 % hombres y 40 % de mu- jeres. De los hombres, el 30 % fuma y de las mujeres, el 20 % fuma. Si una persona de este grupo se escoge al azar, encuentre la probabilidad de que

a) sea hombre y fume. b) sea hombre y no fume. c) sea mujer y fume. d) sea mujer y no fume.

e) sea hombre dado que se sabe que fuma. f) sea mujer dado que se sabe que no fuma.

108. Un dado equilibrado se lanza dos veces consecutivas. Dado que en el primer lanzamiento se obtuvo un 3, ¿cu´al es la probabilidad de que la suma de los dos resultados sea mayor a 6?

1.13 Probabilidad condicional 77

109. SeanAyB eventos independientes, ambos con probabilidad estricta- mente positiva. Demuestre que para cualquier eventoC,

P_pC_|A_{q “}P_pB_qP_pC_|A_XB_{q `}P_pBc_qP_pC_|A_XBc_q.

110. SeanB1, . . . , Bn eventos ajenos dos a dos, cada uno con probabilidad estrictamente positiva y sea A un evento tal que P_pA_|Biq “ p para

i_“1, . . . , n. Demuestre que P_pA_| n ď i“1 Biq “p.

111. Regla del producto. SeanA1, . . . , An eventos tales que

P_pA1X ¨ ¨ ¨ XAn´1qą0. Demuestre que

P_pA1X ¨ ¨ ¨ XAnq “ PpA1qPpA2|A1qPpA3|A1XA2q

¨ ¨ ¨P_pAn|A1X ¨ ¨ ¨ XAn´1q.

112. La urna de Polya5_{. En una urna se tienen r bolas rojas y b bolas} blancas. Un ensayo consiste en tomar una bola al azar y regresarla a la urna junto con k bolas del mismo color. V´ease la Figura 1.27. Se repite este ensayo varias veces y se define el eventoRn como aquel en el que se obtiene una bola roja en la n-´esima extracci´on. Demuestre que para cada n_“1,2, . . .

a) P_pRnq “ r r_{`</sub>b. b) P<sub>p</sub>R1X ¨ ¨ ¨ XRnq “ n´1 ź k“0 ˆ r<sub>`}kc r_{`</sub>b<sub>`}kc ˙ .

113. El problema de la ruina del jugador. Dos jugadores, A y B, lanzan sucesivamente una moneda. En cada lanzamiento, si la moneda cae cara, el jugador B le entrega una unidad monetaria al jugador 5

¨ ¨ ¨ r ¨ ¨ ¨ b ` ¨ ¨ ¨ k ¨ ¨ ¨ b ¨ ¨ ¨ r ` ¨ ¨ ¨ k ¨ ¨ ¨ b ¨ ¨ ¨ r Figura 1.27

A, en caso contrario, si la moneda cae cruz, el jugador A le paga una unidad monetaria al jugador B. El juego contin´ua hasta que uno de ellos se arruina. Suponga que los lanzamientos de la moneda son independientes, que en cada uno de ellos la probabilidad de obtener cara es p y que el jugador A inicia con n unidades monetarias y B

inicia conN_´nunidades monetarias. Defina el eventoEncomo aquel en el que el jugador A gana eventualmente todo el dinero cuando comienza conn unidades monetarias y seaq _“1´p. Demuestre que la probabilidadP_pEnq, denotada porpn, satisface la siguiente ecuaci´on en diferencias con las condiciones de frontera especificadas.

ppn`1´pnq “

q

pppn´pn´1q, n“1,2, . . . , N´1, p0 “ 0,

pN “ 1.

Verifique adem´as que la soluci´on a este sistema de ecuaciones es

pn“ $ & % n_{N si p_“1_{2, 1_{´ p}q_{p_qn 1_{´ p}q_{p_qN si p‰1{2.