Se cumple entonces la identidadEpXYq “EpXqEpYq y sin embargo
X yY no son independientes. Demuestre ambas afirmaciones.
x ´1 0 1
fpxq 1{3 1{3 1{3
233. SeaX una variable aleatoria no negativa con funci´on de distribuci´on
Fpxq, funci´on de densidadfpxqy con esperanza finitaµą0. Demues- tre que las siguientes funciones son de densidad.
a) gpxq “2p1´Fpxqqfpxq. b) gpxq “ p1´Fpxqq{µ.
234. SeanX yY dos variables aleatorias independientes y seangpxqyhpyq
dos funciones tales que el productogpXqhpYqes una variable aleatoria con esperanza finita. Demuestre que
ErgpXqhpYq s “ErgpXqs ¨ErhpYqs.
2.7.
Varianza
Otra caracter´ıstica num´erica importante asociada a las variables aleatorias se llama varianza, se denota por VarpXqy se calcula de la forma siguiente.
Definici´on 2.9 Sea X una variable aleatoria discreta con funci´on de probabilidadfpxq. La varianza de X se define como el n´umero
VarpXq “ÿ
x
px´µq2fpxq,
cuando esta suma es convergente y en donde µ es la esperanza de X. Para una variable aleatoria continuaX con funci´on de densidadfpxqse define
VarpXq “
ż8
´8p
x´µq2fpxqdx,
As´ı, observe que se necesita conocer la esperanza de X para calcular su varianza. Es interesante observar tambi´en que la varianza se puede escribir en una sola expresi´on como sigue:
VarpXq “EpX´µq2.
Esto corresponde a la esperanza de la funci´on cuadr´atica gpxq “ px´µq2
aplicada a una variable aleatoria X con esperanza µ. La varianza es una medida del grado de dispersi´on de los diferentes valores tomados por la va- riable. Se le denota regularmente por la letraσ2(sigma cuadrada). A la ra´ız cuadrada positiva de la varianza, esto esσ, se le llama desviaci´on est´andar. Como en el caso de la esperanza, la anterior suma o integral puede no ser convergente y en ese caso se dice que la variable aleatoria no tiene varianza finita. Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 2.23 (Caso discreto) Calcularemos la varianza de la variable aleatoria discretaXcon funci´on de probabilidad dada por la siguiente tabla.
x ´1 0 1 2
fpxq 1{8 4{8 1{8 2{8
Recordemos primeramente que, por c´alculos previos, µ“1{2. Aplicando la definici´on de varianza tenemos que
VarpXq “ ÿ x px´µq2fpxq “ p´1´1{2q2p1{8q ` p0´1{2q2p4{8q `p1´1{2q2p1{8q ` p2´1{2q2p2{8q “ 1. ‚ Ejemplo 2.24 (Caso continuo) Calcularemos la varianza de la variable aleatoria continua X con funci´on de densidad
fpxq “
#
2x si 0ăxă1,
2.7 Varianza 177
En un ejemplo previo hab´ıamos encontrado que la esperanza de esta variable aleatoria es µ“2{3. Por lo tanto,
VarpXq “ ż8 ´8p x´µq2fpxqdx“ ż1 0p x´2{3q22x dx“1{18. ‚ A continuaci´on demostraremos algunas propiedades generales de la varianza, y siendo ´esta una esperanza, se har´a uso de lo estudiado antes sobre la esperanza de una variable aleatoria.
Proposici´on 2.10 Sean X y Y dos variables aleatorias con varianza finita y seacuna constante. Entonces
1. VarpXqě0. 2. Varpcq “0.
3. Varpc Xq “c2VarpXq. 4. VarpX`cq “VarpXq. 5. VarpXq “EpX2q ´E2pXq.
6. En general, VarpX`Yq ‰VarpXq `VarpYq.
Demostraci´on. El inciso p1q es evidente a partir de la definici´on de
varianza pues en ella aparece una suma o integral de t´erminos no negativos. Para el incisop2q, la constanteces una variable aleatoria con un ´unico valor, de modo queEpcq “cy entonces Varpcq “Epc´cq2“0. Para el incisop3q tenemos que
VarpcXq “ EpcX´EpcXqq2 “ EpcX´cEpXqq2 “ c2EpX´EpXqq2 “ c2VarpXq.
El inciso p4q se sigue del siguiente an´alisis,
VarpX`cq “ErpX`cq ´EpX`cqs2 “EpX´EpXqq2 “VarpXq.
Para demostrar la propiedad p5q se desarrolla el cuadrado en la definici´on de varianza y se usa la propiedad de linealidad de la esperanza,
VarpXq “ EpX´EpXqq2
“ EpX2´2XEpXq `E2pXqq “ EpX2q ´2EpXqEpXq `E2pXq “ EpX2q ´E2pXq.
Finalmente, para demostrar la propiedad p6q, es suficiente dar un ejemplo. Puede tomarse el casoY “X, en general y por lo demostrado antes, no se
cumple que Varp2Xq “2 VarpXq. ‚
De estas propiedades generales se obtiene, en particular, que la varianza es siempre una cantidad no negativa y que no cumple la propiedad de li- nealidad, pues en general no separa sumas y cuando aparecen constantes como factores, las constantes se separan de la varianza elev´andolas al cua- drado. Otras propiedades generales se encuentran en el Ejercicio 239, en la p´agina 181. Veamos ahora una f´ormula para el c´alculo de la varianza de la suma de dos variables aleatorias bajo la hip´otesis de independencia. Es- ta hip´otesis adicional har´a que aparezca una igualdad en la propiedad p6q reci´en demostrada.
Proposici´on 2.11 SeanX yY dos variables aleatorias independientes y con varianza finita. Entonces
VarpX`Yq “VarpXq `VarpYq.
Demostraci´on. Usaremos la propiedad de linealidad de la esperanza y
2.7 Varianza 179 hip´otesis. VarpX`Yq “ EpX`Yq2´E2pX`Yq “ EpX2`2XY `Y2q ´ pEpXq `EpYqq2 “ EpX2q `2EpXYq `EpY2q ´E2pXq ´2EpXqEpYq ´E2pYq “ pEpX2q ´E2pXqq ` pEpY2q ´E2pYqq “ VarpXq `VarpYq. ‚ El rec´ıproco del resultado anterior es, en general, falso, es decir, la condici´on VarpX`Yq “VarpXq`VarpYqno es suficiente para concluir queXyY son independientes. Un ejemplo de esta situaci´on se muestra en el Ejercicio 479, en la p´agina 338, el cual requiere del concepto de distribuci´on conjunta de variables aleatorias que estudiaremos con m´as detalle en el cap´ıtulo sobre vectores aleatorios.
Ejercicios
235. Calcule la media y la varianza de la variable aleatoriaXcon distribu- ci´on: a) fpxq “ # 1{n si x“1,2, . . . , n, 0 en otro caso. b) fpxq “ # 1{2x si x“1,2, . . . 0 en otro caso. c) fpxq “ $ ’ & ’ % 1{3 si 0ă|x|ă1, 1{6 si 1ă|x|ă2, 0 en otro caso. d) fpxq “ # e´x si xą0, 0 en otro caso.
e) fpxq “ # |x| si ´1ăxă1, 0 en otro caso. f) fpxq “12e´|x|, ´8ăxă8. g) fpxq “ # 1´ |x| si ´1ăxă1, 0 en otro caso. h) fpxq “ # 6xp1´xq si 0ăxă1, 0 en otro caso. i) Fpxq “ $ ’ & ’ % 0 si xă0, x si 0ďxď1, 1 si xą1. j) Fpxq “ $ ’ ’ & ’ ’ % 0 si xă´a, x´a 2a si ´aďxďa, 1 si xąa. k) Fpxq “ $ ’ & ’ % 0 si xă0, 1´cosx si 0ďxďπ{2, 1 si xąπ{2.
236. Encuentre la distribuci´on de la variable aleatoria X que cumple las siguientes dos condiciones.
PpX“1q “ 1´PpX“ ´1q, EpXq “ VarpXq.
237. Encuentre el valor del par´ametroc de tal forma que la varianza de la siguiente distribuci´on sea uno.
fpxq “
#
|x|{c2 si ´căxăc,
2.7 Varianza 181
238. SeaX una variable aleatoria con funci´on de densidad como aparece a continuaci´on, en dondeayb son dos constantes.
fpxq “
#
ax2`bx si 0ăxă1,
0 en otro caso.
Determine el valor de las constantes aybde tal forma que a) la esperanza sea m´ınima.
b) la varianza sea m´ınima.
239. Otras propiedades de la varianza.Demuestre que a) VarpXqďEpX2q.
b) Varpa´Xq “VarpXq, aconstante. c) VarpaX`bq “a2VarpXq, a, bconstantes.
d) VarpX`Yq “VarpXq `Var(Y)`2ErpX´EpXqqpY ´EpYqqs. 240. Sea X una variable aleatoria con media y varianza finita. Defina la
funci´on gpxq “ErpX´xq2s. Demuestre que: a) gpxq “VarpXq ` px´EpXqq2.
b) gpxq tiene un m´ınimo en x “ EpXq y que ese valor m´ınimo es VarpXq.
241. Sea X una variable aleatoria arbitraria con posibles valores en el in- tervalora, bs.
a) Demuestre que aďEpXqďb.
b) Demuestre que 0ďVarpXqďpb´aq2{4. c) EncuentreX tal que VarpXq es m´axima. 242. Demuestre o proporcione un contraejemplo.
a) VarpVarpXqq “0. b) VarpEpXqq “EpXq. c) EpVarpXqq “VarpXq.
d) VarpX´Yq “VarpXq ´VarpYq. e) Si EpXq existe entonces VarpXq existe. f) Si VarpXq existe entoncesEpXq existe. g) Si VarpXq “0 entonces X“0.
h) Si VarpXq “VarpYq entoncesX“Y. i) VarpX`YqďVarpXq `VarpYq.
243. Media muestral.SeanX1, . . . , Xnvariables aleatorias independien- tes e id´enticamente distribuidas con mediaµy varianza σ2. La media muestral se define como la variable aleatoria
¯ X“ 1 n n ÿ i“1 Xi. Demuestre que: a) EpX¯q “µ. b) EpX¯2q “σ2{n`µ2. c) VarpX¯q “σ2{n.
244. Varianza muestral. Sean X1, . . . , Xn variables aleatorias indepen- dientes e id´enticamente distribuidas con media µ y varianza σ2. La varianza muestral se define como la variable aleatoria
S2 “ 1 n´1 n ÿ i“1 pXi´X¯q2. Demuestre que EpS2q “σ2.
245. Sean X y Y dos variables aleatorias con varianza finita. Demuestre que
VarpX`Yq “VarpXq `VarpYq ðñ EpXYq “EpXqEpYq.
Recordemos que, en general, cualquiera de estas dos identidades no implica que X yY son independientes.
2.7 Varianza 183
246. Sea X una variable aleatoria con funci´on de distribuci´on Fpxq como aparece abajo, en donde 0ďaď 1,λ1 ą0 y λ2 ą0 son constantes. Encuentre la media y la varianza de X.
Fpxq “ # ap1´e´λ1x q ` p1´aq p1´e´λ2x q si xą0, 0 en otro caso.
247. Una distribuci´on uniforme. Sean ay ℓ dos constantes con ℓą0. Encuentre la esperanza y la varianza de una variable aleatoria con funci´on de densidad fpxq “ $ & % 1 2ℓ si |x´a|ăℓ, 0 si |x´a|ěℓ.
248. Sea Z una variable aleatoria con media 0 y varianza 1. Defina las variables X“Z´1 y Y “Z`1. Demuestre que EpXYq “0. 249. SeaX una variable aleatoria discreta tal que VarpXq “0. Demuestre
queX es constante.
Nota. Compare este enunciado con el resultado m´as general que apa- rece en el Ejercicio 512, en la p´agina 362.
250. Distribuci´on logar´ıtmica. Se dice que la variable aleatoria discreta
X tiene distribuci´on logar´ıtmica de par´ametrop, con 0ăpă1, si su funci´on de probabilidad es la siguiente:
fpxq “ $ & % ´log 1 p1´pq 1 xp x si x “1,2, . . . 0 en otro caso. Demuestre que:
a) fpxqes, efectivamente, una funci´on de probabilidad. b) EpXq “ ´ 1 logp1´pq p 1´p. c) EpX2q “ ´ 1 logp1´pq p p1´pq2. d) VarpXq “ ´ 1 p1´pq2log2p1´pqprp`logp1´pqs.