Capítulo II. La expectativa musical desde un enfoque conductista
6. Teoría de la probabilidad como herramienta compositiva
6.1 Probabilidad de ocurrencia
El valor cuantitativo de la posibilidad de que un evento ocurra surge del cociente del número de casos favorables al evento y el número del total de casos del espacio muestral de un experimento.
Como se mencionó anteriormente, el resultado siempre será un valor entre 0 a 1, que puede expresarse también en porcentaje o en números fraccionarios.
Dentro del enfoque probabilístico existen varios tipos de relaciones entre eventos que hay que saber diferenciar. No es objetivo principal ahondar en este tema de manera profunda, solo se describen algunos conceptos que se consideran pertinentes para descripciones posteriores. En primer lugar se encuentran los eventos mutuamente excluyentes, que son aquellos que nunca ocurren simultáneamente y en los cuales la probabilidad de ocurrencia de un evento no influye en la probabilidad de otro evento; por lo tanto, son independientes. En segundo lugar, están los eventos sucesivos en los cuales se determina la probabilidad de que un evento suceda después de otro (o en simultáneo). Otro tipo de eventos son los dependientes, donde la ocurrencia de un evento afecta directamente la ocurrencia de otro.
6.2
Probabilidad condicional
Es la probabilidad de que suceda un evento, dado que ya sucedió otro. También se conocen como probabilidad a posteriori, donde ocurre un nuevo evento que implica nueva información.
Se denota P(A/B) y se calcula así:
Se lee: la probabilidad de A dado B, es igual a la probabilidad de A y B sobre la probabilidad de B.
Cuando los eventos son independientes:
Este tipo de recursos pueden aplicarse a procesos compositivos que tengan cierto grado de aleatoriedad (aclarando que el compositor siempre controla la aleatoriedad dentro de los límites de una estructura). Así mismo, estas herramientas probabilísticas pueden ser usadas a nivel de análisis. Para ejemplificar de forma sencilla lo anterior, se presenta la siguiente situación:
En una composición se tienen 4 grupos distribuidos espacialmente. Se quiere seleccionar aleatoriamente un solista de alguno de los grupos instrumentales con una dinámica establecida para interpretar un segmento de la pieza. Los números representan la cantidad de intérpretes en cada grupo, para un total de 40.
Aleatoriamente:
La probabilidad de que el solista sea de la sección cuerdas es de 20/40 P (C) = 0.50
La probabilidad de que el solista sea de la sección de vientos es de 20/40 P (V) = 0.50
La probabilidad de que el solista sea de la sección vientos con dinámica f es de 12/40 P (V y f)= 0.30
La probabilidad de que el solista sea de la sección vientos con dinámica p es de 8/40 P (V y p) = 0.20
La probabilidad de que el solista sea de la sección cuerdas con dinámica f es de 14/40 P (C y f) = 0.35
La probabilidad de que el solista sea de la sección cuerdas con dinámica p es de 6/40 P (C y p) = 0.15
Si se quiere hallar la probabilidad condicional: P (f/V) que se lee: la probabilidad de que se dé f dado que previamente se dió V, entonces reemplazando la fórmula:
Se tiene que: P (f / V) = P (V y f) sobre P (V) es igual a: 0.30 / 0.50 = 0.60 Entonces se obtiene que P (f/V) = 0.6
6.3
Probabilidad de transición
Otro concepto fundamental para el presente trabajo es el de las probabilidades de transición, que, a través de una matriz de transición, permite consignar los valores de las posibilidades de paso de un
estado a otro (ver definición en conceptos básicos en teoría de grafos), pudiéndose representar en un
grafo dirigido. Para ejemplificar el enfoque probabilístico y combinándolo con el uso de la teoría de grafos en el campo musical, a continuación se presenta un análisis de los movimientos interválicos del violín I en el segundo movimiento del cuarteto N. 2 de Ligeti13.
En primer lugar, se procede a una extracción de datos estableciendo que los valores positivos corresponden a intervalos ascendentes y los negativos a intervalos descendentes; ambos, medidos en semitonos e incluyendo cuartos de tono. Por ejemplo, un salto de ¼ de tono equivale a 0.5 y un salto de ¾ de tono equivale a 1.5. El violín I empieza en G#4 y su siguiente movimiento es hacia A en el compás 5 por lo que ese intervalo se denotará (1); luego vuelve a G#, que se denota (-1); y así sucesivamente con toda la línea del violín donde se obtuvieron los siguientes resultados:
1, -1, 1, -1, 1, -0.5, 1, -1.5, -1, 2, -0.5, 1.5, -1, 2, -4, 2, -0.5, 1, 1, 6.5, 2, 1, 1, 1, 2, -0.5, 2, 1, 1.5, 3, -
3, 3, -3, 3, -3, 4, -4, 4, -4, 5, -5, 5, -5, 6, -6, 6, -5, 5, -5, 5, -4, 4, -3, 3, -3, 3, -2, 1, 3, 3, -0.5, 1, -2, 31,
-28, 8, -16, -3, 9, -6, 31, -17, -15, 32, -33, 29, -3, 1, -0.5, 1.5, 0.5,1, 1, -2, -1, -2, -1, -1, -1, -2, -1, 10,
-2, -1, -2, -2, -1, -0.5, 1, 0.5, 0.5, 0.5, 1, 1, -23, -1, , -0.5, -0.5, -0.5, -0.5, -0.5, -0.5.
Con el fin de reducir un poco la complejidad, se opta por considerar intervalos descendentes y ascendentes en un solo valor; 1 y -1 se consideran (1). A continuación se hace el análisis de las transiciones de cada intervalo, observando a qué intervalo tiene paso y cuántas veces lo hace. Por ejemplo el intervalo (31) solo tiene un paso a (17) y un paso a (28); y así con todos los valores. La siguiente tabla corresponde a la matriz de transición obtenida.
13
Tabla 3: Matriz de transición obtenida a partir de movimientos interválicos del violín I en el II movimiento del cuarteto N. 2 De Ligeti.
La última columna de la derecha corresponde a la frecuencia relativa; es decir, el total de veces que se presenta cada intervalo durante el desarrollo de la pieza. La matriz da información de cuáles y cuántas transiciones realiza cada intervalo. Por ejemplo, el intervalo (1.5) tiene 4 apariciones y cuenta con 1 paso a (0.5), 2 pasos a (1) y 1 paso a (3). Aplicando la fórmula de probabilidad de ocurrencia, se puede obtener un valor cuantitativo de las probabilidades de transición de cada intervalo. Para el caso del intervalo (1.5), el número de casos favorables corresponde a la frecuencia relativa, que es 4, y los casos posibles son cada una de sus transiciones. Entonces las probabilidades de transición para este intervalo se distribuyen así:
(1.5) a (0.5) = 1/4 (1.5) a (1) = 2/4 (1.5) a (3) = 1/4
Como se mencionó anteriormente, la probabilidad suele expresarse en valores entre 0 y 1.
(1.5) a (0.5) = 0.25 (1.5) a (1) = 0.50 (1.5) a (3) = 0.25
La suma de las probabilidades de las tres transiciones es 1. En este caso, la transición de (1.5) a (1) tiene mayor probabilidad de ocurrencia.
Un grafo dirigido elaborado a partir de la matriz de transición, donde los nodos representan los estados (en este caso intervalos), puede mostrar relaciones globales del flujo musical presentado en determinado segmento. La probabilidad expresada en decimales se suele etiquetar en las aristas. Como lo que se pretende es mostrar el funcionamiento de la representación gráfica, sólo se muestran las transiciones de los intervalos (0.5), (1), (1.5), (2), (3).
Gráfico 24:Grafo dirigido derivado de matriz de transición de tabla la 3. Elaboración propia.
Aunque solo es una parte del grafo general, a partir del grado de los nodos ya se puede deducir importancia de los intervalos ¼ de tono y semitono (0.5 y 1) y la poca relevancia o menor probabilidad de ocurrencia de intervalos más grandes como 10, 23 y 31.
El uso de conceptos extraídos de la teoría de grafos y su combinación con el enfoque probabilístico facilita, en gran medida, tanto la asimilación de lo expuesto en este trabajo, como la representación gráfica de la estructura composicional, de manera que el lector pueda visualizar las relaciones existentes de forma clara y concisa.
6.4
Probabilidad estacionaria
Esta serie de valores permite establecer predicciones a largo plazo de balances entre los estados, influyendo en el desarrollo de la cadena. Ames, en 1989 abarca dos conceptos fundamentales: Conteo
de espera (CE) y Probabilidades estacionarias (PE), originalmente en inglés Waiting counts (Wc) y waiting probabilities (Wp). El primero se refiere al número de veces que un estado ocurre
consecutivamente y el segundo, a la probabilidad de que se repita un estado. Ambos pueden ayudar a deducir el comportamiento de una cadena solamente detallando la matriz de transición.
En la matriz del gráfico 25 las probabilidades fueron asignadas arbitrariamente. La diagonal muestra las (PE). Cuando éstas se acercan a (0), la tasa de cambio de la cadena crece y el valor de (CE) puede bajar hasta el valor mínimo que es (1). Así mismo, cuando las (PE) se acercan a (1), el valor de (CE) crece infinitamente, haciendo que la cadena se desarrolle lentamente, casi de forma estática. Los valores de la matriz ejemplifican un modelo cuya transición evoluciona muy paulatinamente. En el grafo dirigido de la derecha, las PE se representan con una arista cuyos enlaces son el mismo nodo. Las probabilidades estacionarias son pues, el elemento ideal para representar la repetición dentro de este enfoque.
Gráfico 25:Probabilidades estacionarias. Matriz y grafo. Elaboración propia.
Una vez descritos conceptos fundamentales de la teoría de grafos y del enfoque probabilístico, a continuación se tratan modelos más complejos que cumplen un rol importante en la construcción de la pieza final.
7.Cadenas de Márkov
En primer lugar, se considera importante definir que un proceso o sucesión de eventos numerables que se desarrolla en el tiempo, y que en alguna etapa dependa del azar, se denomina proceso
estocástico. La palabra “estocástica” en griego significa tendencia a una meta. En el contexto musical,
esto significa que “aunque la música es indeterminada en sus detalles, tiende a una meta definida” (Tiburcio, S.I). Las cadenas de Márkov reciben su nombre del matemático ruso Andrei Andréievitch Márkov (1856 – 1922), y se constituyen como un recurso para trabajar dichos procesos, ya que pueden modelar el comportamiento de una secuencia de eventos. Tienen como principal característica que la probabilidad de ocurrencia de un evento depende únicamente del evento precedente, es decir, las cadenas toman en cuenta el último evento y condicionan las probabilidades de eventos futuros con el fin de predecir la evolución a corto y largo plazo de un sistema o entorno (Iglesias, 2016).
El comportamiento de la cadena se expresa cuantitativamente en probabilidades de transición que, como se presentó anteriormente, se organizan y condensan en su respectiva matriz de transición. Lo que indica la matriz es la posibilidad relativa de que la cadena pase de un estado dado a otro (Iglesias, 2016), entendiendo de antemano que en el contexto musical un estado puede ser un evento sonoro autosuficiente como un clang, una secuencia o entidades más complejas como texturas, conjuntos de clases tónicas o quizá, simplemente, características de éstos.
La aplicación de una cadena de Márkov a un nivel general se representa en el gráfico 26. A eventos sonoros (estados) predefinidos se aplica una matriz de transición diseñada por el compositor para satisfacer objetivos durante la pieza a corto y largo plazo, teniendo así control del comportamiento del proceso.
Es fundamental mencionar que un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias (v.a.), que se denotan “Xt”, donde “X” es el valor que puede tomar la variable, y “t” es un punto discreto en el tiempo. Entonces “Xt” se entiende como el valor de una variable x en el tiempo t. (Rincón, como se cita en Forero, 2017).
7.1
Orden de la cadena
Para determinar la probabilidad de un evento futuro, una cadena de Márkov puede tener en consideración n estados previos. Dependiendo del número de estados anteriores, la cadena será de 1er orden si tiene en cuenta solamente el estado previo; de 2ndo orden, si tiene en cuenta dos estados previos; de 3er orden, si tiene en cuenta 3 estados previos, etcétera. Cuanta más memoria posea la cadena, mayor es la complejidad de cálculo y mayor es la dificultad de representación (Iglesias, 2016). En este proyecto solo se usan cadenas de primer orden.
La propiedad fundamental de la cadena de Márkov de 1er orden es una probabilidad condicional conocida como propiedad markoviana y se denota así:
Donde n = t
Teniendo en cuenta que:
Xt es el estado actual, Xt-1 es el estado anterior, y Xt+1 es el estado posterior, la propiedad se interpreta así: la probabilidad de ocurrencia del estado futuro depende del estado actual (Rincón, como se cita en Forero, 2017). Así mismo, la ocurrencia del estado actual se basó en el estado anterior.
Gráfico 27:Cadena de Markov de 1er y 2ndo orden. Elaboración propia.
En el gráfico 27 se puede observar una cadena de Márkov de 1er orden representada con las flechas inferiores rojas donde cada evento X depende del evento anterior. La cadena de 2ndo orden está representada con flechas superiores azules, donde cada evento toma en consideración los dos eventos anteriores. El paso del tiempo está representado por la línea vertical punteada que avanza de derecha a
izquierda, de manera que en un siguiente paso, el estado actual Xt se trasformará en Xt-1. Así, en una serie de estados, se va desarrollando la cadena.
De acuerdo a lo anterior, la principal característica y sustento de las cadenas de Markov reside en su capacidad de predecir eventos en un futuro cercano basándose en lo ocurrido en el pasado reciente (Iglesias, 2016). En un entorno o sistema de n estados posibles, cada lanzamiento aleatorio tiene n resultados posibles, de los cuales se pueden calcular y determinar las probabilidades de transición entre esos estados durante una etapa dada de la cadena o, tal como se mencionó antes, el valor de una variable en un tiempo discreto, es decir numerable. Por ejemplo, se pueden establecer probabilidades para el clima en determinada ciudad para los días 1, 2, 3...7; dependiendo del clima en el día 1, se dan las probabilidades del día 2 y así sucesivamente. Aunque no se tendría certeza absoluta del clima en días posteriores, una cadena de Márkov aplicada en ese caso daría las probabilidades de lo que posiblemente ocurra.
En las cadenas de Márkov, específicamente cuando se calculan las probabilidades de paso entre estados, se usa la notación “f n “, donde “f” es la matriz que corresponde a un estado y n es el número del estado en función del tiempo. Entonces, f 0 es el estado inicial, f 1 representa el estado después de su primera transición, f 2 representa el estado después de la segunda transición y así sucesivamente (Forero, 2017).
De acuerdo a la propiedad markoviana, donde el estado actual depende del anterior:
f n = T x f n-1 esto es: el estado f n es igual a la matriz de transición por el estado anterior. Entonces si se quieren hallar los valores de estados posteriores:
f 1 = f 0. T
f 2 = f 1 . T
f 3 = f 2 . T etc.
Ejemplo de aplicación de las cadenas de Márkov en música
A continuación se presenta un ejemplo aplicado a la música: Si se tiene la siguiente progresión de acordes: Cmaj7 - G7b9 - Em7 - Dm7 - Am7 - G7 - Fmaj7 - G7 - Cmaj7; en funciones armónicas: T - D - T - SD - T - D - SD - D – T (T – Tónica, D – Dominante, SD – Subdominante). La matriz de transición basada en estas funciones armónicas se observa en el gráfico 28:
Gráfico 28: Matriz de transición de una progresión de funciones armónicas y grafo dirigido derivado. Elaboración propia.
Ahora bien, es necesario definir la duración de cada estado/evento, por lo cual la secuencia se fracciona en porciones iguales; puede ser tiempo cronométrico, una figura rítmica, uno o varios compases con determinado tempo. En un caso hipotético, las funciones armónicas de una composición duran un compás de 4/4. Conociendo el estado inicial se procede a aplicar la propiedad markoviana para determinar las probabilidades de los estados posteriores. Pero antes, es importante saber cómo se efectúan operaciones básicas entre las matrices, sobretodo la multiplicación que es esencial en cadenas de Márkov.
Se pueden multiplicar matrices siempre y cuando se cumpla que el número de columnas de la primera matriz corresponda al número de filas de la segunda matriz, lo que da como resultado una matriz con el número de filas de la primera y el número de columnas de la segunda. Esto se conoce como multiplicación matricial (Álvarez, como se menciona en Forero, 2017).
Retomando el caso del ejemplo anterior, la progresión armónica inicia en Cmaj7 (función tónica) por lo que el estado inicial f 0 es:
f
0=
Ahora, para hallar las probabilidades del estado f 1 se efectúa la multiplicación entre el estado inicial f 0 y la matriz de transición T. Esta operación es posible ya que el estado inicial tiene 3 columnas y la matriz T tiene 3 filas.
Se multiplican los valores de la única fila de la matriz del estado inicial por los términos de la primera columna de la matriz T; luego con los valores de la segunda columna y así mismo con la tercera columna. Cabe aclarar que los guiones en la matriz T representan ausencia de transición entre esos estados, por lo que al multiplicar tendrá valor 0.
Efectuando la operación: (1 x 0) + (0 x 0.50) + (0 x 0.66) = 0 + 0 + 0 = 0 (1 x 0.33) + (0 x 0) + (0 x 0.33) = 0.33 + 0 + 0 = 0.33 (1 x 0.66) + (0 x 0.50) + (0 x 0) = 0.66 + 0 + 0 = 0.66 Ahora, el estado f 2
Se multiplican las matrices:
(0 x 0) + (0.33 x 0.50) + (0.66 x 0.66) = 0 + 0.165 + 0.435 = 0.6
(0 x 0.33) + (0.33 x 0) + (0.66 x 0.33) = 0 + 0 + 0.217 = 0.217
(0 x 0.66) + (0.33 x 0.50) + (0.66 x 0) = 0 + 0.165 + 0 = 0.165
Las matrices obtenidas producto de la multiplicación muestran las probabilidades de estados posteriores. En este caso por ejemplo, en la primera transición (f 1) es más probable un paso de tónica a dominante que a subdominante; en la segunda transición (f 2), la función más probable es tónica con un 0.60 de probabilidad; en la tercera transición (f 3), la función dominante tiene más probabilidadcon un 50% aproximadamente. Así se podría llegar a la transición n y seguir hallando sus posibilidades.
Ahora bien, si un oyente es capaz de aprender las probabilidades de transición dentro de un flujo musical, una distribución arbitraria de los valores consignados en una matriz permite moldear un comportamiento a corto y largo plazo que direccione o guie al oyente al objetivo relacionado con este proyecto. Factores como el ritmo de cambio y la estabilidad e inestabilidad de la cadena dados por las probabilidades estacionarias, cumplen funciones importantísimas en la inducción que se quiere llevar a cabo y están directamente relacionadas con temas abordados anteriormente desde el enfoque cognitivo de este trabajo.
Expuestos todos los conceptos y las herramientas necesarias para este proyecto de creación, a continuación se describe la aplicación de los mismos a la obra Todo pasa…todo queda, con el fin de plasmar y fusionar elementos del enfoque cognitivo/perceptual y del enfoque conductista, para así ejercer control, en la medida de lo posible, de la sorpresa e incertidumbre que experimenta el oyente, en otras palabras, de sus expectativas.