4. Problemas propuestos y resueltos
4.1. Problemas Cap´ıtulo 1
Problema 1.1: Velero
Un velero de masa m y velocidad v(t) (el viento con una velocidad constante vw
empuja al velero desde la parte trasera), desarrolla una fuerza impulsora igual a: Fa(t) = k1(vw− v(t))2A(t),
donde A(t) es el ´area de la vela. La fuerza de resistencia que el velero debe superar
cuando viaja en el agua se puede aproximar por: Fw(t) = k2v2(t).
v(t)
w A(t)
v
(1.1) Velero
1. Derivar las ecuaciones de movimiento para el velero. Escribir la representaci´on espacio de estados para la entrada A(t) y la salida v(t).
Usando la 2da Ley de Newton se obtiene la ecuaci´on de movimiento del velero:
→
∑
F= mdv dt Fa(t) − Fw(t) = m dv dt k1(vw− v(t))2A(t) − k2v2(t) = m dv dt Ecuaci´on de movimiento: mdv dt − k1(vw− v(t)) 2A(t) + k2v2(t) = 0. Escribiendo la ecuaci´on de movimiento en la forma de espacio de estados, siendo que v(t) es la variable de estado, A(t) es la variable de entrada y v(t) es tambi´en
la variable de salida. d dtv= k2 mv 2(t) −k1 m(vw− v(t)) 2A(t) y= v .
La din´amica del sistema presenta una representaci´on espacio estados de la forma ˙x= f (x, u) ya que estamos lidiando
con un sistema no lineal.
2. ¿Qu´e tan grande debe ser el ´area de la vela A(t) para mantener la nave a una velocidad constante vo< vw? Si la velocidad del velero es constante, se debe cumplir dv
dt = 0. Luego de la representaci´on espacio de estados se tiene que:
44 4 Problemas propuestos y resueltos d dtv= 0 = k2 mv 2 o− k1 m(vw− vo) 2A(t). Entonces: Ao= k2v2o k1(vw− vo)2 .
3. ¿Cu´al deber´ıa ser el ´area de la vela para llegar a un velocidad constante vo= vw? Si la velocidad v es constante e igual a vw, entonces de la expresi´on anterior se tiene que:
A(t)vo→vw= l´ım vo→vw
k2v2o k1(vw− vo)2→
∞.
Problema 1.2: Oscilador Van der Pol
Considere el circuito simple R, L,C de la Fig.
(1.2) con L y C siendo elementos lineales y R siendo un resistor no lineal (no cumple la ley de Ohm VC= iRR, en su lugar iR= f (vC)). La figura
a la derecha muestra la caracter´ıstica del resistor.
(1.2) Circuito de oscilaci´on Van der Pol
1. Elegir como estados a la corriente en el inductor iLy el voltaje del capacitor vCy calcular la representaci´on espacio de estados del sistema.
Para modelar el circuito el´ectrico usamos la ley de Kirchhoff para corrientes: iC= iR+ iL.
CdvC
dt = −vC+ v 3 C+ iL. Despejando en funci´on de la variable de estado vC:
dvC dt = − 1 CvC+ 1 Cv 3 C+ 1 CiL.
Tambi´en sabemos que en un circuito que tiene elementos conectados en paralelo se cumple que:
vC= L diL
dt . Despejando en funci´on de la variable de estado iL:
diL dt =
1 LvC.
Siendo los estados iLy vC, la representaci´on espacio de estado del sistema es:
d dt il vC = 1 LvC −1 CvC+ 1 Cv 3 C+ 1 CiL .
La din´amica del sistema presenta una representaci´on espacio estados de la forma ˙x= f (x, 0) ya que estamos lidiando
4.1 Problemas Cap´ıtulo 1 45 Problema 1.3: Preguntas varias
Responder seg´un se pida.
1. Control feedforwardLa Fig. (1.3) muestra una aplicaci´on t´ıpica de control feedforward.
El tanque de mezcla cont´ınua posee una temperatura controlada por realimentaci´on. Control feedforward es empleado para suprimir r´apidamente los disturbios en el flujo de alimentaci´on.
a) Destacar en la figura qu´e lazos corresponden a re- alimentaci´on y feedforward, respectivamente. Justi- ficar.
b) Presentar el diagrama de bloques del sistema. (1.3) Control de temperatura.
2. Elementos b´asicos del sistema de controlLa Fig. (1.4) muestra un veh´ıculo de exploraci´on espacial (rover), ejemplo de un sistema de control embebido. Los sistemas de control embebido emplean computadoras digitales de uso- espec´ıfico abordo como componente fundamental en el lazo de control por realimentaci´on.
(1.4) Un rover usando un sistema de control embebido en el lazo de control.
a) Identificar cada uno de los elementos b´asicos del sistema de control. Presentar el diagrama de bloques del sistema incluyendo cada componente destacado en la figura.
b) ¿Cree Ud que una ´unica ley de control ser´a responsable del movimiento del rover? Justifique.
3. Puntos de equilibrio La Fig. (1.5) presenta al p´endulo incluyendo dos magnetos de igual fuerza han sido adicionados cerca a la la parte inferior del arco de oscilaci´on del p´endulo.
Ayuda: La ecuaci´on del p´endulo simple es:
46 4 Problemas propuestos y resueltos
a) Bosqueje el diagrama de plano de fase del sistema del sistema p´endulo sin considerar los magnetos. Considereθ∈ [−2π, 2π].
Explique el grafico realizado.
b) Si bien la ecuaci´on de movimiento del sistema incluyendo los magnetos es compleja en su c´alculo, bosqueje como lucir´ıa el di- agrama de plano de fase del sistema. Considereθ∈ [−π/2,π/2].
¿Cu´ales son los puntos de equilibrio de este sistema? (1.5) P´endulo con dos magnetos.
donde θ es el ´angulo hecho por el p´endulo con la vertical, g es la aceleraci´on de la gravedad y b> 0 el amor-
tiguamiento del sistema. Las variables de estado sonθy ˙θ. Problema 1.4: Modelado de sistemas
Encontrar formas de realizar operaciones de manipu- laci´on/reparaci´on en el espacio es un problema que recibe bas- tante atenci´on - por ejemplo, para el ensamblaje de la estaci´on espacial internacional y para la recuperaci´on de sat´elites. En la actualidad el trabajo lo vienen realizando sistemas de manip- ulaci´on remota; sin embargo, un nuevo m´etodo considerando partes inflables del manipulador viene siendo estudiado debido a la gran reducci´on en peso. La Fig. (1.6a) muestra la construc- ci´on de una estructura espacial desde un transbordador y la Fig. (1.6b) muestra un modelo del manipulador flexible donde J es la inercia del motor conductor, I es la inercia de la carga medi- da en su centro de masa, u es el torque generado el motor, m es la masa de la carga, l es la distancia al centro de gravedad de la carga,φyθson los ´angulos de rotaci´on del motor y la car- ga respectivamente, y k es la rigidez torsional del eje flexible. Considerar w como un torque externo que afecta a la carga.
(1.6) Sistema de manipulaci´on remota
1. Presentar un modelo mec´anico traslacional, an´alogo al modelo mec´anico torsional presentado en la Fig. (3b). 2. Calcular las ecuaciones de movimiento del sistema. Considerar el efecto de la fuerza gravitatoria (a´un siendo ´esta
peque˜na).
3. Derivar la representaci´on espacio de estados del sistema introduciendo las variables de estado (normalizadas) x1=
θ−φ, x2= ˙ θ− ˙φ ωo , donde ωo= s k(J + I + ml2)
J(I + ml2) . Considerar aceleraci´on de la gravedad g= 0, s´olo para esta pregunta.
4.1 Problemas Cap´ıtulo 1 47 Problema 1.5: Suspensi´on de un veh´ıculo
Los veh´ıculos usan suspensi´on activa y/o pasiva para permitir un paseo confortable en caso se presenten desniveles en las carreteras. La Fig. (1.7) -derecha- muestra un diagrama esquem´atico del veh´ıculo con un sistema de suspensi´on. El modelo representa un cuarto del modelo del veh´ıculo; el veh´ıculo es aproximado por dos masas, una representa un
(1.7) Suspensi´on del veh´ıculo
cuarto del cuerpo del veh´ıculo y la otra una rueda (incluyendo frenos y parte del sistema de suspensi´on). El actuador ejerce una fuerza F entre la rueda y el cuerpo que es calculada en base a la realimentaci´on de la distancia entre el cuerpo y la rueda. Sean xb, xw y xr las alturas del cuerpo, rueda y superficie de la carretera medidas todas desde el equilibrio. Representar la masa del cuerpo, masa de la rueda y rigidez de la rueda por mb, mwy kt, respectivamente.
Calcular lo que se pide:
1. Determinar las ecuaciones de movimiento. Incluir diagramas de cuerpo libre. Nota: Las ecuaciones de movimiento deben de quedar en funci´on de la fuerza F.
2. Un sistema de suspensi´on convencional consiste en un resorte y un amortiguador, de rigidez k y coeficiente de amor- tiguamiento c respectivamente, luego se tiene F= k(xw− xb) + c( ˙xw− ˙xb). Escribir las ecuaciones de movimiento para el sistema de suspensi´on convencional en la forma espacio de estados. Detallar cual es el vector de estados, la matriz din´amica, la matriz de entrada y la entrada.
3. ¿Cu´al seria la(s) salida(s) de interes del sistema? ¿Por qu´e? Escribir la ecuaci´on de salida en su representaci´on espacio de estados.
4. Presente el diagrama de bloques (diagrama de simulaci´on)correspondiente al sistema de suspensi´on convencional. Problema 1.6: Paseo dominguero en bicicleta
Una pareja sale a pasear en bicicleta un dia domingo. El muchacho (que pesa 200 libras) maneja una bicicleta vieja y pesada, y la esposa (que pesa 100 libras) maneja una bicicleta de carrera, ligera, con ruedas de alta presi´on, rayos de aluminio, etc. Ambos van paseando juntos cuando de pronto alcanzan una pendiente y deciden no pedalear ni frenar en esta pendiente. Al final, el muchacho llega bien adelante de la esposa. Ambos quedan confundidos; ¡para qu´e gastar $1000 en una bicicleta tan lujosa si esto es lo que va a pasar!
Usted debe explicar este hecho analizando la din´amica del sistema como se pide a continuaci´on.
1. Obtenga un modelo para la bicicleta + conductor pendiente abajo. En otras palabras, grafique la bicicleta + conductor bajando la pendiente. Su grafica debe incluir los par´ametros del sistema: masas, momentos de inercia, dimensiones, ´angulos, etc.
2. Dibujar el diagrama de cuerpo libre para la bicicleta + conductor que muestre todas las fuerzas que act´uan en el sistema.
3. Escribir una ecuaci´on de movimiento del sistema de primer orden. Considere la inercia de las ruedas, estructura y conductor como una sola inercia de masa.
4. Escribir la representaci´on espacio de estados del sistema descrito en el paso anterior. Se˜nalar el/los estados y la/las entradas. Adicionar la ecuaci´on de salida, especificando la/las salidas (Ud define las salidas).
5. Calcular el velocidad de equilibrio vedel sistema para el caso cuando la bicicleta es manejada en una pendiente con inclinaci´onθ (θe=θ).
48 4 Problemas propuestos y resueltos 6. (2 ptos) Escriba la aproximaci´on lineal del sistema en torno al punto de equilibrio (ve,θe).
7. En base a la descripci´on de las bicicletas y de los conductores, usar el modelo linealizado para mostrar por qu´e el muchacho, de mayor peso y conduciendo la bicicleta vieja, termina llegando primero al final de la pendiente. Sugerencia : Resolver la ecuaci´on diferencial para el caso ˜v(0) = 0.
Despu´es de todo este an´alisis, ¿cu´al ser´ıa la ventaja de poseer una bicicleta m´as ligera?Respuesta:la ventaja se manifiesta cuando se maneja cuesta arriba!
Problema 1.7: Microscopio de fuerza at´omica (AFM, por sus siglas en Ingl´es)
El AFM es una de las principales herramientas en generaci´on de im´agenes, medidas y manipulaci´on de materia en la nanoescala. La informaci´on es colectada “palpando” la superficie de la muestra (sample) con una sonda mec´anica (viga voladiza -cantilever). Elementos piezoel´ectricos ejecutan peque˜nos y precisos movimientos generados por un comando electr´onico.
Una diagrama esquem´atico del AFM se muestra en la figura de la izquierda. Una viga voladiza (cuya longitud usualmente varia entre 50-200µm) con una punta c´onica es colocada cerca de la muestra. La muestra puede ser movida vertical y horizontalmente usando un elemento piezoel´ectrico. Cuando la muestra se acerca a la punta de la viga, fuerzas de interacci´on entre la muestra y la punta conllevan a una deflexi´on de la viga voladiza. La deflexi´on es medida usando un rayo laser reflejado desde la parte superior de la viga voladiza hacia un arreglo de fotodiodos. La deflexi´on de la viga es controlada por realimentaci´on usando un actuador piezol´ectrico que controla la posici´on vertical de la muestra. En base a experimentos se captura la din´amica del sistema piezoel´ectrico-viga voladiza y se obtiene un modelo mec´anico simple del sistema (figura de la derecha). El sistema puede ser modelado como dos masas separadas por un piezoel´ectrico ideal. La masa m1es la mitad del sistema piezoel´ectrico, y la masa m2es la otra mitad del sistema piezoel´ectrico m´as la masa del apoyo. Se asume que el piezoel´ectrico genera una fuerza F entre las masas y que hay amortiguamientos c82 1y c2en los resortes. Sean las posiciones de los centros de masa z1y z2.
Amplifier Amplifier Sample Cantilever x,y z Laser Photo diode Controller Piezo drive Deflection reference Sweep generator
(a) Schematic diagram
(1.8a) Diagrama esquem´atico del AFM
m1 k1 m 2 c1 k2 c2 F F
Show that the dynamics can be written as
(1.8b) Modelo mec´anico del AFM con piezoel´ectricopre-cargado (F)1. Determinar las ecuaciones de movimiento del sistema piezoel´ectrico - viga voladiza. Asumir que el sistema parte del equilibrio est´atico (no incluir fuerza gravitacional). Presentar diagramas de cuerpo libre
2. Sea la elongaci´on del elemento piezoel´ectrico l= z1− z2la variable de control y sea la deflexi´on de la viga voladiza z1la variable de salida, eliminar la variable F en las ecuaciones anteriores y reescribir las ecuaciones en funci´on de las variables l y z1
3. Usando las ecuaciones lineales l= k3u y y= k4z1, escribir el modelo del sistema relacionando la salida y con su se˜nal de control u. La salida y corresponde a la deflexi´on amplificada y la se˜nal de control u corresponde al voltaje aplicado al piezoel´ectrico
4. Calcular la representaci´on espacio de estados del sistema anterior. ¿Cu´ales son los estados, la/las entrada/as y salida del sistema?
5. Obtener la funci´on de transferencia del sistema piezoel´ectrico-viga voladiza, G(s) =UY(s)(s).
6. Calcular la din´amica normalizada del sistema y su correspondiente representaci´on espacio de estados.Sugerencia:
Definir las variables adimensionales x=yL yτ=ωt, dondeω=qk
m, y seleccionar la entrada de control v de la forma m´as conveniente
Problema 1.8: Preguntas variadas
4.1 Problemas Cap´ıtulo 1 49 1. La Fig. (1.9) muestra la respuesta en el tiempo de un sistema con control crucero a un cambio en la rapidez de 25 m/s a 30 m/s. Las 3 curvas corresponden a masas del veh´ıculo diferentes, entre 1000 y 3000 kg, ¿qu´e propiedad del sistema controlado se demuestra en esta grafica?
a) Realimentaci´on. b) Robustez. c) Estabilidad. d) Desempe˜no. Compute Actuate Throttle Sense Speed 0 5 10 25 30 S p ee d [m /s ] Time [s] m
(1.9) Sistema de control por realimentaci´on para controlar la rapidez del veh´ıculo.
2. Demostrar que el sistema masa-resorte m ¨q+kq = u posee la representaci´on espacio de estados descrita abajo cuando
se consideran las variables adimensionales x= q/l yτ=ωot, d dτ x dx/dτ = 0 1 −1 0 x dx/dτ + 0 1 v,
donde l es la amplitud de oscilaci´on de q yωo2= k/m. ¿Cu´al es el valor de v?
3. Usando las respuestas en el tiempo de la Fig. (1.10b), explicar qu´e es lo f´ısicamente est´a sucediendo con el veh´ıculo. Fundamente con ecuaciones, diagramas de cuerpo libre, etc.
g
F
mg F
θ
(a) Effect of gravitational forces
0 10 20 30 19 20 Time t [s] Velocity v [m/s] 0 10 20 30 0 1 Time t [s] Throttle u
(b) Closed loop response
(1.10a) En t= 5s el veh´ıculo con control crucero encuentra una pendiente. (1.10b) Respuesta en lazo cerrado.
4. La representaci´on en lazo cerrado del sistema de control de vuelo de una mosca se puede dividir en varios bloques: la din´amica del cuerpo y aerodin´amica del cuerpo como la planta, a la aerodin´amica del ala como el actuador, al giroscopio neuromec´anico como el saturador, al sistema de visi´on como el sensor y el sistema sensoriomotor como el controlador. Ubicar estos componentes del sistema de control en el diagrama de bloques de la Fig. (1.11). Problema 1.9: Modelado
1. Calcular la ecuaci´on de movimiento de la bola de poliestireno a lo largo del eje x de la regi´on de entrampamiento. Usar la 2da Ley de Newton.
2. Si se trabaja con una bola de poliestireno de 1µm de di´ametro, la masa resultante ser´ıa m≈5.5 10−10mg, la misma que se puede considerar despreciable. Para el caso de masa despreciable, representar la ecuaci´on de movimiento de la bola en la forma espacio de estados. Asumir que se puede medir el desplazamiento x de la bola m´as un ruido n. 3. Determinar el (los) punto(s) de equilibrio para cuando la posici´on central del l´aser es ¯u. ¿Ser´a que todos los puntos
50 4 Problemas propuestos y resueltos
(1.11) Visi´on como mecanismo compensatorio para atenuaci´on de disturbios tipo viento vw.
Un microscopio de pinzas ´opticas es un instrumento cient´ıfico capaz de manipular part´ıculas diel´ectricas (dimensiones en nm oµm) mediante la aplicaci´on de fuerzas (en el orden de pN) via un rayo l´aser focalizado. Este microscopio es muy usado en el estudio de sistemas biol´ogicos, ver Fig.1 donde se realiza un estiramiento de la mol´ecula de ADN para determinar sus propiedades f´ısicas; los extremos de la mol´ecula de ADN est´an pegados a unas bolas de poliestireno.
La Fig.(1.12) muestra el punto m´as estrecho del haz de l´aser, el cual posee un gradiente de campo el´ectrico muy fuerte que atrae a las part´ıculas diel´ectricas, form´andose una especie de trampa. Cuando la bola es movida del centro de la tram- pa debido a una fuerza externa, el haz de l´aser es deflectado; esta deflexi´on se mide con un fotodiodo detector de posici´on. El objetivo de control consiste en reducir las variaciones en la posici´on de la bola debido a la acci´on de fuerzas externas. La bola de poliestireno posee masa m y su desplazamiento en la direcci´on+x es
debido a las siguientes fuerzas:
Fo: fuerza de entrampamiento ´optico (fuerza restauradora), donde u es la posi-
ci´on central del l´aser focalizado y viene a ser la entrada de control, yα1,α3> 0.
Fo= α3(x − u)3−α1(x − u), para|x − u| < R = rα 1 α3 0, otro caso ,
Fd: fuerza de arrastre viscoso. Fd= −βx,˙ β> 0. Ft: fuerza t´ermica.
Fe: otras fuerzas externas que dependen de las condiciones del experimento.
Fig.(1.12) Diagrama esquem´atico de un experimento de estiramiento de una mol´ecula de ADN.
Fig.(1.13) Desplazamiento en el eje x de la bola de poliestireno atrapada por el rayo l´aser.
4. Escribir la representaci´on lineal del sistema en torno a un punto de equilibrio apropiadamente elegido. 5. ¿Es el sistema estable, controlable, observable?