Control Clásico y Moderno

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Elizabeth Villota

Control Cl´asico y Moderno

– Notas de Clase MT221 –

27 de septiembre de 2012

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´Indice general

1. Modelado de sistemas . . . . 1

1.1. Conceptos en modelado . . . 1

1.1.1. Contribución al modelado de la mecánica y de la ingenier´ıa eléctrica . . . 1

1.2. Modelos espacio de estados . . . 3

1.2.1. Ecuaci´on diferencial ordinaria . . . 3

1.2.2. Ecuaci´on en diferencias finitas . . . 5

1.3. Ejemplo: Control de rapidez (control crucero) . . . 6

1.4. M´as sobre modelado de sistemas . . . 7

1.5. M´as ejemplos . . . 8

1.5.1. Ejemplo: Circuito RLC . . . 8

1.5.2. Ejemplo: Motor DC y acoplamiento flexible . . . 9

1.5.3. Ejemplo: Diagrama de bloques del motor DC . . . 12

1.5.4. Ejemplo: Doble filtro pasa-baja RC . . . 12

1.5.5. Ejemplo: Horno el´ectrico . . . 14

2. Linealizaci´on . . . . 17

2.1. Linealizando ecuaciones diferenciales . . . 18

2.2. Ejemplo: Veh´ıculo a´ereo con impulsadores . . . 20

2.2.1. Modelo lineal del veh´ıculo a´ereo con impulsadores . . . 22

2.3. Ejemplo: manipulador rob´otico . . . 22

2.3.1. Ecuaciones de movimiento usando Lagrange . . . 23

2.3.2. Representaci´on espacio de estados . . . 24

2.3.3. Linealizaci´on . . . 25

2.3.4. Ideas adicionales acerca del modelo . . . 27

2.4. Ejemplo: manipulador rob´otico - incluyendo la din´amica del cuerpo r´ıgido . . . 27

2.4.1. Ecuaciones de movimiento usando Lagrange . . . 28

2.4.2. Representaci´on espacio de estados . . . 30

3. Sistemas Lineales . . . . 31

3.1. Definiciones b´asicas . . . 31

3.1.1. Linealidad . . . 31

3.1.2. Invariancia en el tiempo . . . 32

3.2. Respuesta a la condici´on inicial . . . 33

3.2.1. Ejemplo: Integrador doble . . . 34

3.2.2. Ejemplo: Oscilador sin amortiguamiento . . . 35

3.3. Respuesta entrada/salida . . . 35

3.3.1. Ecuaci´on de convoluci´on . . . 36

3.3.2. Respuesta en estado estacionario . . . 37

3.4. Polos, ceros y ganancia . . . 39

3.5. Otros . . . 41

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VI ´Indice general

4. Problemas propuestos y resueltos . . . . 43

4.1. Problemas Cap´ıtulo 1 . . . 43

A. Ecuaciones de Euler Lagrange . . . . 61

A.1. Problema . . . 62

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Cap´ıtulo 1

Modelado de sistemas

Un modelo es una representación puntual de la dinámica del sistema y es usada con la finalidad de responder preguntas mediante análisis y simulación. El modelo que se elige depende del tipo de preguntas que se desee responder, y como tal, existe más de un tipo de modelo para un mismo sistema dinámico, con diferentes niveles de fidelidad dependiendo del fenómeno de interés.

1.1. Conceptos en modelado

Unmodeloes una representación matemática de un sistema f´ısico, biológico o de información. El modelo permite razonar en relación al sistema y hacer predicciones con respecto a como se comportará un sistema. En esta parte nuestro interés es emplear modelos de sistemas dinámicos que describan el comportamiento entrada/salida de un sistema y para esto adoptaremos la representación en la forma espacio de estados.

En su forma más elemental, unsistema dinámicoes aquel donde los efectos de las acciones (entradas) no se presen-tan inmediatamente. Por ejemplo, la rapidez de un veh´ıculo no cambia inmediatamente después de presionado el pedal del freno, asi como tampoco un dolor de cabeza desaparece justo después de haber tomado una aspirina. Un ejemplo en el ámbito financiero ser´ıa que los beneficios de una inversión no se perciben a corto plazo, estos se presentan solo a largo plazo (si fue una buena inversión). Como caracter´ıstica fundamental todos estos ejemplos de sistemas dinámicos presentan un comportamiento que evoluciona en el tiempo.

1.1.1. Contribución al modelado de la mecánica y de la ingenier´ıa eléctrica

En mecánica, el estudio de la dinámica surgió al intentar describir el movimiento planetario1. Uno de los triunfos de la mecánica Newtoniana fue la observación de que el movimiento de los planetas pod´ıa ser predecida en base a las posiciones y velocidades actuales de todos los planetas. El estado de un sistema dinámico es la colección de variables que caracteriza completamente el movimiento de un sistema con el propósito de predecir el movimiento futuro. Al conjunto de todos los estados posibles se le denomina espacio de estados.

Un clase común de modelos matemáticos para sistemas dinámicos es representado por ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE, por sus siglas en inglés). En mecánica una de esas ecuaciones diferenciales es:

m ¨q+ c( ˙q) + kq = u, (1.1)

donde u representa el efecto de entradas externas. El modelo (1.1) es llamado ecuación diferencial controlada o forza-da. Cuando u= 0, el modelo se denomina ecuación diferencial libre. Este modelo puede fácilmente representar un

sistema dinámico tal como el sistema masa-resorte con amortiguamiento, ver Fig. 1.1. La variable q_{∈ R representa la} posición de la masa m con respecto a su posición de reposo. Se emplea ˙q para referirse a la derivada con respecto al 1_{En base a la observación detallada de los planetas realizada por Tycho Brahe y los resultados de Kepler, se encontró empiricamente que}

las ´orbitas de los planetas pod´ıan ser descritas por elipses.

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2 1 Modelado de sistemas tiempo de q (velocidad de la masa) y ¨q para representar a la segunda derivada (aceleraci´on). Decimos que el sistema es de segunda orden dado que la din´amica depende de las dos primeras derivadas de q.

c (q) q

m

k

Figura 1.1 Masa-resorte con amortiguamiento

La evolución de la posición y la velocidad pueden ser descritos usando ya sea una gráfica en el tiempo o un diagrama del plano de fase, ambos mostrados en Fig. 1.2. La gráfica en el tiempo muestra los valores de los estados individual-mente como función del tiempo. El diagrama del plano de fase muestra la evolución de la velocidad en relación a la posición, permitiendo asi visualizar el campo vectorial del sistema (velocidad denotada por las flechas).

0 5 10 15 −2 −1 0 1 2 Time t [s] P o si ti o n q [m ], v el o ci ty ˙q [m /s ] Position Velocity −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 Position q [m] V el o ci ty ˙q [m /s ]

Figura 1.2 Ilustraci´on de un modelo de estados

El adicionar la entrada u al sistema enriquece al sistema y permite que podamos respondar otras preguntas. Por ejemplo, el efecto que los disturbios externos tienen en la trayectoria del sistema. En el caso de que se pueda manipular la variable de entrada u de una forma controlada, es posible analizar si se puede llevar o no el sistema de un punto a otro en el espacio de estados a trav´es de una apropiada selecci´on de la entrada.

La ingenier´ıa eléctrica presentó una visión diferente del modelado, donde el diseño de amplificadores electrónicos llevó a un enfoque tipo entrada/salida. Un sistema era un dispositivo que transformaba entradas en salidas, como mostrado en Fig. 1.3. La estructura entrada/salida se usa en muchas disciplinas de la ingenier´ıa puesto que permite descomponer un sistema en sus componentes individuales y conectarlos a través de sus entradas y salidas. As´ı se puede tomar un sistema complicado como una radio o televisión y se descompone en piezas tales como el receptor, demodulador, amplificador, parlantes, etc. Cada una de estas piezas tiene un conjunto de entradas y salidas y, a través de un diseño apropiado, se pueden interconectar para formar el sistema completo.

Cuando la teor´ıa de control emergió como una disciplina en los 1940s, el abordaje adoptado estaba fuertemente influenciado por la visión de la ingenier´ıa eléctrica (entrada/salida). La segunda ola de desarrollo en control se vió in-fluenciada por la mecánica, donde se usó la perspectiva espacio de estados. El afán por realizar vuelos espaciales es un ejemplo t´ıpico de como comenzaron a fusionarse estos dos puntos de vista hasta llegar a ser lo que hoy en dia se conoce como la representación espacio de estados de sistemas de entrada/salida. Espec´ıficamente, uno de los problemas que se presentó fue el de controlar la órbita de un nave espacial. As´ı, el desarrollo de modelos espacio de estados involucraba modificar los modelos mecánicos para incluir sensores y actuadores y utilizar ecuaciones con formas más generales. Luego el modelo dado por la ecuación (1.1) fue reemplazado por:

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1.2 Modelos espacio de estados 3 7 +v –v vos adj (+) (–) Inputs Output 3 2 6 4 Q9 Q1 Q2 Q3 Q4 Q7 Q5 R1 R12 R8 R7 R9 R10 R11 R2 Q6 Q22 Q17 Q16 Q18 30pF Q15 Q14 Q20 Q8 System Input Output

Figura 1.3 Diagrama entrada/salida

dx

dt = f (x, u), y= h(x, u),

(1.2)

donde x es el vector de variables de estado, u es el vector de señales de control y y es un vector de (señales) medidas. El término dx_dt representa la derivada de x con respecto al tiempo, ahora considerado un vector, y f y h son mapeamien-tos (posiblemente no lineales) de sus argumenmapeamien-tos a vectores de dimensión apropiada. Para sistemas mecánicos, caso sistema masa resorte con amortiguamiento, el estado consiste en la posición y velocidad de la masa.

Para complementar la idea de modelado, cabe destacar que un desarrollo final en la construcción del problema con una visión de la teor´ıa de control viene dado por la inclusión de disturbios e incertezas del modelo2_.

Una observación a destacar en el modelado para diseño de sistemas de control es que el sistema por realimentación puede ser a menudo analizado y diseñado en base a modelos relativamente simples. La justificación se encuentra en la robustez inherente que presentan los sistemas de control por realimentación. Sin embargo, otro tipo de uso de modelos requiere de más complejidad y precisión. Un ejemplo son las estrategias de control por alimentación anticipada, donde uno usa el modelo para precalcular las entradas que harán que el sistema responda de cierta forma. Otra área es la de validación de sistemas.

1.2. Modelos espacio de estados

Esta sección presentará dos formas principales de modelos a ser usadas en clase. Ambas hacen uso de nociones de estado, entrada, salida y dinámica para describir el comportamiento de un sistema.

1.2.1. Ecuaci´on diferencial ordinaria

El estado de un sistema es la colección de variable que resume el pasado de un sistema con el propósito de predecir el futuro. Para un sistema f´ısico el estado está compuesto de las variables necesarias para el almacenamiento de masa, momento y energia. Una cuestión importante en el del modelado es el decidir cuan exacta debe ser la representación de este almacenamiento. Las variables de estado son representadas por un vector x_{∈ R}nllamado el vector de estados. Las variables de control son representadas por otro vector u_{∈ R}p, y la señal medida por el vector y_{∈ R}q. Un sistema se puede representar entonces por la ecuación diferencial:

dx

dt = f (x, u), y= h(x, u),

(1.3)

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4 1 Modelado de sistemas donde f : Rn_{× R}p_{7→ R}ny h : Rn_{× R}p_{7→ R}qson mapeamientos suaves. Un modelo de esta forma se llama modelo espacio de estados.

La dimensión del vector de estados es llamada orden del sistema. El sistema (1.4) es llamado invariante en el tiempo porque f y h no dependen explicitamente del tiempo t; existen sistemas variantes en el tiempo más generales donde las funciones si dependen del tiempo. El modelo consiste en dos funciones: la función f que provee la variación del vector de estados con respecto al tiempo en función del estado x y el control u, y la función h que provee los valores medido como función del estado x y del control u.

Un sistema se denomina sistema de espacio de estados lineal si las funciones f y h son lineales en x y u. Un sistema espacio de estados lineal puede ser representado por:

dx

dt = Ax + Bu, y= Cx + Du,

(1.4)

donde A, B, C y D son matrices. Si estas matrices son constantes, entonces se dice que tal sistema es lineal e invariante

en el tiempo, LTI por sus siglas en inglés. La matriz A es llamada matriz dinámica o matriz de estados, la matriz B es llamada la matriz de control o matriz de entradas, la matriz C es llamada matriz del sensor o matriz de salidas, y la matriz D es llamada la matriz del término directo.

Generalizando la ecuación dinámica de segundo orden estudiada en mecánica, resulta una ecuación de la forma: dny

dtn+ an−1 dn−1y

dtn₋₁ + ... + aoy= u, (1.5)

donde t es la variable independiente, y(t) es la variable de (salida) dependiente y u(t) es la entrada. La notaci´on d

k_y dtk denota la k-ésima derivada con respecto a tiempo t, a veces denotada por y(k). La ecuación diferencial controlada (1.5) se dice que es un sistema de n-ésima orden. Este sistema se puede convertir en la forma espacio estado definiendo:

x=        x1 x2 .. . xn−1 xn        =        y dy/dt .. . dn−2y/dtn−2 dn−1y/dtn−1        , (1.6)

y la ecuaci´on espacio de estados resulta:

d dt        x1 x2 .. . xn−1 xn        =        x2 x3 .. . xn −aox1− ... − an−1xn        +        0 0 .. . 0 u        , y= x1. (1.7)

Con la definición apropiada de A, B, C y D, esta ecuación se puede definir en la forma espacio de estados lineal. Una forma aún más general se obtiene dejando que la salida sea una combinación lineal de los estados del sistema, por ejemplo:

y= b1x1+ b2x2+ ... + bnxn+ du. (1.8)

(9)

1.2 Modelos espacio de estados 5 d dt        x1 x2 x3 .. . xn        =        0 1 ... 0 0 .. . ... 0 0 1 0 0 0 ... 0 1

−a0−a1... −an−2−an−1

       x+        0 0 .. . 0 1        u, y=b1b2... bn x+ du. (1.9)

Esta forma particular de un sistema lineal en espacio de estados se llama forma can´onica controlable.

La ecuaci´on (1.4) puede ser dibujada como un diagrama de bloques en la Fig. 1.4. Las dobles lineas indican que cantidades vectoriales (m´ultiples variables) son pasadas entre los bloques.

+ + A C B

∫

x(t) u(t) x(t)· y(t) D + + Block diagram of a general continuous linear

Figura 1.4 Diagrama de bloques de un modelo espacio de estados lineal cont´ınuo general

1.2.2. Ecuaci´on en diferencias finitas

Muchas veces resulta más natural describir la evolución de un sistema en instantes de tiempo discretos en vez de continuamente en el tiempo. Si uno se refiere a cada uno de estos tiempos usando un número entero k= 0, 1, 2...,

entonces se puede hacer la pregunta de cómo cambia el estado para cada k. Como se hizo en el caso de ecuaciones diferenciales ordinarias, se define como estado a los conjuntos de variable que resumen el pasado del sistema para propósitos de predicción de su futuro. Los sistemas que se describen de esa manera se denominan sistemas de tiempo discreto o sistemas discretos.

La evoluci´on de un sistema discreto se puede escribir de la forma: x[k + 1] = f (x[k], u[k]),

y[k] = h(x[k], u[k]), (1.10)

donde x_{[k] ∈ R}n_{es el estado del sistema en el tiempo k, u}_{[k] ∈ R}p_{es la entrada y y}_{[k] ∈ R}q_{es la salida. Como antes, f y} h son mapeamientos suaves de dimensión apropiada. La ecuación (1.10) se denomina ecuación en diferencias porque nos dice como x[k + 1] difiere de x[k]. El estado x[k] puede ser una cantidad escalar o un vector; en caso de ser un vector

usaremos xj[k] para denotar al j-´esimo elemento del vector x (o j-´esimo estado) en el instante de tiempo k.

Como en el caso de ecuaciones diferenciales, a menudo las ecuaciones son lineales en el estado y la entrada, en cuyo caso el sistema puede ser descrito por:

x[k + 1] = Ax[k] + Bu[k],

y[k] = Cx[k] + Du[k], (1.11)

Como en el caso anterior, nos referimos a las matrices A, B, C y D como matriz de la din´amica, la matriz de control, matriz del sensor y matriz del t´ermino directo.

(10)

6 1 Modelado de sistemas

1.3. Ejemplo: Control de rapidez (control crucero)

El control de rapidez de un veh´ıculo es un problema común de sistema por realimentación que encontramos en nuestro quehacer diario. El sistema intenta mantener una rapidez constante en la presencia de disturbios. El control compensa el efecto de los disturbios midiendo la rapidez del veh´ıculo y ajustando la válvula de alimentación de com-bustible apropiadamente (para acelerar o desacelerar).

Para modelar el sistema tenemos el diagrama de bloques de la Fig. 1.5. Sea v la rapidez del carro y vr la rapidez (deseada) referencia. El controlador recibe las señales v y vry genera la señal de control u que es enviada al actuador que controla la posición de la válvula de alimentación. La posición de la válvula de alimentación a su vez controla el torque desarrollado por el motor, que es transmitido a través de los engranajes y las ruedas, generando una fuerza F que mueve el carro. Existen duerzas de disturbios Fddebido a las variaciones en la pendiente de la superficie, la resistencia al deslizamiento de las ruedas y fuerzas aerodinámicas. El control de rapidez también tiene una interface humano-máquina que permite que el conductor establezca y modifique la rapidez de referencia. También existen funciones que desconectan el control de rapidez cuando se presiona el freno.

Gears & Actuator vr Controller Body Throttle & Engine Fd v cancel resume/accel set/decel on/off Driver Interface T F u Wheels

Figura 1.5 Diagrama de bloques del control de rapidez

Para comenzar a desarrollar un modelo matemático comenzamos con un balance de fuerzas para el cuerpo del vehiculo. Sea v la rapidez del vehiculo, m es la masa total (incluyendo pasajeros), F es la fuerza generada por el motor y Fdes la fuerza de disturbio debido a la aceleración de la gravedad, fricción y arrastre aerodinámico. La ecuación de movimiento del carro es:

mdv

dt = F − Fd. (1.12)

La fuerza F es generada por el motor, cuyo torque T es proporcional a la razón de inyección de combustible, que es a su vez proporcional a la señal de control 0_{≤ u ≤ 1 que controla la posición de la válvula de alimentación. El torque} depende de la velocidad angular del motorω. El torque puede ser representado por la siguiente expresión:

T(ω) = Tm(1 −β(_ωω m− 1)

2_), _(1.13)

donde Tmes el torque máximo obtenido a la velocidad angular del motorωm. Parámetros tipicos son Tm= 190Nm, ωm= 420rad/s (para 4000 rpm) yβ = 0,4. Sea n la razón de los engranajes y r el radio de la rueda.La velocidad del motor es relacionada a la rapidez a trav’es de:

ω=n

rv=αnv, (1.14)

y la fuerza F se puede escribir como:

F=nu

r T(ω) =αnuT(αnv). (1.15)

Valores t´ıpicos deαnpara engranajes del 1 al 5 sonα1= 40,α2= 25,α3= 16,α4= 12 yα5= 10.

La fuerza de disturbio tiene tres componentes principales: Fg, fuerzas debido a la acción de la gravedad; Fr, fuerza debido a la resistencia al deslizamiento; y Fa, fuerza del arrastre aerodinámico. Si asumimos una pendiente de la superficieθ, la gravedad dota de la fuerza Fg= mgsinθ, como mostrado en la Fig. 1.6, donde g= 9,8m/s2. Un modelo simple de fricción es:

(11)

1.4 M´as sobre modelado de sistemas 7 Fr= mgCrsgn(v),

Cr= 0,01 es coeficiente de fricción, sgn es la función signo de v (±1) o cero si v = 0. Un valor tipico de Cr es 0.01. Finalmente, el arrastre aerodinámico es proporcional al cuadrado de la rapidez:

Fa= 1 2ρCdAv

2_,

dondeρ= 1,3 kg/m3_{es la densidad del aire, C}

d= 0,32 es el coeficiente de arrastre aerodin´amico que depende de la forma del vehiculo, A= 2,4m2_{es el ´area frontal del carro.}

Resumiendo, encontramso que el carro puede ser modelado por:

mdv

dt =αnuT(αnv) + −mgCrsgn(v) − 1 2ρCdAv

2_{− mgsin}_θ_.

El modelo es un sistema dinámico de primer orden. El estado es la rapidez del vehiculo, que también es la salida. La entrada es la señal u que controla la posición de la válvula de alimentación, y el disturbio e sla fuerza Fd, que pedende de la pendiente de la superficie. El sistema es no lineal puesto que el torque se define como en (1.13), el término relacionado a la fuerza gravitacional y el carácter no lineal de la fricción y arrastre aerodinámico.

g F

mg F

θ

Figura 1.6 Efecto de las fuerzas gravitacionales

1.4. M´as sobre modelado de sistemas

El principal objetivo del análisis de sistemas es la predicción de la forma en la que el sistema responderá a varias entradas y como éstas respuestas cambian para diferentes valores de los parámetros del sistema. En la ausencia del modelado de sistemas, los ingenieros se ven forzados a construir prototipos del sistema para poder probarlos. Los datos obtenidos en las pruebas de los prototipos f´ısicos son muy valiosos, sin embargo los costos en tiempo y dinero para obtener estos datos muchas veces no permiten su realización. Adicionalmente, los modelos matemáticos son inherentemente más flexibles que los prototipos f´ısicos y permiten un rápido refinamiento de los diseños del sistema para optimizar varias medidas de desempeño. En consecuencia, uno de los objetivos del análisis de sistemas es el establecer un modelo matemático adecuado que pueda ser usado para obtener información equivalente a la que se podrá conseguir de varios prototipos f´ısicos diferentes. De esta forma, aún si un prototipo final es construido para verificar el modelo matemático, el modelador se ha ahorrado un tiempo y dinero significativos.

Un modelo matemático es un conjunto de ecuaciones que describe completamente las relaciones entre las variables del sistema. Es usado como una herramienta para desarrollar diseños y algoritmos de control, y la tarea principal para la que será usado tiene implicaciones básicas para la elección del modelo del sistema. De ahi que los modelos del sistema deben ser lo más simples posible, y cada modelo debe ser desarrollado con alguna aplicación espec´ıfica en mente. De hecho, de esta forma se tendrá diferentes modelos construidos para diferentes usos del mismo sistema. En el caso de modelos matemáticos, diferentes tipos de ecuaciones serán usadas para describir al sistema en sus varias aplicaciones. La Tabla 1 clasifica a los modelos del sistema de acuerdo a los cuatro criterios más comunes: aplicación del principio de superposición, dependencia en coordenadas espaciales as´ı como en el tiempo, variación de los parámetros en el tiempo, y continuidad de las variables independientes. En base a estos criterios, los modelos de sistemas dinámicos son clasificados como lineales y no lineales, concentrados y distribuidos, estacionarios invariantes en el tiempo o variantes

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8 1 Modelado de sistemas en el tiempo, cont´ınuos o discretos, respectivamente. Cada clase de modelo es también caracterizada por el tipo de ecuación matemática empleada en la descripción del sistema.

Tipo de modelo Criterio de clasificación Tipo de ecuación de modelo Nolineal Principio de superposición no aplica Ecuaciones diferenciales no lineales Lineal Principio de superposición aplica Ecuaciones diferenciales lineales Distribuido Variables dependientes son función de

co-ordenadas espaciales y el tiempo

Ecuaciones diferenciales parciales Concentrado Variables dependientes son

independi-entes de las coordenadas espaciales

Ecuaciones diferenciales ordinarias Variantes en el tiempo Par´ametros del modelo varian en el

tiem-po

Ecuaciones diferenciales con coeficientes que varian tiempo

Estacionario Par´ametros del modelo son constantes en el tiempo

Ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes

Cont´ınuo Variables dependientes definidas sobre rango cont´ınuo de variables independi-entes

Ecuaciones diferenciales

Discreto Variables dependientes definidas solo para distintos valores de variables independi-entes

Ecuaciones por diferencias finitas

Cuadro 1.1 Clasificaci´on de modelos del sistema

1.5. M´as ejemplos

1.5.1. Ejemplo: Circuito RLC

Se desea formular un modelo donde el voltaje terminal v sea la entrada y el voltaje en el capacitor vCsea la salida. Las leyes de Ohm y Kirchoff permiten obtener la siguiente relaci´on para los voltajes:

Ri(t) + Ldi(t)

dt + vC(t) = v(t). (1.16)

Para el capacitor se sabe que:

CvC(t) = q(t) → C dvC(t)

dt =

dq(t)

dt = i(t). (1.17)

De estas ecuaciones se puede ver inmediatamente que:

˙i = −R Li− 1 LvC+ 1 Lv, ˙ vC = 1 Ci. (1.18)

La dependencia del tiempo se ha omitido por simplicidad.

R _L C vC i v Figura 1.7 Circuito RLC

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1.5 M´as ejemplos 9 El sistema puede ser descrito por las dos ecuaciones diferenciales de primer orden acopladas mostradas en (1.18). Reescribiendo las ecuaciones en la forma de espacio de estados:

 ˙i ˙ vC =    −R_L −1_L 1 C 0    i vC + " 1 L 0 # v. (1.19)

Si las variables de estado y las matrices del sistema son definidas como:

x= i vC , ˙x = ˙i ˙ vC , A =    −R_L −1_L 1 C 0    , B = " 1 L 0 # , u = v,

la ecuaci´on (1.19) puede ser reescrita en forma compacta como: ˙

x= Ax + Bu.

Un diagrama de bloques del sistema es mostrado en la Fig. 1.8. Notar que los elementos del vector de estados x, i(t) y

∫

R L ---1 L ---1 C ----1 L ---

∫

v t( ) ₊ i t( ) i t( ) v·_c( )t v_c( )t _ _

Figura 1.8 Diagrama de bloques del circuito RLC

vC(t), son salidas de los dos integradores en el diagrama de bloques.

Dado que el voltaje del capacitor es la salida. Una segunda ecuación debe ser aumentada a la descripción del problema, la ecuación de salida:

y= vC=

0 1x. (1.20)

La combinaci´on de (1.19) y (1.20) es llamada el modelo espacio de estados del sistema.

La transformada de Laplace de (1.18) lleva al modelo a la forma de funci´on de transferencia del sistema:

G(s) =Vc(s)

V(s) =

1

LCs2_{+ RCs + 1}. (1.21)

1.5.2. Ejemplo: Motor DC y acoplamiento flexible

La Fig. 1.9 muestra un motor DC con acoplamiento flexible en el eje entre la inercia de la armadura del motor y la inercia de la carga. R y L son la resistencia y la inductancia del bobinado de la armadura respectivamente, k y b son la constante de rigidez y el coeficiente de amortiguamiento (lineal) del acoplamiento flexible respectivamente y, Jmy Jl son los momentos de inercia de la armadura del motor y carga respectivamente. El voltaje en la armadura u es la entrada del sistema y la posici´on angular de la cargaθles la salida.

Si las dos inercias son separadas una de la otra y los torques apropiados (T_k, Tb, Ta) aumentados como mostrado en la Fig. 1.10 (diagramas de cuerpo libre), usando la Segunda Ley de Newton (Momentos de Euler) en ambas inercias se tiene:

Jmθ¨m= Kai+ k(θl−θm) + b( ˙θl− ˙θm) − bmθ˙m, (1.22) Jlθ¨l= −k(θl−θm) − b( ˙θl− ˙θm) − blθ˙l, (1.23)

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10 1 Modelado de sistemas θ_m θ_l k,b R L i J_l J_m u

Figura 1.9 Motor DC con acoplamiento flexible

donde Kaes la constante de torque, bmy blson los factores de fricci´on de los rodamientos viscosos del motor y la carga respectivamente. θ_m _θ l J_m J_l State convention: θ_m<θ_l θ·_m<θ·_l T_a T_{k ,}T_b T_{k ,}T_b

Figura 1.10 Se˜nal y convenci´on de estados para el sistema en Fig. 1.9

Las leyes de Ohm y Kirchhoff aplicadas al circuito el´ectrico resulta en:

u= Ri + Ldi dt+ ke ˙ θm (1.24) o ˙i = 1 L(u − ke ˙ θm− Ri), (1.25)

donde kees el coeficiente de inducci´on del bobinado de la armadura del motor.

Un diagrama de bloques puede ser dibujado directamente de las ecuaciones (1.22), (1.23) y (1.25) como mostrado en la Fig. 1.12. 1 L --- 1 J_m --- -1 J_l ----

∫

R b k_e b_m K_a k + _ _ + + + _ + _ + _ _ _ θ·_m u i· i θm ·· θ··_l θ·_l θ_m θ_l b_l _

_x

₅

x

1

x

3

x

2

x

4 y

(15)

1.5 M´as ejemplos 11 Si se define el vector de estados de orden 5 como:

x=x1x2x3x4x5 T

=iθmθ˙mθl θ˙l

T

, (1.26)

y la ecuaciones de estado pueden ser escritas por inspecci´on del diagrama de bloques:

˙ x1= − R Lx1− ke Lx3+ 1 Lu, ˙ x2= x3, ˙ x3= Ka Jm x1− k Jm x2− b+ bm Jm x3+ k Jm x4− b Jm x₅, ˙ x4= x5, ˙ x5= k Jl x2+ b Jl x3− k Jl x4− b+ bl Jl x5. (1.27)

En forma matricial la ecuaci´on se puede escribir como:

˙ x=           −R_L 0 ₋ke L 0 0 0 0 1 0 0, Ka Jm − k Jm − b+ bm Jm k Jm b Jm 0 0 0 0 1 0 k Jl b Jl − k Jl − b+ bl Jl           x+        1 L 0 0 0 0        u. (1.28)

La ecuaci´on de salida es entonces:

y=0 0 0 1 0x. (1.29)

Se puede observar que el sistema motor DC con acoplamiento flexible es un sistema de orden 5: tiene 5 estados.

1 L --- 1 J_m --- -1 J_l ----

∫

R b k_e b_m K_a k + _ _ + + + _ + _ + _ _ _ θ·_m u i· i θm ·· θ··_l θ·_l θ m θ_l b_l _

_x

₅

x

1

x

3

x

2

x

4 y

(16)

1.5.3. Ejemplo: Diagrama de bloques del motor DC

El sistema electromec´anico anterior tiene un acoplamiento flexible entre las dos inercias rotacionales. Si se omite la flexibilidad, esto significa que el acoplamiento es completamente r´ıgido, luego las ecuaciones del sistema tendran una apariencia diferente al caso anterior.

Un acoplamiento r´ıgido significa que la constante de rigidez del resorte es infinita: k_≈∞. No se puede modificar los elementos de las matrices (1.27, 1.28) directamente debido a que algunos de ellos serian muy grande y esto no puede ser posible. Luego, se debe retornar al conjunto de ecuaciones en (1.22) y (1.23) y modicarlas. Es obvio que las dos posiciones angulares ahora seran igualesθm=θl=θ y el momento de inercia y los factores de fricci´on de los rodamientos seran la suma: J= Jm+ Jly bb= bm+ bl. Las dos ecuaciones se reducen a una sola ecuaci´on diferencial de segundo orden:

J ¨θ= Kai− bnθ˙. (1.30)

Las ecuaciones de la parte el´ectrica seran las mismas que antes y el nuevo diagrama de bloques es mostrado en la Fig. 1.13. 1 L --- 1 J --

∫

R k_e b_b K_a + _ _ + ₊ _ θ· u i· i θ·· θ x1 x3 x2 y

Figura 1.13 Diagrama de bloques del sistema reducido

El n´umero de estados del sistema reducido es 3 y el vector de estados es como sigue:

x=x1x2x3 T

=iθ θ˙T, (1.31)

y las ecuaciones de estado y salida resultan:

˙ x=      −R_L 0 ₋ke L 0 0 1, Ka J 0− bb J      x+    1 L 0 0    u y=0 1 0x. (1.32)

1.5.4. Ejemplo: Doble filtro pasa-baja RC

A continuación se mostrará como derivar un modelo espacio de estados de un la red eléctrica pasiva mostrada en la Fig. 1.14. Usando la leyes de Ohm y Kirchhoff en los tres lazos de corriente resulta:

ei= R1i1+ 1 C1 Z (i1− i2)dt, 0= 1 C1 Z (i2− i1)dt + 1 C2 Z i2dt+ R2i2 −eo= − 1 C2 Z i2dt . (1.33)

(17)

1.5 M´as ejemplos 13 Arreglando las ecuaciones,

R1i1= ei− 1 C1 Z (i1− i2)dt, R2i2= 1 C1 Z (i1− i2)dt − 1 C2 Z i2dt+ eo= 1 C2 Z i2dt , (1.34)

se llega al diagrama de bloques de la Fig. 1.15.

C1 C2 R₁ R2 e_i e_o i3=0 i2 i1

Figura 1.14 Red el´ectrica simple

Luego, derivando las ecuaciones de estado directamente del diagrama:

˙ x1= 1 C1 ₁ R1(u − x 1) − 1 R2 (x1− x2) , ˙ x2= 1 C2 1 R2 (x1− x2) , (1.35)

Acomodando el modelo espacio de estados es:

˙ x=    R1+ R2 C1R1R2 1 C1R2 1 C2R2 − 1 R2C2    x +   1 C1R1 0  u, y=0 1x (1.36) 1 R1 ---1 R2

---∫

∫

1 C1 ---1 C2 ---+ _ + _ + _ e_o=y e_i=u i1 i2 x1 x2

(18)

1.5.5. Ejemplo: Horno el´ectrico

La Fig. 1.16 muestra un horno aislado con calentamiento el´ectrico que contiene un producto a ser calentado. La temperatura del aire en el horno es Ts, las temperaturas del producto, material de aislamiento y aire del ambiente son Tg, Try Tarespectivamente. Se asume que todas las temperaturas son uniformes. La potencia para calentamiento que provee el elemento el´ectrico es q, y las potencias que entran al producto y aislamiento son qgy qr. El calor perdido en el aire del ambiente es qa.

q q_g q_r q_a T_s T_g T_a T_r Controlled power supply Insulation Product u

Figura 1.16 Horno calentado e´lectricamente

La potencia del elemento el´ectrico es controlada de forma lineal tal que:

q= ku, (1.37)

donde k es una constante de proporcionalidad.

Se asume que el intercambio de energ´ıa de calor es debido a convecci´on y por lo tanto las potencias y las temperat-uras estan relacionadas por:

qg= kg(Ts− Tg), qr= kr(Ts− Tr), qa= ka(Tr− Ta),

(1.38)

donde los coeficientes-k son parámetros de convección dependiendo del área y la naturaleza f´ısica de las superficies. Si la capacidad de calentamiento total del aire en el horno, del producto y del aislamiento se denota por Cs, Cgy Cr, se pueden formular las expresiones para la razón de variación de la temperatura de las diferentes partes del sistema. Luego se tiene que:

Cs dTs dt = q − qg− qr, Cg dTg dt = qg, Cr dTr dt = qr− qa. (1.39)

Un diagrama de bloques del modelo se puede ver en la Fig.1.17.

De la ecuaci´on diferencial (1.39) se puede determinar la siguiente elecci´on de variables de estado:

x=   x1 x2 x3  =   Ts Tg Tr   (1.40)

Con entrada u, el disturbio v= Tay la salida y= Tg, se puede obtener el conjunto de ecuaciones del modelo espacio de estados. Realizando la sustotuci´on apropiada en (1.39). El resultado es:

(19)

1.5 M´as ejemplos 15 ˙ x1= 1 Cs(ku − kg (x1− x2) − kr(x1− x3)) , ˙ x2= 1 Cg kg(x1− x2), ˙ x3= 1 Cr (kr(x1− x3) − ka(x3− v)), (1.41) o en la forma vectorial-matricial: ˙ x=        −kg_C+ kr s kg Cs kr Cs kg Cg − kg Cg 0 kr Cr 0 ₋kr+ ka Cr        x+    k Cs 0 0    u +    0 0 ka Cr    v, y=0 1 0x (1.42)

∫

k_g k_r ka

∫

1 Cs ---1 C_r ---1 C_g ---k + _ + _ + _ + _ _ + _ T_s Tg T_r T_a u y qg q_r qa Block diagram of the oven production system

Figura 1.17 Diagrama de bloques del sistema en Fig. 1.16

Fuente: Cap´ıtulos 2 y 3 del libro Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers, de Karl J. ˚Astr¨om y Richard M. Murray.

Fuente: Cap´ıtulo 1 del libro Dynamic Modeling and Control of Engineering Systems, de B. Kulakowski, J. Gardner y L. Shearer.

Fuente: Cap´ıtulo 2 del libro Linear Systems Control: Deterministic and Stochastic Methods, de E. Hendricks, O. Jannerup y P. Sorensen.

(20)

(21)

Cap´ıtulo 2

Linealizaci´on

El reemplazar un sistema no lineal por su aproximación lineal se denomina linealización. Una motivación para la linealización es que el comportamiento dinámico de muchos sistemas no lineales dentro de un rango de variables puede ser aproximado a modelos de sistemas lineales. Siendo ese el caso, podemos usar técnicas bien desarrolladas de análisis y s´ıntesis de sistemas lineales para analizar un sistema no lineal. Cabe destacar que se debe tener mucho cuidado cuando se realiza el análisis de sistemas linealizados ya que la intención no es introducir errores al analizar sistemas no lineales.

Consideremos el caso de un sistema (elemento no lineal) con una variable de estado x y una variable de salida y que est´an relacionadas por la siguiente ecuaci´on:

y= h(x), (2.1)

donde la funci´on h : R_{7→ R es cont´ınua y diferenciable; esto es h ∈ C}1. Consideremos xocomo el punto de operaci´on. Si expandemos h en la serie de Taylor alrededor del punto xose obtiene:

y= h(x), = h(xo) +

dh(xo)

dx (x − xo) + t´erminos de alto orden.

(2.2)

La linealizaci´on de h(x) alrededor del punto xoconsiste en reemplazar h por una aproximaci´on lineal de la forma:

y= h(xo) + dh(xo) dx (x − xo) y= yo+ dh(xo) dx (x − xo), (2.3)

donde yo= h(xo). Si ˜y = y − yoy ˜x= x − xo. Luego, podemos reescribir (2.3) como:

˜

y=dh(xo)

dx x˜, (2.4)

y sobre un rango peque˜no de ˜x, la linea (2.3) es una buena aproximaci´on de la curva y= h(x) en la vecindad del punto

de operación xo, ver Fig. 2.1 para una ilustración de la aproximación.

Si h : Rn_{7→ R, esto es, y = h(x}1, x2, ..., xn), que significa que la variable dependiente depende de varias variables -se puede aplicar el mismo principio. Sea:

xo=

x1o x2o ... xno

T

(2.5) el punto de operación. La expansión de la serie de Taylor de h alrededor del punto de operación xoresulta en:

y_{− h(x}o) =∇h(xo)T(x − xo) + t´erminos de alto orden, (2.6) donde: ∇h(xo)T = _∂_h ∂x1 x=xo ∂h ∂x2 x=xo ... ∂h ∂xn x=xo . (2.7) 17

(22)

18 2 Linealizaci´on y y0 x0 y ⫽ h(x) x y ⫽ y0⫹ (x ⫺ x0) dh(x0) dx

Figura 2.1 Aproximaci´on lineal de la funci´on y= h(x)

Geométricamente, la linealización de h alrededor de xose puede pensar como el localizar un plano tangente sobre una superficie no lineal en el punto de operación xo, como mostrado en la Fig. 2.2.

Tangent plane h(x0) x₀ x2 x1 y ⫽ h(x)

Figura 2.2 Plano tangente como aproximaci´on lineal de una funci´on de dos variables.

2.1. Linealizando ecuaciones diferenciales

Consideremos ahora un sistema din´amico modelado por un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales: dx1 dt = f1(x1, x2, ..., xn, u1, u2, ..., um), dx2 dt = f2(x1, x2, ..., xn, u1, u2, ..., um), .. .... dxn dt = fn(x1, x2, ..., xn, u1, u2, ..., um). . (2.8)

Asumiendo que las funciones fi, i= 1, 2, ..., n, son cont´ınuas y diferenciables. El conjunto de las ecuaciones arriba mostradas se puede representar en la forma vectorial por:

dx

(23)

2.1 Linealizando ecuaciones diferenciales 19 Sea ue=

u1e u2e ... uneT una entrada constante que fuerza al sistema (2.9) a que se asiente en un estado de equilibrio xe=

x1ex2e ... xne

T

; esto es, uey xesatisfacen:

f(xe, ue) = 0. (2.10)

Los estados de equilibrio son llamados tambi´en puntos estacionarios, puntos constantes o puntos de reposo, ya que si el sistema se ubica inicialmente en x= xe, luego permanecer´a en x(t) = xepara todo tiempo t≥ 0.

Por lo general cuando hablamos de la existencia de un ue6= 0 nos referimos a condiciones de operaci´on puesto que el sistema necesitar´ıa de esa inyecci´on ya sea de fuerza (torque, etc.) para mantenerse en el punto de equilibrio.

Cuando analizamos la din´amica de un sistema no forzado, hacemos ue= 0 y luego buscamos el punto de equilibrio xepara el sistema din´amico

dx

dt = f (x), es decir la solución de f (xe) = 0. En el caso de un sistema dinámico no forzado, éste puede presentar cero, uno o más puntos de equilibrio.

Para estudiar y analizar el comportamiento local del sistema alrededor del punto de equilibrio (xe, ue), se supone que tanto x_{− x}ecomo u− ueson pequeños, tal que perturbaciones no lineales pueden ser ignoradas en comparación a los términos lineales (de orden bajo). Este argumento es similar a cuando usamos aproximaciones de ángulos pequeños, reemplazando sinθ conθy cosθcon 1 paraθ cerca a cero.

Si ahora perturbamos el estado de equilibrio haciendo:

x= xe+ ˜x, u= ue+ ˜u. (2.11)

La expansi´on de la serie de Taylor resulta en: d dtx= f (xe+ ˜x, ue+ ˜u), = f (xe, ue) +∂ f ∂x(xe, ue) ˜x + ∂f

∂u(xe, ue) ˜u + t´erminos de alto orden,

(2.12) donde: ∂f ∂x(xe, ue) =       ∂f1 ∂x1 ... ∂f1 ∂xn .. . ... ∂fn ∂x1 ... ∂fn ∂xn       x= xe, u= ue y ∂f ∂u(xe, ue) =       ∂f1 ∂u1 ... ∂f1 ∂um .. . ... ∂fn ∂u1 ... ∂fn ∂um       x= xe, u= ue (2.13)

son las matrices Jacobianas de f con respecto a x y u, evaluadas en el punto de equilibrio,(xe, ue). N´otese que: d dtx= d dtxe+ d dtx˜= d dtx˜, (2.14)

porque xe es una constante. Adicionalmente, f(xe, ue) = 0, luego definiendo A ∈ Rn×n y B∈ Rn×mde la siguiente forma:

A=∂f

∂x(xe, ue) y B = ∂f

∂u(xe, ue). (2.15)

Finalmente, eliminando los t´erminos de orden alto, se llega a la siguiente aproximaci´on lineal: d

dtx˜= A ˜x + B ˜u. (2.16)

De forma similar, si las salidas del modelo del sistema no lineal son de la forma: y1= h1(x1, x2, ..., xn, u1, u2, ..., um), y2= h2(x1, x2, ..., xn, u1, u2, ..., um), .. . yp= hp(x1, x2, ..., xn, u1, u2, ..., um). . (2.17)

(24)

20 2 Linealizaci´on o en notaci´on vectorial:

y= h(x, u), (2.18)

entonces la expansión de la serie de Taylor puede ser usada nuevamente para llevar a la aproximación lineal de la ecuación de salida del sistema. Sea:

y= ye+ ˜y, (2.19) luego obtenemos: ˜ y= C ˜x + D ˜u, (2.20) donde: C=∂h ∂x(xe, ue) =       ∂h1 ∂x1 ... ∂h1 ∂xn .. . ... ∂hp ∂x1 ... ∂hp ∂xn       x= xe, u= ue ∈ Rp×n, (2.21) y, D=∂h ∂u(xe, ue) =       ∂h1 ∂u1 ... ∂h1 ∂um .. . ... ∂hp ∂u1 ... ∂hp ∂um       x= xe, u= ue ∈ Rp×m _(2.22)

son las matrices Jacobianas de h con respecto a x y u, evaluadas en el punto de operaci´on(xe, ue).

El hecho de que modelos lineales puedan ser usados para estudiar el comportamiento de un sistema no lineal cerca a los puntos de operación es bien importante. De hecho, lo que haremos en las próximas secciones es aprovechar esta aproximación local lineal de un sistema no lineal para diseñar leyes de control por realimentación que mantengan al sistema cerca al punto de equilibrio (diseño de dinámica). Entonces la realimentación se usará para hacer que las soluciones del sistema controlado permanezcan cerca al punto de operación, ver Fig. 2.3.

−2 −1 0 1 2 x₁ x2 0 π/2 π 3π/2 2π −2 −1 0 1 2 z₁ z2 −π −π/2 0 π/2 π

Figura 2.3 Comparación entre los planos de fase de un sistema no lineal (a) y su aproximación lineal alrededor del origen (b). Nótese que cerca al punto de equilibrio en el centro de las gráficas , los planos de fase (y como consecuencia la dinámica) es practicamente idéntica.

2.2. Ejemplo: Veh´ıculo a´ereo con impulsadores

Considere el movimiento de el veh´ıculo a´ereo, tal como el Harrier jump jet mostrado en la Fig. 2.4. El Harrier es capaz de despegar verticalmente al redireccionar los impulsadores principales hacia abajo y a trav´es del uso de

(25)

2.2 Ejemplo: Veh´ıculo aéreo con impulsadores 21 impulsadores pequeños de maniobra que están localizados en sus alas. Un modelo simplificado es mostrado en la Fig. 2.4(b) donde el enfoque del movimiento del veh´ıculo es en un plano vertical que corta las alas del veh´ıculo. Las ecuaciones de movimiento serán calculadas representando las fuerzas generadas por el impulsador principal y los impulsadores de maniobra como F1y F2(actuando a una distancia r por debajo del veh´ıculo).

(a) Harrier “jump jet”

r x y θ F₁ F₂ (b) Simplified model

Figura 2.4 (a) Veh´ıculo a´ereo con impulsadores y su (b) modelo simplificado donde el impulso neto ha sido descompuesto entre la fuerza horizontal F1y la fuerza vertical F2actuando a una distancia r del centro de masa.

Sea(x, y,θ) la posici´on y la orientaci´on del centro de masa del veh´ıculo. Sea m la masa del veh´ıculo, J el momento

de inercia, g la constante graviatacional y c el coeficiente de amortiguamiento. Luego las ecuaciones de movimiento son:

m ¨x= F1cosθ− F2sinθ− c ˙x, m ¨y= F1sinθ+ F2cosθ+ mg − c ˙y, J ¨θ = rF1.

(2.23)

Se cree conveniente redefinir las entradas tal que el origen sea considerado el punto de equilibrio del sistema con entrada cero. Haciendo u1= F1y u2= F2− mg, las ecuaciones resultan:

m ¨x_{= −mgsin}θ_{− c ˙x + u}1cosθ− u2sinθ, m ¨y= mg(cosθ− 1) − c ˙y + u1sinθ+ u2cosθ, J ¨θ = ru1.

(2.24)

Estas ecuaciones definen el movimiento del veh´ıculo como un conjunto de tres ecuaciones diferenciales acopladas. Describiendo la din´amica del veh´ıculo en la forma de espacio de estados:

dz dt =            z4 z₅ z6 −gsinz3− c mz4+ u1 mcosz3− u2 msinz3 −g(cosz3− 1) − c mz5+ u1 msinz3+ u2 mcosz3 u1 J r            , (2.25) donde z=x yθ x ˙˙y ˙θT.

(26)

22 2 Linealizaci´on

2.2.1. Modelo lineal del veh´ıculo a´ereo con impulsadores

Suponiendo que u1= 0 y u2= 0, la din´amica del sistema se simplica a:

dz dt =         z4 z5 z6 −gsinz3−_mcz4 −g(cosz3− 1) −_mcz5 0         . (2.26)

Los puntos de equilibrio del sistema est´an dados cuando se hacen cero las velocidades ˙x, ˙y y ˙θ y escogiendo las siguientes variables que satisfagan la siguiente ecuaci´on:

0 0 = −gsinz3e −g(cosz3e− 1) , → z3e=θe= 0. (2.27)

Entonces, el punto de equilibrio corresponde a la posición vertical del veh´ıculo. Nótese que xey yeno están especifi-cados. Esto ocurre porque nosotros podriamos trasladar el sistema a una nueva posición (más arriba) y todavia obtener un punto de equilibrio.

Calculando la matriz de estados A y la matriz de entrada B:

A= ∂f ∂z ze =         0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0_{−g −c/m} 0 0 0 0 0 0 _{−c/m 0} 0 0 0 0 0 0         , (2.28) B= ∂f ∂u ze =         0 0 0 0 0 0 1/m 0 0 1/m r/J 0         . (2.29)

Luego el sistema linealizado del veh´ıculo a´ereo con impulsores puede ser escrito como:

d dtx˜=         0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0_{−g −c/m} 0 0 0 0 0 0 _{−c/m 0} 0 0 0 0 0 0         ˜ x+         0 0 0 0 0 0 1/m 0 0 1/m r/J 0         ˜ u (2.30)

2.3. Ejemplo: manipulador rob´otico

(El siguiente problema ha sido adaptado de Snyder, W.E., Industrial Robots: Computer interfacing and control) En la Fig. 2.5 se muestra el manipulador robóticoθ_{− r. Un representación esquemática del robot es presentada en la Fig.} 2.7 donde se asume una configuración de masas concentradas. La masa m1= 10kg representa la masa del cilindro exterior y se ubica en el centro de masa del mismo. La constante r1= 1m designa la distancia fija entre el centro de masa del cilindro exterior y el centro de rotación. La masa de la carga es representada por m2= 3kg y se asume que está localizada al final de un pistón de un brazo telescópico cuya distancia radial r es medida a partir del centro

(27)

2.3 Ejemplo: manipulador robótico 23 de rotación. El ángulo de rotación del brazo manipulador esθ. Se asume que las entradas al sistema son el torque T_θ aplicado en el centro de rotación en la dirección del ánguloθy la fuerza traslacional (radial) Fraplicada en la dirección r. Despreciar la masa del cilindro interior. Usar g= 10m/sec2_{como aceleración de la gravedad.}

Figura 2.5 Manipulador robóticoθ_{− r} Figura 2.6 Representación esquemática manipuladorθ_{− r}

Construiremos las ecuaciones de movimiento del sistema en base a las ecuaciones de Lagrange y luego las repre-sentaremos en la forma espacio de estados.

2.3.1. Ecuaciones de movimiento usando Lagrange

Energ´ıa cin´etica (T ) Primero encontramos la energia cin´etica total del sistema. Para esto definimos las posiciones de la masa m1:

x1= r1cosθ, y1= r1sinθ.

N´otese que r1es una constante y que las posiciones de la masa m1hacen referencia al movimiento traslacional que experimenta el centro de masa del cilindro externo (masa concentrada). Diferenciando x1y y1con respecto al tiempo se obtiene:

˙

x1= −r1θ˙sinθ, ˙

y1= r1θ˙cosθ. La magnitud del cuadrado del vector velocidad de la masa m1es:

v2₁= ˙x12+ ˙y12= r21θ˙2sin2θ+ r21θ˙2cos2θ= r21θ˙2. Entonces, la energia cin´etica de la masa m1es: T1=1₂m1v21=12m1r

2 1θ˙2.

Ahora derivaremos una expresión para la energia cinética de la segunda masa. La posición de la masa m2es: x2= rcosθ,

y2= rsinθ.

N´otese que r no es una constante y que la posiciones de la masa m2hacen referencia al movimiento traslacional que experimenta la masa de carga (masa concentrada). Diferenciando x2y y2con respecto al tiempo se obtiene:

˙

x2= ˙rcosθ− r ˙θsinθ, ˙

y2= ˙rsinθ+ r ˙θcosθ. La magnitud del cuadrado del vector velocidad de la masa m2es:

(28)

24 2 Linealizaci´on Entonces, la energ´ıa cin´etica de la masa m2es: T2=1₂m2v22=12m2(˙r

2_{+ r}2_θ˙2_).

Energ´ıa potencial (V ) Ahora encontraremos la energ´ıa potencial del sistema. La energ´ıa potencial de la masa m1es: V1= m1gr1sinθ.

La energ´ıa potencial de la masa m2es:

V2= m2grsinθ.

Ecuaciones de movimiento La funci´on Lagrangiana (o Lagrangiano) para el sistema es:

L _{= T −V =} 1 2m1r 2 1θ˙2+ 1 2m2(˙r 2_{+ r}2_θ_˙2_{) − m} 1gr1sinθ− m2grsinθ.

El manipulador posee dos grados de libertad (r yθ). Luego, tenemos dos ecuaciones de movimiento para el sistema: d dt _∂_L ∂_θ˙ −∂_∂θL = Tθ d dt _∂_L ∂˙r −∂_∂L_r = Fr La primera ecuaci´on de movimiento resulta en:

m1r21θ¨+ m2r2θ¨+ 2m2r ˙r ˙θ+ gcosθ(m1r1+ m2r) = Tθ. La segunda ecuaci´on de movimiento viene a ser:

m2¨r− m2r ˙θ2+ m2gsinθ= Fr.

2.3.2. Representaci´on espacio de estados

Definiendo las siguientes variables:

z1=θ, z2= ˙θ, z3= r, z4= ˙r. Luego podemos escribir:

d dt     z1 z2 z3 z4     | {z } dz dt =        z2 −2m2z2z3z4− gcosz1(m1r1+ m2z3) + u1 m1r2₁+ m2z2₃ z4 z2₂z3− gsinz1+ u2 m2        | {z } f(z, u) , (2.31)

donde u1= Tθ y u2= Fr. Asumiendo que la salida est´a dada por la posici´on de la masa de carga, v1= x2= rcosθ y v2= y2= rsinθse tiene: v1 v2 |{z} v = z3cosz1 z3sinz1 | {z } h(z, u) , (2.32)

(29)

2.3 Ejemplo: manipulador rob´otico 25

2.3.3. Linealizaci´on

Para encontrar el modelo linealizado del manipulador rob´otico debemos calcular primero los puntos (estados) de equilibrio.

Puntos de equilibrio para entradas nulas Considerando entradas nulas (u1= 0 y u2= 0), el modelo del sistema resulta en: dz dt =       z2 −gcosz1(m1r1+ m2z3) m1r2₁+ m2z2₃ z4 −gsinz1       , (2.33)

e igualando las derivadas a cero, la ecuaci´on que debemos resolver es la siguiente:

0 0 =   −gcosz1(m1r1+ m2z3) m1r21+ m2z23 −gsinz1  , (2.34)

como no existe un z1tal que cosz1= 0 y sinz1= 0 simultáneamente, esto significa que el modelo no forzado que hemos considerado para el manipulador robótico no presenta puntos de equilibrio ze; es decir, el sistema dinámico analizado no presenta condiciones iniciales z(0) que tal que el sistema permanecerá en ese punto z(0) indefinidamente (¿coincide

esto con lo que te dice tu intuici´on?).

Punto de operaci´on (entradas constantes) Considerando entradas constantes (u1= u1e y u2= u2e) e igualando las derivadas a cero resulta:

    0 0 0 0    =        z2e −gcosz1e(m1r1+ m2z3e) + u1e m1r21+ m2z23 z4e −gsinz1e+ u2e m2        , (2.35)

Luego, el modelo del sistema ser´a linealizado alrededor del punto de equilibrio:

ze=

z1e 0 z3e 0T, donde z1ey z3esatisfacen las siguientes ecuaciones:

   cosz1e= u1e g(m1r1+ m2z3e) sinz1e= u2e gm2    .

Calculando los elementos de las matrices Jacobianas del sistema no lineal definido en (2.31) tenemos:

∂f1 ∂z1 = 0 ∂_∂f1 z2 = 1 ∂f1 ∂z3 = 0 ∂_∂f1 z4 = 0 ∂f2 ∂z1= gsinz1(m1r1+ m2z3) m1r21+ m2z23 ∂f2 ∂z2 = −2m2z3z4 m1r21+ m2z23 ∂f2 ∂z3 =−m2(2z2z4+ gcosz1)(m1r 2 1+ m2z23) − (−2m2z2z3z4− gcosz1(m1r1+ m2z3) + u1)(2m2z3) (m1r21+ m2z23)2 ∂f2 ∂z4 = −2m2z2z3 m1r21+ m2z23 ∂f3 ∂z1 = 0 ∂_∂f3 z2 = 0 ∂f3 ∂z3 = 0 ∂_∂f3 z4 = 1 ∂f4 ∂z1= −gcosz1 ∂f4 ∂z₂= 2z3 ∂f4 ∂z3 = z2 2 ∂f4 ∂z4 = 0 (2.36)

(30)

26 2 Linealizaci´on y, ∂f1 ∂u1 = 0 ∂f1 ∂u2 = 0 ∂f2 ∂u1 = 1 m1r21+ m2z23 ∂f2 ∂u2 = 0 ∂f3 ∂u1 = 0 ∂f3 ∂u2 = 0 ∂f4 ∂u1 = 0 ∂f4 ∂u2 = 1 m2 (2.37)

Adicionalmente, para la matriz de salida (2.32): ∂h1 ∂z1 = −z 3sinz1 ∂ h1 ∂z2 = 0 ∂h1 ∂z3 = cosz1 ∂ h1 ∂z4 = 0 ∂h2 ∂z1 = z3cosz1 ∂ h2 ∂z2 = 0 ∂h2 ∂z3 = sinz1 ∂ h2 ∂z4 = 0 , (2.38) y, ∂h1 ∂u1 = 0 ∂h1 ∂u2 = 0 ∂h2 ∂u1 = 0 ∂h2 ∂u2 = 0 , (2.39)

Evaluando las matrices Jacobianas en(ze, ue) tenemos:

∂f ∂x(ze, ue) =        0 1 0 0 ue2(m1r1+ m2z3e) m2(m1r12+ m2z23e) 0 −m2u1e (m1r21+ m2z3e2)(m1r1+ m2z3e) 0 0 0 0 1 −_m u1e 1r1+ m2z3e 2z3e 0 0        , (2.40) ∂f ∂u(ze, ue) =        0 1 1 m1r21+ m2z23e 0 0 0 0 1 m2        , (2.41) ∂h ∂x(ze, ue) =    −z3 ue2 gm2 0 u1e g(m1r1+ m2z3e) 0 z3e u1e g(m1r1+ m2z3e) 0 ue2 gm2 0    , (2.42) y ∂h ∂u(ze, ue) = 0 0 0 0 . (2.43)

Modelo lineal en la forma espacio de estados Usando las matrices Jacobianas arriba mencionadas y definiedo: ∂f ∂z(ze, ue) = A y ∂f ∂u(ze, ue) = B ∂h ∂z(ze, ue) = C y ∂h ∂u(ze, ue) = D

Luego las matrices correspondientes para la representaci´on espacio de estados lineal alrededor del punto de operaci´on

(31)

2.4 Ejemplo: manipulador rob´otico - incluyendo la din´amica del cuerpo r´ıgido 27 A=        0 1 0 0 ue2(m1r1+ m2z3e) m2(m1r2₁+ m2z2_3e) 0 −m2u1e (m1r2₁+ m2z_3e2)(m1r1+ m2z3e) 0 0 0 0 1 −_m u1e 1r1+ m2z3e 2z3e 0 0        , B =        0 1 1 m1r12+ m2z23e 0 0 0 0 1 m2        , (2.44) y: C=    −z3 ue2 gm2 0 u1e g(m1r1+ m2z3e) 0 z3e u1e g(m1r1+ m2z3e) 0 ue2 gm2 0    , D = 0 0 0 0 , (2.45)

La representaci´on espacio de estados lineal queda de la siguiente forma:

d ˜z dt =        0 1 0 0 ue2(m1r1+ m2z3e) m2(m1r21+ m2z23e) 0 −m2u1e (m1r21+ m2z3e2)(m1r1+ m2z3e) 0 0 0 0 1 −_m u1e 1r1+ m2z3e 2z3e 0 0        ˜z+        0 1 1 m1r21+ m2z23e 0 0 0 0 1 m2        ˜ u (2.46) ˜ v=    −z3 ue2 gm2 0 u1e g(m1r1+ m2z3e) 0 z3e u1e g(m1r1+ m2z3e) 0 ue2 gm2 0    ˜z+ 0 0 0 0 ˜ u. (2.47)

2.3.4. Ideas adicionales acerca del modelo

Si asumimos que r= cte = r1 y que el objetivo es mantener θ =π/2, entonces el problema del manipulador robótico se puede interpretar como un péndulo invertido con masa m1+ m2. ¿Qué pasa cuandoθ=π/2 y r = cte > r1, qué sistema tenemos?.

Otra simplificaci´on del modelo se puede dar cuando se consideraθ= 0 y r variable, en ese caso podemos hablar de

traslaci´on de la masa de carga en la direcci´on horizontal.

2.4. Ejemplo: manipulador rob´otico - incluyendo la din´amica del cuerpo r´ıgido

(El siguiente problema ha sido adaptado de Snyder, W.E., Industrial Robots: Computer interfacing and control) En la Fig. 2.7 se muestra el manipulador robóticoθ_{− r. Un representación esquemática del robot es presentada en la Fig.} 2.8. La masa mo= 10kg representa la masa del cilindro exterior y se ubica en el centro de masa del cilindro exterior, Io representa el momento de inercia del cilindro exterior con respecto a su centro de masa. La constante ro

2 = 1m designa la distancia fija entre el centro de masa del cilindro exterior y el centro de rotación. La masa de la carga es representada por ml= 3kg y se asume que está localizada al final de un pistón de un brazo telescopico cuya distancia radial r es media a partir del centro de rotación. El ángulo de rotación del brazo manipulador esθ. El cilindro interno del brazo telescópico tiene masa mi= 2kg y momento de inercia igual a Ii. Asuma que las entradas al sistema son el torque Tθ aplicado en el centro de rotación en la dirección del ánguloθy la fuerza traslacional (radial) Fraplicada en la dirección r. Usar g= 9,8m/sec2_{como aceleración de la gravedad.}

Construiremos las ecuaciones de movimiento del sistema en base a las ecuaciones de Lagrange y luego las repre-sentaremos en la forma espacio de estados.

(32)

28 2 Linealizaci´on

Figura 2.7 Manipulador rob´oticoθ_{− r}

Io, mo, ro

Ii, mi, ro ml

Figura 2.8 Representaci´on esquem´atica manipuladorθ_{− r}

2.4.1. Ecuaciones de movimiento usando Lagrange

Energ´ıa cinética Primero encontramos la energia cinética total del sistema. La energia cinética traslacional es obtenida definiendo las posiciones de los centros de masa de los cilindros externo e interno con masas moy mi, y la posición de la masa de carga ml: xo=1₂rocosθ, yo=1₂rosinθ. xi= (r −1₂ro)cosθ, yi= (r −1₂ro)sinθ. xl= rcosθ, yl= rsinθ.

N´otese que roes una constante, mientras que r no lo es. Diferenciando x e y con respecto al tiempo se obtiene: ˙

xo= −ro1₂θ˙sinθ, ˙

yo= ro1₂θ˙cosθ. ˙

xi=1₂˙rcosθ−1₂r ˙θsinθ+1₂roθ˙sinθ, ˙

yi=1₂˙rsinθ+1₂r ˙θcosθ₋1₂roθ˙cosθ.

˙

xl= ˙rcosθ− r ˙θsinθ, ˙

yl= ˙rsinθ+ r ˙θcosθ.

La magnitud del cuadrado del vector velocidad de los centros de masa de los cilindros exterior e interior, y de la masa de la carga es:

v2_o= ˙xo2+ ˙yo2= r_o2 4 ˙ θ2_sin2_θ₊ro2 4 ˙ θ2_cos2_θ_{= r}2 o 1 4 ˙ θ2_. v2_i = ˙x2i+ ˙y2i = 1 4(˙rcosθ+ (ro− r) ˙θsinθ) 2₊1 4(˙rsinθ− (ro− r) ˙θcosθ) 2₌1 4˙r 2₊1 4(ro− r) 2_θ_˙2_. v2_l = ˙xl2+ ˙yl2= (˙rcosθ− r ˙θsinθ)2+ (˙rsinθ+ r ˙θcosθ)2= ˙r2+ r2θ˙2.

Entonces, la energia cin´etica traslacional de los cilindros y masa de carga respectivamente es:

Tto= 1 2mov 2 o= 1 2 1 4mo(r 2 oθ˙2). Tti= 1 2miv 2 i = 1 2 1 4mi(˙r 2_{+ (r} o− r)2θ˙2).