6. M´ etodo de los elementos finitos
6.7. Problemas con advecci´ on dominante M´ etodo de Petrov-Galerkin
N0e =1/2ξ(1 − ξ) Ne
1 = (1 + ξ)(1 − ξ) N2e=1/2ξ(1 + ξ) (6.51)
y para el caso c´ubico N0e = −9 16(ξ + 1 3)(ξ − 1 3)(ξ − 1) N e 1 = 27 16(ξ + 1)(ξ − 1 3)(ξ − 1) N2e = −27 16(ξ + 1)(ξ + 1 3)(ξ − 1) N e 3 = 9 16(ξ + 1 3)(ξ − 1 3)(ξ + 1) (6.52)
6.7.
Problemas con advecci´on dominante - M´etodo de Petrov-
Galerkin
Como ya hemos visto al introducir los m´etodo de los residuos ponderados estos m´etodos se basan en definir funciones de peso diferentes a las elegidas para interpolar la soluci´on, lo cual da or´ıgen a una gran variedad de posibilidades. Lo que se pretende aqu´ı es introducir este tema que inmediatamente encontrar´a su utilidad cuando se pretenda resolver problemas dominados por advecci´on, naturalmente hallados en problemas de mec´anica de fluidos.
Nuestro inter´es por este tema surge de la gran popularidad que ha tomado este tipo de formula- ciones en el ´area de la mec´anica de fluidos, especialmente el m´etodo denominado SUPG. Si bien no es nuestro inter´es aqu´ı hacer historia sobre este tema podemos mencionar que la idea del m´etodo SUPG fue tratar de buscar el efecto producido por las ya conocidas y efectivas t´ecnicas de upwinding para evitar oscilaciones num´ericas producidas cuando en las ecuaciones de transporte dominan los t´erminos convectivos sobre los restantes. La siguiente es un ejemplo t´ıpico de una ecuaci´on de transporte donde el miembro izquierdo representa la convecci´on y es proporcional a la velocidad con que se mueve el fluido mientras que el miembro derecho es el t´ermino difusivo, si φ es la temperatura equivale a la conducci´on del calor.
udφ dx = κ
d2φ
dx2 (6.53)
Entonces adimensionalizando la ecuaci´on anterior surge el n´umero de Peclet, P e = |u|L
κ (6.54)
relaci´on entre la convecci´on y la difusi´on, con L una dimensi´on caracter´ıstica del problema. Si barremos el valor de Peclet desde 0 → ∞ vemos que la ecuaci´on cambia de tipo, de ser una el´ıptica pasa a ser hiperb´olica y este cambio depende sobre la competencia entre los t´erminos convectivos y los difusivos. Al resolver el problema por diferencias finitas centradas aparecen oscilaciones cuando el Peclet de la grilla supera un valor pr´oximo a la unidad. La t´ecnica del upwindind surgi´o en el ´area de las diferencias finitas como intento de evitar las mencionadas oscilaciones y fue planteada sobre la base de aplicar una aproximaci´on en diferencias decentrada a la derivada primera. El decentraje deb´ıa hacerse aguas arriba considerando la orientaci´on del flujo y esto pudo explicarse desde muchos puntos de vista. Uno de los m´as importantes es aquel ligado al concepto de error de truncamiento explic´andose la aparici´on de las oscilaciones del hecho que al truncar la aproximaci´on centrada esta
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introduce una especie de difusi´on num´erica negativa que compite con la f´ısica. Existe un cierto valor del n´umero de Peclet para el cual la difusi´on num´erica supera a la f´ısica y de acuerdo a argumentos termodin´amicos se viola el segundo principio y el problema pasa a estar mal planteado. Para ver mejor esto recurrimos nuevamente a la ecuaci´on de advecci´on-difusi´on en 1D y la discretizamos por diferencias finitas centradas, lo cual es completamente equivalente a haberlo hecho por m´etodo de los elementos finitos . El esquema resultante es:
aφi+1− φi−1 2∆x = k
φi+1− 2φi+ φi−1
∆x2 P e(φi+1− φi−1) = φi+1− 2φi+ φi−1
(6.55) con P e = a∆x2k es el n´umero de Peclet del elemento y aqu´ı hemos asumido coeficientes constantes y malla uniforme. La soluci´on exacta a este problema es del tipo:
φi = ξi (6.56)
que reemplazada en la ecuaci´on produce la siguiente ecuaci´on algebraica de segundo grado: ξ2(P e − 1) + 2ξ − (P e + 1) = 0 (6.57) la cual produce las siguientes ra´ıces:
ξ1,2= ( 1 1+P e 1−P e (6.58) Vemos que si P e = 1 la ecuaci´on degenera en una de primer grado con la soluci´on ξ = 1 o sea φ = constante. Si P e < 1 las dos ra´ıces son positivas lo cual genera soluciones positivas, combinaciones de la soluci´on constante y otra del tipo φ = 1+P e1−P ei. El problema surge cuando P e > 1 ya que en este caso una de las ra´ıces es negativa y genera soluciones del tipo φ = (−1)i 1+P e
|1−P e| i
. Esta soluci´on contiene una oscilaci´on num´erica que puede arreglarse refinando el elemento siempre que exista algo de difusi´on en el problema, o sea que el P e 6= ∞. Extrapolando al caso de mec´anica de fluidos esta situaci´on se presenta en el caso de flujo viscoso (Navier-Stokes) cuando el Reynolds del elemento supera un valor cr´ıtico, del ´orden de la unidad. Una situaci´on extrema ocurre en el caso de los modelos inv´ıscidos. All´ı la difusi´on f´ısica es nula y por m´as que refinemos el P e → ∞, generando las raices ξ = ±1 , lo cual implica una oscilaci´on irremediable. Usando diferencias finitas descentradas aguas arriba equivale a que la raiz negativa introducida por el t´ermino cuadr´atico, o sea el nodo aguas abajo, sea removida. Es por ello que es usual aproximar la primera derivada con una diferencia hacia atr´as, de forma de que ahora el esquema es:
aφi− φi−1 ∆x = k
φi+1− 2φi+ φi−1
∆x2 2P e(φi− φi−1) = φi+1− 2φi+ φi−1
(6.59) El caso de P e → ∞ transforma la ecuaci´on de segundo grado en otra de primer grado, lo cual genera una ´unica soluci´on (constante) lo cual tiene sentido f´ısico ya que el operador diferencial tambi´en cambia de tipo (´orden) cuando sucede esto.
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El upwind puede verse como el agregado de viscosidad artificial o difusi´on artificial en pos de contrarestar la difusi´on negativa que introduce la discretizaci´on. Controlar esta difusi´on agregada artificialmente es importante ya que si nos excedemos la soluci´on es sobredifusiva y estamos resolviendo un problema con mayor difusi´on que la real, y por el lado contrario si no introducimos la suficiente aparecer´an oscilaciones no f´ısicas. Para ver esto se puede partir de la ecuaci´on discreta centrada (6.55) y restarle la reci´en obtenida (6.59), lo cual pone en evidencia el t´ermino introducido artificialmente:
a 2∆x φi+1− 2φi+ φi−1 = a∆x 2 φi+1− 2φi+ φi−1 ∆x2 = (6.60)
con a∆x2 funcionando como una especie de difusi´on artificial.
Lo anterior se lo conoce como la t´ecnica de full upwind. Se sabe que esto es correcto solo cuando P e → ∞ y que cuando P e asume valores pr´oximos al valor cr´ıtico la difusi´on introducida debe ser corregida para evitar soluciones muy suavizadas. Para ello se ha recurrido al caso unidimensional lineal el cual tiene soluci´on exacta y se ha demostrado que la forma de corregir es introducir una funci´on denominada m´agica del tipo:
ψ(P e) = coth(P e) − 1
P e (6.61)
En el contexto del m´etodo de los elementos finitos el mismo efecto puede lograrse de varias formas, por ejemplo mediante el uso del m´etodo de los residuos ponderados Petrov-Galerkin. Tomando la ecuaci´on (6.53). Z Ω Wlu d ˆφ dx − dWl dx κ d ˆφ dx = 0 (6.62)
y definiendo a la funci´on de peso como:
Wl= Nl+ τ u
dNl
dx (6.63)
donde el primer t´ermino reproduce el m´etodo de Galerkin mientras que el segundo es una pertur- baci´on cuyo efecto en la matriz es tal que al ser aplicado a un t´ermino proporcional a dφdx produce un t´ermino similar a uno difusivo. El par´ametro τ debe ajustarse en funci´on de la cantidad de pertur- baci´on (difusi´on artificial) a agregar. De todos modos existen muchos trabajos que dan cuenta de la buena confiabilidad de la definici´on:
τ = ψ(P e) 1
||dξdxu|| (6.64)
donde ||dxdξu|| equivale al vector velocidad transformado al elemento m´aster y la funci´on ψ(P e) es la llamada funci´on m´agica definida m´as arriba.
Un aspecto de importancia es la continuidad de las funciones de peso. Seg´un la definici´on Nl ∈ C0,
luego Wl ∈ C−1 con lo cual se plantea una dificultad matem´atica que ha sido muy bien estudiada. Sin
entrar en detalles las conclusiones han sido que el problema se suscita en los bordes entre elementos y que la formulaci´on variacional que surge del planteamiento de la forma d´ebil del m´etodo de los residuos ponderados arroja la satisfacci´on de las ecuaciones en el interior de los elementos y de los flujos en los bordes.
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