TP.chapV– Trabajo Pr´ actico #2

1. Tome la rutina Ej 2 0.m y transf´ormela para ser usada con funciones de prueba del tipo Nm =

sin(mπx). Comience con M = 2 y ref´ınelo para testear la convergencia de la aproximaci´on. 2. Demuestre que la aproximaci´on por residuos ponderados del tipo Galerkin, tomando como fun-

ciones de prueba la base Nm= sin(mπx/Lx) conduce a un sistema de ecuaciones con una matriz

diagonal.

3. Un ensayo experimental sobre la deflecci´on u(x, y) de una placa cuadrada de lado unitario con todo su contorno empotrado dio como resultado los valores que se muestran en la figura.

0.5

1.0

0.5

0.75

0.75

1.75

0.25

0.25

1.25

∆

x

∆

y

Figura 5.5: Ej. 3 Torsi´on de una barra Aproximar la deflecci´on mediante

ˆ u(x, y) = ψ(x, y) + M X l,m=1 l+m≤4 almsin(lπx) sin(mπy) (5.70)

y usando el m´etodo de los residuos ponderados estimar los coeficientes alm. Ayuda: las integrales

que aparecen del c´alculo de los coeficientes pueden resolverse mediante integraci´on num´erica usando regla del trapecio bidimensional

4. Mediante el uso de un adecuado conjunto de funciones de prueba aproxime la funci´on φ = 1 + sin(πx/2) en el rango 0 ≤ x ≤ 1. Utilice colocaci´on puntual, colocaci´on por subdominios y el m´etodo de Galerkin e investigue num´ericamente la convergencia de las sucesivas aproximaciones. 5. La rutina Ej 2 1 contiene la resoluci´on del problema de valores de contorno presentado en las

Cap´ıtulo 5. T´ecnicas de discretizaci´on

Secci´on 5.1. M´etodo de los residuos ponderados

notas te´oricas:

d2φ

dx2 − φ = 0

φ(x = 0) = 0 φ(x = 1) = 1

(5.71)

El mismo se ha usado con M = 2 t´erminos en la expansi´on. Pruebe de modificar la cantidad de t´erminos y trace una curva donde se muestre la convergencia de cada uno de los m´etodos. 6. Resuelva el ejercicio anterior pero utilizando como conjunto de funciones de prueba la base

Nm = xm(1 − x). Construya una rutina en base a la Ej 2 1 para resolver este problema y

muestre la convergencia de la misma. Saque conclusiones respecto a los obtenido en este ejercico y el anterior.

7. Utilizando como base la rutina Ej 2 2 realice las modificaciones necesarias para realizar un estudio de convergencia de la aproximaci´on. Tenga en cuenta de mantener la simetr´ıa en la elecci´on de las funciones de prueba y utilice las propiedades de ortogonalidad para calcular la matriz de coeficientes.

8. Utilice el m´etodo de los residuos ponderados aplicado al residuo en el dominio interior y agregado el proveniente del contorno para resolver el problema de la torsi´on de la barra definido en la teor´ıa. Utilice una expansi´on del tipo

ˆ

φ = (4 − y2)(a1+ a2x2+ a3y2+ a4x2y2+ a5x4)

que satisface la condici´on de contorno en y = ±2 pero no satisface aquella en x = ±3. Elija Wl=

Nly Wl= Nl|Γy obtenga el sistema de ecuaciones a resolver y la soluci´on. Estudie la convergencia

dl residuo al tomar diferente cantidad de t´erminos en la expansi´on arriba presentada. Sugerencia: Realice un programa del tipo Ej 2 2 para el mismo y para resolver las integrales use integraci´on num´erica

9. Condiciones de contorno naturales Resolver el problema de conducci´on t´ermica estacionaria ∂2φ ∂x2 + ∂2φ ∂y2 = 0 φ = 0 y = ±1(Γφ) ∂φ ∂n = cos(πy/2) x = ±1(Γq) κ = 1 (5.72)

usando como funci´on aproximante ˆ

φ = (1 − y2)(a1+ a2x2+ a3y2+ a4x2y2+ a5x4)

Utilice la rutina Ej 2 3 para este fin.

Cap´ıtulo 5. T´ecnicas de discretizaci´on

Secci´on 5.1. M´etodo de los residuos ponderados

10. M´etodo de los elementos de contorno - Torsi´on de una viga. El problema de la torsi´on de una viga definido en la teor´ıa

∂2φ ∂x2 + ∂2φ ∂y2 = −2 en Ω = [−3, 3] × [−2, 2] φ = 0 en Γ (5.73)

puede ser transformado a una ecuaci´on de Laplace mediante la siguiente igualdad: φ = θ −1_/2(x2_{+ y}2₎

Usando el m´etodo de los residuos ponderados aplicado solo al contorno y la siguiente base de funciones

ˆ

θ = a1+ a2(x2− y2) + a3(x4− 6x2y2+ y4)

hallar la soluci´on aproximada ˆφ y compararla con la obtenida por el m´etodo de los residuos ponderados aplicado al interior.

11. Sistema de ecuaciones diferenciales El problema de conducci´on t´ermica

∂ ∂x(κ ∂φ ∂x) + ∂ ∂y( ∂φ ∂y) + Q = 0 en Ω φ(x = 0) = 0 q(x = 1) = 0 (5.74)

puede descomponerse en un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden del tipo: q + κdφ

dx = 0 dq

dx − Q = 0

(5.75)

siendo el vector inc´ognita φ = q φ



. Usando la aproximaci´on: Nm,1= xm−1(1 − x)

Nm,2= xm

(5.76) calcular la soluci´on a este problema usando dos t´erminos.

12. Ejemplo : Problemas no lineales Resolver la ecuaci´on no lineal

d dx(κ dφ dx) = −10x φ(x = 0) = 0 φ(x = 1) = 0 κ = 1 + 0.1φ (5.77)

Cap´ıtulo 5. T´ecnicas de discretizaci´on

Secci´on 5.1. M´etodo de los residuos ponderados

usando como funciones de prueba la base Nm= xm(1 − x) con dos t´erminos mediante un m´etodo

de los residuos ponderados por colocaci´on puntual.

Cap´ıtulo 6

M´etodo de los elementos finitos

6.1.

Introducci´on

El m´etodo de los residuos ponderados presentado en el cap´ıtulo anterior sirvi´o como una teor´ıa unificadora de una gran cantidad de m´etodos num´ericos a la vez que en s´ı mismo puede concebirse como una t´ecnica num´erica en particular. Esa t´ecnica com´unmente denominada m´etodo espectral goza de ciertas ventajas siendo su principal desventaja la de estar muy restringida a dominios con geometr´ıas muy simples como zonas rectangulares, paralelep´ıpidos u otras mapeables a las anteriores. Este no es el caso que m´as interesa a los ingenieros de las ´ultimas d´ecadas los cuales requieren herramientas computacionales de c´alculo que permitan tratar dominios arbitrarios. Si bien en el procedimiento antes empleado uno planteaba la aproximaci´on de forma tal de satisfacer las condiciones de contorno, hemos visto que existe la posibilidad de elegir funciones m´as generales que no satisfacen las condiciones de contorno y para las cuales un m´etodo de los residuos ponderados que incluya el residuo en el contorno debe plantearse. Esto provocaba la aparici´on de integrales adicionales sobre el contorno de dif´ıcil tratamiento anal´ıtico. En los m´etodos empleados en el cap´ıtulo anterior trabajamos en el espacio transformado en lugar que en el espacio f´ısico y esto puede verse de inmediato si pensamos que el vector de inc´ognitas a = {a1, a2, . . . , aM} representan las amplitudes de diferentes componentes ondulatorias

de la soluci´on y no el valor de la inc´ognita del problema en cada posici´on de la malla. Una idea explorada en los ´ultimos tiempos es la de trabajar con m´etodos espectrales pero en el dominio f´ısico del problema. Entonces para poder aplicar todo lo anterior es necesario hacer una transformaci´on al dominio de la frecuencia para luego volver al dominio f´ısico con la soluci´on del problema. Trabajar en el dominio f´ısico del problema permite descomponer espacialmente el problema asi como el m´etodo espectral lo descompone en el espacio de las frecuencias. Esta descomposici´on del dominio en pedazos (elementos, vol´umenes, celdas, etc) de tama˜no finito le confiere el nombre al m´etodo. Aqu´ı esta la gran idea en torno a estas t´ecnicas las cuales no requieren demasiado trabajo para especificar las funciones de prueba ya que al ser de soporte compacto aproximan bien la mayor´ıa de las funciones a´un siendo de bajo orden. A su vez las integrales a calcular para obtener los coeficientes de la matriz y del vector miembro derecho son integrales sobre elementos que tienen una forma completamente mapeable a un cuadrado o cualquier otra figura geom´etrica simple (tri´angulos) lo cual permite su c´alculo en forma muy sencilla, tanto anal´ıticamente como mediante cuadratura num´erica. En cuanto a las condiciones de contorno estas presentan un tratamiento mucho m´as simple debido a que las