1. Usando funciones delta de Dirac en las coordenadas indicadas, exprese las si- guientes densidades de carga:
a) Una carga q uniformemente distribuida sobre un cascarón esférico de radio a, en coordenadas esféricas.
b) Una carga uniforme por unidad de longitud λ distribuida sobre una super - cie cilíndrica de radio b, en coordenadas cilíndricas.
c) Una carga q distribuida uniformemente sobre un disco de radio R y espesor despreciable, en coordenadas cilíndricas.
d) Igual que c), pero en coordenadas esféricas.
2. Dos planos conductores paralelos e in nitos se encuentran en x = 0 y x = b, y tienen potenciales V1 y V2, respectivamente. Hay un plasma con densidad de
carga constante ρo en el espacio entre los planos.
a) Encuentre el potencial en todo punto entre los planos.
b) Encuentre la densidad de carga super cial sobre el plano en x = 0. c) Calcule el campo eléctrico entre los planos.
3. Una carga Q se distribuye en una esfera no conductora de radio a. Encuentre la energía electrostática de la con guración en los siguientes casos:
a) La carga se distribuye uniformemente en el volumen de la esfera. b) La carga se distribuye uniformemente en la super cie de la esfera. c) Explique por qué los resultados a) y b) son diferentes.
4. El potencial promedio de un átomo de hidrógeno se puede expresar como ϕ = qe −2r/ao r 1 + r ao ,
donde q es la magnitud de la carga del electrón y ao es el radio de Bohr.
a) Encuentre la distribución de carga que produce este potencial. b) Calcule la carga orbital total del átomo de hidrógeno.
c) Interprete físicamente los resultados.
5. Una carga q se encuentra a una distancia a perpendicular a un cable recto in nito y muy delgado que posee una densidad lineal de carga λ. Calcule la fuerza sobre la carga q.
1.10. PROBLEMAS. 57 6. Una carga q se distribuye uniformemente sobre un anillo de radio a. Calcule la frecuencia para pequeñas oscilaciones de una partícula de masa m y carga −q que se mueve sobre el eje perpendicular al plano del anillo y que pasa por su centro.
7. Tres esferas conductoras concéntricas de radios R1, R2, y R3 (R1 < R2 < R3)
poseen potenciales V1, V2, y V3, respectivamente. Determine la carga de cada
esfera.
8. Una pompa de jabón de radio 1 cm se encuentra a un potencial de 100 voltios. Si la pompa colapsa hasta un radio de 1 mm, ¾cuál es el cambio en su energía electrostática?
9. Considere una esfera de radio a y con carga total q. En un caso, la esfera es conductora; en otro caso, la esfera tiene una densidad uniforme de carga; y en una tercera situación, la esfera posee una densidad de carga que varía radialmente como rn, con n > −3.
a) Calcule el campo eléctrico dentro y fuera de la esfera en cada caso.
b) Dibuje esquemáticamente el campo eléctrico en función de la distancia radial r en los dos primeros casos; y para n = 2 y n = −2 en el tercer caso.
10. Una lámina plana in nita, con densidad de carga super cial uniforme σ, tiene un agujero circular de radio a. Una carga q se encuentra a una distancia z sobre el eje perpendicular al plano de la lámina que pasa por el centro del agujero. Calcule la dirección y magnitud de fuerza sobre la carga q.
11. Un cable coaxial in nito está formado por un conductor cilíndrico interior de radio a sujeto a un potencial Vo y otro conductor cilíndrico exterior de radio
b, conectado a tierra. Encuentre la densidad de carga lineal λ en el conductor interior.
12. Una esfera de radio R posee una densidad de carga uniforme ρ y tiene una cavidad esférica no concéntrica de radio a (a < R). El centro de la cavidad se encuentra a una distancia b del centro de la esfera. Calcule la energía elec- trostática en la cavidad.
13. Calcule la capacitancia de un sistema formado por dos esferas conductoras concéntricas, de radios R1 y R2.
14. Dos cilindros conductores muy largos y paralelos, ambos de radio a, están sepa- rados por una distancia d a. Calcule la capacitancia por unidad de longitud de este sistema.
15. Dos dipolos idénticos p = pˆz se encuentran en posiciones (−a, 0, 0) y (a, 0, 0). a) Calcule la fuerza ejercida por los dipolos sobre una carga q ubicada en la posición (d, 0, 0).
b) ¾Cúál sería la fuerza sobre un dipolo p0 = −pˆz ubicado en (d, 0, 0)?
16. Calcule la capacitancia de un sistema formado por dos esferas conductoras concéntricas, de radios R1 y R2.
17. La densidad de carga correspondiente a los estados m = ±1 del nivel 2p del átomo de hidrógeno es
ρ(r) = 1 64πr
2e−r
sin2θ .
a) Calcule la expansión multipolar del potencial eléctrico debido a esta densidad de carga, incluyendo términos cuadrupolares.
b) Demuestre que el potencial cerca del origen, correcto hasta orden r2, es
aproximadamente
ϕ(r) ' 1 4−
r2
Capítulo 2
Problemas de frontera en
Electrostática
2.1 Teorema de Green.
Muchos problemas en Electrostática involucran la determinación del potencial (o el campo) eléctrico en regiones nitas del espacio que pueden contener distribuciones de carga y que se encuentran limitadas por super cies sujetas a determinadas condiciones de frontera. Para encontrar la solución a este tipo de problemas, resulta útil el Teorema de Green, el cual derivamos a continuación.
Consideremos el teorema de la divergencia para un campo vectorial A en un volumen V , limitado por una super cie cerrada S,
Z V ∇ · A d3r = I S A · ˆn da . (2.1)
Supongamos A = θ∇ψ; donde θ y ψ son funciones escalares arbitrarias de r. Usamos la identidad vectorial
∇ · (θa) = a · ∇θ + θ∇ · a. (2.2)
Haciendo a = ∇ψ, obtenemos
∇ · A = ∇ · (θ∇ψ) = ∇ψ · ∇θ + θ∇2ψ. (2.3)
Por otro lado
A · ˆn = θ∇ψ · ˆn = θ∂ψ
∂n, (2.4)
donde ∇ψ · ˆn = ∂ψ
∂n es la derivada de ψ en la dirección normal ˆn a la super cie S,
que apunta hacia fuera de S.
Figura 2.1: Volumen V encerrado por super cie S; vector normal a la super cie ˆn.
Sustituyendo en la Ec. (2.1), Z V θ∇2ψ + ∇ψ · ∇θ d3r = I S θ∂ψ ∂nda. (2.5)
La Ec. (2.5) se denomina la primera identidad de Green. Intercambiando θ y ψ en la Ec. (2.5), tenemos
Z V ψ∇2θ + ∇θ · ∇ψ d3r = I S ψ∂θ ∂nda. (2.6)
Restando la Ec. (2.6) de la Ec. (2.5), obtenemos Z V θ∇2ψ − ψ∇2θ d3r = I S θ∂ψ ∂n − ψ ∂θ ∂n da . (2.7)
La Ec. (2.7) se conoce como el Teorema de Green, y se puede considerar como una generalización del teorema de la divergencia.
Ejemplos.
1. Demostrar que un campo vectorial v está unívocamente determinado en una región del espacio si se conocen su divergencia y su rotacional en esa región.
2.1. TEOREMA DE GREEN. 61 Sean
∇ · v = s (2.8)
∇ × v = c (2.9)
la divergencia y el rotacional de v, respectivamente, y llamemos vn la compo-
nente normal de v sobre la super cie S que encierra al volumen V de la región del espacio.
Supongamos que existe un segundo vector u que satisface las mismas condi- ciones de divergencia y rotacional, y que posee la misma normal sobre S, un= vn. De namos el vector
w = v − u. (2.10)
Sobre la super cie S, tenemos wn= vn− un= 0. Entonces, w satisface
∇ · w = 0, (2.11)
∇ × w = 0. (2.12)
La Ec. (2.12) implica que podemos escribir
w = ∇ψ, (2.13)
debido a la identidad ∇×(∇ψ) = 0, para toda función ψ. Entonces, la Ec. (2.11) conduce a
∇2ψ = 0. (2.14)
Usamos la primera identidad de Green, en la forma Z V θ∇2ψ + ∇ψ · ∇θ d3r = I S θ ∇ψ · ˆn da (2.15)
Esta identidad es válida ∀ θ, ψ; en particular para θ = ψ, donde ψ satisface Eqs. (2.13) y (2.14). Entonces, la identidad Ec. (2.15) se puede expresar como
Z V (w · w) d3r = I S ψ ∇ψ · ˆn da = I S ψ wnda = 0. (2.16)
Puesto que w · w = w2 ≥ 0, la Ec. (2.16) implica que w = v − u = 0 en V .
Luego v = u, y por lo tanto, el vector v es único.
En particular, las ecuaciones de la Electrostática, más una condición de fron- tera para E sobre S, garantizan la existencia de una solución única E de esas ecuaciones en un volumen V limitado por S.