Mario Cosenza
Electromagnetismo
Electromagnetismo
Y Dios dijo: ∇ · E = 4πρ ∇ × E + 1 c ∂B ∂t = 0 ∇ · B = 0 ∇ × B − 1 c ∂E ∂t = 4π c J, y se hizo la luz.
A · (B × C) = (A × B) · C = C · (A × B) = (C × A) · B = B · (C × A) (A × B) · (C × D) = (A · C)(B · D) − (A · D)(B · C) A × (B × C) = B(A · C) − C(A · B) ∇(A · B) = A × (∇ × B) + B × (∇ × A) + (A · ∇)B + (B · ∇)A ∇ × (A × B) = A(∇ · B) − B(∇ · A) + (B · ∇)A − (A · ∇)B ∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B) ∇ × (φA) = φ(∇ × A) − A × (∇φ) ∇ · (φA) = φ(∇ · A) + A · ∇φ ∇(φψ) = φ∇ψ + ψ∇φ ∇ × (∇ ×A) = ∇(∇ · A) − ∇2A ∇ · (∇ ×A) = 0 ∇ × (∇φ) = 0 ∇ × [ˆrf(r)] = 0 ∇ ×r = 0 ∇ ·r = 3 Z V θ∇2ψ + ∇ψ · ∇θ d3r = I S
θ ∇ψ · ˆn da Primera identidad de Green Z V (φ∇2ψ − ψ∇2φ) d3r = I S (φ∇ψ − ψ∇φ) · ˆn da Teorema de Green Z V (∇ ·A) d3r = I S
A · ˆn da Teorema de Gauss (divergencia) Z S (∇ ×A) · ˆn da = I C A · dl Teorema de Stokes Z V ∇ ×A d3r = I S ˆ n × A da Z S ˆ n × (∇ψ) da =I C ψ dl Z V ∇ψ d3r =I S ψ ˆn da
Contenido
1 Electrostática. 1
1.1 Ecuaciones de Maxwell. . . 1
1.2 Campo electrostático. . . 6
1.3 Potencial escalar eléctrico. . . 19
1.4 Expansión multipolar del potencial eléctrico. . . 29
1.5 Ecuaciones de Poisson y de Laplace. . . 37
1.6 Energía electrostática. . . 39
1.7 Interacción de una distribución de carga con un campo externo. . . 43
1.8 Potencial y campo eléctrico en conductores. . . 47
1.9 Capacitancia. . . 51
1.10 Problemas. . . 56
2 Problemas de frontera en Electrostática 59 2.1 Teorema de Green. . . 59
2.2 Función de Green. . . 62
2.3 Método de imágenes. . . 68
2.4 Funciones ortogonales. . . 78
2.5 Ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas. . . 81
2.6 Ecuación de Laplace en coordenadas polares. . . 86
2.7 Ecuación de Laplace en coordenadas esféricas. . . 90
2.8 Problemas de frontera con simetría azimutal. . . 94
2.9 Armónicos esféricos. . . 104
2.10 Expansión de la función de Green en coordenadas esféricas. . . 109
2.11 Aplicaciones de la expansión esférica de la función de Green. . . 117
2.12 Problemas. . . 125 v
3.2 Modelos estadísticos de polarizabilidad molecular. . . 132
3.3 Electrostática en medios dieléctricos. . . 138
3.4 Problemas de frontera con dieléctricos. . . 143
3.5 Energía electrostática en medios dieléctricos. . . 148
3.6 Problemas. . . 152
4 Magnetostática 153 4.1 Ecuaciones de la Magnetostática. . . 153
4.2 Ley de Biot-Savart y Ley de Ampère. . . 159
4.3 Fuerza magnética entre corrientes. . . 164
4.4 Expansión multipolar del potencial vector. . . 167
4.5 Momento magnético. . . 171
4.6 Magnetostática en medios materiales. . . 175
4.7 Problemas. . . 183
5 Campos electromagnéticos dependientes del tiempo. 185 5.1 Ley de Faraday y ecuaciones de Maxwell. . . 185
5.2 Transformaciones de calibre. . . 191
5.3 Energía del campo magnético. . . 193
5.4 Conservación de energía del campo electromagnético. . . 198
5.5 Momento del campo electromagnético. . . 200
5.6 Momento angular del campo electromagnético. . . 204
5.7 Ondas electromagnéticas. . . 207
5.8 Polarización, re exión y refracción de ondas electromagnéticas. . . 214
5.9 Ondas electromagnéticas en medios materiales. . . 218
5.10 Problemas. . . 226
6 Transformaciones relativistas de campos electromagnéticos. 229 6.1 Revisión de Relatividad Especial. . . 229
6.2 Corrimiento Doppler relativista. . . 243
6.3 Transformaciones de campos electromagnéticos. . . 249
Capítulo 1
Electrostática.
1.1 Ecuaciones de Maxwell.
Los fenómenos electromagnéticos macroscópicos están descritos por las ecuaciones de Maxwell, ∇ · E = 4πρ (1.1) ∇ × E + 1 c ∂B ∂t = 0 (1.2) ∇ · B = 0 (1.3) ∇ × B − 1 c ∂E ∂t = 4π c J. (1.4)
Estas ecuaciones corresponden a fuentes y campos en el vacío, en el sistema de unidades cgs o gaussiano. En medios materiales, aparecen algunos factores adi-cionales, pero la forma de las ecuaciones es la misma.
Las cantidades físicas que aparecen en las ecuaciones de Maxwell y sus unidades en el sistema cgs Gaussiano son
E : campo eléctrico [statvoltio/cm], B : campo magnético [Gauss],
ρ : densidad de carga eléctrica [statcoulomb/cm3],
J : densidad de corriente eléctrica [statampère/cm2], c : velocidad constante de la luz en el vacío [cm/s].
(1.5)
La conversión de unidades entre el sistema mks y el cgs Gaussiano es 1coulomb = 3 × 109statcoulombs.
1ampère = 3 × 109statampères. 1voltio = 300−1statvoltios.
(1.6) Las ecuaciones de Maxwell describen leyes de la naturaleza descubiertas experi-mentalmente en una serie de trabajos monumentales debidos a Oersted, Coulomb, Faraday, Ampère, Biot, Savart y otros grandes físicos.
La Ec. (1.1) también se conoce como la ley de Gauss para el Electromagnetismo, y es consecuencia de la ley de Coulomb para las fuerzas entre cargas eléctricas. La Ec. (1.2) corresponde a la ley de inducción de Faraday. La Ec. (1.3) describe la ausencia de cargas (monopolos) magnéticas, mientras que la Ec. (1.4) contiene la ley de Ampère para el campo magnético producido por una corriente eléctrica, es decir, por cargas eléctricas en movimiento.
Maxwell dió forma matemática a estas leyes e introdujo una notación conve-niente. La inclusión del término 1
c ∂E
∂t (denominado corriente de desplazamiento) en
la Ec. (1.4), mediante un requerimiento de simetría en relación con la Ec. (1.2), constituye la contribución fundamental de Maxwell al Electromagnetismo. Con la adición de este término, las ecuaciones de Maxwell pemitieron la predicción de ondas electromagnéticas cuya velocidad de propagación es igual a la velocidad de la luz.
Las ecuaciones de Maxwell expresan la relación física entre los campos E y B, y de éstos con sus fuentes ρ y J. Desde el punto de vista matemático, las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de ocho ecuaciones diferenciales acopladas, en derivadas parciales de primer orden con respecto al espacio y al tiempo, para las seis compo-nentes los campos vectoriales E(r, t) y B(r, t); dadas las fuentes ρ(r, t) y J(r, t).
Para aplicar estas ecuaciones en situaciones físicas se requiere un sistema de co-ordenadas (cartesianas, esféricas, cilíndricas, etc.) apropiado para el problema con-siderado.
En coordenadas cartesianas, el vector de posición en el espacio tridimensional con respecto a un origen dado O es r = (x, y, z) = (x1, x2, x3), y el campo eléctrico (o
magnético) en el punto r y en el instante t es
E(r, t) = (Ex(r, t), Ey(r, t), Ez(r, t)) , (1.7)
donde Ex(r, t) = Ex(x, y, z, t), etc. En general, escribimos las componentes
carte-sianas Ei(r, t) = Ei(x1, x2, x3, t), i = 1, 2, 3. El vector unitario en la dirección xi se
1.1. ECUACIONES DE MAXWELL. 3
Figura 1.1: Campos E(r, t) y B(r, t) en un sistema de coordenadas cartesianas.
Los operadores diferenciales vectoriales en las ecuaciones de Maxwell, en coorde-nadas cartesianas, son:
Gradiente: ∇φ(x, y, z) = ∂φ ∂x, ∂φ ∂y, ∂φ ∂z . (1.8) Divergencia: ∇ · E = ∂Ex ∂x + ∂Ey ∂y + ∂Ez ∂z . (1.9) Rotacional: ∇ × E = ˆ x ˆy ˆz Ex Ey Ez ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z = ∂Ey ∂z − ∂Ez ∂y ˆ x + ∂Ez ∂x − ∂Ex ∂z ˆ y + ∂Ex ∂y − ∂Ey ∂x ˆz. (1.10) Derivada temporal: ∂E ∂t = ∂Ex ∂t , ∂Ey ∂t , ∂Ez ∂t . (1.11)
Una consecuencia inmediata de las ecuaciones de Maxwell es la conservación de la carga eléctrica. Para ver esto, consideremos la siguiente derivada parcial con respecto
a t, tomando en cuenta que las coordenadas de r y t son independientes, ∂ ∂t(∇ · E) = ∂ ∂t ∂Ex ∂x + ∂Ey ∂y + ∂Ez ∂z = ∂ 2E x ∂x∂t + ∂2Ey ∂y∂t + ∂2Ez ∂z∂t = ∇ · ∂E ∂t . (1.12)
Derivando parcialmente la Ec. (1.1) con respecto a t, tenemos ∇ · ∂E
∂t
= 4π∂ρ
∂t. (1.13)
Sustituyendo el término ∂E
∂t de la Ec. (1.4), tenemos
c∇ · (∇ × B) − 4π∇ · J = 4π∂ρ
∂t. (1.14)
Pero ∇ · (∇ × B) = 0 (identidad vectorial). Luego, ∂ρ
∂t + ∇ · J = 0. (1.15)
Esta es la ecuación de continuidad para el ujo de carga eléctrica, similar a la ecuación de continuidad de un uido incompresible. Si la densidad de carga disminuye en una region, debemos tener ∂ρ
∂t < 0en esa region; mientras que la divergencia de la corriente
eléctrica debe ser ∇·J > 0; es decir, hay un ujo de corriente (cargas en movimiento) que sale de dicha región. Por otro lado, un aumento de carga en una región, ∂ρ
∂t > 0,
está asociado a una divergencia negativa de la corriente, ∇·J < 0; es decir, las cargas eléctricas deben entrar a esa región. La Ec. (1.15) expresa la conservación de la carga eléctrica.
En el Electromagnetismo clásico las distribuciones de cargas y de corrientes se asumen continuas en el espacio, aunque con frecuencia consideramos distribuciones de cargas localizadas como puntos. Sabemos que la carga eléctrica está cuantizada a nivel microscópico; toda carga q es un múltiplo entero de la carga fundamental del electrón, e = 1.6 × 10−19 Coulomb.
1.1. ECUACIONES DE MAXWELL. 5
Figura 1.2: Conservación de la carga eléctrica: la disminución de la densidad de carga ρ en una región del espacio está asociada a la divergencia positiva de la densidad de corriente J en esa región.
Las ecuaciones de Maxwell describen la dinámica de los campos E y B producidos por cargas y corrientes eléctricas; no describen el movimiento de cargas sujetas a esos campos. La dinámica de una carga eléctrica q que se mueve con velocidad v en presencia de campos electromagnéticos externos E, B (es decir, no producidos por q) es un resultado experimental adicional a las ecuaciones de Maxwell, y está descrita por la fuerza de Lorentz,
F = q E +v c × B . (1.16)
Los campos E y B contribuyen diferentemente a la fuerza de Lorentz sobre una carga en movimiento. La fuerza que el campo eléctrico E produce en un punto del espacio donde está ubicada la carga permite medir E en ese punto y, similarmente, la componente magnética de la fuerza determina B.
Los campos E, B tienen signi cado propio independiente de las fuentes que los producen; ellos pueden existir en regiones lejos de sus fuentes en forma de ondas, y pueden llevar energía, momento lineal y momento angular.
Las ecuaciones de Maxwell se simpli can considerablemente si las cantidades son estacionarias, es decir, si E, B, ρ y J, no dependen del tiempo,
∂E ∂t = 0 , ∂B ∂t = 0 , ∂ρ ∂t = 0. (1.17)
En este caso, los campos E(r), B(r) se desacoplan y las ecuaciones de Maxwell se pueden separar en dos pares de ecuaciones, correspondientes a la Electrostática y a la Magnetostática,
∇ · E = 4πρ (1.18)
∇ × E = 0 (1.19)
)
∇ · B = 0 (1.20) ∇ × B = 4π c J. (1.21) Magnetostática
1.2 Campo electrostático.
Consideremos dos cargas puntuales q1 y q2 ubicadas en las posiciones r1 y r2,
respec-tivamente.
Figura 1.3: Dos cargas puntuales en el espacio.
La fuerza sobre q2 debida a la interacción con q1 está dada experimentalmente
por la Ley de Coulomb,
Fsobreq2 = k
q1q2
|r2− r1|3(r2− r1) , (1.22) donde k es una constante de proporcionalidad que depende del sistema de unidades; en el sistema cgs, k ≡ 1. Debido a la Tercera Ley de Newton, tenemos
Fsobreq2 = −Fsobreq1. (1.23)
La fuerza entre cargas eléctricas debida a la Ley de Coulomb puede ser atractiva o repulsiva. Esto permite distinguir dos tipos de cargas existentes en la Naturaleza, designadas como positivas o negativas; cargas de signos opuestos se atraen y cargas de signos iguales se repelen.
El campo electrostático E(r) en un punto r del espacio se mide en términos de la fuerza ejercida sobre una carga de prueba puntual q colocada en la posición r,
1.2. CAMPO ELECTROSTÁTICO. 7 La fuerza F(r) experimentada por la carga q es debida a su interacción con otras cargas que producen el campo E(r).
Figura 1.4: Campo eléctrico E externo en la posición de una carga q.
El campo eléctrico E(r) se de ne cuando el campo creado por la carga de prueba en r es despreciable; es decir, cuando q → 0,
E(r) = lim
q→0
F(r)
q . (1.25)
El campo eléctrico producido en la posición r2 por una carga q1, cuando q2 → 0es
E(r2) = lim q2→0 Fsobreq2 q2 = q1 |r2− r1|3 (r2− r1) . (1.26)
Figura 1.5: Campo eléctrico E(r) producido en la posición r por una carga q ubicada en r1.
La dirección de E(r2) depende del signo de la carga q1. En general, el campo
producido en la posición r por una carga q ubicada en r1 es
E(r) = q
Una carga q ubicada en el origen O (r1 = 0) produce un campo radial
E(r) = q r3r =
q
r2ˆr , (1.28)
donde usamos la notación r = |r|.
Las ecuaciones de Maxwell son lineales para los campos E y B. Los campos cumplen el principio de superposición: si E1 y E2 son campos independientes que
satisfacen las ecuaciones de Maxwell, entonces su suma E1 + E2 también satisface
estas ecuaciones. Luego, el campo total en la posición r debido a un conjunto de cargas puntuales qi ubicadas en los puntos ri, i = 1, 2, . . . , N, es
E(r) = N X i=1 qi (r − ri) |r − ri|3. (1.29)
Figura 1.6: Campo eléctrico creado en la posición r por un conjunto de cargas qi ubicadas en ri.
Si las cargas son muy pequeñas (qi → 0) y N es muy grande (N → ∞), tenemos el
límite de una distribución continua de carga ρ, tal que ri → r0 y qi→ dq = ρ(r0)d3r0,
donde denotamos el elemento in nitesimal de volumen por d3r0. En el límite continuo,
la sumatoria sobre las cargas se convierte en una integral de la densidad de carga sobre el volumen. El campo eléctrico producido por una densidad de carga resulta en
E(r) = Z ρ(r0)(r − r 0) |r − r0|3d 3r0 , (1.30)
donde empleamos la notación:
r : punto de observación jo. (1.31)
1.2. CAMPO ELECTROSTÁTICO. 9
Figura 1.7: Campo eléctrico producido por una densidad de carga. La coordenada de integración es r0 y la de observación es r.
El campo eléctrico en la Ec. (1.30) constituye una expresión de la Ley de Coulomb para distribuciones continuas de carga. La Ec. (1.30) es compatible con las dos ecuaciones de la Electrostática, como veremos.
Dada una distribución arbitraria de carga, la Ec. (1.30) permite, en principio, calcular el campo eléctrico producido por esa carga en cualquier punto del espacio. En la práctica, el cálculo de la integral en la Ec. (1.30) puede resultar difícil, salvo en con guraciones geométricas que posean mucha simetría.
Las ecuaciones de la Electrostática pueden expresarse en forma integral. En particular, la fórmula integral de la Ley de Gauss constituye una alternativa útil para calcular el campo eléctrico producido por ciertas distribuciones simétricas de carga.
La ecuación de la Electrostática ∇ · E = 4πρ se puede expresar en forma integral empleando el teorema de la divergencia:
I S A · ˆn da = Z V ∇ · A d3r. (1.33)
donde A es un campo vectorial de nido dentro de un volumen V y sobre la super cie S que encierra a V , y ˆn es el vector unitario normal a cada punto de S. La integral sobre la super cie se denomina ujo de A a través de S.
Si integramos la ecuación ∇ · E = 4πρ sobre un volumen V que contenga a ρ,
tenemos Z V ∇ · E d3r = 4π Z V ρ(r) d3r, (1.34)
y el teorema de la divergencia implica que I
S
E · ˆn da = 4πqenc, (1.35)
donde qenc es la carga total encerrada por la super cie S. La Ec. (1.35) es la Ley de
Gauss en forma integral.
Figura 1.8: Ley de Gauss.
Note que solamente se consideran las cargas encerradas por S, aunque el campo eléctrico E usado en la evaluación del ujo a través de S contenga contribuciones de otras fuentes ubicadas fuera de S. El ujo neto a través de S, debido a campos producidos fuera de S, es cero.
Por otro lado, la ecuación de la Electrostática ∇ × E = 0 puede escribirse en forma integral mediante el teorema de Stokes:
I C A · dl = Z S (∇ × A) · ˆn da. (1.36)
donde A es un campo vectorial de nido sobre una super cie S y en el contorno C que encierra esa super cie.
1.2. CAMPO ELECTROSTÁTICO. 11 Si integramos la ecuación ∇ × E = 0 sobre una super cie arbitraria S, encerrada por una curva C, y aplicando el teorema de Stokes, tenemos
Z S (∇ × E) · ˆn da = 0 ⇒ I C E · dl = 0. (1.37)
Las ecuaciones de la Electrostática en forma integral permiten establecer las condi-ciones de frontera para el campo eléctrico sobre una super cie S que posee una dis-tribución super cial de carga.
Figura 1.10: Campo eléctrico en ambos lados de una super cie cargada.
La densidad super cial de carga en la posición r0 es σ(r0). Sean E
1 y E2 los
campos eléctricos en la posición r0 sobre la super cie S en el lado 1 y en el lado 2,
respectivamente. Sea ˆn la normal a S que apunta hacia el lado 2.
Para evaluar la condición de frontera para la componente normal de los campos producida por la carga super cial σ en el punto r0, usamos la ley de Gauss con una
super cie S0 cilíndrica que atraviesa transversalmente a la super cie cargada S.
Figura 1.11: Super cie gaussiana para evaluar la discontinuidad de la componente normal del campo eléctrico a través de una super cie cargada.
Tomando el límite h → 0 en la super cie cilíndrica S0, tenemos I S0 E · ˆn da = Z 2 E2· ˆn da + Z 1 E1· (−ˆn) da = 4πqenc ⇒ Z A (E2− E1) · ˆn da = 4π Z A σ(r0) da. (1.38)
En el límite A → 0, tenemos en el punto r0,
E2(r0) · ˆn − E1(r0) · ˆn = 4πσ(r0). (1.39)
La Ec. (1.39) expresa la discontinuidad de la componente normal del campo eléctrico a través de una super cie cargada.
Figura 1.12: Contorno C para evaluar la componente tangencial del campo eléctrico a través de una super cie cargada.
Para evaluar la condición de frontera para la componente tangencial del campo eléctrico, consideremos la integral de línea de E a lo largo de un rectángulo C de lados b y l que atraviesa la super cie del conductor. Entonces,
I C E · dl = 0. (1.40) Tomamos el límite b → 0, lim b→0 I c E · dl = Z 2 E2· dl + Z 1 E1· dl = 0 (1.41)
Haciendo l → 0, tenemos dl → dlˆt en el lado 1, y dl → −dlˆt en el lado 2; luego lim l→0 Z 2 E2· ˆt dl − lim l→0 Z 1 E1· ˆt dl = 0 ⇒ E2· ˆt = E1· ˆt. (1.42)
La Ec. (1.42) indica que la componente tangencial del campo eléctrico es continua a través de una super cie cargada.
1.2. CAMPO ELECTROSTÁTICO. 13 Ejemplos.
1. Calcular el campo eléctrico de un plano in nito con densidad uniforme de carga super cial σ.
Figura 1.13: Aplicación de la Ley de Gauss para un plano in nito con carga super cial uniforme.
Por simetría, E es perpendicular al plano y paralelo al eje z. Usamos la Ley de Gauss en su forma integral para una super cie cilíndrica S, como se muestra en la gura.
I
S
E · ˆn da = 4πqenc. (1.43)
La integral del ujo a través de S contiene contribuciones de tres integrales de super cie: dos términos correspondientes a las tapas del cilindro, de área A cada una, indicadas como 1 y 2; y un término correspondiente al lado del cilindro, identi cado con 3.
Sobre el lado 3 del cilindro, el campo eléctrico E3 es perpendicular a la normal
ˆ
n3 asociada a ese lado. Luego, E3· ˆn3 = 0, y la contribución del término 3 al
sobre la tapa 2, E2= −Eˆz y ˆn2= −ˆz. Entonces, I S E · ˆn da = Z 1 E1· ˆn1da + Z 2 E2· ˆn2da = Z 1 Eˆz · ˆz da + Z 2 E(−ˆz) · (−ˆz) da = 2EA = 4πq [total sobre A] = 4πσA
⇒ E = 2πσ. (1.44)
Luego,
E1 = 2πσˆz , E2= −2πσˆz. (1.45)
Función delta de Dirac.
Muchas distribuciones de carga eléctrica de interés en Electrostática están localizadas en super cies, planos, líneas, o puntos; es decir, corresponden a distribuciones con -nadas en algunas dimensiones. La función delta de Dirac resulta útil para expresar este tipo de distribuciones.
Figura 1.14: Ilustración de la función delta de Dirac en una y en tres dimensiones.
La función delta de Dirac en un intervalo real I se de ne mediante las propiedades: 1. δ(x − a) = 0, si x 6= a 2. RIδ(x − a)dx = n 1, si a ∈ I 0, si a /∈ I 3. RIf (x)δ(x − a)dx = f (a)
La función delta de Dirac también se puede de nir en tres dimensiones y posee las siguientes propiedades:
1.2. CAMPO ELECTROSTÁTICO. 15 1. δ(r − A) = δ(x − Ax)δ(y − Ay)δ(z − Az) 2. RV δ(r − A)d3r = n1, siA ∈ V 0, siA /∈ V 3. RV f (r)δ(r − A)d3r = f (A)
Note que las unidades de la función delta de Dirac de nida en un espacio de dimensión dson [distancia−d].
Ejemplos.
1. Expresar ρ para una distribución de N cargas puntuales qi situadas en
posi-ciones ri.
Figura 1.15: Distribución de cargas puntuales.
La densidad es ρ(r) = N X i=1 qi δ(r − ri). (1.46)
con-junto de cargas puntuales se puede expresar como E(r) = Z ρ(r0)(r − r 0) |r − r0|3 d 3r0 = N X i=1 qi Z δ(r0− ri)(r − r 0) |r − r0|3 d 3r0 = N X i=1 qi (r − ri) |r − ri|3 . (1.47)
Una carga ubicada en el origen se expresa como ρ(r) = q δ(r). El campo eléctrico correspondiente en una posición r es
E(r) = Z q δ(r0)(r − r 0) |r − r0|3 d 3r0 = q r r3 = q r2ˆr. (1.48)
2. Expresar la densidad de carga de volumen para un plano in nito con densidad super cial de carga σ.
Figura 1.16: Plano z = 0 con densidad super cial de carga σ.
Escojamos el plano en z = 0. Entonces, la densidad de carga en coordenadas cartesianas es ρ(x, y, z) = σδ(z).
El elemento de volumen en coordenadas cartesianas es d3r = dx dy dz. La
integral de ρ sobre todo el volumen debe dar la carga total, Z ρ d3r = σ Z ∞ −∞ dx Z ∞ −∞ dy Z ∞ −∞ δ(z)dz (1.49) = σ Z ∞ −∞ dx Z ∞ −∞ dy = qtotal.
1.2. CAMPO ELECTROSTÁTICO. 17 3. Expresar ρ en coordenadas esféricas para una carga q distribuida uniformemente
sobre un cascarón esférico de radio a.
Figura 1.17: Cascarón esférico cargado.
Solamente hay carga en r = a; super cie de la esfera. Proponemos la forma ρ(r, θ, φ) = k q δ(r − a), donde k es un factor de proporcionalidad que debe contener información sobre la geometría, tal que
Z
ρ(r)d3r = q, (1.50)
donde d3r = r2sin θ dθ dφ dr en coordenadas esféricas. Luego,
k q Z 2π 0 dφ Z π 0 sin θ dθ Z ∞ 0 r2δ(r − a)dr = q (1.51) kq × 2π × 2 × a2 = q ⇒ k = 1 4πa2 (1.52) ⇒ ρ(r, θ, φ) = q 4πa2δ(r − a). (1.53)
4. Expresar la función delta de Dirac
δ(r − r0) = δ(x − x0)δ(y − y0)δ(z − z0) (1.54) en coordenadas esféricas.
Tenemos, en coordenadas cartesianas, Z V δ(r − r0) d3r = Z V δ(r − r0) dx dy dz = Z V δ(x − x0)δ(y − y0)δ(z − z0) dx dy dz (1.55)
En coordenadas esféricas d3r = r2sin θ dθ dφ dr, y tenemos Z V δ r − r0 d3r = Z V δ(r − r0)r2dr dφ sin θ dθ = Z V δ r − r0 r2dr dφ d(cos θ). (1.56) La Ec. (1.56) posee la misma forma que la Ec. (1.55) si, en coordenadas esféricas, tenemos
δ(r − r0) = 1
r2 δ r − r
0 δ φ − φ0 δ cos θ − cos θ0 . (1.57)
5. Expresar ρ en coordenadas cilíndricas para una densidad lineal de carga uni-forme λ distribuida sobre un cilindro de radio b.
Figura 1.18: Cilindro con densidad lineal de carga.
Proponemos la forma ρ(R, φ, z) = k λ δ(R − b), donde λ = q/L. Determinamos el factor k tal que
Z
ρ(r)d3r = q, (1.58)
donde d3r = R dφ dz dRen coordenadas cilíndricas. Luego,
Z ρ d3r = kλ Z 2π 0 dφ Z ∞ −∞ dz Z ∞ 0 δ(R − b)R dR = k λ 2 π L b = q ⇒ k = 1 2πb ⇒ ρ(R, φ, z) = λ 2πbδ(R − b).
1.3. POTENCIAL ESCALAR ELÉCTRICO. 19
1.3 Potencial escalar eléctrico.
De la ley de Coulomb, obtuvimos el campo eléctrico en r creado por una distribución de carga ρ(r0), E(r) = Z ρ(r0)(r − r 0) |r − r0|3 d 3r0 (1.59)
donde la integral se extiende a todo el volumen donde exista ρ.
Este campo E(r) debe satisfacer las ecuaciones de Maxwell correspondientes a la Electrostática,
∇ × E = 0, (1.60)
∇ · E = 4πρ. (1.61)
Para demostrar que E(r) satisface la ecuación ∇ × E = 0, calculemos primero la siguiente expresión, ∇ 1 |r − r0| , (1.62) donde r − r0 = h x − x02 + y − y02 + z − z02i1/2 , (1.63)
y el operador ∇ actúa sobre las coordenadas de r, no de r0.
Tenemos, ∂ ∂x r − r0 −1 = −1 22 x − x 0h x − x02+ y − y02+ z − z02 i−3 2 = −(x − x 0) |r − r0|3 . Similarmente, ∂ ∂y r − r0 −1 = −(y − y 0) |r − r0|3 ∂ ∂z r − r0 −1 = −(z − z 0) |r − r0|3,
Luego, ∇ 1 |r − r0| = − (x − x 0) |r − r0|3, (y − y0) |r − r0|3, (z − z0) |r − r0|3 = −(r − r 0) |r − r0|3 . (1.64) En particular, si r0 = 0, ∇ 1 r = −r r3 = − ˆr r2. (1.65)
Un cálculo relacionado es ∇r, donde
r = x2+ y2+ z212 . (1.66) Tenemos, ∂r ∂x = 1 22 x(x 2+ y2+ z2)−1/2 = x r . (1.67) Similarmente, ∂r ∂y = y r ; ∂r ∂z = z r (1.68) Luego, ∇r = ∂r ∂x, ∂r ∂y, ∂r ∂z = 1 r(x, y, z) = r r = ˆr . (1.69)
El campo eléctrico puede expresarse entonces como E (r) = Z ρ r0 (r − r 0) |r − r0|3 d 3r0= −Z ρ(r0) ∇ 1 |r − r0| d3r0. (1.70) Recordemos que el operador diferencial ∇ actúa sobre r, no sobre la variable de integración r0. Luego, podemos escribir
E(r) = −∇ Z ρ(r0) |r − r0|d 3r0 . (1.71)
1.3. POTENCIAL ESCALAR ELÉCTRICO. 21 La expresión entre paréntesis es una función que depende del punto de observación r. Denotamos esta función por
ϕ(r) ≡
Z ρ (r0) |r − r0|d
3r0. (1.72)
La función ϕ(r) se denomina potencial escalar eléctrico. Entonces, podemos escribir
E(r) = −∇ϕ(r) . (1.73)
Esto es, el campo electrostático se puede expresar como (menos) el gradiente de un potencial escalar.
El campo E expresado en la Ec. (1.73) satisface la ecuación de la Electrostática
∇ × E = −∇ × (∇ϕ(r)) = 0 , (1.74)
lo cual es una identidad vectorial.
Para demostrar que el campo electrostático satisface la ecuación ∇·E(r) = 4πρ(r), requerimos un importante resultado adicional. Consideremos el teorema de la diver-gencia, Z V ∇ · A d3r = I S A · ˆn da, (1.75)
para el campo vectorial
A = ∇ 1 |r − r0| . (1.76) donde r, r0 ∈ V. Entonces, Z V ∇2 1 |r − r0| d3r = I S ∇ 1 |r − r0| · ˆn da = − I S (r − r0) |r − r0|3 · ˆn da (1.77)
De nimos R ≡ r − r0. Tomamos la super cie S como una esfera con origen O0
en r0 y con radio R = |r − r0|. Entonces, la normal en la super cie S es ˆn = ˆR y
da = R2dΩ. Sustituyendo en la integral de super cie, obtenemos I S (r − r0) |r − r0|3 · ˆn da = I S ˆ R R2 · ˆR R 2dΩ = I S dΩ = 4π. (1.78)
Figura 1.19: Coordenadas para la integral de super cie Ec. (1.78). Luego, Z V ∇2 1 |r − r0| d3r = −4π. (1.79)
Recordemos la propiedad de la función delta de Dirac tridimensional, Z
V
δ(r − r0) d3r = 1, si r0 ∈ V. (1.80)
Entonces, podemos escribir la Ec. (1.79) como Z V ∇2 1 |r − r0| d3r = −4π Z V δ(r − r0) d3r, (1.81) lo cual implica que
∇2 1 |r − r0| = −4πδ r − r0 . (1.82)
Esta relación es una propiedad general de la función delta de Dirac y se puede tomar como una de nición de esta función en tres dimensiones. En particular, si r0 = 0,
tenemos la relación
∇2 1 r
= −4πδ (r) . (1.83)
Entonces, tomando la divergencia de E en la Ec. (1.71), obtenemos ∇ · E(r) = −∇2 Z ρ(r0) |r − r0|d 3r0 = − Z ρ(r0)∇2 1 |r − r0| d3r0 = − Z ρ(r0) δ r − r0 d3r0 = −4πρ(r). (1.84)
1.3. POTENCIAL ESCALAR ELÉCTRICO. 23 En general, si se conoce la densidad de carga ρ(r0) en todo el espacio, el cálculo
de ϕ(r) a partir de la Ec. (1.72) resulta más fácil que la determinación directa del campo eléctrico E(r) usando la integral Ec. (1.59). En la práctica, se calcula el campo eléctrico a partir de ϕ(r), mediante la relación E = −∇ϕ(r).
Note que para calcular la integral de ϕ (r), hay que conocer ρ (r0) sobre todo el
espacio; esto implica que r0→ ∞ y que el punto de observación incluye r → ∞.
Interpretación física del potencial escalar eléctrico.
Consideremos una carga q en una región donde existe un campo eléctrico E.
Figura 1.20: Carga q llevada por fuerza externa entre puntos A y B en un campo eléctrico.
La fuerza que ejerce el campo sobre la carga q es
Felect = q E. (1.85)
Consideremos el trabajo que debe realizar una fuerza externa Fext para llevar una
carga q en equilibrio desde un punto A a otro punto B en esa región, WAB =
Z B
A
Fext· dl, (1.86)
donde dl = (dx, dy, dz) es el vector tangente en cada punto de la trayectoria que une los puntos A y B. La fuerza externa debe ser
Fext= −Felect. (1.87) Luego, WAB = −q Z B A E · dl = q Z B A (∇ϕ) · dl. (1.88)
Pero ∇ϕ · dl = ∂ϕ ∂xdx + ∂ϕ ∂ydy + ∂ϕ ∂zdz = X i ∂ϕ ∂xi dxi= dϕ(x, y, z). (1.89) Luego, WAB = q Z B A dϕ = q (ϕB− ϕA) . (1.90)
El trabajo depende solamente de la diferencia de la función potencial evaluada en los puntos A y B, no de la trayectoria entre esos puntos. Entonces,
(ϕB− ϕA) =
WAB
q , (1.91)
es decir, la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos es el trabajo por unidad de carga que debe realizar un agente externo para llevar una carga entre esos puntos.
Adicionalmente, la integral de linea Z B
A
E · dl = ϕA− ϕB (1.92)
es independiente del camino entre A y B. Si el camino es cerrado, A = B; entonces I
E · dl = 0, (1.93)
por lo tanto,
I
Felect· dl = 0. (1.94)
lo cual signi ca que las fuerzas electrostáticas son conservativas (el trabajo realizado por una fuerza conservativa a lo largo de una trayectoria cerrada es cero).
Aplicando el Teorema de Stokes a la Ec. (1.93), tenemos Z
S
(∇ × E) · ˆn da = 0 ⇒ ∇ × E = 0. (1.95)
Luego, la ecuación de la Electrostática ∇ × E = 0 expresa el hecho de que las fuerzas electrostáticas son conservativas.
1.3. POTENCIAL ESCALAR ELÉCTRICO. 25 La Ec. (1.72) implica que el potencial ϕ(r) debido a cualquier distribución loca-lizada de carga tiende a cero cuando r → ∞. Si el punto A es r → ∞, entonces ϕA = ϕ(r → ∞) = 0. Luego, la Ec. (1.90) implica que el trabajo para traer una
carga q desde un punto A en r = ∞ hasta un punto B correspondiente a un r nito es
W (r) = q ϕB= q ϕ(r). (1.96)
En la práctica, el in nito se re ere a un reservorio con potencial jo ϕ = 0 desde el cual se pueden extraer cargas inde nidamente. Con una buena aproximación, la Tierra funciona como un reservorio inagotable de cargas y se le asigna potencial cero. Supongamos que el potencial ϕ(r) es producido por una carga puntual q0colocada
en r0; entonces
ϕ (r) = q
0
|r − r0|. (1.97)
Figura 1.21: Potencial producido en r por carga q0ubicada en r0.
El trabajo que debe hacer un agente externo para traer una carga q desde r = ∞ hasta r en presencia de una carga q0 colocada en r0 es
W (r) = q ϕ(r) = q q
0
|r − r0| ≡ U. (1.98)
Este trabajo está acumulado en forma de energía potencial U en el campo elec-trostático de la con guración de las dos cargas.
Ejemplos.
1. El potencial escalar eléctrico producido por un conjunto de cargas puntuales qi
colocadas en las posiciones ri puede expresarse mediante la densidad de carga
ρ(r0) =X i qiδ(r0− ri) , (1.99) esto es, ϕ(r) =X i qi Z δ(r0− ri) |r − r0| d 3r0 =X i qi |r − ri| . (1.100)
El potencial producido por una carga q colocada en el origen (r1 = 0) es
ϕ(r) = q
r. (1.101)
2. Potencial producido por un plano in nito con densidad super cial de carga uniforme σ.
E = 2πσˆz = −∇ϕ(r) (z > 0)
⇒ 2πσ = −∂ϕ
∂z
⇒ ϕ(z) = −2πσz +cte. (1.102)
3. Potencial producido por plano z = 0 con densidad super cial de carga σ(x, y).
Figura 1.22: Plano z = 0 con densidad de carga no uniforme.
ρ r0 = σ x0, y0 δ z0 . (1.103) r − r0 = h x − x02+ y − y02+ z − z02 i12 . (1.104)
1.3. POTENCIAL ESCALAR ELÉCTRICO. 27 Luego, ϕ (r) = Z ρ (r0) |r − r0|d 3r0 =Z σ (x0, y0) δ (z0) |r − r0| dx 0dy0dz0. = Z σ x0, y0 dx0dy0Z δ (z0) dz0 |r − r0| = Z σ (x0, y0) dx0dy0 |r − r0| z0=0 = Z σ (x0, y0) dx0dy0 [(x − x0)2+ (y − y0)2+ z2]1/2. (1.105)
4. Potencial producido por un disco de radio a, cargado con σ uniforme.
Figura 1.23: Disco con densidad de carga uniforme.
La densidad super cial de carga es σ(x0, y0) = σ, si R = x02+ y021/2 ≤ a 0, si R = (x02+ y02)1/2 > a. (1.106) Podemos usar la Ec. (1.105) para calcular el potencial. La simetría del problema sugiere el empleo de coordenadas polares; dx0dy0→ R dR dφ. Entonces,
ϕ(r) = σ Z 2π 0 Z a 0 R dR dφ |r − r0| z0=0 . (1.107)
luego r − r0 z0=0 = |r − R| = h r2+ R2− 2 r R cosπ 2 − θ i12 = r2+ R2− 2 r R sin θ12 = z2sec2θ + R2− 2zR tan θ1/2 , donde hemos usado
z = r cos θ ⇒ r = z sec θ. (1.108) Luego, ϕ(r) = ϕ(z, θ) = 2π σ Z a 0 R dR [z2sec2θ + R2− 2zR tan θ]1/2. (1.109)
Las coordenadas θ y z del punto de observación r son jas. El potencial Ec. (1.109) producido por el disco en el espacio posee simetría azimutal (no depende del ángulo φ). La evaluación de la integral en la Ec. (1.109) para to-dos los valores de θ es difícil. Sin embargo, podemos calcular el potencial sobre el eje z, que corresponde al caso especial θ = 0.
ϕ (z) = 2πσ Z a 0 R dR [z2+ R2]1/2 = 2πσz2+ R212 R=a R=0 = 2πσ h z2+ a21/2− |z|i. (1.110) Consideremos los casos límites:
(a) |z| a, muy cerca del disco → |z| /a 1 ϕ (z) = 2πσ " a 1 +z 2 a2 1/2 − |z| # . (1.111)
Empleamos la expansión de Taylor,
1.4. EXPANSIÓN MULTIPOLAR DEL POTENCIAL ELÉCTRICO. 29 ϕ(z) ≈ 2πσ a 1 + z 2 2a2 − |z| ≈ 2πσ [a − |z|] = 2πσ (a − z) , z > 0 2πσ (a + z) , z < 0. El campo eléctrico es Ez= − ∂ϕ ∂z = 2πσ , z > 0 −2πσ , z < 0 , Ex= 0, Ey = 0, (1.113) es decir; muy cerca del disco, E es perpendicular a la super cie de éste, similar al campo de un plano in nito con densidad uniforme de carga σ. (b) |z| a, muy lejos del disco → a/|z| 1
ϕ (z) = 2πσ |z| " 1 +a 2 z2 1/2 − 1 # ≈ 2πσ |z| 1 + a 2 2z2 − 1 = πσa 2 |z| = q |z|, (1.114)
lo cual corresponde al potencial de una carga puntual. Es decir, para distancias grandes comparadas con el tamaño del disco, la estructura del disco o del objeto que produce el campo es irrelevante; sólo importa su carga total.
1.4 Expansión multipolar del potencial eléctrico.
En el espacio libre, el potencial producido por una distribución de carga ρ(r0) en un
punto r es
ϕ(r) =
Z ρ (r0) |r − r0|d
3r0. (1.115)
El cálculo analítico de esta integral, salvo en situaciones que posean su cientes simetrías, es en general difícil. Sin embargo, es posible obtener una expresión del
potencial en el espacio libre para distancias alejadas de la fuente r > r0 en forma de
serie de potencias de r0/r.
Figura 1.24: Potencial producido por una distribución de carga lejos de la fuente, r > r0.
En tal sentido, podemos escribir 1 |r − r0| = 1 √ r2+ r02− 2r · r0 = 1 r s 1 − 2r · r 0− r02 r2 . (1.116) donde r0/r < 1. De namos x ≡ 2r · r 0− r02 r2 < 1, (1.117)
y recordemos la siguiente expansión en serie de Taylor válida para x < 1, (1 − x)−1/2= 1 + 1 2x + 1 · 3 2 · 4x 2+1 · 3 · 5 2 · 4 · 6x 3+ · · · (1.118)
Entonces podemos expresar, 1 |r − r0|= 1 r 1 +1 2 2r · r0 r2 − r02 r2 +3 8 4(r · r0)2 r4 − 4(r · r0)r02 r4 + r04 r4 + O r 06 r6 . (1.119) Manteniendo los términos hasta orden O 1/r3
, tenemos 1 |r − r0| = 1 r + r · r0 r3 − r02 2r3 + 3 2 (r · r)2 r5 + · · · ≈ 1 r + r · r0 r3 + 1 2r5 3(r · r 0)2− r02r2 . (1.120)
1.4. EXPANSIÓN MULTIPOLAR DEL POTENCIAL ELÉCTRICO. 31 Sustituyendo en la Ec. (1.115), tenemos el potencial para r > r0,
ϕ(r) ≈ Z ρ(r0) 1 r + r · r0 r3 + 1 2r5 3(r · r 0 )2− r02r2 d3r0 (1.121) ≈ 1 r Z ρ(r0) d3r0+ r r3 · Z ρ(r0) r0d3r0+ 1 2r5 Z ρ(r0)3(r · r0)2− r02r2 d3r0.
El primer término en la Ec. (1.121) equivale a q
r, donde q =
Z
ρ(r0) d3r0, (1.122)
es la carga total, que también se denomina momento monopolar de la distribución de carga.
El segundo término en la Ec. (1.121) se puede expresar como r · p
r3 , (1.123)
donde se de ne el vector momento dipolar de la distribución de carga como p =
Z
ρ(r0) r0d3r0. (1.124)
Para expresar el tercer término en la Ec. (1.121), consideremos (r · r0)2 = x1x01+ x2x02+ x3x03 2 = 3 X i,j=1 xixjx0ix0j (1.125) r2 = x21+ x22+ x23 = 3 X i,j=1 xixjδij. (1.126) Entonces, 3(r · r0)2− r2r02 = 3 3 X i,j=1 xixjx0ix0j − r02 3 X i,j=1 xixjδij (1.127) = 3 X i,j=1 xixj 3x0ix 0 j− r 02 δij . (1.128)
Luego, el tercer término se puede escribir 1 2r5 Z ρ(r0)3(r · r0)2− r02r2 d3r0 = 1 2r5 3 X i,j=1 xixj Z ρ(r0) 3x0ix0j− r02δij d3r0. (1.129) De nimos los momentos cuadripolares de la distribución de carga como
Qij =
Z
ρ(r0) 3x0ix0j − r02δij d3r0. (1.130)
Los momentos cuadripolares son simétricos, Qij = Qji.
Entonces, el tercer término se puede expresar como 1 2r5 3 X i,j=1 xixjQij. (1.131)
Los momentos multipolares son una propiedad de la fuente que produce el po-tencial y de su geometrìa; es decir, dependen de la forma como está distribuida la carga en el espacio con respecto a un sistema de coordenadas particular. El momento monopolar es un escalar, el momento dipolar es un vector y el momento cuadripolar es un tensor.
Reuniendo los resultados, podemos expresar la expansión del potencial para r > r0
en términos de los momentos multipolares de la distribución de carga en la siguiente forma, ϕ(r) ≈ q r + r · p r3 + 1 2r5 3 X i,j=1 xixjQij. (1.132)
Note que el potencial del monopolo va como 1
r, el del dipolo va como 1
r2, el del
cuadripolo cae como 1 r3.
El momento dipolar está asociado a una distribución de carga a lo largo de una dirección espacial. El dipolo más simple está constituido por dos cargas q y −q separadas por una distancia a. Podemos escoger el eje z en la dirección de la línea que une las dos cargas y el origen de coordenadas en el punto medio de esa línea.
La densidad de carga del dipolo está dada por
1.4. EXPANSIÓN MULTIPOLAR DEL POTENCIAL ELÉCTRICO. 33
Figura 1.25: Dipolo elemental.
El potencial en r es ϕ(r) = Z ρ (r0) |r − r0|d 3r0 (1.134) = q |r − a/2| − q |r + a/2| = q pr2− r · a + a2/4 − q pr2+ r · a + a2/4 = q r " 1 −r · a r2 + a2 4r2 −1/2 − 1 +r · a r2 + a2 4r2 −1/2# . (1.135) Consideremos el punto de observación muy alejado de la fuente; es decir, a/r 1. Empleamos las siguientes expansiones en serie, válidas para x < 1,
(1 ± x)−1/2= 1 ∓1 2x + 3 8x 2∓ · · · (1.136) Haciendo x = r · a r2 < 1, podemos expresar ϕ(r) = q r h 1 +r · a 2r2 −1 −r · a 2r2 i + O a 2 r2 (1.137) ≈ qa · r r3 . (1.138)
El momento dipolar de la distribución de carga es p =
Z
Note que la dirección del vector p va de la carga negativa a la carga positiva. Luego, el potencial para r > a se puede escribir como
ϕ(r) ≈ p · r r3 =
p · ˆr
r2 . (1.140)
Esta expresión es exacta en el límite a → 0, manteniendo p constante y corresponde al potencial de un dipolo elemental. Si tomamos p = pˆz, el potencial del dipolo en coordenadas esféricas (r, θ, φ) se puede expresar como
ϕ(r) = ϕ(r, θ) = p cos θ
r2 , (1.141)
el cual es independiente del ángulo φ; es decir el potencial de un dipolo posee simetría azimutal. El campo eléctrico producido por un dipolo puede calcularse en coorde-nadas esféricas, a partir de
E = −∇ϕ(r) = − ∂ϕ ∂rˆr + 1 r ∂ϕ ∂θθ +ˆ 1 r sin θ ∂ϕ ∂φφˆ . (1.142) Luego, Er = − ∂ϕ ∂r = 2p cos θ r3 (1.143) Eθ = − 1 r ∂ϕ ∂θ = p sin θ r3 (1.144) Eφ = 0. (1.145)
En coordenadas cartesianas, el campo eléctrico puede calcularse a partir de E = −∇ p · r r3 . (1.146) La componente Ei es Ei = − ∂ ∂xi P jpjxj r3 = − ∂ ∂xi P jpjxj (x21+ x22+ x23)3/2 = − P jpjδij r3 − 3 2 2xi Pjpjxj r5 = 3xi(p · r) r5 − pi r3. (1.147)
1.4. EXPANSIÓN MULTIPOLAR DEL POTENCIAL ELÉCTRICO. 35 Luego, empleando la notación ˆr = r/r, el campo eléctrico del dipolo se puede escribir como E(r) = 3r(p · r) r5 − p r3 = 3(p · ˆr)ˆr − p r3 . (1.148)
Un ejemplo común de dipolos eléctricos son muchas moléculas. Las moléculas no tienen carga eléctrica neta; sin embargo; muchas de ellas poseen momentos dipolares debido a la distribución preferencial de los electrones en la dirección de los enlaces interatómicos presentes.
Figura 1.26: Campo eléctrico de un dipolo.
Los momentos cuadripolares Qij se pueden interpretar como componentes de un
tensor o matriz 3 × 3, Q = Q11 Q12 Q13 Q21 Q22 Q23 Q31 Q32 Q33 . (1.149)
Debido a la simetría Qij = Qji, solamente 6 componentes de la matriz Q son
inde-pendientes. Por otro lado, X i Qii = Z ρ(r0)X i 3x02i − r02 d3r0 (1.150) = Z ρ(r0) 3X i x02i −X i r02 ! d3r0 (1.151) = Z ρ(r0) 3r02− 3r02 d3r0 = 0 . (1.152)
Es decir, solamente 2 de las componentes diagonales Qii son independientes. Luego,
el tensor de momento cuadripolar Q posee 5 componentes independientes.
La distribución de carga más simple que da lugar a momentos cuadripolares con-siste en un arreglo de cuatro cargas puntuales muy cercanas, con signos alternativos, formando un cuadrado. Note que, para esta con guración, q = 0 y p = 0.
Figura 1.27: Campo eléctrico del cuadripolo más simple.
Ejemplo.
1. Calcular los momentos multipolares de una distribución de carga esféricamente simétrica.
La densidad de carga depende sólo de la coordenada radial; ρ(r0) = ρ(r0). El
momento monopolar, o la carga total, es q = Z ρ(r0) d3r0 = Z ρ(r0) r02dr0 Z 2π 0 dφ Z π sin θ0dθ0 = 4π Z ρ(r0)r02dr06= 0,
donde hemos empleado el elemento de volumen d3r0 = r02sin θ0dr0dθ0dφ0.
El momento dipolar es
p = Z
1.5. ECUACIONES DE POISSON Y DE LAPLACE. 37 Las componentes de r0 en coordenadas cartesianas son
x0 = r0sin θ0cos φ0 y0 = r0sin θ0sin φ0 z0 = r0cos θ0. Entonces, px= Z ρ(r0)x0d3r0 = Z ρ(r0)r03dr0 *0 Z 2π 0 cos φ0dφ0 Z π 0 sin2θ0dθ0 = 0 py = Z ρ(r0)y0d3r0= Z ρ(r0)r03dr0 *0 Z 2π 0 sin φ0dφ0 Z π 0 sin2θ0dθ0 = 0 pz = Z ρ(r0)z0d3r0 = Z ρ(r0)r03dr0 Z 2π 0 dφ0 :0 Z π 0 cos θ0sin θ0dθ0 = 0. Luego, p = 0.
La componente Q12 del momento cuadripolar es
Q12 = 3 Z ρ(r0) x0y0d3r0 = 3 Z ρ(r0)r04dr0 :0 Z 2π 0 sin φ0cos φ0dφ0 Z π 0 sin3θ0dθ0 = 0.
Similarmente, las otras componentes Qij = 0.
1.5 Ecuaciones de Poisson y de Laplace.
La ecuación de la Electrostática
∇ × E = 0
implica que el campo eléctrico se puede expresar como el gradiente de un potencial escalar
E = −∇ϕ (r) , (1.153)
el cual debe satisfacer también la otra ecuación de la Electrostática,
Por lo tanto,
∇ · (∇ϕ) = −4πρ
∇2ϕ = −4πρ. (1.155)
Esta es la ecuación de Poisson.
En sitios donde no hay cargas (ρ = 0), el potencial escalar satisface
∇2ϕ = 0. (1.156)
Esta ecuación se conoce como la ecuación de Laplace. En coordenadas cartesianas, ∇2ϕ = 3 X i=1 ∂2ϕ ∂x2i = ∂2ϕ ∂x2 + ∂2ϕ ∂y2 + ∂2ϕ ∂z2 . (1.157)
En coordenadas esféricas, el operador laplaciano tiene la forma ∇2ϕ = 1 r ∂2 ∂r2 (rϕ) + 1 r2sin θ ∂ ∂θ sin θ∂ϕ ∂θ + 1 r2sin2θ ∂2ϕ ∂φ2. (1.158)
Las ecuaciones de Poisson y de Laplace son ecuaciones diferenciales parciales en derivadas espaciales de segundo orden. En general, la solución ϕ de la ecuación de Poisson o de Laplace en regiones del espacio limitadas por super cies o fron-teras S requiere conocer ciertas condiciones sobre esas fronfron-teras; especi camente, el conocimiento del valor del potencial y de su derivada en la dirección normal sobre S:
ϕ|S , ∂ϕ ∂n S . (1.159)
En principio, el cálculo directo del potencial a través de la integral de la densidad de carga es posible si se conoce ésta en todo el espacio. Sin embargo, hemos visto que este método es limitado. La alternativa para calcular el potencial en regiones donde se conocen las condiciones de frontera Ec. (1.159) es resolver la ecuación de Poisson o de Laplace en esa region. En el Capítulo 2 estudiaremos varios métodos de solución de estas ecuaciones con condiciones de frontera. La solución de la ecuación de Poisson en una región del espacio que contiene una densidad de carga ρ puede obtenerse utilizando la función de Green o método de imágenes. La solución de la ecuación de Laplace puede encontrarse en muchos casos mediante separación de variables y expansión en series de funciones ortogonales.
1.6. ENERGÍA ELECTROSTÁTICA. 39 1. En un punto donde ρ(r) = 0, no existe máximo o mínimo local de ϕ(r). Si existe
un extremo (máximo o mínimo), cada término ∂2ϕ
∂x2
i tendría el mismo signo (+
ó −), de modo que Pi ∂2ϕ
∂x2 i
6= 0.
2. En una región donde ρ = 0, ϕ no puede ser simultáneamente periódico en todas las tres dimensiones (puede ser periódico en una o en dos de las dimensiones). Si ϕ es periódico en la dirección xi, entonces tiene la forma ϕ ∝ sin(kixi)ó ϕ ∝
cos(kixi), donde kies una constante, y por lo tanto, satisface ∂
2ϕ
∂x2 i
= −ki2ϕ. Si ϕ es periódico es las tres dimensiones, tendríamos ∇2ϕ = − k2
1+ k22+ k32 ϕ 6= 0,
incompatible con la ecuación de Laplace.
1.6 Energía electrostática.
Consideremos el trabajo total Wtotal para ensamblar una con guración de N cargas
qi en las posiciones ri, trayendo sucesivamente cada carga desde el in nito hasta su
correspondiente posición en presencia de las cargas precedentes. Esto es,
Wtotal = Wq1 + Wq2 + Wq3 + . . . + WqN (1.160)
donde Wqi signi ca el trabajo para traer la carga qi a la posición ri, en presencia de
las anteriores cargas q1, q2, . . . , qi−1.
Tenemos,
Wq1 = 0 (no hay otras cargas presentes, ni campos externos.)
Wq2 = q2ϕ (r2) = q2q1 |r2− r1| Wq3 = q3ϕ (r3) = q3q1 |r3− r1| + q3q2 |r3− r2| Wq4 = q4ϕ (r4) = q4q1 |r4− r1|+ q4q2 |r4− r2|+ q4q3 |r4− r3| (1.161)
Sumando todos los términos,
Wtotal= 1 2 X i , j i6=j qiqj |ri− rj|, (1.162) donde el factor 1
2 se introduce para no repetir la suma de términos simétricos i ↔ j.
El trabajo Wtotal es equivalente a la energía potencial total almacenada en esta
con guración,
U = Wtotal. (1.163)
Figura 1.29: Energía electrostática de una distribución de carga.
in-1.6. ENERGÍA ELECTROSTÁTICA. 41 nitesimales qi → dq = ρd3r y qj → dq0 = ρd3r0 en el límite continuo de la suma:
Wtotal= U = 1 2 Z d3r Z ρ (r) ρ (r0) |r − r0| d 3r0 = 1 2 Z d3r ρ (r) Z ρ (r0) |r − r0|d 3r0 = 1 2 Z ρ (r) ϕ (r) d3r , (1.164)
donde la integral de volumen se extiende a todo el espacio (r → ∞). La Ec. (1.164) es el trabajo para ensamblar la distribución de cargas en contra de sus propio campos; mientras que la Ec. (1.183) expresa el trabajo para colocar una distribución de cargas ya formada en un campo externo.
Utilizamos la ecuación de Poisson ∇2ϕ = −4πρ, de donde ρ (r) = −∇2ϕ/4π.
Sustituyendo en Ec. (1.164), tenemos U = − 1
8π Z
ϕ ∇2ϕ d3r. (1.165)
Empleamos la identidad vectorial
∇ · (ϕa) = a · ∇ϕ + ϕ ∇ · a, (1.166) y haciendo a = ∇ϕ, obtenemos ϕ∇2ϕ = ∇ · (ϕ∇ϕ) − |∇ϕ|2. (1.167) Sustituyendo en la Ec. (1.165) U = 1 8π Z |∇ϕ|2 d3r − 1 8π Z ∇ · (ϕ∇ϕ) d3r. (1.168)
Evaluamos la segunda integral mediante el teorema de la divergencia: Z V ∇ · (ϕ∇ϕ) d3r = I S ϕ∇ϕ · ˆn da. (1.169)
Tomemos S como una esfera de radio R → ∞, dentro de la cual se encuentra la densidad de carga ρ que produce el potencial ϕ en todo el espacio. La normal ˆn apunta en la dirección radial.
Figura 1.30: Integral de volumen se extiende a todo el espacio cuando la super cie tiende a in nito.
Entonces,
ϕsobre S≈ Q
R (Q =carga total encerrado en S) (1.170)
∇ϕ · ˆn|S = ∂ϕ ∂n S = ∂ϕ ∂R ≈ Q R2 (1.171) da = R2sin θ dθ dφ = R2dΩ (1.172) Luego, I S ϕ∇ϕ · ˆn da = I S ϕ∂ϕ ∂n da ∼ I S R2 R3 dΩ = I S 1 RdΩ (1.173) En el límite R → ∞ obtenemos Z V ∇ · (ϕ∇ϕ) d3r = I S ϕ∇ϕ · ˆn da = 0. (1.174)
Luego, tenemos la energía potencial
U = 1
8π Z
|∇ϕ|2d3r . (1.175)
Usando E = −∇ϕ, también se puede expresar
U = 1
8π Z
|E|2d3r , (1.176)
lo que describe la energía potencial almacenada en todo el espacio donde existe un campo eléctrico E. Puesto que ésta es una integral sobre un volumen, se de ne la expresión
u = |E|
2
8π , (1.177)
1.7. INTERACCIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA CON UN CAMPO EXTERNO.43 Ejemplos.
1. Calcular la fuerza por unidad de área entre dos planos in nitos paralelos, con densidades super ciales de carga σ y −σ, respectivamente.
Sea x la dirección perpendicular entre los planos. El campo eléctrico en el espacio entre los planos es E = 4πσˆx.
La densidad de energía electrostática entre los planos es u = 1
8π|E|
2= 2πσ2. (1.178)
Consideremos un desplazamiento dx de uno de los planos en la dirección ˆx, tal que el volumen entre los planos aumenta en una cantidad A dx. Consequente-mente, la energía electrostática del sistema aumenta en
dU = uA dx = 2πσ2A dx. (1.179)
La fuerza sobre un plano es F = −dU
dx ˆx, y la fuerza por unidad de área es F A = − 1 A dU dx ˆx = −2πσ 2ˆx (1.180)
es decir, la fuerza entre los planos es atractiva.
1.7 Interacción de una distribución de carga con un campo
externo.
Supongamos una región del espacio donde existe un campo eléctrico externo Eext
y un potencial externo dado por Eext(r) = −∇ϕext(r). Recordemos que el trabajo
para traer una carga q desde r = ∞ hasta una posición r, donde existe un potencial externo ϕext, es
W (r) = q ϕext(r) = U, (1.181)
donde U es la energía potencial de la interacción de la carga con el campo externo. Para un conjunto de N cargas qi en posiciones ri en presencia de un potencial
externo ϕext, no producido por las cargas, la energía potencial de interacción es
U =
N
X
i
Para una distribución continua de carga ρ(r) en presencia de un potencial externo ϕext(r), la energía potencial de la interacción corresponde a
U = Z
ρ(r) ϕext(r) d3r. (1.183)
Esta es la energía potencial de una distribución de cargas ya formada, interactuando con un campo externo. No es el trabajo para ensamblar la distribución de las cargas en contra de sus propios campos.
Figura 1.31: Distribución de carga en un campo eléctrico externo.
Supongamos que la distribución de carga ρ(r) en el espacio incluye el origen r = 0y que el potencial externo varía sobre la extensión de la distribución. Entonces, podemos hacer una expansión de Taylor del potencial alrededor de r = 0,
ϕext(r) = ϕ(0) + 3 X i ∂ϕ ∂xi 0 xi+ 1 2 X i,j ∂2ϕ ∂xi∂xj 0 xixj+ · · · = ϕ(0) + (∇ϕ)0· r + 1 2 X i,j ∂ ∂xi ∂ϕ ∂xj 0 xixj + · · · (1.184)
donde hemos suprimido la notación ext, por simplicidad. Utilizando la relación Eext = −∇ϕext(r), podemos escribir
ϕext(r) = ϕ(0) − r · E(0) −1 2 X i,j ∂Ej ∂xi 0 xixj+ · · · (1.185)
1.7. INTERACCIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA CON UN CAMPO EXTERNO.45 Sustitución en la Ec. (1.183) permite obtener la expansión de la energía potencial
U = ϕ(0) Z ρ(r) d3r − E(0) · Z ρ(r) r d3r −1 2 X i,j Z ρ(r) xixj ∂Ej ∂xi 0 d3r + · · · (1.186) lo cual se puede escribir como
U = q ϕ(0) − p · E(0) −1 2 X i,j Z ρ(r) xixj ∂Ej ∂xi 0 d3r + · · · (1.187) donde hemos usado las de niciones de los momentos monopolar q y dipolar p.
El tercer término se puede poner en forma cuadripolar usando el hecho de que el campo electrostático externo, lejos de sus fuentes y en la región donde se localiza la distribución ρ(r), satisface ∇ · Eext = 0. Luego,
∇ · Eext =X i ∂Ei ∂xi =X i X j ∂Ej ∂xi δij = X i,j ∂Ej ∂xi δij = 0 . (1.188)
En particular, en r = 0, el campo externo satisface ∇ · E(0) =X i,j ∂Ej ∂xi 0 δij = 0 . (1.189)
Restando la cantidad nula 1
6∇ · E(0) r
2 en el integrando, el tercer término puede
escribirse como −1 2 X i,j Z ρ(r) xixj ∂Ej ∂xi 0 d3r = −1 2 X i,j Z ρ(r) xixj ∂Ej ∂xi 0 −1 3 ∂Ej ∂xi 0 r2δij d3r = −1 6 X i,j Z ρ(r)3xixj− r2δij ∂Ej ∂xi 0 d3r = −1 6 X i,j ∂Ej ∂xi 0 Qij (1.190)
donde hemos usado la de nición de los momentos cuadripolares Qij =
Z
Finalmente, podemos expresar la energía de una distribución de carga en presencia de un campo eléctrico externo como la siguiente expansión multipolar,
U = q ϕ(0) − p · E(0) −1 6 X i,j Qij ∂Ej ∂xi 0 + · · · (1.192)
El primer término corresponde a la interacción del monopolo con el potencial externo; el segundo término expresa la interacción del dipolo de la distribución de carga con el campo eléctrico externo; y el tercer término describe la interacción del momento cuadripolar de la distribución con el gradiente del campo.
La interacción de un dipolo con un campo externo corresponde en general a
U = −p · Eext, (1.193)
donde Eext es el campo externo evaluado en la posición del dipolo.
En particular, si tenemos un dipolo p1 en presencia del campo E2 producido por
un dipolo p2, entonces la energía de interacción será
U = −p1· E2. (1.194)
Figura 1.32: Campo eléctrico de un dipolo p2 en la posición de un dipolo p1.
Si r es la posición del dipolo p1 con respecto al dipolo p2, el campo E2 producido
por p2 en la posición de p1 está dado por la Ec. (1.148),
E2=
3(p2· ˆr)ˆr − p2
r3 . (1.195)
Luego, la energía de interacción de los dos dipolos es Udip = −p1· 3(p2· ˆr)ˆr − p2
r3
= p1· p2− 3(p1· ˆr)(p2· ˆr)
1.8. POTENCIAL Y CAMPO ELÉCTRICO EN CONDUCTORES. 47 En general, si p1 está en la posición r1 y p2 está en r2, la energía potencial de
interacción de los dos dipolos es
Udip= p1· p2− 3(p1· ˆr)(p2· ˆr) |r2− r1|3
, (1.197)
donde ˆr ≡ r2− r1
|r2− r1| .
Figura 1.33: Interacción entre dos dipolos p1 y p2.
La fuerza de interacción entre dos dipolos p1 y p2 está dada por Fdip= −∇Udip.
Note que la fuerza entre dos dipolos eléctricos depende de la distancia como 1/r4,
mientras que la fuerza entre dos cargas puntuales varía como 1/r2(Ley de Coulomb).
1.8 Potencial y campo eléctrico en conductores.
La solución de la ecuación de Poisson o de Laplace en una región del espacio limitada por objetos o fronteras, denotadas por S, requiere conocer las siguientes condiciones para el potencial ϕ sobre las fronteras:
ϕ|S , ∂ϕ ∂n S . (1.198)
Estas condiciones son particularmente simples en fronteras constituidas por ma-teriales conductores, los cuales además tienen muchas aplicaciones prácticas.
Un conductor es un material donde las cargas son capaces de moverse libremente en su interior y sobre su super cie. En Electrostática, las distribuciones de cargas y los campos en un conductor deben alcanzar un estado de equilibrio (independiente del tiempo).
i. Toda carga neta en un conductor debe estar en su super cie.
Consideremos una densidad de carga neta ρ colocada inicialmente dentro de un conductor. La carga ρ neta corresponde a partículas con carga de un mismo signo; es decir que se repelen (si hay cargas con signos opuestos, se atraen hasta anularse; el exceso corresponde a ρ). Puesto que tienen la posibilidad de moverse libremente dentro del conductor, las cargas alcanzarán su máxima separación. Esto implica que las cargas deben alcanzar la super cie del conductor. Luego, si un conductor posee una carga neta, ésta debe estar justo en su super cie, distribuida como una densidad super cial de carga σ.
Figura 1.34: La carga neta se encuentra en la super cie de un conductor.
ii. El campo eléctrico dentro de un conductor es cero.
Apliquemos la Ley de Gauss dentro del conductor. Tomemos una super cie gaussiana S justo debajo y arbitrariamente cerca de la super cie del conductor. Puesto que no hay carga encerrada dentro de S, tenemos
I
S
E · ˆn da = 0 ⇒ E = 0 dentro de S. (1.199)
1.8. POTENCIAL Y CAMPO ELÉCTRICO EN CONDUCTORES. 49 Puesto que S está arbitrariamente cerca de la super cie del conductor, esto implica que E = 0 en todo punto dentro del conductor. Luego, E = −∇ϕ implica, a su vez, que ϕ es constante dentro de un conductor.
iii. Un conductor es una super cie equipotencial.
Consideremos un conductor en campo eléctrico externo E. El campo externo mueve las cargas libres dentro del conductor e induce una densidad de carga σ no uniforme en la super cie del conductor.
Figura 1.36: Campo eléctrico en la super cie de un conductor.
El campo dentro del conductor es E1 = 0, mientras que el campo en un punto
sobre la super cie se puede escribir como
E2 = Enn + Eˆ tˆt, (1.200)
donde ˆn y ˆt son el vector normal y el vector tangente a la super cie, respecti-vamente.
Figura 1.37: Campo eléctrico e integral de línea a través de la super cie de un conductor.
Recordemos que las componentes tangenciales del campo eléctrico en ambos lados de una super cie con densidad de carga σ son continuas; esto es
Pero E1= 0 dentro del conductor. Luego
E2· ˆt = Et= 0; (1.202)
es decir, la componente del campo eléctrico tangente a la super cie de un con-ductor es cero.
El potencial sobre la super cie S del conductor satisface E2· ˆt = −∇ϕ|S · ˆt = ∂ϕ ∂l S = 0 ⇒ ϕ =constante sobre S. (1.203)
Luego, tanto el interior como la super cie de un conductor poseen un potencial ϕ constante.
iv. El campo eléctrico en la super cie S de un conductor siempre es normal a S y su magnitud es En= 4πσ.
Vimos que las componentes normales de los campos E1 E2 a ambos lados de
una super cie con densidad de carga σ están relacionados localmente por
(E2− E1) · ˆn = 4πσ. (1.204)
Pero E1= 0 (dentro del conductor). Luego,
E2· ˆn = En= 4πσ. (1.205) Puesto que E2· ˆn = −∇ϕ|S · ˆn ⇒ En = − ∂ϕ ∂n S = 4πσ. (1.206)
En general, resolver la ecuación de Poisson o de Laplace en regiones limitadas por conductores requiere encontrar un ϕ que satisface las condiciones de frontera Ec. (1.203) y Ec. (1.206) sobre los conductores.
1.9. CAPACITANCIA. 51
1.9 Capacitancia.
Supongamos un sistema de N conductores con cargas qiy potenciales ϕi, i = 1, . . . , N,
colocados en el espacio libre.
La energía electrostática total del sistema es
U = 1
8π Z
V
|E|2d3r , (1.207)
donde el volumen V se extiende a todo el espacio, excluyendo el volumen ocupado por los conductores donde el campo eléctrico es cero.
Figura 1.38: Sistema de conductores con cargas qiy potenciales ϕi.
Usando la relación E = −∇ϕ, podemos escribir la Ec. (1.207) como
U = − 1 8π Z V E · ∇ϕ d3r = − 1 8π Z V [∇ · (Eϕ) − ϕ(∇ · E)] d3r = − 1 8π I S (Eϕ) · ˆn da, (1.208)
donde hemos usado el teorema de la divergencia para el primer término en la Ec. (1.208) y la Ley de Gauss, ∇ · E = 0 (puesto no hay cargas en el volumen V ), en el segundo término de dicha ecuación. La super cie S que delimita al volumen V incluye el in- nito (S → ∞) y las super cies Si de los conductores, mientras que el vector normal
ˆ
conductor. Luego, U = − 1 8π Z S→∞ (Eϕ) · ˆn da − 1 8π X i I Si (Eϕi) · (−ˆni) dai, (1.209)
donde ˆni es la normal sobre cada Si (−ˆni apunta hacia dentro del conductor). La
integral en el primer término tiende a cero en el límite S → ∞; entonces,
U = 1 8π X i ϕi I Si
E · ˆnidai (ϕi es constante sobre cada Si),
= 1
8π X
i
ϕi(4πqi) (usando la Ley de Gauss sobre cada Si),
= 1
2 X
i
qiϕi. (1.210)
Las cargas qiy los potenciales ϕien la Ec. (1.210) no son independientes. El potencial
del conductor i se debe a la carga qi y a las contribuciones de todas las cargas en los
demás conductores. Supongamos que tenemos una carga qk 6= 0 y qi = 0, ∀i 6= k;
entonces el potencial en cada conductor debe ser simplemente proporcional a qk, es
decir, ϕi = pikqk. Puesto que las ecuaciones de la Electrostática son lineales, podemos
escribir los potenciales para un conjunto de cargas mediante la superposición lineal ϕi =
N
X
j=1
aijqj, (1.211)
donde los aij son coe cientes de proporcionalidad. Las Ecs. (1.211) constituyen un
conjunto de N ecuaciones lineales que se pueden invertir para obtener qi =
N
X
j=1
Cijϕj. (1.212)
La matriz Cij se denomina tensor de capacitancia. Sus elementos poseen dimensiones
de longitud y dependen de factores geométricos, tales como la forma de los conduc-tores y la posición relativa entre éstos. Si tenemos solamente un conductor con carga q, el único elemento C se denomina la capacidad del conductor,
1.9. CAPACITANCIA. 53 La capacidad C expresa la cantidad de carga que el conductor puede contener cuando está sujeto a un potencial dado. La capacidad está relacionada con el tamaño del conductor. Por ejemplo, para una esfera de radio R que tiene una carga q, el potencial sobre su super cie es ϕ = q/R. Comparando con la de nición Ec. (1.213), obtenemos C = R para una esfera conductora.
La capacitancia de un sistema formado por dos conductores que poseen cargas iguales y opuestas se de ne como el cociente entre la carga de un conductor y la diferencia de potencial entre ellos. Se pueden diseñar diversas con guraciones de conductores para almacenar carga eléctrica sujetos a potenciales; tales dispositivos se llaman capacitores o condensadores.
Usando el tensor de capacitancia, la energía potencial electrostática del sistema de conductores, Ec. (1.210), se puede expresar como
U = 1 2
X
i,j
Cijϕiϕj. (1.214)
La energía almacenada en un capacitor con capacitancia C sujeto a un potencial ϕ es
U = 1 2Cϕ
Resumen.
1. Función delta de Dirac: Z I f (x)δ(x − a)dx = f (a). ∇2 1 |r − r0| = −4πδ (r − r0) . 2. Ecuaciones de la Electrostática: ∇ · E = 4πρ. ∇ × E = 0. 3. Forma integral de la ley de Gauss:
I
S
E · ˆn da = 4πqenc.
4. Condiciones de frontera del campo eléctrico a través de una super cie cargada: E2(r0) · ˆn − E1(r0) · ˆn = 4πσ(r0). E2· ˆt = E1· ˆt. 5. Potencial escalar: E = −∇ϕ. ϕ(r) = Z ρ (r0) |r − r0|d 3r0.
6. Diferencia de potencial entre dos puntos A y B:
(ϕB− ϕA) =
WAB
q . 7. Ecuaciones de Poisson y de Laplace,
∇2ϕ = −4πρ (Ec. Poisson).
1.9. CAPACITANCIA. 55
8. Energía electrostática de una con guración de cargas puntuales: Wtotal= 1 2 X i , j i6=j qiqj |ri− rj| .
9. Energía de un campo electrostático: U = 1
8π Z
|E|2d3r.
10. Expansión del potencial de una distribución de carga para r > r0,
ϕ(r) ≈ q r+ r · p r3 + 1 2r5 3 X i,j=1 xixjQij. (1.216)
11. Momento dipolar de una distribución de carga, p = Z ρ(r0) r0d3r0. 12. Potencial de un dipolo, ϕ(r) = p · ˆr r2 .
13. Campo eléctrico de un dipolo,
E(r) =3(p · ˆr)ˆr − p r3 .
14. Energía de un dipolo en un campo eléctrico externo, U = −p · E . 15. Energía potencial de interacción de dos dipolos,
Udip= p1· p2− 3(p1· ˆr)(p2· ˆr) |r2− r1|
3 .
16. Propiedades de conductores:
E = 0, dentro del conductor.
ϕ =cte, dentro y sobre la super cie del conductor. En = − ∂ϕ ∂n S
= 4πσ, en la super cie del conductor. 17. Capacidad de un conductor:
