Históricamente en el estudio de ecuaciones se evidencia que sus problemas y métodos de solución, fueron analizados por diferentes matemáticos en distintas épocas por varios siglos. La teoría de ecuaciones está relacionada con el desarrollo del álgebra, sin embargo, en la búsqueda de soluciones fue necesario incorporar construcciones geométricas.
La historia del álgebra, tal como lo menciona Puig (1998, p. 01), muestra que su desarrollo fue un proceso lento a través del descubrimiento de técnicas, fórmulas para resolver ecuaciones y el
B A C D B A C D + E F
hallazgo de un lenguaje que las involucra; el análisis de las ecuaciones generó la necesidad de incorporar notaciones, simbolizaciones, el estudio de operaciones abstractas y una teoría de números o cantidades.
El álgebra se ha desarrollado en tres periodos fundamentales: el primero de ellos es denominado el álgebra retórica, pues, como no se tenía ningún tipo de simbolismos para representar elementos para realizar operaciones, entonces, el uso del lenguaje natural jugó el papel fundamental. El segundo periodo, conocido como el álgebra sincopada, se caracterizó por hacer uso del lenguaje natural con algunos símbolos especiales. Y el tercero, designado como el álgebra simbólica, dio el auge de los símbolos especiales para sustituir los objetos y operar con ellos de acuerdo a sus propiedades.
Entre los matemáticos que contribuyeron en el desarrollo del álgebra está Diofanto (200/214 d. C-284/298 d. C), un matemático griego cuyos aportes se visualizan especialmente en el álgebra sincopada, pues fue él quien, en su obra Aritmética15, define un tratamiento simbólico a las cantidades numéricas, combinado con el lenguaje natural. Su propósito se enfocaba en encontrar la solución a ejercicios específicos, en este sentido presenta en su libro algunos problemas matemáticos con su respectiva solución.
Para Diofanto la unidad numérica constituía el neutro del producto, en el sentido que admitía que esta operación de cualquier número con la unidad es el mismo número; realizó operaciones entre fracciones y entre fracciones y números, tratamiento que le permitió incorporar lo que se conoce actualmente como la ley de los signos. Además, estableció la propiedad de que al multiplicar un número por una fracción cuyo denominador sea ese mismo número se obtiene la
unidad. Las soluciones de las ecuaciones corresponden, para Diofanto, a nuestros números racionales positivos. Cuando la solución de una ecuación es una raíz inexacta, simplemente la rechazaba como solución y buscaba una solución racional.
Con los Hindúes, a partir del siglo III a. C., se empiezan a conocer símbolos numéricos para los números del 1 al 9 (figura 2.5), sin una notación posicional y ningún signo para el cero. Sin embargo, el cero adquiere el carácter de número en siglos posteriores. Cabe resaltar que en el siglo VI d. C. estos símbolos fueron la base de la representación de cualquier cantidad.
Figura 2.5: Sistema de numeración Indo-arabiga
Algunas de las contribuciones de los hindúes se recopilan en la obra Brahmasphuta siddhanta, publicada en 628 d. C., donde se visualiza la aceptación de raíces negativas y algunas raíces inexactas para la solución de ecuaciones, a las cuales se les asignó propiedades numéricas del álgebra. Es importante destacar que los hindúes consideraban a estas raíces como cantidades, lo que permitiría visualizar algunas operaciones entre ellas para casos particulares, como es el caso de la suma de dos raíces inexactas especiales. Un ejemplo de ello es el siguiente:
Ejemplo 2.1: Dadas dos raíces inexactas √2 y √72
√2 + √72 = √(2 + 72) + 2√2 × 72
√2 + √72 = √98
√𝑚 + √𝑛 = √(𝑚 + 𝑛) + 2√𝑚 × 𝑛
con 𝒎 y 𝒏 números enteros positivos; tal que su producto tenga raíz cuadrada exacta.
Posteriormente, en los aportes de los árabes se destaca al matemático y astrónomo Al- Khowarizmi (780 d. C. - 850 d. C.) conocido como el verdadero padre del álgebra. Al-Khowarizmi estableció el sistema Indo-Arábigo16 de numeración con el símbolo 0, la notación posicional y los numerales de base 10, importante en el sentido que permitió incorporar algoritmos para establecer representaciones decimales. Ahora bien, al visualizar los números partir de estas cifras decimales se rompe un poco los problemas que surgieron en la antigüedad y aparece la visualización de las raíces exactas e inexactas, con tantos decimales como se quiera. Por otro lado, incorporó algunos algoritmos de resolución de ecuaciones para el desarrollo del álgebra.
A pesar de que Al-Khowarizmi escribe su libro Hisab Al-jabr Wa’l Muqabalah para solucionar problemas de reparticiones y herencias, el primer capítulo lo dedica a estructurar un corpus teórico que constituye la simiente del álgebra, en el sentido de que desarrolla algoritmos para resolver ecuaciones. Modernamente hablando, encuentra algoritmos para solucionar ecuaciones por medio de radicales. Para ello utiliza los procesos de Al-jabr y Wa’l Muqabalah: el primero consistía en realizar una transposición de términos en una ecuación de un lado a otro y el segundo en la cancelación de términos iguales a ambos lados de la ecuación. Para realizar los cálculos mencionados, visualizó tres especies de números: una raíz (cualquier cosa multiplicada por sí misma), un tesoro (cuantía total de una raíz multiplicada por sí misma) y simples números (no son asociados a raíz ni tesoro). Sin embargo, para su tratamiento visualizó dos tipos de cantidades
numéricas: los algebraicos y los aritméticos. Raíces y tesoros se asocian a los cuadrados perfectos, es decir, a los algebraicos y las raíces inexactas a los algebraicos.
Así pues, se enfoca en la solución de ecuaciones de primer y segundo grado a partir de seis formas canónicas, cuyas soluciones se daban con algoritmos específicos. En lo que respecta a la solución de una ecuación cuadrática, Al-Khowarizmi se apoya en una representación geométrica que corresponda a la ecuación dada y que a su vez le permite incorporar el algoritmo general de completar trinomios cuadrados perfectos.
Cabe señalar que Al-Khowarizmi sólo admite soluciones positivas. En este sentido, para la solución de un problema primero se construía una ecuación y luego se reducía esa ecuación a cualquiera de las seis formas canónicas para posteriormente aplicar la respectiva regla algorítmica de solución.
Dada la existencia del algoritmo para solucionar ecuaciones cuadráticas, el interés de los matemáticos del siglo XVI se centró en la determinación del método de solución de ecuaciones de tercer y cuarto grado. En esta dirección son muy importantes los trabajos de Gerolamo Cardano (1501-1576), un médico, matemático, astrólogo, y estudioso del azar, quien analizó el método de solución de ecuaciones de tercer grado siguiendo los trabajos de los árabes, Leonardo de Pisa o Fibonacci (1170 - 1240) y Luca Pacioli (1445 - 1517); con la ayuda de Luis Ferrari (1522-1565), su discípulo, y Nicolás Tartaglia completa el método y lo publica en el libro Ars Magna17.
Cardano haciendo uso del lenguaje retórico con algunos indicios de álgebra sincopada rechaza las soluciones negativas de las ecuaciones18 y las raíces no exactas. Sin embargo, no tenía problema
17 Libro publicado en 1545 con importantes aportes a las matemáticas que consta de veinte capítulos.
18 Cardano considera a las soluciones negativas de las ecuaciones como ficticias, mientras que las positivas, raíces
en trabajar con ellas y racionalizar raíces cúbicas, pues algunos matemáticos de esa época sí aceptaban algunas raíces inexactas en las operaciones, tal como es el caso de Michel Stifel (1487- 1567), quien visualizaba a los números irracionales como raíces de la forma:
√𝑎 + √𝑏𝑛 𝑚
En lo que respecta a la solución de una ecuación cúbica, en primer lugar, Cardano realiza un cambio de variable para transformarla en otra ecuación, que no conste de términos que estén elevados al cuadrado para relacionarla con uno de los casos del algoritmo de Tartaglia19 para conocer su respectiva solución. Finalmente, establece a través de ejemplos los procesos operativos. Cabe resaltar que con el algoritmo de Tartaglia y Cardano, desde una visión moderna, se pueden obtener soluciones de ecuaciones de la forma:
±𝑥3± 𝑝𝑥 ± 𝑞 = 0
Así pues, Cardano trató de visualizar geométricamente a las soluciones de ecuaciones cúbicas. Esto por medio de un cubo de lado 𝑎 que se divide en dos partes: 𝑏 y 𝑎 − 𝑏 obteniendo una ecuación de la siguiente forma:
(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3− 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2− 𝑏3
A continuación, Cardano realizó operaciones y sustituciones adecuadas para encontrar la solución, la cual coincide haciendo uso del algoritmo propuesto por Tartaglia para otros casos de ecuaciones cubicas como los siguientes:
19 Cardano sigue los algoritmos establecidos por Tartaglia, pero no los escribe, sino que los interpreta y los explica de
Sea 𝑝 = 3𝑎𝑏, 𝑞 = 𝑎3− 𝑏3, 𝑢 = 𝑎3, y 𝑣 = 𝑏3
1. Cuando el cubo más las cosas es igual a un número 𝑞, se buscan dos números 𝑢 y 𝑣 tales que su diferencia sea 𝑞 y su producto sea igual al cubo de la tercera parte de las cosas conocidas. Luego, la diferencia de las raíces cúbicas de 𝑢 y 𝑣 es la cosa principal, es decir
𝑥.
2. Cuando el cubo está solo, es decir, que el cubo es igual a las cosas más el número, se debe seguir la regla de dividir al número 𝑞 en dos partes 𝑢 y 𝑣, de manera que su producto sea igual al cubo de la tercera parte de las cosas conocidas. Así, la suma de las raíces cúbicas de 𝑢 y 𝑣 es la cosa principal.
3. Cuando el cubo más un número 𝑞 es igual a las cosas, su solución data igual al anterior. Ahora bien, lo anterior se reduce a:
1. 𝑥3 + 𝑝𝑥 = 𝑞 𝑢 − 𝑣 = 𝑞 𝑢. 𝑣 = (𝑝⁄ )3 3 𝑥 = √𝑢3 − √𝑣3
2. 𝑥3 = 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑢 + 𝑣 = 𝑞 𝑢. 𝑣 = (𝑝 3
⁄ )3 𝑥 = √𝑢3 + √𝑣3 En este caso, Cardano tiene en cuenta que para evitar soluciones con radicales negativos, se debe cumplir la desigualdad:
𝑝 3
⁄ 3 ≤ 𝑞⁄22
3. 𝑥3 + 𝑞 = 𝑝𝑥
En consecuencia, el estudio del método de solución de ecuaciones cúbicas le permitió a Cardano no admitir como solución a las raíces negativas ante la presencia de √−121 como solución de la
ecuación 𝑥3 = 15𝑥 + 4. No obstante, en ese momento a esas expresiones no se les atribuyó el carácter de número sino hasta Rafael Bombelli (1526-1572) con la introducción de la notación i para la raíz negativa del número uno; lo que permitió dar inicio al reconocimiento de estas raíces negativas como números complejos. Cabe señalar que Bombelli no interpreto las raíces negativas como números, sino que sólo las empleo para procesos operativos como cantidades con el fin de tener un acercamiento a las raíces reales.
Michael Stifel (1487-1567), un matemático alemán, intuyó en su obra Arithmetica Integra (1544) que dado que los números irracionales eran soluciones de ecuaciones, éstos eran obligados a ser considerados como “verdaderos números”, pues, cuando “fallan los números racionales toman su lugar los irracionales”. Sin embargo, tenía en cuenta que no eran números en absoluto, puesto que no podían someterse a numeración, del mismo modo que pertenecían a una “nube de infinitud”, tal como los números infinitos que no eran aceptados como números. Para Stifel que concebía que “nada de tal naturaleza carente de precisión puede llamarse número”.
Por otra parte, Simon Stevin (1548-1620) partió de algunas intuiciones que tenía Diofanto en el siglo III d. C. acerca del número, pues él lo consideraba como la incógnita de los problemas con solución entera o fracción. Stevin también partió del uso de las fracciones en el cálculo sin tener en cuenta la rigurosidad de las reglas. Además, consideró el efecto que se genera en la manipulación algebraica y mejoró la notación de Diofanto.
Así pues, con Stevin ya se visualiza una noción de número que va más allá que la definición euclidiana: “un número es aquello por lo cual se explicita la cantidad de cada una de las cosas” (Stevin, 1585; citado en Gómez, 1999, p. 02), es decir que el número es un medio para explicar la cantidad. Como la unidad se concebía como un objeto reducido imposible de fraccionarse indefinidamente, para estudiar a las fracciones, Stevin se vio en la necesidad de empezar por dotar
al uno de los números con las propiedades que le permitieran considerarlo como un número; para esto empieza adoptando su divisibilidad infinita, propiedad que era atribuida a las magnitudes. La división del uno favoreció la aritmética de las fracciones y permitió la introducción de la notación decimal y concretar la aplicación de la proposición VII.19 del libro de Euclides, resumida en que el producto de medios es igual al producto de extremos:
Proposición VII. 19: Si cuatro números son proporcionales, el producto del primero y el cuarto será igual al del segundo y el tercero, y si el producto del primero y el cuarto es igual al producto del segundo y el tercero, los cuatro números serán proporcionales.
A partir de la representación decimal, Stevin empieza a desarrollar una teoría apropiada para operar resultados de cuantificación, lo cual le ayudó a intuir que los números irracionales tenían las mismas propiedades operacionales que las fracciones y, que era posible considerarlos como números con una parte entera. Históricamente, Stevin está introduciendo una manera de operar los irracionales a través de la representación decimal, a sabiendas que los resultados corresponden sólo a estimaciones.
Más adelante, con los estudios propuestos por Stevin en la noción de número, se genera una ruptura del pensamiento griego en este campo, pues intuye que la unidad deja de ser vista como el "principio generador de los números", pero es parte del número.
En el siglo XVII se visualiza la posibilidad de resolver algunos problemas geométricos con los métodos y resultados del álgebra, estableciéndose un puente entre la geometría y la aritmética.
Esta línea de contacto fue establecida por René Descartes (1596-1650), un filósofo, matemático y físico francés, en su libro La Geometría20.
Con la geometría analítica de Descartes se da un doble movimiento en la visualización histórica de los números reales que culmina con la representación de la recta numérica. Aunque Descartes no determina, de manera explícita, la relación entre puntos de la recta y números, establece relaciones entre cantidades, segmentos y soluciones de ecuaciones que desembocarán en las rectas coordenadas y, por ende, en el plano cartesiano. Descartes empieza considerando la medida de todos los segmentos respecto a un segmento de referencia que se tomará como la unidad. De esta forma, si se considera el conjunto S de segmentos, Descartes establece la estructura: (S, +, x, <) y adicionalmente define las operaciones ÷, √, recurriendo al teorema de Tales, demostrado por Euclides en el libro VI de los Elementos.
Para incorporar las operaciones definidas anteriormente, Descartes se ve en la necesidad de extender las operaciones aritméticas a los segmentos. En este sentido, para la suma y la diferencia de segmentos, Descartes no hace ninguna aclaración. Sin embargo, para la multiplicación y la división se considera la unidad. Así, a continuación se visualizan las operaciones de suma, diferencia, producto, división, y extracción de la raíz de segmentos:
I. Suma
Para sumar los segmentos 𝐴𝐵 con 𝐶𝐷, se sigue el siguiente el procedimiento, siguiendo las directrices euclidianas:
20 Libro publicado en 1637 que está conformado por trece libros. El primer libro trata sobre los problemas que pueden
resolverse sólo con círculos y líneas rectas; el segundo aborda el estudio de líneas curvas; y el tercero lo dedica a los problemas sólidos y supersólidos.
1. 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷 pueden ser de cualquier magnitud (figura 2.6.I).
2. Se une el extremo derecho de 𝐴𝐵 con el extremo izquierdo de 𝐶𝐷 (𝐵 y 𝐶 coinciden) (figura 2.6.II).
3. Luego, 𝐴𝐷 es el segmento buscado (figura 2.6.III).
4. La suma de 𝑎 y 𝑏 da como resultado 𝑐.
Observación: La suma de los segmentos daría el mismo resultado si se sumaría a 𝐶𝐷 con 𝐴𝐵, por lo cual, su adición se realiza al unir el extremo izquierdo de 𝐴𝐵 con el extremo derecho de 𝐶𝐷 (𝐴
y 𝐷 coinciden). I 𝐴𝐵 = 𝑎 y 𝐶𝐷 = 𝑏 II uniendo segmentos III
propiedades extendidas de la aritmética
𝑎 + 𝑏 = 𝑐
Figura 2.6: Suma de Segmentos
II. Diferencia
Se desea extraer del segmento 𝐴𝐵 el segmento 𝐶𝐷:
2. Se sobrepone el segmento 𝐶𝐷 sobre 𝐴𝐵 de tal manera que uno de los extremos de 𝐴𝐵
coincida con uno de los extremos de 𝐶𝐷. (𝐴 y 𝐶 coinciden ó 𝐵 y 𝐷 coindicen) (figura 2.7.II).
3. Luego, 𝐷𝐵 ó 𝐴𝐶 es el segmento que se quería encontrar (figura 2.7.III).
4. La sustracción de 𝑎 y 𝑏 da como resultado 𝑐.
I
𝐴𝐵 = 𝑎 y 𝐶𝐷 = 𝑏
II
sobreponiendo segmentos
III
extendiendo las propiedades aritméticas
𝑎 − 𝑏 = 𝑐
𝑎 − 𝑏 = 𝑐
Figura 2.7: Diferencia de Segmentos
III. Producto
Se quiere multiplicar los segmentos 𝐵𝐷 y 𝐵𝐶 (figura 2.8.I), para este caso:
1. Se emplea como la unidad al segmento 𝐴𝐵 y se coloca en la misma línea del segmento 𝐵𝐷
(figura 2.8.II).
2. Se busca unir los puntos 𝐴 y 𝐶 de manera que quede el segmento 𝐴𝐶 (figura 2.8.III).
3. Se traza 𝐷𝐸 paralela a 𝐴𝐶 (figura 2.8.IV).
4. El producto de 𝑎 y 𝑏 se obtiene con la cuarta proporcional de 𝑢, 𝑎 y 𝑏.
I 𝐵𝐷 = 𝑏 𝐵𝐶 = 𝑎 II 𝐴𝐵 = 𝑢 III 𝐷𝐸 = 𝑐 IV
con la cuarta proporcional
𝒖: 𝒃 ∷ 𝒂: 𝒄 o 𝑢
𝑏 = 𝑎 𝑐
entonces, 𝒂. 𝒃 = 𝒄
Figura 2.8: Multiplicación de dos segmentos
IV. División
Se desea dividir el segmento 𝐵𝐷 entre 𝐵𝐶 (figura 2.9.I), entonces:
𝑏 𝑎
𝑢
1. Se emplea como la unidad al segmento 𝐴𝐵 y se coloca en la misma línea del segmento 𝐵𝐶
(figura 2.9.II).
2. Se deben unir los puntos 𝐷 y 𝐶 de forma que quede el segmento 𝐷𝐶 (figura 2.9.II).
3. Se traza 𝐸𝐴 paralela a 𝐷𝐶 (figura 2.9.III).
4. La división entre 𝑏 y 𝑎 resulta de la cuarta proporcional de 𝑢, 𝑎 y 𝑏.
I 𝐵𝐷 = 𝑏 𝐵𝐷 = 𝑎 II 𝐴𝐵 = 𝑢 III 𝐵𝐸 = 𝑐
con la cuarta proporcional
𝒖: 𝒃 ∷ 𝒄: 𝒂 o 𝑢 𝑏 = 𝑐 𝑎 entonces, 𝒂 𝒃= 𝒄
Figura 2.9: División de dos segmentos
𝑢
V. Extracción de la raíz
Se quiere extraer la raíz de un segmento AB, para ello:
1. Se añade 𝐷𝐴 a 𝐴𝐵, tal que 𝐷𝐴 representa la unidad (figura 2.10.I).
2. Dado el radio 𝐸𝐵 y 𝐸 punto medio de 𝐷𝐵, se construye media circunferencia 𝐷𝐶𝐵
(figura 2.10.II).
3. Se traza 𝐶𝐴, perpendicular a 𝐷𝐵 (figura 2.10.III).
4. La raíz cuadrada de 𝑎 se obtiene con la media proporcional de 𝑎 y 𝑢 (figura 2.10.IV).
I 𝐷𝐴 = 𝑢 II 𝐴𝐵 = 𝑎 III 𝐶𝐴 = 𝑏
𝐸 divide a 𝐷𝐵 en dos partes 𝐶 es un punto de la circunferencia
Con ángulos rectos sobre 𝐷𝐵
IV
con la media proporcional
𝒂: 𝒃 ∶: 𝒃: 𝒖 o 𝒂 𝒃=
𝒃 𝒖
entonces, 𝒃 = √𝒂
Figura 2.10: Extracción de raíz cuadrada
𝐴 𝐵 𝐷 𝐸 𝐴 𝐵 𝐷 𝐸 𝐶 𝑢 𝑎 𝐴 𝐵 𝐷 𝐸 𝐶 𝑏
En el tratamiento de las ecuaciones, Descartes emplea las primeras letras del alfabeto para constantes y las últimas para las variables, sabiendo que representan segmentos. El tratamiento de problemas geométricos a través de ecuaciones le permite resolver el problema de la representación de la raíz cúbica y resolver el problema de la trisección del ángulo. Este aspecto del cálculo geométrico de la raíz cúbica de una cantidad complementa el algoritmo de Cardano para la ecuación de tercer grado, cuya solución corresponde a una raíz cúbica. A partir de Descartes las raíces empiezan a tener un estatus numérico. Para ello, Descartes tiene en consideración la transformación de los coeficientes de las ecuaciones, con el fin de visualizar una ecuación más simple que la original; por ejemplo, la ecuación:
𝑥3− √3 𝑥2 +26 27𝑥 − 8 27√3= 0 La transforma en: 𝑧3− 9𝑦2+ 26𝑦 − 24 = 0
Haciendo uso de las sustituciones 𝑦 = √3𝑥 , 𝑧 = 3𝑦 y multiplicando por 3. Así pues, la ecuación cubica general la pudo reducir a los siguientes casos:
1. 𝑧3 = −𝑝𝑧 + 𝑞
2. 𝑧3 = 𝑝𝑧 + 𝑞
3. 𝑧3 = 𝑝𝑧 − 𝑞
Cabe mencionar que Cardano ya había establecido un algoritmo de solución específico para los tres casos mencionados anteriormente. Sin embargo, Descartes contempla dos aspectos fundamentales en el proceso de la solución de la ecuación cúbica:
I. Las soluciones de las ecuaciones admiten el cálculo de raíces cúbicas para magnitudes lineales. II. La condición (𝑝 3) 3 < (𝑞 2)
2 para el segundo caso no permite encontrar las soluciones de la
ecuación, sin embargo, considera que al menos tiene una solución real.
Por otra parte, Descartes resuelve la ecuación cúbica general 𝑧3 = 𝑎2𝑞 para poder solucionar el primer problema y evidencia que las soluciones hacen referencia al corte entre un círculo y una parábola. Para ello logra adoptar el siguiente procedimiento:
1. Sea una circunferencia con centro 𝐸 y una parábola con vértice 𝐴 (figura 2.11.I).
2. Se ubica el eje de la parábola 𝐴𝐿 y se toma como el eje coordenado, cuya ecuación es: 𝑦 =𝑧2
𝑎 (figura 2.11.II). 3. Se toma 𝐴𝐶 = 1
2𝑎 y se traza 𝐸𝐶 perpendicular a 𝐴𝐶 con 𝐸𝐶 = 1
2𝑞 (figura 2.11.III). 4. 𝐸 es el centro del círculo de radio 𝐸𝐴, luego 𝐹𝐿 = 𝑧 (figura 2.11.IV).
I
circunferencia y parábola
II
𝐴𝐿 eje de la parábola
III
trazando una perpendicular, unión de la circunferencia y la parábola
IV 𝐹𝐿 = 𝑧
Figura 2.11: Extracción de la Raíz Cúbica
Lo anterior se puede visualizar con el siguiente ejemplo:
Ejemplo 2.2: Sea 𝑧3 = 𝑎2𝑞, con 𝑎 = 2 y 𝑞 = 1
Entonces se tiene, que
𝑧3 = 22. 1
Luego,
𝑧3 = 4.1
Es decir,