En los pitagóricos se generó una limitación con el estudio de las magnitudes en el contexto de las figuras geométricas. Al comparar magnitudes como la diagonal del cuadrado con su lado y el lado de un pentágono regular con su diagonal, encontraron que no eran conmensurables. Así surgió un interés en buscar una explicación a estas magnitudes, lo que permitió demostrar su inconmensurabilidad.
2.1.1 Inconmensurabilidad de las diagonales del cuadrado con sus lados
Sea el cuadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷13 y para efectos de la demostración, se considera el lado 𝐴𝐷 y la
diagonal 𝐵𝐷 como se presenta en la Figura 2.1.
Haciendo uso del método de reducción al absurdo, y teniendo en cuenta que el objetivo de la demostración es verificar que las magnitudes 𝐴𝐷 y 𝐵𝐷 son inconmensurables, se parte de considerar que ambas magnitudes son conmensurables para llegar a una contradicción; en este sentido, la demostración prosigue de la siguiente manera:
Dados 𝐴𝐷 y 𝐵𝐷 conmensurables, y por Definición V.1 se puede decir que:
𝐴𝐷 = 𝐴𝐵 = 𝑚𝑈 y 𝐵𝐷 = 𝑛𝑈 (U es la magnitud que representa la unidad) (*) Por teorema de Pitágoras se obtiene:
𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝐴𝐷 + 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝐴𝐵 = 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝐵𝐷 (**)
Remplazando * en ** se tiene:
13 Para observar mejor la demostración se tomará una de las partes en que es dividido el cuadrado por una de sus
diagonales.
A B
D
Figura N° 2.1: Mitad del cuadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 dividido por la diagonal 𝐵𝐷
E
𝐹
𝐺 𝐻
𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝐴𝐷 + 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝐴𝐷 = 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝐵𝐷
2(𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝐴𝐷 ) = 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜 𝐵𝐷
2(𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑈 ) = 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑛𝑈
2𝑚2(𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑈) = 𝑛2(𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑈)
En notación moderna la ecuación anterior se puede representar como:
2(𝑚𝑈)2 = (𝑛𝑈)2
A partir de esto, se obtiene:
2𝑚2 = 𝑛2 (***)
Lo que implica que 𝑛2es par, por ende, 𝑛 es par. Por otro lado, al tomar 𝑛 = 2𝑘 y reemplazando en *** se tendría:
(2𝑘)2 = 2𝑚2; 2𝑘2 = 𝑚2
Esto implicaría que 𝑚 es par y a su vez, 𝑚 = 2𝑙, por tanto el proceso se volvería repetitivo y se llegaría nuevamente a una ecuación equivalente a ***.
Teniendo en cuenta, que 𝐵𝐷 = 𝑛𝑈 y 𝑛 es par se tiene:
Si 𝑛 = 2 entonces 𝐵𝐷 = 2𝑈, lo que indica que 𝑈 es la mitad del segmento 𝐵𝐷. Por tanto, con 𝐸 el punto medio de la diagonal 𝐵𝐷,
𝐵𝐷 = 2𝐸𝐷 (Figura 2.1)
A partir de esto, se traza el segmento 𝐴𝐸 y, otro segmento paralelo a éste denominado 𝐹𝐺 (𝐺
es punto medio de 𝐸𝐷), para así trazar el segmento 𝐸𝐹. De esta manera, se forma el triángulo rectángulo 𝐷𝐹𝐸, cuyos catetos son 𝐷𝐹 y 𝐹𝐸.
Si 𝑛 = 4 entonces 𝐵𝐷 = 4𝑈, lo que indica que 𝑈 es la cuarta parte del segmento 𝐵𝐷 o bien la mitad de 𝐸𝐷, entonces
Con esto, se traza el segmento 𝐻𝐼 y, otro segmento paralelo a éste denominado 𝐹𝐺, para así trazar el segmento 𝐺𝐻. De esta manera, se forma el triángulo rectángulo 𝐷𝐻𝐺, cuyos catetos son
𝐷𝐻 y 𝐻𝐺.
Realizando este proceso para los pares consecutivos se puede notar que 𝐵𝐷 = 𝑛𝑈, es igual a un número par de unidades 𝑈; por lo tanto, la altura 𝐹𝐺 corta a 𝐸𝐷 en el punto medio; lo que significa que 𝐺 es el punto de unión de dos unidades. De continuar esta construcción, se podría seguir indefinidamente.
En contradicción a esto, como 𝑛 tiene un número finito de unidades, luego de un número finito de pasos se llegaría a la unidad o a un número impar, lo que permite concluir que no existe ninguna unidad común para 𝐴𝐷 y 𝐵𝐷; por tanto se dice que son inconmensurables.
2.1.2 Inconmensurabilidad de las diagonales del pentágono con sus lados
Sea el pentágono regular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 cuyas diagonales son 𝐷𝐵, 𝐷𝐴, 𝐶𝐴, 𝐶𝐸 y 𝐸𝐵 con puntos de intersección 𝐴1, 𝐵1, 𝐶1, 𝐷1𝑦 𝐸1como se muestra en la figura 2.214:
14 Se analiza la inconmensurabilidad de una de las diagonales de un pentágono regular con uno de sus lados. Figura 2.2: Pentágono regular
A B C D E 𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 𝐸1
Dado que 𝐷𝐸𝐴𝐶1es un paralelogramo, 𝐸𝐴 = 𝐷𝐶1; como 𝐷𝐵 = 𝐷𝐶1+ 𝐶1𝐵, entonces: 𝐷𝐵 = 𝐸𝐴 + 𝐶1𝐵 (𝐸𝐴 Cabe una vez en 𝐷𝐵 y sobra 𝐶1𝐵) Al comparar las magnitudes que componen a 𝐷𝐵con el lado 𝐷𝐶1 = 𝐸𝐴 y debido a que
𝐷𝐷1 = 𝐶1𝐵, se tiene:
𝐷𝐶1 = 𝐶1𝐵 + 𝐷1𝐶1 (𝐶1𝐵 Cabe una vez en 𝐷𝐶1y sobra 𝐷1𝐶1)
Siguiendo este proceso, se debe determinar el número de veces que:
𝐷1𝐶1 está en 𝐷𝐷1
Como 𝐷𝐸1𝐵1𝐷1 forman un paralelogramo, entonces, lo anterior es equivalente a encontrar el número de veces que:
𝐷1𝐶1 está en 𝐸1𝐵1
Por tanto, 𝐷𝐷1 = 𝐸1𝐵1
Así pues, se debe medir la diagonal 𝐸1𝐵1 del pentágono formado por 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1 con su lado
𝐷1𝐶1; encaminando al problema inicial de medir la diagonal del pentágono con uno de sus lados.
Esto se torna en un proceso infinito, lo que permitiría concluir que las diagonales del pentágono con su lado son inconmensurables.
A pesar del debate de considerar a la unidad como un número, Euclides representa a la unidad a través de una raya horizontal o vertical, y aunque toma la forma de segmento no se debe confundir con éste.
Así pues, emplea el siguiente método para representar a los números naturales: Suponiendo que se quiere representar al número 5, entonces:
1. Se debe definir a la unidad como 𝐴𝐵 (figura 2.3.I).
Observación: para determinar la inconmensurabilidad de todos los lados del pentágono con cada una de sus diagonales se debe realizar el mismo proceso.
2. Se deben de unir 5 unidades, una en seguida de la otra para mantener el carácter discreto del número (figura 2.3.II).
3. Luego, se toma como resultado un todo, es decir a 𝐶𝐷.
I
𝐴𝐵 es la unidad
II
𝐶𝐷 representa el numeral 5
Figura 2.3: Representación del número 5
En consecuencia, empleando lo anterior Euclides establece un algoritmo para la suma y la resta de números. A continuación se evidencia la suma como el proceso de adicionar a la primera pluralidad la segunda, es decir:
Se requiere sumar 𝐴𝐵 con 𝐶𝐷, de esta manera:
1. Sea 𝐴𝐵 la representación del numeral 2 y 𝐶𝐷 la representación del numeral 4 (figura 2.4.I).
2. Se adiciona la primera pluralidad a la segunda, es decir 𝐴𝐵 a 𝐶𝐷 respectivamente (figura 2.4.II).
3. Así, se obtiene 𝐸𝐹 siendo la suma de los números 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷 (figura 2.4.III). B
A A B
I 𝐴𝐵 = 2 𝐶𝐷 = 4 II 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 III 𝐸𝐹 = 6
Figura 2.4: Adición de los números 2 y 4
Esto desde la visión moderna es equivalente a representar:
2 + 4 = 6.