Capítulo 2. El fenómeno de fotopolimerización.
2.4 Profundidad de reacción e interacción entre el haz de luz y la resina.
Existen varias consideraciones a tomar para describir la relación entre el haz de luz del láser y la resina que se polimerizará. Mediante la ley de Beer - Lambert podremos desarrollar una relación teórica entre la resina y su exposición a la luz con el objeto de utilizar los resultados obtenidos para investigar las propiedades mecánicas de las resinas curadas.
La ley de Beer – Lambert es una ley experimental que relaciona la intensidad de la luz irradiada a un medio líquido o gaseoso y la intensidad obtenida después de haber pasado por este.
Cuando un láser se desplaza a través de la superficie de una resina, cura una línea a una profundidad que dependerá de varios factores, la forma que toma la línea curada depende las características de la resina, las características de la energía despedida por el láser y la velocidad de escaneo, entiéndase como velocidad de escaneo a la velocidad a la cual viaja el láser en cierta dirección sobre la superficie de la resina. Para encontrar la relación entre estos tres factores analizaremos la irradiación.
La irradiación es la potencia radiante del láser por unidad de área H(x,y,z), cuando el láser escanea una línea la potencia de radiación es distribuida a través de un área. Supongamos que el láser realiza un escaneo a lo largo del eje X a una velocidad , considerando que el eje Z es perpendicular a la tina contenedora de la resina y que el eje Y apunta positivamente hacia dentro de la tina.
La irradiación para cualquier punto X, Y, Z en la resina está relacionada con la irradiación en la superficie y si asumimos que la resina absorbe la energía del láser de acuerdo a la ley de Beer – Lambert, la forma general de la ecuación de irradiación para un haz de láser gaussiano estaría dad por la siguiente ecuación.
Donde:
es la irradiación final.
es la irradiación en la superficie
.
Z es el punto inicial de irradiación. [mm]Aplicación del láser en los procesos de estereolitografía. Página 44 es la profundidad de penetración del haz hasta la reacción de la irradiación en
.
[mm]Si suponemos que z =
obtendremos que la irradiación a una profundidad es aproximadamente 37% de la irradiación en la superficie ya que
.
Este comportamiento es posible asumiendo que la ley de Beer – Lambert respalda el comportamiento de la resina, por lo tanto la profundidad de penetración del haz solo dependerá de la resina.Si este mismo láser escanea una línea a lo largo del eje X desde el punto de origen “a” hasta el punto “b”, la irradiación en cierta coordenada en X a lo largo de la línea de escaneo se obtendrá bajo la siguiente ecuación.
Donde:
es el radio del haz del láser enfocado en la resina. Irradiación cuando x=0.
Cuando x =
,
(X,0) =La máxima irradiación se produce en el centro del haz de luz (x=0). La irradiación máxima puede ser determinada mediante la integración de la función de irradiación sobre el área cubierta por el haz en un punto en particular en el tiempo y si cambiamos de coordenadas cartesianas a coordenadas polares la integral puede quedar representada de la manera siguiente.
Al resolver la integral resulta una simple función de la potencia del láser y la parte media del haz.
Aplicación del láser en los procesos de estereolitografía. Página 45 Podemos concluir que la irradiación en cualquier punto (x,y) entre x=0 y x=b está dada por.
El principal objeto de nuestro estudio es el comportamiento de la exposición en cualquier punto ya que una exposición controlada es el principal parámetro a modificar para obtener el grado de curado deseado. La exposición es la energía por unidad de área, cuando la exposición en cualquier punto excede el valor crítico de la sustancia asumimos que la resina ya ha sido curada, denominamos este valor como exposición crítica . La exposición puede ser determinada integrando la ecuación anterior a lo largo de la línea de escaneo, desde el tiempo hasta el tiempo que es cuando el láser alcanza cierto punto .
Es más sencillo integrar tomando un rango de distancia y no de tiempo. Si asumimos que la velocidad de escaneo es constante entonces podríamos cambiar t por x de la siguiente manera.
Implementamos un cambio de variable de integración.
y
por lo tanto
Se sustituye x=b, después de realizar el proceso de integración completo
obtenemos
.
Donde erf(b) es la función de error evaluada en x, esta función es 0 en casi todo momento a excepción de cuando se acerca a 0 y es distinto de 0. Esto tiene lógica ya que el haz es muy pequeño comparado con la magnitud de la longitud de la
Aplicación del láser en los procesos de estereolitografía. Página 46 línea de escaneo y se espera que la exposición se reduzca abruptamente fuera del haz.
La ecuación anterior puede resultar más fácil de aplicar si asumimos que el eje de la línea de escaneo es un vector infinito, como se muestra en la siguiente ecuación.
Después de la integración la ecuación de exposición se representa de la siguiente manera.
Al combinar la ecuación anterior con la obtenida por la ley de Beer - Lambert obtenemos la ecuación general para una exposición.
Mediante una relación entre Irradiación y Exposición podemos determinar la forma y el grosor de la línea de escaneo. Utilizando la última ecuación obtenida y tomando en cuenta que y serán los puntos coordenados donde encontraremos la resina curada primitivamente, es decir con una consistencia coloidal conde la exposición será tendrá el valor equivalente a la exposición crítica necesaria para generar la polimerización .
Si reducimos los términos exponenciales y obtenemos el logaritmo natural de los dos lados de la ecuación podremos obtener una ecuación de con la estructura que se muestra a continuación.
Aplicación del láser en los procesos de estereolitografía. Página 47 Si observamos detenidamente la ecuación anterior representa la función de una parábola ( ), y para determinar la profundidad máxima resolvemos que para con la profundidad máxima de curado es:
El valor máximo de es equivalente al diámetro del haz de luz láser, si es requerida una mayor longitud para se tendría que aumentar el ancho de luz, sin embargo al efectuar esta operación afectará las propiedades de irradiación del láser.
Aplicación del láser en los procesos de estereolitografía. Página 48