Señal reconstruida x(n)
~6.2.5 Selección del tamaño de ventana adecuado.
No existe un criterio único establecido para fijar el valor de L. Existen diferentes estrategias y criterios propuestos que dependen del problema a resolver. Debido a la simetría de la matriz de trayectoria empleada para el análisis de la estructura de la serie temporal, no tiene sentido seleccionar un tamaño de ventana superior a la mitad de la longitud de la serie bajo estudio (Rukhin 2002). En muchas aplicaciones, el valor considerado adecuado de
L
, debe ser próximo a la mitad de la longitud de la serie temporal(L ≈ N/2 )
(Golyandina et al. 2010).En (Hassani et al. 2012) y (Hassani et al. 2011) se comprueba que en determinados tipos de series temporales, el valor adecuado de
L
para conseguir la separación entre la componente de señal y ruido es la mediana de la serie{1,2, … N}.
Lo que equivale a decir que el valor óptimo es L = (N + 1)/2.
Por otro lado, en relación al ancho de banda de la señal a analizar, se debe cumplir que
𝐋 ≥ 𝐟𝐬/𝐟𝐛𝐚𝐧𝐝 , donde
f
s corresponde a la frecuencia de muestreo de la serie temporal yf
band a la mayor frecuencia de interés de la señal original, con el objetivo de capturar al menos un periodo de esa componente de mayor frecuencia (James et al. 2003).No obstante, en otros estudios realizados por Yang y su equipo (Yang et al. 2016), se recomienda que L sea dos o tres veces superior que el ratio
f
s/f
band.En conclusión, se puede decir que la elección del valor de
L
depende en gran medida del tipo de serie temporal a analizar y las frecuencias de interés. Teniendo en cuenta estos dos factores un buen punto de partida para realizar la descomposición SSA es elegir un valor cercano a la mitad de la longitud de la serie bajo estudio (Mahmoudvand et al. 2011), siempre que se cumpla que L ≥ fsfband para no quedarse fuera del ancho de banda.
6.2.6 Agrupación de componentes.
En el caso de la agrupación de componentes, se han propuesto varios métodos que obtienen buenos resultados en diferentes aplicaciones (Xu et al. 2018).
Un criterio convencional de agrupación se realiza empleando la magnitud de los autovalores de cada una de las componentes reconstruidas, clasificando los de mayor magnitud como señal y los menores como ruido (Teixeira et al. 2005).
En (Maddirala et al. 2016) se ha propuesto una nueva técnica para realizar la agrupación de componentes, basada en la movilidad local de los autovectores, con el objetivo de eliminar los artefactos añadidos al registro, y obtener mejores resultados que con la técnica de agrupación tradicional.
Por otro lado, combinando la magnitud de los autovalores y la frecuencia de pico de cada una de las componentes reconstruidas, Hu propone un método adaptativo de agrupación para señales EEG con diferentes niveles de artefactos (Hu et al. 2017).
6.2.7 Aplicaciones del SSA.
En este apartado se presentan algunas de las principales capacidades y utilidades que se pueden derivar de la aplicación de esta técnica.
La señal presentada en los primeros ejemplos, se corresponde con un registro de las temperaturas medidas en grados Celsius tomadas cada hora durante el mes de enero de 2011 en el aeropuerto internacional Logan de la ciudad de Boston, estado de Massachusetts, en los Estados Unidos. Esta señal está disponible en el programa Matlab® (figura 6.3) y ha sido cedida por la National Oceanic and Atmospheric Administration (NOAA) de los Estados Unidos. El número de muestras de la señal es N = 744.
Análisis de tendencias.
Tomando para el ejemplo una longitud de ventana igual a la mitad de la muestras disponibles (𝐿 = 372), eligiendo únicamente las primeras componentes resultantes de la descomposición (I1= {1, … , r}, 𝑟 = 3), se puede obtener la tendencia general de las temperaturas a lo largo del mes, tal y como se muestra en la figura 6.4.
Esta técnica puede resultar de gran interés en series con una gran cantidad de información, de las que se desea obtener una idea general de su evolución o tendencia. Puede indicarse que este tipo de análisis de tendencias es un filtrado de la señal en el que se utilizan sus primeras componentes de la descomposición SVD.
Filtrado.
Si en vez de seleccionar únicamente unas pocas componentes principales para analizar la tendencia general de los datos a través de la serie temporal se añaden más componentes (I1= {1, … , r}, 𝑟 = 6), se consigue suavizar la forma de onda de la señal original, representando con más detalle la información. En la figura 6.5 se muestra un ejemplo de filtrado de la señal original aplicando SSA.
Dependiendo del criterio de agrupación seleccionado o la longitud de la ventana elegida los resultados podrán variar, es por ello que la selección de estos parámetros se considera fundamental para obtener unos resultados adecuados.
Separación entre señal y ruido.
Como se ha introducido anteriormente, la técnica SSA se puede emplear para dividir la información de una serie temporal en dos componentes: una con la información relevante para el estudio y otra de ruido.
Cuando se plantea realizar esta división, lo más importante a definir es el criterio de agrupación de cada una de las componentes en un grupo. A continuación se muestra otro ejemplo de un electrocardiograma (ECG) que mide la actividad del corazón a lo largo del tiempo (figura 6.6). Este registro de ECG cuenta con 2000 muestras, por lo que el tamaño de la ventana se fija en L=1000.
V
o
lt
aj
e
(m
V
)
Muestras
Figura 6.6. Registro de un electrocardiograma.
Para esta nueva señal, se seleccionan las componentes cuyos autovalores son superiores a un determinado umbral como señal y las inferiores como ruido. En la figura 6.7 se muestra el valor de los autovalores tras realizar la descomposición SVD. Como se puede observar, las primeras componentes presentan un valor más elevado que las siguientes y por consiguiente se fija el valor del umbral para seleccionar los primeros 35 autovalores.
Gracias a esta separación entre componentes de señal y ruido, en la figura 6.8 se puede observar como es más fácil realizar el estudio de las componentes de interés para el electrocardiograma.