En general, cualquier línea (una línea de costa, un río, etc) depende de la escala del mapa. Así, por analogía con la relación de áreas y perímetros, se puede estudiar la relación entre la longitud del río más largo de una cuenca y el área de ésta; se dibuja la gráfica de dicha longitud frente al área de la cuenca (ambas en logaritmos), y se estudia el valor de la pendiente de la recta de regresión. Según Hack (1957) se da la siguiente relación:
longitud río = 1.4 (área cuenca)0.6 o bien
L = 1.4 A0.6
de donde D = 1.2, independientemente de la geología y la estructura. Según Mandelbrot (1982), la relación empírica de Hack se debe a que la red de drenaje es fractal. Sin embargo, en cuencas grandes (con más de 104km²) el valor de D desciende hasta uno, con lo cual se pierde la autosimilitud en ríos con unos 100 km de longitud o más, y ello aparentemente debido a que las cuencas mayores tienen una forma alargada (Hack, 1957).
En el Pirineo, a escala 1:25000, encontramos para 17 torrentes de los circos de Peguera, Ratera, y de la cuenca del Sant Nicolau un valor del exponente igual a 0.52 (L = 0.2 A0.52; r2= 0.85); por tanto, D = 1.04 , valor ligeramente inferior a la media de D de los lagos de estos circos.
En un estudio morfométrico del río Segre, Palau (1987) halló para toda la cuenca L = 0.2 A0.52 (D = 1.04), i.e., un exponente igual al hallado aquí, aunque este autor utilizó la escala 1:200000 para realizar sus medidas. Por lo tanto, la constancia de dicho exponente en todo el rango de escalas de la cuenca del Segre sugiere que su red de drenaje es fractal, aunque su grado de irregularidad es muy bajo.
Por otra parte, estudiamos la cuenca del lago Monestero (Escrita, N. Pallaresa). La suma total de longitudes de cauces es de 12.5 km, sin incluir los torrentes temporales; la densidad de drenaje es de 3.086 km-1, valor bajo (a pesar de tratarse de la cabecera de la cuenca), como corresponde a una cuenca granitoide de circo, escasamente desarrollada. En realidad este valor es probablemente superior al real, pues en la cartografía se tiende a aumentar la densidad de drenaje en las cuencas pequeñas (de menos de 7 km2), y sobre todo si son granitoides, como es el caso (Gregory et al., 1973). En este circo, así como en el resto de circos pirenaicos, los torrentes que entran en los lagos sólo son de orden uno -o más raramente de orden dos- porque la red hidrogáfica está muy poco desarrollada.
La longitud total o acumulada de todos los ríos de una cuenca es proporcional al área de la cuenca (Mandelbrot, 1982; Feder, 1988). Estimamos por box-counting la D de la red de drenaje del Monestero, hallando 1.02, que es similar al valor de D estimado para la longitud de los cauces de dicha cuenca, así como al valor de D del litoral de su único lago, el Monestero (1.03, con Richardson-Mandelbrot).
Relación de Korcak, o de frecuencias de áreas
Como vimos al principio de este capítulo, la estima de la D mediante el método de Korcak se realiza mediante la siguiente relación:
Nr (A > a) = F . a–B siendo D = 2 . B
Su aplicación a los lagos del Pirineo queda reflejada en la figura 24 y en la tabla 75.
Tabla 75. Pendiente de regresión, dimensión fractal correspondiente, y coeficiente de determinación de la recta ajustada a la gráfica de Korcak de las áreas de los lagos del Pirineo (calculadas en base a toda la gráfica, y en base a sólo el tramo lineal).
m (= -B) D r2 intervalo de áreas (ha) todo el Pirineo -0.920 1.84 0.94 0.5-84 -1.328 2.66 0.997 4.4-37 vertiente norte -0.920 1.84 0.94 0.5-51 -0.780 1.56 0.99 1.4-5.5 vertiente sur -0.917 1.83 0.953 0.5-84 -0.944 1.89 0.993 1.7-11 Andorra -0.637 1.27 0.883 0.02-13 -1.060 2.12 0.991 0.4-2
Para cada zona la primera línea se refiere a toda la gráfica, y la segunda sólo al tramo lineal, tal y como se indica en los respectivos intervalos de áreas (en hectáreas).
Figura 24. Gráficas de frecuencias acumuladas de áreas de todos los lagos del Pirineo, de la vertiente norte, de la vertiente sur, y de Andorra, respectivamente (ejes en escala logarítmica decimal).
Pirineos A (km2) 0.01 0.1 1 nº ac um u lad o 1 10 100 1000 vertiente norte A (km2) 0.01 0.1 1 nº acumul ado 1 10 100 1000
Figura 24. (Continuación) vertiente sur A (km2 ) 0.01 0.1 1 nº acum ul ado 1 10 100 1000 Andorra A (km2) 0.0001 0.001 0.01 0.1 nº acu m ula d o 1 10 100 1000
Se han realizado dos estimas de la D: una a partir de la pendiente de regresión de toda la gráfica de frecuencias acumuladas, y otra a partir de la pendiente de sólo el tramo lineal de dicha gráfica. El valor de D para el conjunto del Pirineo (1.84, en base a toda la gráfica, desde 0.5 a 84 ha; tabla 75, y figura 24) es claramente superior a la media de los hallados por el método de Richardson-Mandelbrot para los litorales de sus lagos (1.06), así como al valor hallado en el apartado anterior mediante el método de las áreas y perímetros (1.019). Por otra parte, la linearidad del tramo medio de la gráfica para todo el Pirineo indica que en el rango de áreas entre 4.4 y 37 ha la distribución de áreas de los lagos es estadísticamente autosimilar; sin embargo, la D presenta un valor superior a dos (2.66), de modo que no se puede interpretar como una dimensión fractal. El resto de valores de D en la tabla 75 resultan muy elevados para estos objetos, y son difícilmente interpretables como una dimensión fractal; se podrían atribuir a que la distribución de frecuencias de áreas no tiene porqué ajustarse al modelo fractal autosimilar, es decir, con una gráfica lineal, y un valor de la pendiente de regresión comprendido entre uno y dos.
Por una parte, en el extremo derecho de la gráfica de regresión se produce un aumento de la pendiente, debido a un déficit relativo de lagos grandes (con más de 37 hectáreas de superficie), probablemente a consecuencia de los límites físicos del espacio en el que se formaron (en el Pirineo dichos límites vienen impuestos, en particular, por el tamaño máximo de los circos), así como de su carácter aislado (al ser lagos confinados a circos y valles, no se da la posibilidad de que se unan varios lagos vecinos para formar uno más extenso, como podría ocurrir en un llano); la sobreexcavación de los circos por lenguas glaciares constituye un proceso geomorfológico que operaría en un rango de escalas característico, el cual se reduce aún más en el caso de las cubetas de sobreexcavación de circo, por estar estas restringidas al circo mismo.
Por otra parte, se da un déficit relativo de lagos en las clases de tamaños más pequeños en relación a las clases de tamaños medios (que componen el tramo lineal de la gráfica). Este déficit es esencialmente real, y en escasa medida artificial. El componente artificial resultaría de la no representación en la cartografía a escala 1:25000 de algunas balsas temporales, de pequeñas superficies de agua que estaban cubiertas de nieve (o de vegetación, en el caso de balsas en colmatación) en el momento de realizarse la fotografía, y de otras que no se han detectado por motivos diversos. Además, en algunos mapas no se representan superficies de agua que aparecen en la ortofotografía aérea (a escalas 1:25000, y 1:5000), pero que por su reducido tamaño sus autores no han considerado de interés; en este sentido, hemos observado en la cartografía a escala 1:25000 del Instituto Geográfico Español la omisión de algunas superficies de agua con 0.05-0.5 ha de extensión, que aparecen en las fotos aéreas, así como la cartografía francesa a la misma escala (la cual incluye puntos de agua de hasta 0.01 ha, es decir, al límite de la resolución de las ortofotos aéreas). Sin embargo, estas omisiones no afectan al rango de tamaños considerados en la presente memoria, pues la práctica totalidad de lagos con más de 0.5 ha aparecen representados en los mencionados mapas. Así, la pendiente para el extremo izquierdo (lineal entre 0.5 y 1.4 ha) de la vertiente norte (-0.49; r2 = 0.99) -basada en la mencionada cartografía francesa- es inferior a la pendiente de la vertiente sur (-0.59; r = 0.99; lineal entre 0.5 y 1.8 ha); por lo tanto, la disminución de la pendiente en el tramo de frecuencias de los lagos más pequeños no parece ser debida a la omisión artificial de lagos con áreas superiores a 0.5 ha, sino a causas naturales. De hecho, este déficit de lagos pequeños se acentúa más allá del límite inferior del rango considerado para el Pirineo (0.5 ha); en este sentido, la medición de las áreas de la totalidad de los lagos de
Andorra que aparecen en la cartografía a escala 1:10000 muestra que la disminución de la pendiente de regresión se prolonga por debajo de las 0.5 ha, hasta el límite observado en este caso, que es de 0.02 ha (figura 24).
El componente real del déficit relativo de lagos pequeños se puede atribuir a que una parte de los lagos más pequeños no se originó porque no se dieron las condiciones favorables para ello (con lo cual aceptaríamos implícitamente que en su origen las áreas de los lagos no siguieron la mencionada distribución de frecuencias lineal ), y a que el resto de lagos más pequeños han sido colmatados ya; se hace difícil avanzar unas cifras para cada una de esta fuentes de variación. Creemos que la mayoría de lagos de tamaño grande y medio situados en los circos del Pirineo no han visto significativamente reducidas sus superficies (véase el capítulo tercero sobre la evolución de los lagos); en cambio, numerosos lagos pequeños (algunos de circo, pero sobre todo cubetas altas de fondos de valle) han desaparecido tras ser colmatados por sedimentos; ello explicaría en parte la inflexión del tramo izquierdo de la gráfica de frecuencias de áreas. Otro tanto puede decirse sobre la inflexión del tramo derecho de la gráfica: los mayores lagos del Pirineo eran cubetas bajas de fondo de valle y se han colmatado ya; con ellas desaparecieron los lagos de mayor tamaño (puesto que los lagos de circo, así como las cubetas altas de fondo de valle, son de menores dimensiones). Este efecto es importante sobre la gráfica de frecuencias de áreas: la disminución de la pendiente de la recta de regresión debida al déficit de lagos pequeños queda ampliamente compensada por el aumento de la pendiente motivado por la mencionada escasez de lagos grandes; ello se traduce en un valor elevado de D.
En definitiva, la gráfica de distribución de frecuencias de áreas de los lagos del Pirineo presenta un tramo lineal para los tamaños medios, enmarcado por dos colas no lineales. La menor pendiente del tramo izquierdo la hemos atribuido en parte a la colmatación temprana de una parte de los lagos más pequeños, y en escasa medida a la no representación de algunos de ellos en la cartografía. Si aceptáramos además que gran parte de ellos pudo no llegar a originarse nunca, estaríamos asumiendo que los factores que determinan las cubetas de sobreexcavación actúan de diferente forma para los lagos más pequeños (y en general para las diferentes clases de tamaño), es decir, que desde su origen los tamaños de los lagos no siguieron la mencionada distribución lineal de tamaños, porque no los originó un proceso fractal; en efecto, la gráfica de frecuencias de áreas es lineal en un rango demasiado pequeño de tamaños (prácticamente un orden de magnitud) como para concluir que es fractal autosimilar; más bien creemos que indica un posible carácter multifractal: en efecto, un modelo multifractal puede dar cuenta a la vez de las distribuciones lognormal, y exponencial o de Pareto, la primera correspondiente a las colas de la gráfica de Korcak, y la segunda al tramo medio lineal (Cheng, 1997a).
Tabla 76. Dimensión fractal estimada a partir de la pendiente de la recta de regresión ajustada al tramo lineal (indicado en el rango de áreas) de la gráfica de Korcak de áreas de los lagos de cada región lacustre (se indica también el coeficiente de determinación).
D R2 A (ha)
Isla Riesco (Chile) 2 0.977 6.4-180
Everest (Nepal) 2 0.974 0.2-55.6
Hardanger (Noruega) 1.448 0.993 0.5-242
En las regiones de referencia también hemos hallado mediante el método de Korcak valores de la dimensión fractal no aceptables por su elevada magnitud, salvo en el caso de Hardanger y de Japón (tabla 76), los cuales presentan además una distribución de frecuencias de áreas lineal en un amplio rango de más de 2.5 órdenes de magnitud.
El valor excesivo de la pendiente de regresión en las regiones de Isla Riesco y del Everest se debería a que están dominadas por lagos pequeños; el Everest, por ejemplo, presenta numerosas pequeñas superficies de agua de carácter temporal, formadas en el hielo de los glaciares, o bien sobre morrenas, y que se hallan en constante evolución.
Tabla 77. Valores de D estimados a partir de la pendiente de la recta regresión de la gráfica de frecuencias de áreas, para diferentes regiones lacustres del mundo ( a partir de los datos de Meybeck (1995a)).
Región D Canadá 1.29 ELA (Canadá) 1.58 Alaska 2 Escandinavia 1.76 Suecia 1.8 Finlandia 1.64 Gran Bretaña 1.68 Francia 1.34
Europa del sur 1.13 Antigua URSS 2 Mongolia 1.17 China 1.46 Asia central 1.28 Tíbet 1.14 India 1.06 Japón 0.98 Indonesia 1.54 Argentina 1.52 Amazonas 2.6 “Paroo” (Australia) 2
Por otra parte, para estimar los valores de la pendiente de la recta de regresión de la gráfica de frecuencias de áreas en otras regiones lacustres, en base a los datos de Meybeck (1995a; véase la tabla 77), hemos aplicado el método de frecuencias de clases de áreas utilizado por Kent et al. (1982). En efecto, las gráficas de frecuencias acumuladas requieren conocer el área de cada uno de los lagos en una región dada. A menudo, sin embargo, sólo se dispone de datos sobre el número de lagos en unas clases de tamaño determinadas (en general, el número de lagos con áreas entre 0.1 y 1 km2, entre 1 y 10 km2, entre 10 y 100 km2, etc). Como los datos de Meybeck sólo indican el
número de lagos de una región comprendido en cada clase de tamaño, y no el área de cada lago en dicha región, no se puede aplicar la gráfica de frecuencias acumuladas, sino que se ha de utilizar la distribución de áreas agrupadas en clases de tamaño (e.g., con un incremento de un orden de magnitud -en escala logarítmica decimal- en el tamaño de las áreas entre una clase y la siguiente). Ello permite interpretar la pendiente de la gráfica como una dimensión fractal, pues una distribución de frecuencias acumuladas se puede relacionar matemáticamente con una distribución de frecuencias en clases de tamaño (véase, por ejemplo, Phillips et al. (1992)): en teoría la estima de la pendiente de regresión es independiente de que se utilice la gráfica de frecuencias acumuladas o la de frecuencias no acumuladas (i.e., agrupadas en clases; véase, por ejemplo, Turcotte (1992)).
Diversos autores (Kent et al., 1982; Wetzel, 1990; Meybeck, 1995a) han observado que, en la práctica, la distribución de frecuencias de las clases de tamaños de áreas lacustres se ajusta aproximadamente a una recta de regresión cuya pendiente suele tomar valores comprendidos entre -0.5 y -1 (en consecuencia, D se halla entre 1 y 2); para distintas regiones del mundo (véase la tabla 77) hallan como valor más común de la pendiente m≈ -1; a veces hallan -1< m < 0, y lo interpretan como una escasez relativa de lagos pequeños, producida por la aridez del clima (sur de Europa, China, Japón, India).
En definitiva, las gráficas de frecuencias de áreas, a diferencia de los métodos anteriormente considerados (Richardson-Mandelbrot, box-counting, Mandelbrot- Lovejoy), no suelen resultar adecuadas para estimar la D de un conjunto de lagos. Sin embargo, pueden proporcionar información útil sobre determinadas clases de tamaño; también pueden ser útiles para hacer una estima empírica (por extrapolación) del número de lagos de tamaños más pequeños que pueden faltar en un mapa, como veremos a continuación; finalmente, pueden indicar un posible carácter multifractal de todo el conjunto.