Hakanson (1981) midió el perímetro del lago Vänern (Suecia) a tres escalas diferentes, obteniendo los resultados indicados en la tabla 61.
Tabla 61. Perímetro del lago Vänern (Suecia) medido a diferentes escalas (datos de Hakanson (1981)).
escala perímetro km)
1:1000000 1000
1:100000 1600
1:50000 1900
Si se trasladan los valores de la tabla 61 a una gráfica con ejes logarítmicos se observa que los tres puntos se alinean en una recta, cuya pendiente m puede servir para estimar la D:
m = 1 - D = -0.2117 de donde
D = 1.2117
valor igual al obtenido (salvo por la diferencia debida al error estándar) por el método de Richardson-Mandelbrot sobre el mismo lago medido a una sola escala (1:500000). En el Pirineo central medimos el perímetro de dos lagos a diferentes escalas. El lago Tòrt de Rius (Valarties, Val d´Aran) presenta un nivel medio de irregularidad litoral, mientras que el Redó presenta muy poca irregularidad litoral (tabla 62).
Tabla 62. Valor del perímetro en dos lagos del Pirineo medidos a diferentes escalas (con IMAT). perímetro (km) Escala Tòrt de Rius Redó 1:25000 4.262 2.10 1:5000 5.462 2.37
Se obtienen, por tanto, diferencias en los valores del perímetro de costa que pueden ser muy elevadas, en función del valor de D en cada lago, como se discute más adelante, en el apartado sobre el “Efecto de la escala en la D y en el perímetro del lago”.
Método de Richardson-Mandelbrot
El error estándar de las pendientes de regresión es inferior a 0.01 en casi todos los lagos estudiados, valor que se puede considerar bastante bajo.
A este error estadístico habría que sumar otra fuente de error, como es el error sistemático cometido por el programa de tratamiento de imágenes. Para conocer el error total de la D experimental medimos ésta en varias figuras generadas por ordenador mediante programas que hemos escrito en lenguaje C (tabla 63), y cuyos valores de la D teórica son conocidos; dichas figuras han sido calcadas, escaneadas, y analizadas con el algoritmo de Richardson-Mandelbrot del programa IMAT, siguiendo los mismos pasos que para los lagos estudiados en este trabajo, tal y como se explica en el capítulo primero. Los valores hallados de la D experimental son bastante próximos a sus correspondientes valores teóricos (tabla 63): se observa en todas las figuras un error experimental inferior al 5%. Nuestros valores son además comparables a los obtenidos por otros autores, que se consideran precisos (e.g., Aviles et al. (1987): véase la tabla 79, al inicio de la discusión del presente capítulo).
Tabla 63. Valores de la D (teórica, y experimental (medida con el algoritmo de Richardson-Mandelbrot de IMAT)) para varias figuras generadas mediante programas de ordenador (salvo el círculo, que se ha dibujado); se indica también la diferencia en tanto por ciento entre el valor experimental y el correspondiente valor real o teórico (sin incluir el error estándar asociado a la pendiente de regresión).
figura generada D teórica D experimental S.E. ∆ (%)
círculo (dibujado) 1 1.002 0.0001 0.20
curva triádica de V.Koch 1.2618 1.279 0.0130 2.90
f1* 1.03 1.037 --- 0.68
f2* 1.10 1.113 --- 1.18
f3* 1.23 1.18 --- 4.06
f3* 1.23 1.193 --- 3.00
f4* 1.17 1.146 --- 2.05
*: figuras fractales generadas por X. Llobet (de los “Serveis Científico -Tècnics de la Universitat de Barcelona”; comunicación personal).
Como el círculo es por definición euclídeo, el valor medido para el círculo dibujado (D = 1.002 ± 0.0001) debe interpretarse como euclídeo, i.e., aproximadamente igual a 1, salvo la diferencia debida al error total experimental.
Estos datos nos permiten pensar que el error experimental de la dimensión fractal (D) medida con el método de Richardson-Mandelbrot y el algoritmo de IMAT no supera el 5% en prácticamente ninguno de los lagos considerados en la presente memoria, en particular, si se tiene en cuenta que, como se aprecia en las tablas 63 y 65, el valor máximo de D en los lagos del Pirineo es de 1.16, es decir, inferior al de la curva de V. Koch; esto se puede hacer extensible a las costas medidas del resto del mundo (sólo dos de ellas superan el valor de D de la curva de V. Koch: la costa del lago Muskoka (tabla 68), y la de la isla Gran Malvina).
Por otra parte, los valores de D obtenidos para el círculo y la curva de Von Koch con el método de Richardson-Mandelbrot y el algoritmo de IMAT se hallan algo más próximos a los valores reales que los obtenidos con el método de box-counting y el algoritmo de Sarraille et al.(1995) para estas figuras (véase tabla 65).
Una característica del algoritmo de IMAT consiste en que al aumentar el valor deε de píxel en píxel, en la gráfica con ejes logarítmicos el espaciamiento entre valores consecutivos deε no es constante, sino que cada vez es más pequeño, con lo cual la recta de regresión se basa en más puntos en su tramo derecho que en el izquierdo: esto hace que la D de toda la gráfica dependa más de las irregularidades de tipo estructural que de las de tipo textural, y además la D textural resulta estimada con menos puntos (y con menor error, aunque esto también se debe a que el rango deε para la textura suele ser inferior al de la estructura) que la D estructural. Como ejemplo hemos medido a escala 1:25000 el contorno del lago Tort de Cabdella con un incremento constante entre el logaritmo de los tamaños de paso (tabla 64).
Tabla 64. Estimas del valor de D del litoral del lago Tort de Cabdella con el método de Richardson-Mandelbrot y el algoritmo de IMAT, utilizando incrementos de paso constantes en valor absoluto, y en valores logarítmicos, respectivamente (se indica también el error estándar).
D Destr Dtex
Incremento cte. enε 1.0872 ± 0.0087 1.112 ± 0.008 1.0604 ± 0.0017 Incremento cte. en logε 1.0841 ± 0.0087 1.111 ± 0.008 1.0598 ± 0.0023
Se aprecia un mínimo aumento de la D textural y de la D al usar un incremento constante del tamaño de pasoε en relación al tamaño de paso log ε. Sin embargo, esta diferencia es despreciable, por lo cual no se ha considerado necesario sustituir el algoritmo que utiliza IMAT.
El uso de uno u otro tipo de espaciamiento varía de un autor a otro: e.g., Richardson midió las costas con un incremento constante de log ε, mientras que Mandelbrot (1967) midió un círculo directamente con un incremento constante deε; nosotros hemos seguido la opción de Mandelbrot, ya que permite tener más medidas o puntos en el tramo de la gráfica correspondiente a los tamaños de paso más pequeños, lo cual aumenta la precisión en dicho tramo (Klinkenberg, 1994).