Resolviendo el Modelo IO: Aplicación MS-Excel

Una manera bastante efectiva de representar una economía a través del modelo [6.15] desarrollado en el acápite previo, consiste en representarlo directamente en una aplicación de hoja electrónica como MS-Excel que es un estándar para las computadoras personales actuales.

Aun cuando los cálculos detrás del modelo son en algún sentido rutinarios, y tomando datos reales las computaciones necesarias pueden llevarse a cabo con distintos lenguajes, el uso de una hoja electrónica corriente presenta varias ventajas. Para empezar, el analista está viendo el modelo en tiempo real, es decir, esta trabajando sobre una representación empírica de [6.15] que le ayuda a comprender el funcionamiento de la economía modelo y que le ayuda a comprender como funciona la política, en un sentido práctico. En segundo lugar, el analista obtiene

retroalimentación inmediata del modelo, toda vez que las computaciones se hacen de tal forma que los resultados de los cálculos se obtienen en forma inmediata y los resultados de cualquier ejercicio contrafactual, pueden ser observados en forma expedita. Finalmente, el contar con built-in functions que ejecutan operaciones entre matrices, reducen el costo de implementación para aquellos que tienen dificultades con representaciones algebraicas como, justamente, la que corresponde al sistema [6.11]. Para ilustrar el funcionamiento de una economía real a través de la representación [6.15], tomemos como ejemplo la matriz simple de insumo producto que ofrece Lora (2005: 282):

Tabla 6.2.

Cada una de las celdas en esta matriz registra el valor pecuniario de una serie de transacciones que involucran precios y cantidades. En el ejemplo provisto hay n=3 sectores productivos sobre cuya naturaleza Lora no provee ningún indicio. Hay además m=2 inputs primarios cuyos retornos son salarios y ganancias y son pagados al precio de mercado al propietario que es quien agencia la demanda final. Dados los valores de n y m, se puede anticipar que el modelo contará con 2n+m = 8 ecuaciones en el mismo número de variables con n + m = 5 variables

Sector 1 Sector 2 Sector 3 VI Consumo

(c) Inversión (i) Demanda Final: y = c + i VBP Sector 1 - 200 - 200 200 100 300 500 Sector 2 300 - 100 400 200 - 200 600 Sector 3 - 100 - 100 100 - 100 200 Compras Intermedias 300 300 100 700 Salarios 100 150 100 350 Ganancias 100 150 - 250 Valor Agregado (VA) 200 300 100 600 Producción Bruta (VBP) 500 600 200 500 100 1.300 Fuente: Lora (2005: 282)

exógenas. Llama la atención que Lora considera la demanda final como la suma de dos tipos de usos que se da a los bienes producidos, diferentes a los usos interindustriales. En particular, en el ejemplo, la demanda final es la suma del consumo de un hogar representativo y de la formación de capital o inversión. De aquí que la demanda final se represente como la agregación = p + B que sin duda traerá reminiscencias macroeconómicas al lector. En el caso de una economía con gobierno (Š) y sector externo ( ), la definición para la demanda final sería, por ejemplo,

= p + Š + B +

Que debería ser financiada con los pagos de los factores, es decir con el valor agregado, es decir:

3Ÿ 4, L ≡ ≡ p + Š + B +

Que es la identidad macroeconómica básica que relaciona el producto de la economía desde el lado de la oferta, con el producto desde el lado de los usos. Note que esta identidad se mantiene contablemente en el esquema provisto por Lora y que copio de nuevo, esta vez identificando las entidades y variables del modelo a representar computacionalmente con el MS-Excel:

Figura 6.1.

La firma j-ésima demanda una cantidad no negativa de mercancía i, según la regla [6.2], en una proporción I que es una matriz cuadrada de coeficientes técnicos o de demandas unitarias de bien i. Como resulta de la consideración analítica del modelo, la construcción de la matriz de coeficientes técnicos es elemental: requiere únicamente dividir los elementos de la matriz en los elementos del vector de producciones brutas. Esta matriz es sustraída de una matriz identidad y el resultado, la llamada Matriz de Leontief es luego invertida. El resultado es luego utilizado para producir el vector de demandas finales, — — y de ofertas de factores, —ž>—. El conjunto de operaciones señalado comienza con

la disposición, en la hoja electrónica, de la matriz de datos. Una forma de hacerlo es como se ilustra en la figura 6.2, a continuación:

Sector 1 Sector 2 Sector 3 VI Consumo

(c) Inversión (i) Demanda Final: y = c + i VBP Sector 1 - 200 - 200 200 100 300 500 Sector 2 300 - 100 400 200 - 200 600 Sector 3 - 100 - 100 100 - 100 200 Compras Intermedias 300 300 100 700 Salarios 100 150 100 350 Ganancias 100 150 - 250 Valor Agregado (VA) 200 300 100 600 Producción Bruta (VBP) 500 600 200 500 100 1.300 Fuente: Lora (2005: 282)

≡

ž

Figura 6.2.

Los coeficientes técnicos, elementos de la matriz A resultan de un cálculo sencillo. Suponga que el área de la hoja electrónica que albergará estos valores comprende las celdas C21..E23 de modo que en la celda C21 se registre la demanda unitaria del bien producido en el Sector 1 por el mismo sector, en la celda D21, el requerimiento unitario de bien 1 del sector 2, etc. La formula a introducir es, sencillamente _ = / , como se muestra en la figura 6.3.

El cálculo de la matriz de Leontief, Ç − I puede resultar un poco más complicado, si se tiene en cuenta involucra una operación entre matrices, la matriz identidad, I y la de coeficientes fijos, I. Una forma de realizar esta operación con una sola instrucción consiste en tener en cuenta la estructura de la matriz identidad que contiene unos en la diagonal y ceros en las demás posiciones.

Si los rótulos que indican el sector productivo (los elementos del conjunto j), se disponen alrededor de las celdas que contendrán los resultados del cálculo, la formula podría ser, por ejemplo:

=SI($B26=C$25;1-C21;0-C21)

Figura 6.3.

Esta formula evalúa un criterio específico, en este caso que el valor que se encuentra en las celdas sobre la columna “B” de la hoja de cálculo, sea igual al valor de las celdas sobre la fila 25 de esta misma hoja; este es justamente el sentido de la condición “$B26=C$25” que es el criterio cuyo valor lógico determina el valor de la celda donde la formula está escrita. El criterio compara los contenidos de las celdas que delimitan los espacios que ocuparán los elementos de la matriz Ç − I ; el valor que arroja la evaluación es falso o verdadero de tal modo que de resultar verdadero se tomará el valor de la celda de referencia para ser sustraído de la unidad en tanto que, en el caso contrario, se resta de 0. En palabras sencillas, si los rótulos de fila y columna son iguales, la celda hace parte de la diagonal de la matriz: en este caso, hay que restar estos valores de la unidad. El caso opuesto es que los rótulos de fila y columna no sean iguales, luego son elementos de fuera de la diagonal y deben ser restados de cero. No

deje de observar que las columnas y se fijan con el operador “$” de modo que si se copia la fórmula a otra celda, se evaluarán solo las celdas que estén sobre la columna y la fila especificadas. En particular, los rótulos fila están en la columna “B” y los rótulos columna en la fila 25; la figura 6.4. muestra el conjunto de relaciones subyacentes al resultado de la formula introducida.

Figura 6.4.

La inversa de Ç − I , que es parte central del modelo se obtiene utilizando la función MINVERSA(). La forma de uso es bastante elemental. Se selecciona un área de llegada con las mismas dimensiones que el área de salida, —el conjunto de celdas que contiene la matriz de Leontief— de las en la hoja electrónica que albergue los resultados de la computación y se introduce la función con referencia a los elementos del área de salida. Por ejemplo, si los datos de la matriz de Leontief se encuentran en el reango C26..E28, la formula a entrar es:

=MINVERSA(C26:E28)

Finalmente, la matriz de requerimientos unitarios de factor primario k-ésimo se construye bajo los mismos principios de construcción de la matriz I y no requiere explicación adicional.

Considere de nuevo el modelo completo, cuyas ecuaciones copio aquí de nuevo por conveniencia:

x = Ç − I Q _y

f = Ç − I Q _y

pï _{= w′ Ç − I} Q ì [6.15]

El sistema [6.15] consta de 2n + m ecuaciones que determinan el mismo número de variables endógenas, a partir de la información de n + m variables exógenas que son los n elementos del vector de demandas finales y los m elementos de los precios de los factores. Con tres sectores productivos y dos inputs primarios, el número de variables exógenas son 5. Observe, de la Tabla 6.2. que la información de demanda final aparece como la suma de los vectores de consumo e inversión. En la otra mano, la información sobre los precios de los factores, si bien no está disponible en la matriz de insumo producto, que registra valores, por la Convención de Harberger se puede tomar como un vector de unos.

La solución del sistema [6.15] da los valores de los vectores %x, f, p′* que se computan a partir de la matriz inversa de Leontief, Ç − I Q dados los valores del vector de exógenas %y, w′*. Disponiendo de la información necesaria el procedimiento se limita a efectuar las operaciones entre matrices y vectores que aparecen indicadas en el modelo.

La arquitectura de una hoja electrónica, facilita no únicamente la solución del modelo sino que por su naturaleza interactiva, hace posible adelantar ejercicios de simulación en tiempo real que, en el caso del modelo de Insumo Producto, consisten en variar los valores de las variables exógenas y verificar su impacto sobre las variables determinadas por el modelo.

Una forma de hacer esto, consiste en combinar las matrices computadas según la descripción supra, con los valores de la tabla, en forma directa. Alternativamente, es posible disponer de un modo más elegante y eficaz la información disponible y los cálculos del modelo. La propuesta que presentamos consiste en construir un área de cálculo en donde junto con las variables de salida, se incluyan valores alternativos de las variables exógenas. Como en el ejemplo la demanda final aparece como la suma de dos vectores, parecería conveniente disponer de áreas para valores alternativos de estas variables así como espacios para medir los cambios relativos en estas, respecto del equilibrio base. En la figura 6.5. a continuación se ilustra la implementación de esta idea. Las celdas M9..O12

contienen valores de las variables exógenas mientras que las celdas Q9..S12

registran los cambios (diferencia logarítmica) de estos valores, respecto de los observados en la tabla original.

Figura 6.5.

Al lado de esta tabla hemos dispuesto los resultados del modelo, es decir, los resultados de los cálculos que prescribe el modelo [6.15] y que involucran las matrices calculadas y las variables exógenas. En la figura 6.6 aparece una tabla de salida que registra cambios en las variables endógenas del modelo dados los cambios en los elementos del conjunto de exógenas. Como es claro, si las exógenas no experimentan variación respecto del escenario base, el modelo debe reproducir en forma exacta los contenidos de la matriz original (Tabla 6.2).

El calculo de las variables endógenas es elemental y aplica la función MMMULT() que realiza productos punto entre arreglos conformados para multiplicación. En el caso del vector de producciones brutas por sector, que se determina como el producto de la matriz inversa de Leontief y la demanda final, x = Ç − I Q _{y la}

operación resulta de la introducción de la formula (vectorial)

En esta formula, el primer argumento, que es el conjunto de celdas C31:E33

contiene la matriz inversa de Leontief en tanto que, el segundo argumento, la columna de celdas O9:O11 se refiere a los elementos de la demanda final (figura 6.5) . En el caso de los requerimientos de factores primarios, la formula utilizada es:

=MMULT(C36:E37;W9:W11)

En la que el primer argumento, que es el rango de celdas C36:E37 contiene los requerimientos unitarios de factores primarios por sector, y el segundo argumento, la demanda final estimada, xð . En efecto, recuerde que la demanda por factores viene dada por:

f = Ç − I Q _y

Note también que, de [6.15] xð = Ç − I Q y, es decir,

f = xð ∙ [6.16]

Como resulta obvio del modelo [6.15], los precios no tienen efecto en la determinación de los valores de las producciones brutas ni de los requerimientos agregados de factores. Sin embargo, la ecuación de precios de los bienes relaciona los precios de los factores con la inversa de Leontief y por lo tanto puede ser determinado. La última ecuación en [6.15] es un poco complicada porque involucra que el vector de salida sea una fila, mientras que el reporte de salida está en formato columna. Comoquiera que puede resultar deseable mantener un formato uniforme, es posible manipular los cálculos básicos para obtener el resultado deseado, i.e., un vector columna de precios de los bienes en el área Y9:Y11. La formula básica de multiplicación compuesta de matrices, es en este caso modificada con la función TRANSPONER(), que cambia el orden de salida de un vector, para los efectos que el analista requiera. En el caso de nuestro modelo, las formulas en el área Y9:Y11 de la hoja electrónica, son:

=TRANSPONER(MMULT(MMULT(C40:D40;C36:E37);C31:E33))

Esta formula transpone el resultado, de orden (1 x n), del producto del vector a′, que es de orden (1 x m) y la matriz , que es el producto indicado por

MMULT(C40:D40;C36:E37), y la matriz inversa de Leontief que está en el área

C31:E33.

Con estas operaciones la labor de modelamiento aparece completa y es posible, habiendo comprobado una reproducción exacta de los datos de la matriz de insumo producto, adelantar simulaciones que se refieren a introducir cambios en los elementos de las variables exógenas. Suponga que se quiere verificar qué sucede con el equilibrio base si, por ejemplo, la demanda final para consumo por mercancía producida por el sector 2 aumenta en $50 al tiempo que el precio del capital se dobla.

A efectos de este ejercicio de simulación, basta con cambiar los valores de estas variables en las áreas dispuestas en la aplicación de hoja electrónica. La naturaleza interactiva de los cálculos en la hoja electrónica permite observar de modo inmediato los cambios al tiempo que la arquitectura del modelo de despliegue de datos aplicado hace posible obtener en forma ordenada y coherente los resultados del ejercicio de simulación.

Según el ejercicio propuesto, el consumo final del bien 2 pasa de $200 a $250, es decir, un aumento del 22.3% al tiempo que la demanda agregada final pasa de $600 a $650, lo que supone un aumento del 8%. Consecuencia de estos cambios es un aumento del 4.5% en la producción bruta del sector1, del 11% en el sector 2 y del 5.7% en el sector 3, que implican un aumento en los requerimientos de trabajo del orden del 7.7% y del 8.5% en el capital. Un aumento del 8% en la demanda final, implica un incremento del 7.7% en la producción bruta y de al menos el 8% en los requerimientos de factores. La estructura teórica del modelo establece una relación entre los precios de los bienes producidos y los de los factores. Al aumentar a $2 el precio del capital, cambian efectivamente los precios finales, pero no las demandas reales. La figura 6.7 reúne los resultados del ejercicio de simulación, según se reproducen en la aplicación en Excel.

Figura 6.7.