Lecturas y Modelos Aplicados en
Microeconomía
Resumen
El presente texto reúne, documenta y explica una serie de modelos aplicados de microeconomía, modelos de economías en los que las dimensiones relevantes aparecen plenamente identificadas y asociadas a un valor numérico, y las decisiones están a cargo de individuos caracterizados por conjuntos de elección bien definidos, criterios de elección de alternativas concretos, y restricciones institucionales, económicas y financieras que limitan su actuación a un ámbito institucional preciso. Los ejemplos compilados ofrecen, de un lado, la oportunidad de que modelos parametrizados y especificados numéricamente, hagan posible ver la teoría en acción, al tiempo que constituyen una oportunidad que, para los estudiantes que preparan sus trabajos de grado, supone contar con blueprints y maquetas operativas de modelos microfundamentados computables, aplicables con pocas modificaciones a sus proyectos particulares de investigación formativa. Es posible que pueda aprovecharse algo del material que se presenta aquí en procesos de investigación disciplinar, y esto constituye una oportunidad adicional, si bien de orden más bien marginal.
1
Presentación
El presente texto reúne, documenta y explica una serie de modelos aplicados de microeconomía, es decir, modelos de economía en los que las dimensiones
relevantes aparecen plenamente identificadas y asociadas a un valor numérico, y las decisiones están a cargo de individuos caracterizados por conjuntos de elección
bien definidos, criterios de elección de alternativas concretos y restricciones institucionales, económicas y financieras que limitan su actuación.
Hay dos aspectos que resultan de relieve aquí (i) la oportunidad que modelos numéricos, completamente especificados y parametrizados supone para quienes estudian teoría microeconómica, en la medida que permiten ver la teoría en
acción, y (ii) la oportunidad que, para los estudiantes que preparan sus trabajos de
grado, supone contar con blueprints y maquetas operativas de modelos
microfundamentados computables, aplicables con pocas modificaciones a sus proyectos particulares de investigación formativa.
Es posible que pueda aprovecharse algo del material que se presenta aquí en
En la segunda sección hago una breve descripción de lo que a mi entender involucra la microeconomía aplicada, es decir, la práctica que implica la
construcción de modelos numéricos de microeconomía o, si se quiere, de modelos microfundamentados de economía, con números y cifras del mundo real.
Buena parte de esta práctica es resultado de los hallazgos que en términos
de algoritmos de solución fueron propuestas durante los años 60s por economistas como Leif Johansen, que gracias a una linealización del sistema de condiciones de
primer orden de un modelo de equilibrio económico general, pone en manos de los analistas contemporáneos una opción computacional para el modelo
Arrow-Debreu, o de Herbert Scarf quién en 1969 ofrece un algoritmo flexible para la computación de un equilibrio en ese tipo de economías economía competitiva. La sección 3, en ese orden de ideas, explora una economía modelo construido sobre
esas líneas teóricas, y muestra la forma de ponerlo en términos de una hoja electrónica corriente y la forma de solucionarlo en forma sencilla y eficaz con las
herramientas que ese paquete de software contiene.
A pesar de que las hojas electrónicas son software ampliamente disponible, en ocasiones no son demasiado útiles cuando los problemas a resolver son más
complejos, por virtud de una mayor no linealidad o por problemas asociados a las dimensiones del modelo. Un ejercicio similar al elaborado en la sección 3, se
desarrolla en la sección 4 utilizando un lenguaje de computadora altamente flexible, basado en una representación algebraica del modelo, en oposición a la
presentación analógica que posibilita la hoja electrónica. El lenguaje GAMS (General Algebraic Modeling System) es suficientemente flexible como para
representar un sistema complejo como el de excesos de demanda correspondiente a una economía de propiedad privada. Un modelo de economía de propiedad privada mucho mas sofisticado, si bien altamente abstracto en relación con las
introductorio a estas tecnologías; este modelo incluye un gobierno que financia su gasto con impuestos que recoge sobre los usos de factores productivos de dos tipos
de firmas propiedad de dos tipos de individuos. El modelo permite adelantar algunos ejercicios contrafácticos que muestran cómo la intuición, si bien útil a la hora de construir la política pública, puede llevar a errores de asignación reales, en
ausencia de información sobre la retroalimentación del sistema de toma de decisiones. Este es el contenido de las sección 5, que desarrolla el modelo de
Shoven y Whalley buscando hacer evidentes los vínculos entre los contenidos teóricos del modelo AD (Debreu, 1959) y un aplicación computable práctica con el
GAMS o cualquier otro lenguaje.
Los desarrollos más recientes de la disciplina incluyen la construcción de modelo empíricos y microfundamentados con base en información provista por las
agencias de información nacionales. El modelo de Insumo-Producto de Leontief, materia central de la mayor parte de los cursos de Medición Económica es, en
algún sentido el primer modelo de equilibrio general computable útil al oficio de la planeación económica. Comoquiera que este modelo, puede ponerse en términos de un modelo de equilibrio económico, en el que los agentes interactuantes son los
productores de las n distintas firmas, parece interesante proporcionar una visión de esta forma de entender la producción en una economía, junto con un ejemplo de
como disponer y resolver tal modelo con software como una aplicación de hoja electrónica. La sección 6 se ocupa de este contenido y desarrolla una forma flexible
de resolver este modelo utilizando únicamente operaciones entre matrices; se ofrece, además, un ejercicio de simulación que aprovecha la naturaleza interactiva
de la evaluación de formulas en MS-Excel.
La última sección de este texto, contiene la descripción e implementación de un modelo de dinámica intertemporal en la que un agente representativo decide,
referencia, naturalmente, al modelo de Ramsey que, de naturaleza microeconómica, es pieza fundamental de construcción en el modelamiento
macroeconómico moderno; volvemos a hacer uso aquí del lenguaje GAMS y adelantamos una serie de conjeturas que facilitan la transformación de un modelo de horizonte infinito, —normalmente solucionado en términos empíricos
aplicando resultados de programación dinámica—, en un modelo truncado que puede ponerse como un programa no lineal.
El código y todo el material computacional presentado está disponible en la World Wide Web1 y puede ser descargado por quien lo desee: lo considero
material público y de libre acceso.
Referencias
Debreu, G. (1959). Theory of Value: An Axiomatic Analysis of Economic
Equilibrium. Cowles Foundation for Research in Economics at Yale University, Monograph 17. New Haven: Yale University Press.
Scarf, H. (1982). “The Computation of Equilibrium Prices: An Exposition” In:
Arrow, K. and M. D. Intriligator (Eds.) (1982): Handbook of Mathematical Economics. Vol. 2. Amsterdam: North-Holland.
Shoven, J. B. & Whalley, J. (1973). “General Equilibrium with Taxes: A
Computational Procedure and an Existence Proof”. The Review of Economic Studies. Vol. 40. No. 4 (October, 1973), 475-489.
________. (1984). “Applied General-Equilibrium Models of Taxation and
International Trade: An Introduction and Survey”. Journal of Economic
Literature. September, 1984, XXII, 1007-1051.
________. (1992). Applying General Equilibrium. Cambridge: Cambridge
University Press.
Silberberg, E. & Suen, W. C. (2001). The Structure of Economics. Third Edition.
New York NY: McGraw-Hill.
2
Modelos Computados de Microeconomía
La Crítica de Lucas2 supone un rompimiento sin vuelta atrás entre la práctica de análisis
de política mediante la utilización de modelos macroeconométricos que fundamentados
en la tradición keynesiana, se preocuparon por mensurar covariaciones y correlaciones
temporarias entre agregados económicos, antes que por proporcionar un esquema
internamente consistente que permitiese chequear los resultados introducidos a un sistema
controlado por cambios en las variables instrumentales de un sistema de toma de decisiones.
Lucas (1976) mostró, con un ejemplo sencillo, que los grandes modelos
macroeconométricos y la evaluación de su desempeño, daban lugar a muchas dudas sobre
la validez de sus predicciones. Al tiempo que Scarf (1969) y otros ofrecen algoritmos de
solución flexibles para modelos más complejos, basados en agregados que se generan
como la suma de decisiones individuales de microautómatas, precio-respondientes, surgen
alternativas de modelamiento basados en datos reales que, por ejemplo, permiten
representar una matriz de contabilidad social, sin la tiranía de la linealidad impuesta por
el esquema de Leontief.
2
Se dice que un modelo de economía está microfundamentado, si las descripciones se
basan en decisiones estratégicas de agentes económicos, caracterizados en términos de los
conjuntos de decisión que enfrentan, de los mecanismos de ordenamiento de alternativas
de elección y de las restricciones que limitan su elección en el ámbito que representa la
economía en la que mueven: el modelo Arrow-Debreu y los modelos de Equilibrio General
Computables, estáticos, dinámicos recursivos o dinámicos intertemporales de la tradición
de Ramsey, son modelos microfundamentados. El venerable modelo IS-LM-BP, no lo es.
En la actualidad, independientemente de las diferencias que dividen a los
economistas, sus modelos suelen contener modelos microeconómicos de agentes que con
mayor o menor riqueza descriptiva incluyen algún tipo de representación paramétrica
para que los resultados experimentales representen los juicios de valor que los
caracterizan como, por ejemplo, Postkeyesianos, Neowalrasianos, etc.
Ténganse en cuenta algunas consideraciones metodológicas: con Munk (2005), la
construcción de un modelo matemático que represente un sistema real requiere de un
lado, una serie de proposiciones refutables que como en el caso del modelo Arrow-Debreu
prometan una historia creíble sobre cómo los componentes de una economía de mercado
se articulan y dan lugar a un resultado particular y de otro, de un conjunto de datos que
delimiten el alcance espacial y temporal del sistema que se quiere describir. En la otra
mano, una teoría suficientemente bien articulada puede ser formalizada como un modelo
teórico en el que las proposiciones refutables que la articulan aparezcan expresadas en
términos matemáticos; si estas relaciones matemáticas se especifican de tal modo que
puedan ser estimadas, se hará referencia a un modelo teórico parametrizado. Al añadir al
modelo teórico parametrizado un conjunto de estimaciones de los parámetros que lo
caracterizan, se obtiene un modelo completamente especificado. Por ejemplo, y de nuevo
con Munk (2005:3) un modelo completamente especificado cuyo contenido teórico es el
modelo Arrow-Debreu -ó cualquiera otra sistematización de la propuesta Walrasiana-, es
un Modelo de Equilibrio General Computable o CGE por su sigla en inglés.
El conjunto de modelos que se presentan en este trabajo, recogen la tradición
de este esquema esencial: al adicionar valores para los parámetros de las formas
funcionales que se adoptan para las características de los agentes representados, se
convierten en dispositivos para el análisis real de las economías actuales.
Referencias
Arrow, K. (2005): Personal Reflections on Applied General Equilibrium Models. In:
Kehoe, T., T.N. Srinivasan and J. Whalley [Editors] (2005): Frontiers in Applied General
Equilibrium Modeling. Cambridge.
Munk, K. J. (2005). “Introduction to Construction and Use of CGE Models for
Policy Analysis”. Aarhus: Department of Economics, University of Aarhus.
Silberberg, E. and W. Ch. Suen (2001): The Structure of Economics Third Edition.
McGraw-Hill.
Varian (1993): Análisis Microeconómico. Antoni Bosch.
3
Computando un Equilibrio General para una
Economía Simple de Propiedad Privada con
Excel
I
. Preliminar
Se propone un modelo mínimo de equilibrio económico con dos consumidores que
detentan la propiedad de dos factores productivos y demandan cantidades no negativas
de los bienes que las dos firmas en la economía producen, utilizando los factores
productivos como inputs. Hay cuatro mercancías en esta economía cuyo equilibrio se
caracteriza como el conjunto de precios que son solución del sistema de exceso de
demanda. Se hace uso de una hoja electrónica típica para representar el modelo y para
hallar el equilibrio.
Comenzamos por identificar los fundamentales de una economía de propiedad privada,
producción. Los datos básicos o fundamentales, pueden ser convenientemente ordenados
mediante un arreglo3:
= , ; ; [3.1]
En esta 3(m+n+1) tupla, del espacio de economías:
i. , son representación cuasi-cóncava para ≿ y el conjunto de elección del i-ésimo
consumidor respectivamente;
ii. es el conjunto de elección de la j-ésima empresa, y
iii. ∈ ℝℓ es un arreglo que contiene los recursos disponibles en la economía, siendo ℓ
el número de mercancías.
Se muestra a continuación la manera de especificar, parametrizar y solucionar un modelo
de equilibrio general computable sencillo con ayuda de una hoja de cálculo típica, como
un paso necesario para la construcción de modelos matemáticos de economías de mayor
complejidad.
II. Las Condiciones Fundamentales
Mediante la asignación de datos numéricos a los elementos de es posible adelantar un
ejercicio computacional consistente en hallar un equilibrio para la economía modelo. La
definición del equilibrio para un modelo matemático supone una definición adecuada de
la naturaleza de la solución. Por ejemplo, en una economía como la propuesta, un
equilibrio se define como un vector de precios y una asignación ∗, ∗ , ∗
tales que:
i. x∗= argmax% x : p′x = p′ω *;
ii. y∗= argmax,- = p′y : y ∈ /, y
iii. Σ x − Σ y − Σ ω = 0.
3 En el caso de producción bajo rendimientos constantes a escala, no tiene sentido incluir el parámetro 3 que
Es decir, un equilibrio es un vector de precios y una asignación tales que (i) los
consumidores maximizan su bienestar sobre su conjunto presupuestal, (ii) los productores
maximizan su beneficio sobre su conjunto de producción, y (iii) los mercados se vacían en
el sentido de que para cada una de las 4 = 1, … , ℓ mercancías, las ofertas igualan a las
demandas.
Una de las distintas formas de resolver este problema consiste en hallar un vector p de
precios tal que el sistema de excesos de demanda se resuelva con igualdad, e.g.:
Encontrar ∈ ℝ778 talque z ≦ 0
siendo = ; , ⋯ , ;ℓ , y z un sistema compuesto por ℓ ecuaciones y ℓ variables en el
cual las ecuaciones son los excesos de demanda de cada una de las ℓ mercancías
disponibles mientras que los elementos del vector p son las incógnitas en este sistema. Por
ejemplo, en el caso de la k-ésima mercancía, la función de exceso de demanda está definida
por:
=> ≡ Σ @ − Σ A − Σ [3.2]
Aquí Σ @ es la suma de las demandas de los B = 1, ⋯ , Cconsumidores, Σ A es la
suma de las ofertas de los D = 1, ⋯ , E productores, y Σ representa la suma de las
dotaciones de la mercancía k de todos y cada uno de los consumidores. El mercado de la
k-ésima mercancía estará en equilibrio si bajo el régimen de precios p:
Σ @ = Σ A + Σ [3.3]
Esto es, si a los precios p la ecuación [3.2] es idénticamente igual a cero. Las demandas y
las ofertas son la solución a los problemas específicos de optimización de los agentes
involucrados y son funciones continuas de los precios. Un tratamiento detallado pero
accesible de estos temas es el de Mas-Colell, Whinston and Green (1995); las propiedades
del sistema de excesos de demanda son explicadas en profundidad por Ginsburgh y
III. Ejemplo Computacional
Considere una parametrización del modelo teórico propuesto a partir de algunos datos
ficticios sobre los fundamentales de la economía, empezando por definir las dotaciones de
capital k y de trabajo l de cada uno de los m=2 consumidores; estos elementos pueden ser
dispuestos en la matriz :
= 1 22 2 [3.4]
En esta matriz las filas corresponden a los i=HI, JK consumidores en tanto que las columnas
corresponden a los factores de producción H4, LK. De esta manera, por ejemplo, el
consumidor A tiene una unidad de capital y dos unidades de trabajo mientras que el
consumidor B tiene dos unidades de capital y dos de trabajo. Los factores de producción
son adquiridos por las D = H1,2K firmas responsables de la producción de los bienes de
consumo , M respectivamente: no hay producción conjunta de modo que la firma 1
produce únicamente mercancía y la firma 2, el bien de consumo M. Cada consumidor
elige una cesta de consumo , M para, mediante este expediente, maximizar su utilidad,
representada en cada caso por las funciones:
N= N OP MN QOP
R = R OS MR QOS T [3.5]
Los argumentos de estas funciones de utilidad se eligen de tal forma que maximicen la
utilidad sobre el conjunto presupuestal. Las firmas operan bajo las condiciones habituales:
en el caso presente las funciones de producción son linealmente homogéneas de la clase
Cobb-Douglas,
= 3 4UVL QUV
M= 3M4MUWL QUW
T [3.6]
La producción es parte de un plan de producción óptimo en cuanto a que constituye una
elección que maximiza el beneficio (o minimiza el coste) del productor j. Con esta
precisa definir la naturaleza de la elección de los agentes (consumidores y productores)
involucrados.
El Problema del Consumidor.— El i-ésimo consumidor debe elegir un plan de consumo
x = , M a fin de maximizar su utilidad sobre el conjunto presupuestal definido por
X = Hx ∈ | ′x ≤ ′ K. En específico el problema es:
max[\V,[\W , M =
O\
M QO\
A D]^_ _: ; + ;M M= `4 + aL
b [3.7]
Sea c = `4 + aL de manera que la función Lagrangeana queda:
ℒ , M; e = O\ M QO\ + e,c − ; − ;M M/ [3.8]
Las condiciones relevantes para óptimo son:
% *: f O\Q
M QO\ − e; = 0
% M*: 1 − f O\Q M QO\Q − e;M= 0
%e*: c − ; + ;M M= 0 g
h i
[3.9]
Operando sobre el sistema [3.9] se llega a la conocida función de demanda de Marshall, de
acuerdo con la cual, en el caso Cobb-Douglas, el gasto nominal del i-ésimo consumidor en
la k-ésima mercancía es fracción constante f del ingreso:
;> >∗= f c [3.10]
O, lo que es lo mismo >∗= f c ;⁄ >. Bajo [10], la demanda por la k-ésima mercancía de
consumo es una función continua de los precios y del ingreso, esto es, >∗= @ , c ; sin
embargo, dado que el ingreso del consumidor proviene de la venta de sus dotaciones, es
decir, c = `4 + aL, resulta que la demanda es función continua de los precios: >∗=
@ .
El Problema del Productor.— Un plan de producción es un nivel de producción y un nivel de
agentes puede ser representada como una elección de insumos que minimiza el coste de
producir una cantidad particular de producto. En el caso que nos ocupa, el j-ésimo
productor elige capital y trabajo con el fin de minimizar el costo de producir k :
min>n,onp̅ = `4 + aL
A D]^_ _:
k = 3 4UnL QUVn b
[3.11]
Con Varian (1993, p. 65), sustitúyase L en la función objetivo con el valor que se deriva del
despeje de este factor de la restricción. Así, el problema [3.11] se convierte en uno más fácil
de extremos libres en 4:
min>
n `4 + a3
QVrsnV
k
V
Vrsn4QVrsnsn [3.12]
La condición de primer orden es:
a − Un
QUn`3
QVrsnV
k
V
Vrsn4QVrsnsn = 0 [3.13]
De [3.13] la demanda condicional por capital de la firma j es:
4 `, a, k =tn
unv
Un QUn w xy QUn [3.14]
En forma paralela,
L `, a, k =tn
unv
QUn Un x wy Un [3.15]
El Sistema de Excesos de Demanda.— Disponiendo de expresiones para las ofertas y
demandas de todas y cada una de las mercancías de esta economía en función de los
precios, es posible ahora construir el sistema de excesos de demanda z(p) en el que, para el
caso presente las ecuaciones son los equilibrios en los mercados de los bienes de consumo,
, M y en los mercados de los factores de producción, k, l; las ecuaciones [3.10], [3.13] y
[3.14] son precisamente los elementos sobre los que se construye el sistema. Note que estas
elección o incógnitas a determinar. Teniendo en cuenta la expresión [3.2] las demandas de
una mercancía deben ser iguales a las ofertas, que incluyen tanto la producción como las
dotaciones; no obstante, observe que en este ejemplo, no hay dotaciones iníciales de los
bienes de consumo , M asi como tampoco hay oferta producida de factores. Con estas
anotaciones, el sistema de excesos de demanda para esta economía modelo admite la
siguiente representación4:
=[V ; , ;M, `, a ≡ Σ ; , ;M, `, a − k ; , ;M, `, a − 0 = 0
=[W ; , ;M, `, a ≡ Σ M ; , ;M, `, a − kM ; , ;M, `, a − 0 = 0
=> ; , ;M, `, a ≡ Σ 4 ; , ;M, `, a; k − 0 − Σ 4z = 0
=o ; , ;M, `, a ≡ Σ L ; , ;M, `, a; k − 0 − Σ L̅ = 0 g{
h { i
[3.16]
La solución de [3.16] es un vector ∗= ;∗, ;
M∗, `∗, a∗ tal que z ≡ 0. Más aún, dada la
homogeneidad de las funciones de demanda, se deberá observar que z ≡ 0. Además,
visto que en [3.15] hay ℓ − 1 ecuaciones linealmente independientes, se deberá omitir del
trabajo computacional uno de los excesos; mediante la fijación de uno de los precios, por
ejemplo haciendo a| = 1, (el precio del numerario) el sistema resultante será de
dimensiones ℓ − 1 × ℓ − 1 . La solución papel y lápiz es tarea de náufragos solitarios y la
dejaremos de lado en favor de una solución numérica, haciendo uso de una hoja de cálculo
corriente.
IV. Especificación Computable con MS-Excel
La Figura 3.1 ilustra la disposición de los datos y un diseño ad-hoc para resolver
numéricamente el modelo [3.16] en el MS-Excel 2007. En la hoja electrónica se identifican
tres áreas principales. La primera, en el rango B4:D21 contiene la información relativa a los
fundamentes de la economía, según la especificación [3.1]. La segunda sección, que abarca
el rango F4:G12 contiene los valores de las variables de elección principales que, en este
caso, y de acuerdo con las condiciones de equilibrio señaladas, son las variables endógenas
del modelo. Finalmente el rango I4:P14 contiene el sistema de ecuaciones de exceso de
demanda para todas y cada una de las ℓ = 4 mercancías que son sujeto de transacción en
la economía modelo.
Figura 3.1
La sección de parámetros distingue aquellos que caracterizan a los productores de aquellos
que caracterizan a los consumidores. El bloque Productores tiene dos columnas que para
cada uno de los D = H1,2K productores contienen los valores de los parámetros relativos a,
en su orden, la elasticidad del producto respecto del capital, el factor de escala; en este
bloque también se incluyen una computación del costo de producción (c), y de la
producción a que daría lugar la aplicación total de recursos a la firma j (qmax_). La
definición de la frontera de posibilidades de producción de la economía tiene por objetivo
resolver un problema particular que se describirá más adelante.
En el bloque Consumidores se hace lo propio: para cada uno de los B = HI, JK
consumidores se registran en esta tabla la fracción del ingreso dedicada al pago de la
mercancía , y los valores de las dotaciones de capital y de trabajo de cada consumidor,
datos aparecen transpuestos por simples razones de diseño y conveniencia. Las tres
últimas filas de este bloque contienen un cómputo de los ingresos (M) y los gastos (e)de
los consumidores al régimen de precios que aparece en el bloque de variables endógenas,
así como una medida de la distancia entre estos valores.
El bloque de formulas bajo el rótulo Sistema de Excesos de Demanda se ha construido
buscando seguir estrictamente el modelo [3.16]. En cada una de las celdas de esta matriz se
incluyen las expresiones derivadas del trabajo analítico en las secciones anteriores. Así por
ejemplo, en la submatriz correspondiente a las demandas de los consumidores (rango
J9:K10), se incorporan fórmulas análogas a las soluciones del problema de maximización
de la utilidad representadas en las ecuaciones [3.10]. En la Figura 3.2 se muestra la entrada
asociada a la demanda del consumidor A por la mercancía 1 que es función continua de
los precios (p1_) y del ingreso (mA), dada la elasticidad bA. Las dependencias funcionales
de esta fórmula son señaladas en la Figura 3.3.
A la celda J9 que contiene la función de demanda marshalliana del consumidor A por el
bien 1 se ha asignado el nombre de x1A, según se observa en el extremo superior
izquierdo de la Figura 3.3. En la misma figura se señalan con flechas las dependencias
relevantes. Específicamente, el valor de la celda J9 depende, por un lado, del precio de la
mercancía 1 (celda G8), de la elasticidad asociada (celda C15) y del ingreso (celda C18); a
su vez el ingreso es expresión de la venta de los activos del consumidor analizado (celdas
C16, C17) a los precios r,w (celdas G10, G11) que es, precisamente, el RHS en la restricción
Figura 3.2
Figura 3.3
Las demás celdas en la matriz de ecuaciones de exceso de demanda se llenan bajo el
mismo método. En este punto surge un problema importante asociado al hecho de que en
las hojas electrónicas corrientes, las formulas se calculan en tiempo real tan pronto como
producidas (celdas N9, N10), deberían contener una fórmula análoga a la restricción en el
problema [3.11], cuyos argumentos son elegidos en un contexto de optimalidad: los
argumentos son las funciones de demanda condicionada de factores [3.14] y [3.15] que
dependen, precisamente del valor de la producción, esto es, los valores de las celdas N9 y
N10. Naturalmente, al intentar entrar los contenidos funcionales prescritos en el modelo
analítico, la detección de referencias circulares no se hace esperar. Una alternativa de
solución parte de la consideración del Primer Teorema del Bienestar:
En una economía de propiedad privada en la que cada consumidor
posee una función de utilidad que satisface que satisface el supuesto de no
saciabilidad local, si ∗, ∗ , ∗ es un equilibrio competitivo,
la asignación ∗ , ∗ es eficiente en el sentido de Pareto5.
Desde el punto de vista del análisis marginal la condición para una asignación Pareto
Óptima global exige que la evaluación marginal de cada mercancía sea igual para todos y
cada uno de los individuos y que esa evaluación marginal sea igual al costo marginal de
producir tales bienes (por ejemplo, Silberberg & Suen [2001], pp. 588-589). En la Figura 3.4
la curva PP representa la frontera de posibilidades de producción de la economía para las
dotaciones de recursos dadas. La pendiente en el punto A es el costo marginal de producir
M en términos del bien dejado de producir. En cualquier punto, sobre la frontera, se
puede construir una Caja de Edgeworth que representará las asignaciones de , M de cada
uno de los consumidores que se avendrán a intercambio sobre la curva de contrato 0A. En
cualquier punto de la curva de contrato las pendientes de las curvas de indiferencia serán
iguales a la pendiente de la curva de transformación que es un punto Pareto eficiente
global: las tasas marginales de sustitución de los consumidores son iguales entre sí, e
iguales a la pendiente de la frontera de transformación que da el conjunto de planes de
producción eficientes para la economía. Dado que no es posible producir eficientemente si no
hay asignaciones eficientes de factores se sigue que la producción bajo elección óptima de
factores, es eficiente.
Figura 3.4
Esto significa que las celdas que contendrían la producción óptima pueden dejarse libres y
disponibles para que el solucionador ponga en ellas valores coherentes con el modelo [16].
En aplicaciones basadas en Matrices de Contabilidad Social (MCS) el problema de
simultaneidad que se enfrenta no existe porque que la MCS representa en sí mismo un
equilibrio de la economía. El problema pues, se reduce a elegir precios de los bienes
producidos y del capital (visto que se ha fijado el precio del trabajo, w) y niveles de
producción de las mercancías finales para hacer que la suma del valor de los excesos de
demanda sea cero; como es natural, se exige que el valor del exceso de demanda de cada
mercancía sea cero.
En el contexto del modelo propuesto, esto significa buscar valores para las celdas G8, G9 y
G10 que corresponden a los precios, y para las celdas N9 y N10 que corresponden a los
niveles de producción de las mercancías , M tales que los valores en las celdas P9, P10 y
P12 sean iguales a cero. La celda objetivo es la que contiene la suma de las celdas
antedichas: en este caso, es la celda P13 la que constituye el objetivo (Figura 3.5).
1
x
2
x
O
A P
Figura 3.5
Tras la invocación del solucionador (Solver) se abre un formulario electrónico en el que se
deberá poner la información necesaria para que el procesador inicie el trabajo
computacional:
Figura 3.6
La Figura 3.7 muestra la manera en que hemos diligenciado el formulario del Solver: el
objetivo es la celda P13 para la cual se ha señalado como objetivo el valor de cero. De
manera paralela, en la sección del formulario que indica Cambiando las Celdas se han
entrado los nombres p1_, p2_, r_, x1s, x2s, que son los nombres asignados a las celdas de
los precios de las mercancías producidas, a la renta del capital y a la producción de los dos
bienes de consumo, respectivamente. Las restricciones del problema se entran en la
$J$9:$N$12 >=0 indica al procesador que las asignaciones resultantes de su búsqueda en el
espacio de los precios (y de las cantidades producidas) deben ser números reales positivos.
Las restricciones $P$10 = 0, $P$12 = 0, y $P$9 = 0 indican al procesador que los excesos de
demanda de las mercancías relevantes deben ser cero. Finalmente, el conjunto de
restricciones x1s <= q01_, x2s <= q02_ exigen que los valores de las celdas dispuestas para
la producción de bienes finales, no debe quedar fuera de la frontera de posibilidades de
producción, especificada en el bloque de parámetros del modelo.
Figura 3.7
La solución se obtiene luego de oprimir el botón Resolver, habiendo verificado que el
problema ha sido bien especificado: en la Figura 3.8 aparecen los precios (relativos) que
constituyen las soluciones esperadas. Note que el salario, que se ha predeterminado como
fijo, sigue siendo el patrón de comparación y es una constante respecto de la cual se
evalúan los demás precios. Las soluciones son tales que satisfacen todas las restricciones y
condiciones impuestas: las asignaciones son todas no negativas y los excesos de demanda
son cero, así como la suma de éstos. Una prueba de que estas soluciones son coherentes es
aquella que se refiere a la verificación de la Ley de Walras. La ecuación de exceso de
demanda del factor capital, que ha sido omitida del modelo, y que aparece resaltada en la
Figura 8, se ve satisfecha al régimen de precios relativos encontrados por el procesador. La
prueba de homogeneidad también puede llevarse a cabo con facilidad multiplicando los
importancia aquí: solo los precios relativos son de interés de manera que las cantidades de
mercancías, así como el ingreso y el gasto del consumidor deben permanecer inalteradas
ante cambios nominales de cualquier especie.
Figura 3.8
V. Comentario Final
La tarea de especificar y solucionar un modelo sencillo de equilibrio económico se ha
mostrado como una labor fácil que, a pesar de todo no excusa el fundamento teórico
necesario y suficiente6. No basta con conocer la mecánica del Solver: un conocimiento
previo y completo del modelo Arrow-Debreu es indispensable. La clase de modelos que
hemos ensayado suele ser muy útil en la evaluación de cambios de régimen que,
introducidos por una autoridad, por ejemplo, puedan modificar los fundamentales de la
economía. Es posible computar equilibrios alternativos dados cambios en las elasticidades
del producto respecto del capital o del trabajo, cambios en las dotaciones iniciales, cambios
6
en el régimen fiscal, cambios en los sistemas de transferencias inter alia. La recomputación
del modelo, luego de la introducción de cambios en los parámetros que caracterizan a la
economía dará lugar a un sistema de precios relativos distinto al inicial, haciendo posible
medir las variaciones equivalentes y compensatorias Hicksianas, y a través de ellos
cambios en el bienestar de los agentes para estimar el costo o beneficio relativo de una
iniciativa de política determinada (Shoven and Whalley [1992]).
El uso de hojas electrónicas como el MS-Excel no se limita necesariamente a modelos
abstractos de pequeñas dimensiones como este que hemos especificado: ejemplos de
aplicaciones más elaboradas con hojas electrónicas se ilustran en Devarajan, Go, Lewis,
Robinson and Sinkko (1997) o en Sadoulet and de Janvry (1993). Las dimensiones de un
modelo computable de equilibrio general están limitadas únicamente por la información
disponible que incluye no únicamente la MCS, sino el conjunto de parámetros sueltos
necesarios para una representación razonablemente objetiva de una economía real. Por
esta razón, en muchos de los casos más elaborados, se precisa de paquetes
computacionales mucho más flexibles como el GAMS7, que será introducido con este
mismo ejemplo, más adelante, en otro documento.
Referencias
Devarajan S., D.S. Go, J.D. Lewis, S. Robinson and P. Sinkko (1997): Simple General
Equilibrium Modeling. Chapter 6 In: Francois, J. and K. Reinert (1997).
Francoise J. and K. Reinert (1997): Applied Methods for Trade Policy Analysis – A
Handbook. Cambridge University Press.
Ginsburgh, V. and M. Keyzer (1997): The Structure of Applied General Equilibrium
Models. MIT Press.
Mas-Colell, A., M.D. Whinston and J.R. Green (1995): Microeconomic Theory. Oxford
University Press.
Silberberg E. and W. Suen (2001): The Structure of Economics. A Mathematical
Analysis. McGraw-Hill.
Sadoulet E. and A. de Janvry (1995): Quantitative Development Policy: John Hopkins
University Press.
Shoven, J. and J. Whalley (1992): Applying General Equilibrium. Cambridge
University Press.
Varian, H. (1993): Análisis Microeconómico. Antoni Bosch.
4
De un Modelo Abstracto de Equilibrio General a
un Modelo Microfundamentado y Computado:
Una Aplicación GAMS
I. Presentación
El Modelo Arrow-Debreu (A-D) es una abstracción analítica que no tiene objetivo distinto
a mostrar que, dadas ciertas condiciones de regularidad en las preferencias de los
consumidores y los conjuntos de producción de las firmas, existirá un régimen de precios
que hará compatibles las ofertas y las demandas de los mercados, haciendo de éstos las
instituciones mediante las cuales la estructura social responde a las habituales preguntas
qué, cómo y para quién producir. El Modelo A-D es en este sentido la elaboración
matemática de una teoría sobre la determinación de precios y cantidades en un mundo de
mercados perfectamente competitivos. Aún, el valor metodológico asociado a la teoría del
equilibrio general tiene que ver con la concepción de las economías como sistemas
cerrados y completos con componentes interrelacionados en el que se precisa calcular en
forma simultánea todas las variables de interés, dada una lista mínima de realidades
características de los elementos que componen el sistema8; de esta guisa, si fuera posible
conocer los resultados de cambios en los parámetros fundamentales sobre el equilibrio de
la economía se tendría una buena guía para el diseño de acciones, incentivos e iniciativas
públicas tendientes a mejorar el desarrollo9 que es, según parece, la visión que justifica la
preocupación por dar un uso práctico del modelo A-D. Los modelos computables de
equilibrio general (CGE) constituyen parte de la respuesta a esa pregunta.
Sobre esa necesidad se han venido construyendo, ya desde 1960, modelos
computables de las economías reales que, con mayor o menor grado de detalle y riqueza
descriptiva, incluyen reglas de comportamiento para todos y cada uno de los agentes
incluidos, que como micro autómatas establecen relaciones en torno a las mercancías
consideradas en mercados que pueden ser tenidos en cuenta como competitivos o no. Sea
de resaltar el aserto de K.J. Arrow al respecto (Arrow, 2005: 13): “Al igual que con todos las
herramientas de política y las drogas de prescripción, su uso requiere gran cautela. Sin embargo, en
todos aquellos casos en los que las repercusiones de las políticas propuestas son amplias, no hay
alternativa real a los CGE”
En la actualidad presente, una serie amplia de recursos, que van desde software
especializado para el modelamiento matemático y una producción intelectual cada vez
mayor para consulta y estudio, no han soslayado una aparente barrera al acceso a estas
tecnologías que son vistas con recelo por el lego que por alguna razón, tiende a apartarse
ante el primer fracaso mientras que al mismo tiempo, los policy makers suelen sospechar de
los y resultados que los CGE prescriben por la incapacidad de los analistas de explicar en
términos prácticos los alcances.
Nuestra contribución está orientada a develar el misterio detrás de estos modelos
que, aun cuando complejos en términos de sus componentes y su construcción, no ocultan
nada diferente bajo su andamiaje, que una estructura lógica inusualmente robusta y
sistemática que hace posible dejar de lado el venerable cæteris paribus, y producir estados
alternativos del mundo, resultado de diversas intervenciones exógenas como,
precisamente, la política económica de un gobierno. Así, entonces, se buscará reducir el
esquema altamente abstracto del modelo A-D, mediante la incorporación de datos del
mundo real a soluciones micro fundamentadas de los problemas económicos individuales
de productores y hogares inter alia, a un sistema de ecuaciones susceptible de ser
solucionado para las variables de elección relevantes, —i.e., las variables instrumentales de
un sistema de toma de decisiones, con un computador.
II. Equilibrio General Competitivo: Conceptos
Una economía de propiedad privada, —un arreglo social en el que los consumidores son
propietarios de los factores de producción y de las empresas—, puede ser representada en
forma reducida aunque completa por el siguiente conjunto de datos:
• = , , , , 3 [4.1]
En la cual para cada uno de los B = 1, ⋯ , C consumidores, , , representan el
conjunto de consumo del i-ésimo consumidor, sus preferencias y sus dotaciones iniciales.
Para cada una de las D = 1, ⋯ , E empresas existe un conjunto de producción que resume
las opciones tecnológicas del productor j-ésimo y que deberá satisfacer algunas
propiedades específicas en el caso de competencia perfecta. Finalmente, un número
3 ∈ %0,1* indica la participación del i-ésimo consumidor en la propiedad de la j-ésima
empresa. En relación con los componentes de la lista de características [4.1] se asumen
algunas particularidades10 que se resumen en los supuestos C y P a continuación:
Supuesto C:∀B = 1, ⋯ , C
a. = ℝ7ℓ ;
b. : ℝ7ℓ ⟶ ℝ es continua, estrictamente cuasi-cóncava y no saciable, y
c. ≫ 0;
Supuesto P:∀D = 1, ⋯ , E
a. es conjunto cerrado,
b. − ℝ7ℓ ⊂ ,
c. ∩ℝ7ℓ = H∅K
d. es estrictamente convexo
e. ∃ ‡ ⊂ ℝ77ℓ tal que si x , y es una asignación factible, entonces −‡ ≪
y ≪ ‡ ∀ D = 1, ⋯ , E
El Supuesto C dice que cada consumidor tiene un conjunto de consumo dado por el
conjunto de los números reales positivos, que existe una función de utilidad que representa
adecuadamente su sistema de preferencias que a su turno se suponen completas, transitivas,
continuas, estrictamente convexas y no saciables, y que cuenta con una dotación inicial de
recursos en los reales positivos. El Supuesto P dice que todas las empresas tienen conjuntos
de producción cerrados y acotados, que la decisión de no producir hace parte de las
opciones del productor, que existe la posibilidad de eliminación gratuita y que el conjunto
de producción es estrictamente convexo. Finalmente la parte e. del Supuesto P, establece
que la producción está limitada por la riqueza disponible en la sociedad.
Bajo las condiciones impuestas por los supuestos C y P, a cada una de las 4 = 1, ⋯ , ℓ
mercancías corresponde un único precio de manera que la j-ésima firma escogerá de entre
su conjunto de producción un plan y ∈ que maximiza su ingreso neto - p : ℝ7ℓ → ℝ
dado un sistema de precios p ∈ ℝ77ℓ . Puesto que la propiedad de la j-ésima firma se
reparte entre los m consumidores de acuerdo con los coeficientes de participación 3 el
ingreso del consumidor i será una función continua de los precios p:
c p = p + Σ 3 - p [4.2]
donde ∀B, el ingreso es el valor de sus dotaciones iniciales más la suma de sus
participaciones en el beneficio de la j-ésima firma dado y∗ p = _`ŠC_ ‹- = py : y ∈ Œ.
Del lado del consumidor, este elige un plan de consumo ∈ = ℝ7ℓ con el propósito de
maximizar su utilidad sobre su conjunto presupuestal X p, c p de manera que en el
óptimo x∗ p = _`ŠC_ ‹ x ∶ px + Σ 3 - p ; x ∈ ℝ
7
ℓŒ. Definiendo @ p = x∗ como
la demanda del i-ésimo consumidor a los precios p, y A p = y∗ como la oferta de la j-ésima
demandas agregadas sobre los m consumidores con las ofertas agregadas sobre las n
firmas, determina la diferencia entre las cantidades demandadas y ofrecidas de la k-ésima
mercancía en la economía. Esta función es la función de exceso de demanda:
= p = Σ @ p − Σ − Σ A p [4.3]
La parte b. del Supuesto C implica que en el óptimo el consumidor habrá de consumir todo
su ingreso por lo que el valor de la función de exceso de demanda será cero en el
equilibrio:
p= p ≡ p Σ @ p − Σ − Σ A p = 0 [4.4]
Es decir p= p ≡ 0, que expresa la Ley de Walras: “el valor del exceso de demanda es
idénticamente igual a cero”. Más aún, la función de exceso de demanda presenta las
siguientes propiedades (Ginsburgh and Keyzer, 1997):
Supuesto Z:
a. = p es continua, definida para p ≥ 0; p ≠ 0;
b. = p es continuamente diferenciable para p ≥ 0;
c. = p es homogénea de grado cero en p;
d. p= p es idénticamente igual a cero;
e. ;> = 0 implica => p > 0, ∀4
Las partes a. y b. del Supuesto Z resultan del hecho de que la función de exceso de
demanda es agregación de demandas individuales que varían en forma continua con los
precios. Como es habitual, en los casos en los que las condiciones C o P son relajadas para
permitir, por ejemplo, rendimientos constantes y/o crecientes, es posible que la
continuidad no sea de estricto cumplimiento y que existan consecuencias, (de cualquier
modo previsibles), que implicarán adopción de decisiones específicas de parte del
modelista. La parte c. del Supuesto Z surge de la homogeneidad de grado cero de las
finalmente, la parte e. busca evitar discontinuidades en la demanda de la función de
exceso de demanda cuando el precio de la k-ésima mercancía es cero, pues en este caso la
demanda individual se haría infinita y podría incorporar discontinuidades en la demanda
neta agregada. En relación con la parte e. del Supuesto Z si se reemplazan p= p por sus
componentes:
∑ p@ p = ∑ p + ∑ 3 pA p [4.5]
De aquí que para cada precio no nulo y no negativo, el valor de la demanda agregada debe
ser igual al valor de la oferta agregada. Así bajo los supuestos C, P, y Z es posible definir el
concepto de equilibrio.
Definición: (Equilibrio Competitivo).— En una economía de propiedad privada • un
equilibrio competitivo es una tupla:
p∗, x∗ , y∗ ∈ ℝℓ 7 7 [4.6]
tal que:
i. x∗ p es un plan de consumo que maximiza sobre el conjunto presupuestal,
X p .
ii. y∗ p es un plan de producción que maximiza - sobre el conjunto de producción
, y
iii. Las asignaciones x∗ , y∗ son viables, es decir: ∑ ∗ ≤ ∑ + ∑ ∗.
Es decir, un equilibrio es un vector de precios y un asignación tales que bajo dicho
régimen de precios, (i) cada consumidor maximiza su utilidad sobre su conjunto
presupuestal, (ii)cada productor maximiza su beneficio sobre su conjunto de producción,
del Supuesto Z, es posible usar el Teorema del Punto Fijo de Brouwer en la construcción de
un bosquejo de prueba de existencia de una solución para el sistema = p 11.
III. Parametrizando el Modelo
En Munk (2005) la construcción de un modelo matemático que represente un sistema real
requiere de un lado, una serie de proposiciones refutables12 que como en el caso del
modelo Arrow-Debreu prometan una historia creíble sobre cómo los componentes de una
economía de mercado se articulan y dan lugar a un resultado particular y de otro, de un
conjunto de datos que delimiten el alcance espacial y temporal del sistema que se quiere
describir. En la otra mano, una teoría suficientemente bien articulada puede ser formalizada
como un modelo teórico en el que las proposiciones refutables que la articulan aparezcan
expresadas en términos matemáticos; si estas relaciones matemáticas se especifican de tal
modo que puedan ser estimadas, se hará referencia a un modelo teórico parametrizado. Al
añadir al modelo teórico parametrizado un conjunto de estimaciones de los parámetros que lo
caracterizan, se obtiene un modelo completamente especificado. Según Munk (2005:3) un
modelo completamente especificado cuyo contenido teórico es el modelo A-D —ó cualquiera
otra sistematización de la propuesta metodológica Walrasiana—, puede ser tenido en
cuenta como un CGE.
El modelo Arrow-Debreu (Debreu [1954], Arrow and Debreu [1954]), sujeto de
presentación en la sección anterior, resulta altamente estilizado para aplicaciones prácticas
como la prescripción de políticas para economías reales. A pesar de esto el contenido
teórico y metodológico del modelo hace muy atractiva la idea de contar con dispositivos
computacionales basados en él a fin de adelantar ejercicios ex ante para la valoración de
las consecuencias económicas de cualquier iniciativa práctica de política (Shoven and
Whalley [1984], [1992]).
11 Ver, entre otros Jehle and Reny (2001: 193), Varian (1993: 320-321) y Monsalve (1999:
19-20).
Se asumirá para el caso presente que el modelo teórico es el modelo A-D. La
parametrización del modelo teórico consistirá en dar valores a los elementos que
constituyen los fundamentales de la economía según la lista de datos [4.1]. A efectos
prácticos se propone una economía en la que hay C = 2 tipos de consumidores, HI, JK
adquieren las mercancías producidas por E = 2 firmas H1,2K.
La firma 1 produce la mercancía 1 únicamente, en tanto que la firma 2 produce solamente
mercancía 2. La actividad fabril de las firmas insume factores primarios capital y el trabajo
H4, LK que son adquiridos a sus propietarios quienes, con los retornos del alquiler de sus activos, financian su consumo. Los consumidores eligen cantidades de bienes producidos
con el propósito de maximizar su bienestar; sus preferencias están representadas por
funciones de utilidad, continuas, no saciables y cuasi-cóncavas sobre su conjunto de
elección. De su parte, las firmas eligen un plan de producción, i.e. niveles de outputs e
inputs para, al régimen de precios vigente, maximizar su beneficio dados sus conjuntos de
producción, que se suponen estrictamente convexos, no vacíos y con posibilidad de
inacción y de libre eliminación.
En su versión parametrizada las funciones de utilidad de los consumidores adoptan la
forma funcional de Cobb-Douglas, (pero podría ser cualquier otra ), de modo que para los
B = HI, JK consumidores:
k = kO\Vk
M
O\W ∀B = I, J, ∀D = 1,2 [4.7]
Como es usual los parámetros f son la fracción del ingreso del consumidor i que se
destina al gasto (nominal) en la mercancía j. Las opciones tecnológicas de los D = H1,2K
productores pueden ser resumidas mediante funciones de producción, también
linealmente homogéneas del tipo Cobb-Douglas:
k 4 , L = 3 4’nL Q’n [4.8]
En la que el parámetro X representa la fracción del producto destinada a pagar el capital,
trabajo de la j-ésima firma. Las cantidades disponibles de factores primarios en la
economía están contenidas en la matriz “ que registra las dotaciones de factor f-ésimo de
los i consumidores. Suponga por el momento que gracias a los resultados de algunas
indagaciones estadísticas ha sido posible estimar los valores del juego de parámetros
‹f , fM, “, 3 , X Œ y que estos valores son los que aparecen en la TABLA 1:
Con la parametrización del modelo y la asignación de datos a los parámetros declarados se
dispone de un modelo completamente parametrizado; gracias al esquema teórico
propuesto en la sección 1, se dispone de un modelo de equilibrio general computable. El
trabajo siguiente es obtener una solución para la especificación que se ha adoptado: los
precios y cantidades que vacían mercados y que optimizan las funciones de retorno de los
agentes incluidos en el modelo a partir de las especificaciones paramétrica asumidas para
la economía de ejemplo.
IV. Solucionando el Modelo Parametrizado
Con los datos de la TABLA 1 y las condiciones exigidas por el esquema teórico, es fácil dar
forma al modelo matemático lo que significa construir el sistema Z(p) a partir de tantas
ecuaciones de la forma [4.3] ( ó [4.4]) como mercancías sean sujeto de intercambio en la
economía y encontrar una solución en términos de los precios, que son las variables de
El Sistema de Excesos de Demanda
El consumidor típico busca maximizar su función de utilidad, dada en el modelo
parametrizado por la función [4.7] sobre su conjunto presupuestal; la versión
completamente parametrizada de este problema es:
maxt\ k = kO\VkOM\W A D]^_ _ ; k + ;MkM≤ `4 + aL + Σ ” - [4.9]
Siendo p = H; , ;M, `, aK un vector de precios de las ℓ distintas mercancías: las producidas
por las firmas 1 y 2 y el capital y el trabajo; Σ ” - es la parte del beneficio de la firma j
que corresponde al consumidor i. La solución de este problema dice que el gasto nominal
del consumidor i en la mercancía j-ésima es una fracción constante f del ingreso:
; k = f `4 + aL + Σ ” - [4.10]
Es decir, k∗ p∗ = f `∗4 + a∗L + Σ ” - /;∗ que es una función que varía
continuamente con todos los precios; no deje de notar, sin embargo, que bajo rendimientos
constantes a escala, el término Σ ” - = 0. El productor en el modelo completamente
especificado computa un plan de producción óptimo como la solución al siguiente
problema:
maxtn,>n,on- = ; k − `4 + aL A D]^_ _: k 4 , L = 3 4
’nL Q’n [4.11]
que puede expresarse en forma mucho más simple:
max>n,on- = ; 3 4
’nL Q’n − `4 + aL [4.12]
Cuyas soluciones son13, como es bien conocido:
4∗ p∗ =’n n∗
x∗ k [4.13]
L∗ p∗ = Q’n n∗
w∗ k [4.14]
Las demandas y ofertas individuales de bienes finales y de factores fundamentan la
estructura del modelo que estará constituida por el sistema de ecuaciones de exceso de
demanda cuya formulación teórica es la expresión (4.3) en el caso de la mercancía ℓ-ésima;
en particular, para el caso del modelo parametrizado, el sistema Z(p) reunirá las
soluciones parametrizadas (4.7), (4.10) y (4.11):
= p ≔
— {{ ˜ {{
™= p = Σ f x>\š 7wo\š 7›V nœ\n•nš − 3 4’V p L Q’V p = 0 =M p = Σ f x>\š 7wo\š 7›W nœ\n•nš − 3M4M’W p LMQ’W p = 0
=> p = Σ ’n n
∗
x∗ k p − Σ > = 0
=o p = Σ Q’n n
∗
w∗ k p − Σ o= 0
[4.15]
La primera ecuación es el equilibrio del mercado de la mercancía 1 y enfrenta, de un lado,
la suma de las demandas individuales de esa mercancía con la oferta (a cargo de la firma
1); la segunda es el equilibrio del mercado de la mercancía producida 2; la tercera ecuación
del sistema, enfrenta la suma de las demandas de capital de las firmas 1 y 2 con la oferta,
que es la suma de las dotaciones de ese recurso de los m consumidores; la cuarta ecuación
es lo mismo en el caso del recurso trabajo. No deje de observarse que la
microfundamentación del modelo es precisamente la expresión de las demandas
agregadas de las mercancías involucradas, construidas sobre decisiones de microagentes,
sensibles a los precios relativos, como es el caso en todo modelo de equilibrio.
La asignación de los valores de la TABLA 1 a los parámetros indicados hacen que el modelo
completamente especificado esté completamente parametrizado; la estructura teórica
subyacente hace que este modelo constituya, en si mismo, un modelo de equilibrio general
computable. El modelo se resuelve encontrando un vector p = H; , ;M, `, aK tal que Z(p)=0.
La solución de papel y lápiz no resulta demasiado útil aquí, aún cuando la manera de
obtenerla es sencilla: normalícense los elementos del vector p tomando uno de sus
elementos como fijo; por ejemplo, hágasea = 1. Puesto que el modelo consta de ℓ-1
ecuaciones independientes (siendo ℓ la cantidad de mercancías en la economía) considere
Walras, se esperará que si hay equilibrio en el mercado de los bienes producidos y el del
trabajo, también deberá haberlo en el mercado de capital. Así entonces opere, desde la
ecuación menos complicada a la más compleja, a través de sustituciones sucesivas. Si bien
el trabajo algebraico será tedioso, con seguridad se obtendrán las soluciones que son las
que se registran en la TABLA 2. En la primera parte de esta tabla se registran los precios de
las mercancías, expresados en términos del precio de la mercancía que hace de numerario
(el trabajo).
Las siguientes dos secciones de la tabla registran las cantidades producidas por cada
firma, el valor de sus ventas, y los costos que debieron enfrentar en términos de las
cantidades de cada factor productivo demandadas, los pagos por concepto de uso de los
factores, el costo total de producción y el coste de producción unitario. Según predice el
modelo teórico, las asignaciones resultantes son factibles: las cantidades totales de capital
y de trabajo utilizadas en su proceso fabril por la firma j no superan los stocks disponibles.
En adición los costes unitarios, bajo rendimientos constantes, son los precios de cada
mercancía producida. Los resultados cuantitativos parecen estar plenamente sustentados
por las predicciones del modelo teórico, adicionalmente porque las demandas de los
consumidores, que se financian con los retornos de los activos que alquilan a las firmas a
los precios de mercado, son justamente aquellas que les resultan alcanzables, dados los
conjuntos presupuestales definidos por la restricción del problema (4.11).
Tal como aparece planteado, las soluciones analíticas del sistema (4.15) se obtienen no sin
esfuerzo. En la práctica los modelos útiles al oficio de la formulación de políticas son de
mayores dimensiones de modo que el sistema (4.15) puede verse ampliado
sustancialmente y su solución por la vía del lápiz y el papel pasará de realmente difícil a
prácticamente inviable. Surge por tanto una pregunta elemental: visto que se dispone
actualmente de paquetes de software versátiles y accesibles así como con poder
computacional de muy bajo costo, ¿por qué se ha de invertir un recurso tan valioso como
Soluciones Numéricas
Es posible resolver el sistema (4.15) de una manera ágil y rápida haciendo uso del
GAMS14, un lenguaje de alto nivel, flexible y poderoso que por virtud de su carácter
algebraico, permite expresar el modelo prácticamente de la misma forma en que ha sido
construido y expresado por el analista. El procedimiento es como sigue: en primer lugar se
definen las dimensiones de la economía modelo para a renglón seguido, definir los
parámetros y hacerlos sujeto de asignación numérica a partir de los datos de la TABLA 1.
Definidos los fundamentales de la economía (4.1) de ejemplo se construye el modelo,
cuestión que significa declarar las variables de elección (o endógenas), declarar las
ecuaciones necesarias para representar el modelo y proporcionar a estas la forma
funcional derivada del trabajo analítico. Puesto que el problema matemático formulado en
la etapa previa es pasado a un algoritmo numérico, se requerirá examinar y resolver el
problema de las restricciones directas y de los valores iniciales antes de someter el
programa al solucionador que proveerá los resultados buscados. Al final del proceso se
examinan los resultados a la luz de las predicciones del modelo estilizado.
Definiendo las Dimensiones del Modelo
La expresión (4.1) es una guía de lo que supone definir las dimensiones del modelo
aplicado. En ausencia de alguno de esos datos es imposible seguir con la tarea de obtener
una versión computada del modelo Arrow-Debreu; ese no es el caso de este ejercicio, vista
la información que registra la TABLA 1. En el GAMS, al igual que en la contraparte
teórica, el modelo exige la definición de los conjuntos que establecen el dominio sobre el
que las funciones de exceso de demanda tienen expresión (las listas de agentes y
mercancías). Los conjuntos B = HI, JK, D = H1,2K, y ž = H4, LK que hablan del número de
consumidores, del número de productores y de los factores productivos se definen
haciendo uso del comando set. Las barras inclinadas sustituyen los corchetes y el texto
entre comillas comenta y describe el significado de los elementos incluidos en cada
conjunto. La analogía entre el lenguaje GAMS y el lenguaje matemático utilizado en la
definición del modelo (12) es evidente. Las líneas 13 a 23 del programa que se ha escrito
para este propósito muestran la manera en que se definen los conjuntos relevantes:
12
13 *--- Conjuntos 14
15 set i Consumidores / A 'Consumidor A' 16 B 'Consumidor B' / 17
18 j Productores / 1 'Firma 1'
19 2 'Firma 2' / 20
21 f Factores de Producción / K 'Capital'
Acerca de la Parametrización del Modelo
Luego de definir los espacios de las mercancías y los agentes, la parametrización numérica del
modelo consiste en establecer las entidades en las que se van a almacenar los valores
correspondientes y en asignar a estos parámetros los valores necesarios. Como en cualquier
otro lenguaje de programación se precisa declarar la existencia de una entidad cualquiera
antes de ser sujeto de asignación y de utilización. En las líneas de código 24 a 49 del programa
se introduce la información de la Tabla 1 mediante este proceso de declaración-asignación. En
específico, en las líneas 26 a 36 se incorporan dos bases de datos con la información que
caracteriza a cada uno de los individuos en la economía modelo mediante el comando
table(<conjunto fila>, <conjunto columna>); el asterisco en la posición <conjunto columna> de las tablas cons y prds indica que si bien las tablas declaradas deben tener un número de filas coherente con un índice específico (el de los consumidores en el caso de la tabla cons, y el de las firmas en el caso de la tabla prds), las columnas pueden ser tantas como se requiera. De
estas bases de datos se extraen los valores necesarios para ser instalados en los parámetros
definidos en las líneas 38 a 42. La instalación de los valores en los parámetros ocupa las líneas
44 a 49.
24 *--- Parámetros y Otras Variables Exógenas 25
26 table cons(i,*) Datos de los Consumidores 27
28 a k l 29 A 0.65 1.00 2.00 30 B 0.45 2.00 2.00; 31
32 table prds(j,*) Datos de los Productores 33
34 theta b 35 1 1.35 0.60 36 2 0.65 0.40; 37
38 parameters
39 omega(i,f) Dotaciones de Factores \ i-ésimo consumidor
40 a(i,j) Exponente C-D en utilidad \ i-ésimo consumidor \ j-ésima mercancía 41 b(f,j) Exponente C-D en producción \ j-ésimo productor \ f-ésimo factor 42 theta(j) Escala en producción \ j-ésimo productor;
43
44 omega(i,f) = cons(i,f); 45 a(i,"1") = cons(i, "a"); 46 a(i,"2") = 1 - a(i,"1"); 47 b("k",j) = prds(j,"b"); 48 b("l",j) = 1-prds(j,"b"); 49 theta(j) = prds(j,"theta");
Una buena práctica de programación consiste en verificar que el contenido de los parámetros
