La pregunta de investigación que encaminó este trabajo y que está plasmada en el planteamiento del problema es ¿Cuáles son los procesos de objetivación y subjetivación que movilizan las estudiantes de grado noveno al resolver tareas que involucran razones trigonométricas? a partir de la pregunta podemos pronunciarnos frente a lo reportado en el análisis de este trabajo investigativo.
Luego de la recolección de información, a partir del abordaje de las tareas por las estudiantes, la clasificación de estos episodios sensibles al análisis en relación con los principios teóricos de la TO, se puede evidenciar la emergencia de diferentes formas de acción y expresión dentro de la labor conjunta, a partir de formas de colaboración y procesos de producción de saber, donde las estudiantes y los profesores estuvieron comprometidos con las tareas, desarrollaron procesos de alteridad, a partir del encuentro de voces, discursos y toma de posiciones en la actividad, es decir, se propició un espacio que generó procesos de enseñanza y aprendizaje, entendidos como proceso social, desarrollados por medio de recursos semióticos movilizados dentro de la labor conjunta.
Para describir los procesos de objetivación, entendidos como el encuentro con sistemas de acción y reflexión, histórico y culturalmente constituidos y la forma gradual de familiarizarse con estos (Vergel, 2015), en este caso, con el saber razones trigonométricas, se reconoce la emergencia en la resolución de las tres tareas dentro de la actividad matemática, dichos procesos se pudieron identificar desde los medios semióticos que movilizaban las estudiantes. A continuación realizaremos una descripción de algunos recursos.
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En primera instancia, uno de los medios de objetivación que queremos exponer es la representación con las manos en el aire, este medio semiótico fue uno de los más recurrentes, puesto que las estudiantes usaban movimientos en el aire para materializar con sus manos la representación de algunos elementos de los triángulos rectángulos y los mismos triángulos, por ejemplo, en los primeros abordajes las estudiantes usaban lenguaje hablado para referir las distancias acompañando con deslizamientos de sus dedos sobre la hoja de trabajo, en el transcurso de las discusiones e interacciones, las estudiantes refinan el medio semiótico usando sus palmas representando los triángulos en el aire para explicar la relación de los lados de los triángulos. Finalmente, las estudiantes sintetizan estas acciones con el lenguaje escrito al momento de usar letras para referirse a los lados del triángulo, estableciendo razones de semejanza. Este proceso permite poner en evidencia la evolución y el refinamiento de medios semióticos de objetivación evocando el proceso de objetivación contracción semiótica, puesto que las estudiantes inician con la necesidad de usar su lenguaje hablado para referirse a la distancia de los lados, luego acompañan el lenguaje hablado con su cuerpo para hacer referencia al triángulo y finalmente desaparece por completo el lenguaje hablado con acompañamiento de gestos para dar paso al uso del lenguaje escrito.
Otros elementos relacionados con la contracción semiótica se reflejaron en el momento en que las estudiantes se referían a la relación entre los lados de los triángulos semejantes. Inicialmente las estudiantes usan expresiones lingüísticas para complementar y sincronizar los gestos deícticos espaciales. En sus intentos por establecer la relación de los lados entre los triángulos, las estudiantes usaban la expresión “este es a este, como este es a este” acompañando con sus dedos para señalar los lados respectivos de cada triángulo; progresivamente se evidencia otra forma de representación usando las palmas de sus manos en el aire refiriéndose a los lados de manera vertical y horizontal para establecer la relación y finalmente simplifican estas acciones optando por el uso de letras para referirse a los lados y establecer la relación expresándolos como razones 60𝑥 =12080 y descartando el uso de las expresiones lingüísticas y el uso de sus manos.
Este proceso de objetivación se pudo evidenciar dentro de la actividad matemática en el momento que los estudiantes descartaban elementos para expresar o comunicar tanto a sus compañeras como a los docentes los avances y abordajes de las tareas. Como se ha expresado
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en lo anterior es claro que este proceso de refinamiento se generó desde el abordaje de la tarea 1 progresivamente hasta la tarea 3, puesto que las estudiantes en sus últimos abordajes muestran un nivel mayor de conciencia mostrando un aprendizaje y un desarrollo conceptual.
En el abordaje de las tareas dentro de la actividad se puede evidenciar hallazgos que reflejan la recurrencia de medios semióticos, estos hacen referencia de algunas acciones constituidas culturalmente, algunas instauraciones de las estudiantes cuando se refieren a las relaciones entre lados de los triángulos, estas fueron establecidas y utilizadas de manera permanente, por un lado el uso de las palmas para referirse a los lados de los triángulos fue un medio semiótico que se instauro y se usó desde la primera tarea y se reflejó en el abordaje de las tareas siguientes. Es decir las estudiantes están reiterando las acciones pasadas para enfrentarse a nuevas tareas comunicando con los mismos gestos y acciones las intenciones y las formas de reflexión esto en la TO es conocido como un proceso de objetivación nombrado iconicidad.
Además las estudiantes en su intento por comprender o dar una explicación a las cuestiones de las tareas se referían a objetos matemáticos abordados en su clase de matemáticas en anteriores tareas como por ejemplo perpendicular, secante, ángulo recto, teorema de Thales, entre otros, al indagar sobre la vinculación de estos objetos a las tareas ellas aseguran haber usado estos elementos en tareas pasadas lo que permite concluir que en la actividad matemática está emergiendo el proceso de objetivación iconicidad, puesto que se acude a acciones, gestos y formas de reflexión que habían sido usadas para dar solución a tareas pasadas.
En otro episodio emerge el proceso de objetivación iconicidad ya que los estudiantes recurren a acciones que han sido utilizadas en el pasado para resolver otras tareas. La manera como los estudiantes han aprendido a sumar cantidades fraccionarias a través de su propia historia viene a jugar un papel importante en el momento que asumen operar con cantidades desconocidas; se puede ver esto en la sección 4.2 cuando los dos estudiantes deciden sumar las fracciones cada uno de la forma como lo ha aprendido y finalmente la narrativa construida se desvanece y les genera un colapso o tensión para seguir resolviendo el problema.
En el abordaje de la Tarea 2 fue evidente la insistencia de los docentes por promover la interacción y la discusión frente a diversas inquietudes que se presentaban del proceso de
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solución. En esta tarea se evidenció el surgimiento de acciones conjuntas de las estudiantes en un acto colaborativo para responder las inquietudes de los docentes, las estudiantes movilizan de manera sincronizada varios medios semióticos de objetivación que para Radford (2008a) es entendido como un nodo semiótico, esto es, un segmento de la actividad en el cual las estudiantes utilizan varios medios semióticos para objetivar el saber trigonométrico.
En relación con el subproceso de objetivación denominado orquestación icónica, podemos decir que las estudiantes y la docente instauraron como recurso semiótico el señalamiento a los segmentos de los triángulos en las tareas, al momento de establecer una razón. Este proceso es icónico, pues las representaciones son similares entre los miembros del grupo; más allá de una simple copia, puesto que ésta posibilita objetivar el saber.
No podemos hablar de procesos de objetivación sin hablar de procesos de subjetivación, pues hay una relación entre el conocer y el devenir (Radford, 2017a). Desde la TO ver la Educación Matemática como actividad, implica ver la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas de acuerdo con la forma en que los profesores y los estudiantes participan en la actividad de la clase (Radford, 2016). En esta oportunidad, las estudiantes y los profesores lograron afirmarse como sujetos de educación. En cuanto a las estudiantes, podemos decir que encontraron en la clase de matemáticas un espacio para reconocerse como proyectos inacabados, para que sus voces fueran escuchadas, para posicionarse y poder respaldar sus ideas. Fue un espacio que favoreció la participación, pues entre grupos se alentaron, emergieron formas de colaboración humana que no permitían el individualismo. A continuación vamos a mostrar algunos aspectos que encontramos con relación a los tres vectores de la ética comunitaria.
Cuidado del otro
Esta acción se evidenció en diferentes momentos de las tareas, al momento en que las estudiantes daban explicación de los procesos desarrollados al interior de los grupos; en la mayoría de los grupos de trabajo hubo una o dos estudiantes con mayor participación a la hora de explicitar lo desarrollado, cuando alguna no encontraba las palabras adecuadas para continuar o presentaba confusión en algún aspecto, inmediatamente ingresaba otra participante del equipo para vincularse en la discusión. En algunos episodios se evidenciaba
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la solicitud de apoyo de manera explícita y en otros momentos solo con una mirada o a través del reconocimiento de expresión de ayuda se vinculaban en la discusión, las estudiantes y los docentes lograban reconocer la necesidad del otro y estaban atentos a colaborar.
Compromiso con la labor conjunta
En el transcurso de las sesiones, las estudiantes demostraban interés y se iban comprometiendo cada vez más con las solicitudes de cada tarea, poco a poco fueron abandonando la idea que esto era un simple ejercicio para obtener una nota, pues se transformó hacia la necesidad de mostrar su posición frente a las diferentes situaciones de buscar ese reconocimiento y a su vez reconocer a los demás, pues siempre podían pronunciarse o referirse al abordaje de las tareas. Era un compromiso con sus compañeras y docentes, fue una evolución en sus intenciones de trabajar. En varias ocasiones manifestaron que no tenían las habilidades de hablar en clase de matemáticas, porque nunca las habían cuestionado frente a los procesos desarrollados en una tarea, es decir, esta actividad generó un espacio diferente e incluyente, además como no había una restricción de solo escribir, pudieron expresarse de diferentes maneras.
Responsabilidad
Se pudo observar la responsabilidad, como acto de entregarse (Radford, 2017c), en las tareas 2 y 3, cuando las estudiantes se encontraban en debate. Pues, estaban alerta frente a los discursos de sus compañeras de trabajo, algunas estudiantes que se encontraban reticentes encontraron el espacio idóneo para participar y demostraron que su silencio no era sinónimo de que no entendían, sino que estaban esperando el momento oportuno para expresar sus ideas y poder intervenir de manera más segura.