Un acercamiento a los procesos de objetivación y subjetivación en el contexto de tareas sobre razones trigonométricas: una experiencia con estudiantes de grado noveno

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(1)Un acercamiento a los procesos de objetivación y subjetivación en el contexto de tareas sobre razones trigonométricas: una experiencia con estudiantes de grado noveno. Yeison Andrés Guerrero Osorio Paola Catterine Sáenz Martínez. Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de Ciencias y Educación Maestría en Educación Énfasis en Educación Matemática Bogotá, Junio de 2019.

(2) Un acercamiento a los procesos de objetivación y subjetivación en el contexto de tareas sobre razones trigonométricas: una experiencia con estudiantes de grado noveno. Yeison Andrés Guerrero Osorio 20172184011 Paola Catterine Sáenz Martínez 20172184014 Trabajo para optar al título de Magíster en Educación Modalidad Profundización. Director Rodolfo Vergel Causado Doctor en Educación con Énfasis en Educación Matemática. Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de Ciencias y Educación Maestría en Educación Énfasis en Educación Matemática Bogotá, Junio de 2019.

(3) Tabla de contenido Introducción........................................................................................................................... 5 Capítulo 1 ............................................................................................................................... 7 1.1.. Campo o área problemática .................................................................................. 7. 1.2.. Antecedentes ........................................................................................................... 8. 1.3.. Delimitación de trabajo ....................................................................................... 11. 1.4.. Pregunta de investigación ................................................................................... 12. 1.5. Objetivos .................................................................................................................. 12 Objetivo General ........................................................................................................... 12 Objetivos Específicos .................................................................................................... 12 Capítulo 2 ............................................................................................................................. 13 2.1. La perspectiva semiótica cultural ........................................................................... 13 2.1.1. El papel de la actividad como mediadora entre el saber y el conocimiento........ 15 2.1.2. Objetivación y subjetivación ............................................................................... 15 2.1.3. Medios semióticos ............................................................................................... 18 2.2. Razones trigonométricas desde el pensamiento matemático ............................... 18 2.2.1. Pensamiento algebraico ....................................................................................... 22 2.2.2. Pensamiento geométrico ..................................................................................... 23 Capítulo 3 ............................................................................................................................. 25 3.1. Diseño del estudio..................................................................................................... 25 3.2. Caracterización de los participantes en el estudio ................................................ 27 3.3 Acciones preliminares y pilotaje de las tareas ........................................................ 27 3.3.1. Categorías Iniciales ............................................................................................. 27 3.3.2. Fase de Pilotaje.................................................................................................... 28 3.3.3. Resultados prueba piloto ..................................................................................... 31 3.4. Diseño y justificación de las tareas ......................................................................... 33 3.4.1. Consideraciones para el diseño de tareas ............................................................ 33 3.4.2. Justificación de las tareas .................................................................................... 35 3.5. Naturaleza del trabajo y proceso de recolección de la información .................... 38 3.6. Obtención y constitución del dato .......................................................................... 38 Capítulo 4 ............................................................................................................................. 41 4.1. Tarea 1 Sombra según el día ................................................................................... 43 4.2. Tarea 2. Al salir del colegio ..................................................................................... 47 4.3. Tarea 3. Relación entre las distancias .................................................................... 59.

(4) 4.4. Otros elementos de análisis ..................................................................................... 74 Capítulo 5 ............................................................................................................................. 82 5.1. Respuesta a la pregunta orientadora ..................................................................... 82 5.2. Síntesis, discusión y comentarios finales ................................................................ 86 Bibliografía .......................................................................................................................... 91. 2.

(5) Índice de ilustraciones y tablas. Ilustración 1. El fin de la educación apunta hacia las dimensiones del conociendo y del volviéndose tomado de Radford 2014, p.135. ...................................................................... 14 Ilustración 2. Derechos básicos de aprendizaje que refieren a razones trigonométricas. ... 21 Ilustración 3. Estructura Metodológica Moreno (2015)...................................................... 26 Ilustración 4. Uso de sus manos para hacer referencia a la relación entre los lados de las figuras plasmadas en la tarea. ............................................................................................... 31 Ilustración 5. Representación con sus manos del triángulo formado por la proyección de los rayos de sol, la altura del árbol y su sombra. ........................................................................ 32 Ilustración 6. Movimiento de las manos haciendo referencia a relación entre lados de los triángulos. ............................................................................................................................. 45 Ilustración 7. Relación entre lados de los triángulos representados por la profesora. ....... 46 Ilustración 8. Estrategia para comparar lados de los triángulos por Katherine.................. 50 Ilustración 9. Representación de perpendicularidad con las palmas de María Camila. ...... 52 Ilustración 10. Señalamiento del triángulo formado. .......................................................... 54 Ilustración 11. Secuencia de señalamientos y deícticos espaciales acompañada de palabras de Laura en interacción con la profesora Paola. ................................................................... 56 Ilustración 12. Segunda secuencia de señalamientos y deícticos espaciales acompañada de palabras de Laura en interacción con la profesora Paola...................................................... 57 Ilustración 13. Representación y deslizamientos con las palmas con referencia al ángulo recto. ..................................................................................................................................... 62 Ilustración 14. Estrategia para representar el ángulo recto, para la determinación de ángulos agudos. .................................................................................................................................. 63 Ilustración 15. María Fernanda representando con las manos ángulo agudo imagen 1 y ángulo obtuso imagen 2. ....................................................................................................... 64 Ilustración 16. Estefanía representa el ángulo recto y la apertura de los lados para ubicar el ángulo de 60°. ....................................................................................................................... 64 Ilustración 17. Secuencia de gestos movilizada por Estefanía que permite evidenciar la contracción semiótica. .......................................................................................................... 65 Ilustración 18. Uso del símbolo para referirse a un ángulo recto. ...................................... 66 Ilustración 19. Representación gráfica del triángulo SCC. ................................................. 68 Ilustración 20. Procesos realizados por Valeria. ................................................................. 68 Ilustración 21. Procesos realizados por Laura. ................................................................... 69 Ilustración 22. María Fernanda estableciendo razones mediante señalamientos entre lados de triángulos. ........................................................................................................................ 70 Ilustración 23. Representación de triángulos invertidos con las manos. ............................ 71 Ilustración 24. Orquestación icónica de las estudiantes. ..................................................... 73 Ilustración 25. Procesos para estimar segmentos a partir de razones trigonométricas. ...... 74 Tabla 1. Relación entre pensamientos y estándares............................................................. 20 Tabla 2. Categorías de análisis. ........................................................................................... 28 Tabla 3. Organización de la información. ........................................................................... 40 Tabla 4. Tipología de formas de pensamiento trigonométrico ............................................ 89 3.

(6) Dedicatoria A Dios por permitirme cumplir un propósito más en mi vida. A mis padres por su apoyo incondicional en todo el transcurso de mi carrera, por estar para mí en todo momento. Paola A mis padres por ser mi fuente de motivación e inspiración para poder superarme día a día y poder entregar lo mejor de mí. A mis compañeros que compartieron de su conocimiento para contribuir tanto a esta investigación como a mi formación como magister. Yeison. Agradecimientos A nuestro director de tesis el Dr. Rodolfo Vergel Causado por su dedicación y acompañamiento permanente en nuestra formación. A nuestros docentes que acompañaron los seminarios en la maestría y nos compartieron sus experiencias. A nuestros compañeros por sus aportes y reflexiones frente a nuestra investigación. A las estudiantes de grado 9° del Instituto Clara Fey por su participación en el proceso de indagación.. 4.

(7) Introducción El trabajo de investigación se enfoca en documentar los procesos de objetivación y subjetivación desde la Teoría de la Objetivación (TO) planteada por Luis Radford. Según este autor, dichos procesos suceden en la interacción entre profesor y estudiantes durante la actividad matemática para volver el objeto razón trigonométrica en objeto de conciencia y pensamiento (Radford, 2018). Para poder abordar este estudio se tendrán en cuenta la identificación y la descripción de los medios semióticos de objetivación que emergen en la actividad matemática en la resolución de tareas con la intención de actualizar el saber. La investigación se enmarca en la TO, ya que esta aproximación teórica brinda elementos que posibilitan la interpretación de las acciones de los estudiantes cuando resuelven problemas matemáticos. Las tareas se realizaron en el Instituto Clara Fey de la ciudad de Bogotá D.C colegio femenino privado de corte católico. Los capítulos que estructuran el trabajo se describen a continuación. El primer capítulo “Planteamiento del problema” expone el campo problemático de la investigación partiendo de la concepción actual de las prácticas de aula como un sistema capitalista, ubicando el proceso de enseñanza – aprendizaje en la dimensión del saber. Luego, se realiza una contextualización sobre los principios teóricos de la TO que brindan elementos para el desarrollo de la investigación desde un punto de vista en el que lo importante no es solo el saber sino el ser. Además, se reportan algunas investigaciones nacionales e internacionales en el marco de la en concordancia con la teoría, al igual que los objetivos y pregunta orientadora. El segundo capítulo “Referentes teóricos” describe y explicita los elementos que dan coherencia a la propuesta de investigación, presentando constructos de la TO, entendiendo el proceso de enseñanza y aprendizaje como labor conjunta, de cooperación, participación e interacción entre sujetos de educación; seguido por la conceptualización de los medios y procesos de objetivación y subjetivación. Por último, se expone una posible caracterización de los pensamientos algebraico y geométrico.. 5.

(8) El tercer capítulo “Metodología” expone los referentes metodológicos considerados en el diseño, planeación y puesta en marcha del estudio, el cual se desarrolla desde un enfoque de investigación cualitativa de carácter descriptivo e interpretativo; toma como referencia el ciclo metodológico propuesto por TO, realizando algunas modificaciones a las últimas fases en concordancia con la investigación. Además, se realiza una caracterización de la población, la selección de tareas, los instrumentos de recolección de información son transcripciones de videos que reflejen la actividad kinestésica y gestual, al igual que la información contenida en las hojas de trabajo. El cuarto capítulo “análisis de datos” muestra el análisis como producto de la constitución de los datos (producción en las hojas de trabajo de los estudiantes, video grabación, transcripciones), basada en una interpretación de la teoría, con el fin de establecer conclusiones respecto a la convergencia de los procesos objetivación y subjetivación de las estudiantes en la actividad. De acuerdo con la TO el análisis se da desde una concepción multimodal del pensamiento, considerando importante la inclusión del cuerpo en el acto de conocer. El quinto capítulo presenta las conclusiones en concordancia con la pregunta orientadora y los objetivos de la investigación; considerando las tareas, la labor conjunta que se dio en el aula y el análisis de los datos. Posteriormente, se pondrán en manifiesto algunas consideraciones que pueden derivarse de este estudio para posibles trabajos en el futuro y aportes a la TO que puedan surgir desde lo encontrado en los resultados del análisis.. 6.

(9) Capítulo 1 Planteamiento del problema En este capítulo se esbozan las ideas que fundamentan la investigación. Inicialmente se exponen elementos que permiten centrar la investigación en la perspectiva sociocultural de la Teoría de la Objetivación, posteriormente se exponen algunos informes investigativos bajo la TO que reportan medios semióticos en el abordaje de tareas dentro de la labor conjunta. Finalmente se presenta la pregunta de investigación que dio el rumbo a la investigación y los objetivos que enmarcan las pretensiones de este trabajo.. 1.1. Campo o área problemática Algunas prácticas en la escuela son reflejo de las prácticas económicas y políticas que rigen el sistema capitalista donde se desprecia el sujeto y el objeto producido por él se convierte en sujeto tal como lo denomina Marx: “Personificación de una cosa y cosificación de una persona” (Dussel, 2006). Estos modos de producción cosifican a los sujetos y vuelven personas a sus productos donde lo importante es lo que se produce, no cómo y qué cambios tuvo el sujeto, lo cual genera sujetos alienados. Eso mismo pasa en el aula, los estudiantes no entienden por qué deben aprender, el aprendizaje se ve como una adquisición de conocimientos, algo muy parecido a comprar en un supermercado, y se mide a partir de una evaluación por lo general escrita, en la cual no se puede reflejar todo lo que él ha desarrollado. Carranza (2009) refiere que las escuelas “apuestan a una educación mecanicista, antivalórica y deshumanizante, puesta al servicio de una sociedad moderna conformada por grupos sociales radicalmente diferenciados y con características consumistas” (p 75). Radford (2017) menciona que no es una exageración asegurar que la mayoría de los estudiantes están alienados, pues no se reconocen, se sienten en un espacio ajeno, por lo tanto, el aula requiere una reconceptualización de las formas de colaboración humana y sus modos de producción del conocimiento. Además, si la Educación Matemática se ve como un apéndice de las matemáticas, se entenderá como la búsqueda de métodos pedagógicos eficientes para la trasmisión de saberes matemáticos, dejando de lado cuestionamientos éticos y subjetivos.. 7.

(10) Una de las teorías socioculturales que se ha caracterizado por sus principios teóricos consolidados es la Teoría de la Objetivación TO. Esta, surge a fines de los años 80 y difiere de enfoques individualistas basados en la filosofía romántico-individualista, tal como el constructivismo, donde el alumno aprende construyendo su propio saber, idea que según Radford es problemática ya que se reduce a la actividad subjetiva del individuo donde el estudiante adquiere el conocimiento basado en un aprendizaje a través de la experiencia propia. Contrario a esto, la perspectiva asumida desde la TO toma la dimensión histórica y cultural del saber y del aprendizaje sin asumir una posición subjetiva o racionalista. Por lo tanto, es importante romper con estas prácticas, donde el colegio no se desarrolle como empresa y el estudiante no se vea como mero productor de su conocimiento, es necesario reivindicar compromisos éticos por parte del docente a partir de la enseñanza y establecer nuevas formas de interacción por parte de los estudiantes. La TO brinda aspectos teóricos que posibilitan realizar espacios de cambio en el aula de matemáticas, pues expresa nuevas formas de relación, así como formas de pensamiento matemático se pueden desarrollar a partir de la relación entre el cuerpo, la percepción y el uso de símbolos en la medida que los estudiantes propician formas colectivas de producción de saberes (Vergel, 2015).. 1.2. Antecedentes Luis Radford ha dedicado varios años a la investigación para consolidar la Teoría de la Objetivación centrado en el problema de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas enfatizando que esta no debe ser entendida como una simple difusión del conocimiento, sino desde esta perspectiva sociocultural de la TO debe ser entendida como el esfuerzo orientado tanto al saber como al ser, por esta razón Radford (2009) entiende la enseñanza y aprendizaje como trabajo conjunto que incluye la dimensión del ser como parte fundamental en el acto educativo. Esta idea toma fuerza y se ha evidenciado en gran parte de los trabajos desarrollados por Radford. Dichos trabajos se han enfocado en el aprendizaje del álgebra temprana, su interés por indagar y documentar las formas en cómo los estudiantes se encuentran de manera subjetiva con un sistema de signos constituido histórico-culturalmente y las manifestaciones de los estudiantes que reflejan formas de pensamiento algebraico que no son precisamente el 8.

(11) uso del lenguaje alfanumérico sino que los estudiantes identifican elementos que les permiten comunicarse por medio de gestos, lenguaje y de sistemas de representación gráfica en el intento de encontrase con el objeto matemático. En los referentes teóricos que se encuentran abarcados por las intenciones investigativas de este documento existen trabajos que se destacan por sus valiosos aportes y que ofrecen claridad conceptual frente a diversos elementos de la TO, uno de ellos es la tesis doctoral de Vergel (2015) titulada Formas de pensamiento algebraico temprano en alumnos de cuarto y quinto grados de Educación Básica Primaria (9-10 años), en su marco teórico nos ofrece aproximaciones teóricas acerca de la interpretación del desarrollo del pensamiento desde la perspectiva de Vygotsky y como desde estas ideas se contribuye a la consolidación de la TO. Un elemento que es transversal en esta investigación, es la concepción del gesto como medio semiótico de objetivación, entendido como la forma de expresión de intencionalidades del sujeto que ocurre en asociación con el discurso y la intención de adquirir formas estables de conciencia y pensamiento, esencialmente en la manifestación y constitución del pensamiento algebraico temprano. Otra claridad conceptual se hace con referencia al nodo semiótico, comprendido como un segmento de la actividad de los estudiantes en donde varios recursos se complementan para tomar conciencia sobre el objeto matemático y finalmente la contracción semiótica, entendida como la evolución de las formas de expresión y comunicación de los medios semióticos, estas aproximaciones teóricas brindan insumos para pensar en la forma de documentar y analizar la actividad matemática desarrollada por los estudiantes. Otro aporte investigativo es el trabajo de maestría realizado por Pantano (2014), propone una investigación en la que permita evidenciar los medios semióticos y procesos de objetivación en estudiantes de tercer grado de primaria al resolver tareas de tipo aditivo en los naturales, en esta investigación se ha reportado un gran cantidad de recursos semióticos a parte de las formas particulares y tradicionalistas de representaciones grafico textuales, se han ampliado con manifestaciones a través del cuerpo, la ritmicidad, el movimiento, la actividad perceptual entre otras, entendidas como actos de conocer, conceptualizar y pensar por parte de los estudiantes, estos recursos fueron rescatados a partir de un proceso de análisis. 9.

(12) desde una concepción multimodal del pensamiento matemático y la labor conjunta. Es de valorar de esta propuesta da cuenta de los procesos de objetivación como contracción semiótica e iconicidad. Con el fin de realizar una revisión documental respecto a trabajos que daten sobre procesos de subjetivación, está la tesis de maestría realizada por Bautista y Cardozo (2016), donde manifiestan que la educación ha evolucionado respecto a metodologías de enseñanza y didácticas; sin embargo, la evaluación continúa estática por décadas. Con el propósito de reconocer la evaluación de manera diferente su investigación tiene como objetivo “Caracterizar la evaluación desde la TO en el contexto de actividades que involucran tareas sobre transformación del lenguaje natural al algebraico”. En sus conclusiones logran realizar una organización de vectores para una evaluación desarrollados en la labor conjunta como son: Compromiso, Responsabilidad, Cuidado del otro, Respeto, Poder Responsable y Reconocimiento del otro. El trabajo de tesis de maestría que realizó González (2016) titulado “Procesos de objetivación en el desarrollo del pensamiento probabilístico por parte de estudiantes de décimo grado”, fue pionera en la teoría al realizar una caracterización posible de formas de pensamiento probabilístico al abordar tareas en torno a la asignación de probabilidad de un evento, esto evidencia que se puede desarrollar investigación desde la TO en cualquier pensamiento matemático. Teniendo como fundamento que se debe desarrollar la investigación desde un pensamiento, el cual en un primer momento suscitó la idea que fuera el pensamiento trigonométrico, era menester realizar una caracterización, para esto, se tomó como referencia el trabajo diseñado por el Departamento de Matemática Educativa del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados (Cinvestav) y la Subsecretaría de Educación Media Superior de la SEP de México; Moore (citado por Montiel, 2013) propone el uso de dos métodos para la enseñanza de la función trigonométrica, el primero es el uso de razones trigonométricas en el triángulo rectángulo y el segundo es el círculo unitario para transitar de la razón a la función trigonométrica. Estos objetos matemáticos favorecen el desarrollo del pensamiento espacial y variacional.. 10.

(13) De lo anterior, se puede decir que como tal no hay una caracterización especifica del pensamiento trigonométrico desde la TO, pues los objetos de conocimiento pertenecen a dos pensamientos espacial y variacional; esto también se puede evidenciar en los Estándares Básicos de Competencias de Matemáticas presentados por el MEN (2006), en el documento solo se mencionan las palabras funciones trigonométricas en dos estándares correspondientes a los pensamientos espacial y variacional en el ciclo de décimo-undécimo. Por otra parte, Moore no propone un diseño didáctico para aprender el concepto de función trigonométrica, sino una serie de tareas que le dan coherencia al uso de múltiples nociones matemáticas relacionadas con ella. Lo cual se desarrolla desde el enfoque teórico de la socioepistemología, donde se pretende identificar el desarrollo y la evolución de las nociones trigonométricas en relación con las circunstancias histórico-sociales del momento, lo cual da un marco para entender la pertinencia de las tareas a trabajar.. 1.3. Delimitación de trabajo Las aulas contemporáneas se han convertido en espacios alienantes, donde no existen modos de reflexión, ni posturas críticas frente a un objeto matemático. Los estudiantes, terminan con sentimientos negativos respecto a las matemáticas convirtiendo el proceso de enseñanza – aprendizaje poco significativo (Radford 2014, 2017c). Para tomar una lucha contra este fenómeno es necesario repensar las formas de producción de saberes y de colaboración humana en el aula matemáticas, considerando la actividad como un proceso social a partir de las relaciones interpersonales entre los sujetos educativos en la interviene la interacción con el otro no meramente en la dimensión cognitiva, sino se aprecia el valor de lo afectivo, es decir, la transformación del sujeto respecto al saber y ser. El aprendizaje es tanto conocer como devenir; no solo se ve desde el eje del conocimiento, también se aborda el eje del ser, esto se da a partir de procesos de objetivación y subjetivación. Los procesos de objetivación son procesos co-transformadores y sensoriales a través de los cuales los estudiantes gradualmente se familiarizan críticamente con significados culturales históricamente constituidos y formas de pensamiento y acción (Radford, 2015). En cuanto a los procesos de subjetivación son los procesos a través de que los estudiantes toman. 11.

(14) posición en prácticas culturales y tienen la forma de sujetos cultural e históricamente únicos. La subjetivación es el proceso histórico de la creación de la creación sin fin del yo. Por esta razón, desde esta perspectiva, los procesos de objetivación son al mismo tiempo procesos de subjetivación, si se mencionan aparte es por comodidad del análisis. “El concepto de trabajo conjunto recurre a (a) formas colectivas específicas de producción de conocimiento en el aula y (b) modos de colaboración humana definidos que descansan en la ética crítica de la comunidad” (Radford, 2016, p.6). Las intenciones de este trabajo son documentar elementos de procesos de objetivación y procesos de subjetivación con el objeto matemático razones trigonométricas, que emergen desde los pensamientos geométrico y algebraico que se encuentran como potencialidad para los estudiantes. Se considera que esta investigación puede ser de aporte a la TO en la medida que no se ha reportado ningún trabajo desde los objetos de conocimientos mencionados.. 1.4. Pregunta de investigación ¿Cuáles son los procesos de objetivación y subjetivación que movilizan las estudiantes de grado noveno en la actividad matemática al resolver tareas que involucran razones trigonométricas?. 1.5. Objetivos Objetivo General Identificar y describir los procesos de objetivación y subjetivación que movilizan las estudiantes de grado noveno en la actividad matemática al resolver tareas que involucran razones trigonométricas. Objetivos Específicos . Identificar y describir los medios semióticos de objetivación que emergen en la actividad matemática al resolver tareas que involucran razones trigonométricas.. . Describir los procesos de alteridad de las estudiantes durante la actividad de resolución de tareas que involucran razones trigonométricas.. 12.

(15) Capítulo 2 Referentes teóricos En este capítulo se reportan los elementos teóricos que a la base de la Teoría de la Objetivación dan el sustento a este trabajo de investigación. Inicialmente se exponen algunos aportes que fundamentan la TO, para así, dar paso a los ejes centrales de la investigación procesos de objetivación y procesos de subjetivación, teniendo en cuenta que estos procesos se materializan en la emergencia de los medios semióticos también existe un pronunciamiento frente a estos. Finalmente se realiza una aproximación a elementos característicos del pensamiento trigonométrico.. 2.1. La perspectiva semiótica cultural La Educación Matemática se ha transformado en las últimas décadas con el propósito de cambiar el sentido de la enseñanza y el aprendizaje en el aula a partir de las diferentes conceptualizaciones, desde difusión de contenidos matemáticos hasta la facilitación del desarrollo de las estructuras cognitivas matemáticas por parte de los estudiantes; la primera con orientación teórica epistemológica, mientras que la segunda con orientación teórica psicológica. Aunque estas teorías tienen méritos en el campo, fue necesario considerar las demandas sociales contemporáneas. Por lo cual surgen las teorías socioculturales desde campos como la sociología y la antropología, tal como la TO cuya posición políticaconceptual de la educación no trata solo de saberes, sino que va más allá, pues trata de saberes y seres. Radford (2014) como precursor de la teoría plantea el objetivo de la Educación Matemática como “un esfuerzo político, social, histórico y cultural cuyo fin es la creación de individuos éticos y reflexivos que se posicionan de manera crítica en prácticas matemáticas constituidas histórica y culturalmente” (p.135). Esta finalidad no solo busca agregar la dimensión subjetiva. Sino evidenciar que desde un punto de vista ontológico el ser y el saber están interrelacionados de una manera profunda en la que uno no ocurre sin el otro.. 13.

(16) Esto se da a partir de ver la enseñanza y aprendizaje como una relación entre conociendo (knowing) donde se desarrolla la transformación del saber en conocimiento, y el volviéndose (becoming), es decir, la transformación perpetua del sujeto. Como lo ilustra la ilustración 1.. Ilustración 1. El fin de la educación apunta hacia las dimensiones del conociendo y del volviéndose tomado de Radford 2014, p.135.. El principio central de la TO está basado en el materialismo dialéctico hegeliano y su idea fundamental de la constitución dinámica y recíproca entre ser y cultura. Esta constitución ocurre en la labor o trabajo. Al entender la Educación Matemática como labor conjunta lleva a la reconceptualización del sujeto como sujeto constituido histórico y culturalmente, concreto y real que siente, goza y sufre (Radford 2014). En otras palabras, el estudiante no se ve como un sujeto meramente cognitivo y el profesor como un agente tecnológico y burocrático, poseedor del conocimiento. Al contrario, los profesores y los estudiantes, aunque de diferentes maneras, se involucran, intelectual y emocionalmente, hacia la producción de un trabajo común. Radford (2013a) menciona que: La corriente sociocultural histórico-materialista pone al centro el concepto de trabajo o labor o, como Leont’ev (1978) lo ha tematizado, actividad. Estos tres nombres hacen referencia a una misma entidad cultural: una serie de acciones guiadas por un fin común que los individuos realizan en conjunto (p.5). Actividad es la forma específica en que los individuos expresan su vida. "A medida que los individuos expresan su vida, lo son. Qué son, por lo tanto, coincide con su producción,. 14.

(17) tanto con lo que producen y cómo lo producen " (Marx, 1998 citado por Radford, 2016, p. 3). En otras palabras, La actividad es una forma social de esfuerzo conjunto que comprende la autoexpresión, el desarrollo intelectual y social y el disfrute estético. Es un proceso en un sistema de relaciones sociales que realiza la naturaleza social de los seres humanos (Radford y Roth, 2011, p.229). La Educación Matemática como una cuestión de trabajo conjunto es un intento de restablecer la idea de la actividad en general y la actividad del aula en particular como una forma de vida no alienante (Radford, 2016). 2.1.1. El papel de la actividad como mediadora entre el saber y el conocimiento Desde la TO el conocimiento no se adquiere, posee o construye, tampoco se trasmite. Por el contrario, entender la concepción histórico- cultural implica diferenciar entre el saber y el conocimiento. El saber es potencialidad, es pura posibilidad, es decir “El saber es un sistema codificado de procesos corpóreos, sensibles y materiales de acción y de reflexión, constituidos histórica y culturalmente” (Radford, 2017b, p. 101). Al ser una codificación cultural de maneras de actuar, significa que es algo general. Por otro lado, el conocimiento es actualización o materialización del saber, es una de sus formas singulares desarrolladas, y el proceso a través del cual se materializa es la actividad, En otras palabras, la actividad demarca la manera en que el saber se manifiesta en conocimiento, media el conocimiento, no existe conocimiento inmediato Ilyenkov (citado por Radford, 2017b) menciona que el conocimiento lleva la huella o impresión de la actividad. 2.1.2. Objetivación y subjetivación Considerando que la actividad como labor conjunta el aprendizaje se teoriza como procesos de objetivación, constructo teórico que está entrelazado con los procesos de subjetivación, es de gran importancia dar claridad conceptual desde la TO frente a estos dos procesos con la intención de identificar y comprender tanto las acciones de reflexión. 15.

(18) matemática, como las formas de interacción de los estudiantes y profesor dentro de la actividad. Los procesos de subjetivación refieren a los procesos en los que los estudiantes toman posición en prácticas culturales y tienen la forma de sujetos cultural e históricamente únicos. La subjetivación es el proceso histórico de la creación sin fin del yo. El ser que busca la TO va hacia una ética comunitaria que está dirigida por la responsabilidad, por el compromiso hacia los demás y el cuidado del otro. Estos tres vectores se materializan en una participación en aula, tal como un espacio público de debates, lo que los antiguos griegos llamaban la polis. Donde los estudiantes son alentados a demostrar abiertamente a los demás la solidaridad y la conciencia crítica (Radford, 2013a). Es decir, se pretende desarrollar una colaboración humana, y a su vez se invita a discutir ideas matemáticas entre sus propios grupos y con otros grupos del aula. Responsabilidad, significa que el alumno se muestra vigilante de la acción del otro sujeto. No desde el sentido de Foucault, es decir como toma de distancia (Radford, 2017c). Tampoco trata de verse desde lo formal o pragmático, sino desde lo ontológico. La responsabilidad como vigilancia significa una sensibilidad que permite conectar con el otro; en otras palabras, es un acto de darse o entregarse (Radford, 2013a). Respecto al segundo vector, el compromiso es entendido como la promesa de hacer todo lo posible y hasta lo imposible, durante la labor conjunta en la realización de la “obra común”, que en esta oportunidad son las diferentes tareas puestas en juego para resolver ecuaciones trigonométricas. El cuidado, hace referencia a preocuparse por alguien requiere el reconocimiento de la necesidad del otro y la acción solidaria intersubjetiva correspondiente, es la posibilidad de vernos a nosotros mismos en el otro; de reconocer nuestra vulnerabilidad en la vulnerabilidad del otro, donde los sufrimientos y las esperanzas son cuestiones de todos (Radford, 2017c). Para Radford (2017a) la TO considera que dentro de la actividad el aprendizaje se teoriza como procesos de objetivación, constructo teórico que está entrelazado con los procesos de subjetivación. Se establece que estos procesos no pueden correr separadamente, se habla distintamente de ellos para facilitar la identificación y descripción de los medios que. 16.

(19) los sustentan, por esta razón es importante dar claridad conceptual desde la TO frente a estos dos procesos con la intención de identificar y comprender tanto las acciones de reflexión matemática, como las formas de interacción de los estudiantes y el profesor dentro de la actividad matemática. Sobre los procesos de objetivación Radford (2008b, p. 230) manifiesta que estos refieren a “procesos sociales a través de los cuales los estudiantes se adaptan a las formas de acción y pensamiento histórico-culturalmente constituidas que se comunican por medio de nuestra actividad corpórea, sensorial y artefactual”. Es claro afirmar que un elemento fundamental de la TO son los procesos de objetivación, por lo cual ciertas investigaciones se han preocupado por evidenciar dichos procesos. Particularmente un trabajo desarrollado por Radford (2008a), parte de un análisis semiótico de la actividad matemática de algunos estudiantes que abordaron tareas de generalización de patrones, logrando identificar dos procesos de objetivación llamados contracción semiótica e iconicidad, este aporte teórico ha dado insumos para reportar elementos de análisis de la actividad matemática que permiten describir e interpretar la evolución de ideas, pensamiento, razonamiento y reflexiones con los medios semióticos que utilizan los estudiantes. En este trabajo investigativo Radford (2008a) da evidencia de acciones de los estudiantes en medio de la actividad matemática. Declara que al momento de abordar la primera tarea se comunicaban por medio de gestos, señalamientos con su índice y realizando movimientos de los palillos acompañándolos con lenguaje hablado El uso de estos medios semióticos de objetivación manifiestan la acción de reflexión matemática además de la evolución que los estudiantes reflejan en acciones posteriores, por ejemplo cuando tratan de referirse a lo mismo reduciendo los medios semióticos de manera refinada, con la intención de obtener una simplificación de significados con menores gestos, señalamientos o palabras Esta acción es un intento de refinar su forma de comunicar, es lo que la TO ha llamado contracción semiótica, así, el hecho de que los estudiantes excluyan gestos para reemplazarlos por formas de expresión como el lenguaje, muestra una manera más sofisticada de comunicarse y dan una clara evidencia de su evolución, haciendo presencia del proceso de objetivación.. 17.

(20) En este mismo trabajo de investigación Radford (2008) describe las acciones y el uso de medios semióticos que utilizaron algunos estudiantes en eventos anteriores replicándolos en una nueva situación, expresa que ellos desarrollaron la capacidad de discriminar entre lo mismo y lo diferente, una manera de notar rasgos similares en un procedimiento anterior para orientarse en una nueva situación, esta acción refiere al segundo proceso de objetivación que plantea la TO la iconicidad. Este proceso hace referencia a reutilización de formas de acción y expresión usadas en eventos anteriores para aplicarlas en una nueva tarea que ha criterio de los estudiantes, contiene características similares. 2.1.3. Medios semióticos Se ha dicho que los procesos de objetivación y subjetivación se manifiestan a través de los medios semióticos y evolucionan en las formas de expresión y acción, dichos medios semióticos son entendidos por Vergel (2015) como todas las formas de expresión y acción como gestos, movimiento, ritmicidad, artefactos, actividad perceptual, formas lingüísticas, etc. Estas formas de expresión emergen en la actividad al momento de reflexionar matemáticamente con la intención de comunicar o hacer visible alguna intención, idea que se sustenta en lo que plantea Radford (2013) los medios semióticos son usados por los individuos de manera intencional en los procesos de creación de significados en la búsqueda de una forma estable de conciencia, manifestando sus intenciones para lograr el propósito de sus acciones.. 2.2. Razones trigonométricas desde el pensamiento matemático Existen diferentes investigaciones desde la TO que han caracterizado algunos pensamientos matemáticos, como es el caso del algebraico (Radford, 2008a, 2018; Vergel, 2015), aditivo (Pantano, 2014) y probabilístico (González, 2016), entre otros. Sin embargo, en lo documentado no se ha precisado en la TO una caracterización del pensamiento trigonométrico, esto conlleva a un reto para este trabajo de investigación, puesto que las intenciones investigativas se centran en la emergencia de medios semióticos (MS) que permitan dar cuenta de procesos de objetivación y subjetivación al abordar tareas que involucren el objeto matemático razones trigonométricas. Para poder iniciar la identificación. 18.

(21) y la descripción de estos medios semióticos es pertinente ubicar el objeto en un pensamiento matemático, no solo por cuestiones de organización sino porque desde la TO el saber matemático puede entenderse como una acumulación de formas abstractas previas del pensamiento que pueden ser lingüísticas, perceptivas, artefactuales y corporales, que constituyen el saber matemático en una cultura, (Radford 2017b), en esta perspectiva la TO busca la identificación de elementos de acción y reflexión que surgen y evolucionan, en este caso brindar insumos que permitan caracterizar el pensamiento trigonométrico. Sin embargo, se debe tener en cuenta que el pensamiento trigonométrico debe tener unas bases conceptuales para referirnos a éste y realizar un análisis desde su caracterización, así como los trabajos desarrollados en la TO respecto al pensamiento algebraico, Vergel (2015) realiza una caracterización del pensamiento algebraico de manera general, él lo entiende como una manera de pensar y actuar sobre objetos, relaciones, estructuras y situaciones matemáticas, en otras palabras. es entendido como las formas de acción,. pensamiento y reflexión que han quedado codificadas en la cultura. Además de la comprensión del pensamiento se reconocen tres estratos o formas de pensamiento algebraico factual, contextual y simbólico los cuales permiten comprender las actuaciones de los estudiantes (Radford, 2018). De igual manera como se ha descrito brevemente el pensamiento algebraico, la intención es describir el pensamiento trigonométrico o ubicar el objeto matemático en algún pensamiento desde algunos trabajos de investigación y referentes teóricos que permitan comprender las características al pensar trigonométricamente, además de establecer algunos niveles o estratos de pensamiento, que nos permitan proponer elementos teóricos en el análisis y caracterizar las formas de acción y reflexión de los estudiantes, que abordan tareas que involucran razones trigonométricas. Para hacer una descripción del pensamiento trigonométrico, en un primer momento, acudimos a los documentos oficiales planteados por el MEN (1998; 2006; 2015) Lineamientos, Estándares y Derechos Básicos de Aprendizaje, documentos que ofrecen insumos para la organización curricular de las matemáticas en educación básica y media, en los cuales se pueden evidenciar los ejes que consolidan una propuesta curricular, para ser matemáticamente competente. Estos ejes son conocidos como Pensamiento Matemático que. 19.

(22) se divide en cinco pensamientos: numérico, espacial, métrico, aleatorio o probabilístico y variacional. Como se observa no se habla de un pensamiento trigonométrico, sin embargo, realizando una revisión a los documentos oficiales precisando en cada pensamiento matemático con el fin de ubicar elementos esenciales de la trigonometría se han encontrado pocos elementos pero que podrían ubicarnos en el camino de la caracterización del pensamiento trigonométrico. La primera evidencia se encuentra en los Estándares planteados por MEN (2006), este estándar corresponde a los grados 10 – 11, en el cual se enuncian dos estándares relacionados con la trigonometría como se observa en la siguiente tabla.. Pensamiento Matemático. Estándar. Pensamiento espacial y sistemas Describo y modelo fenómenos periódicos del geométricos. mundo. real. usando. relaciones. y funciones. trigonométricas. Pensamiento variacional y sistemas. Modelo situaciones de variación periódica con. algebraicos y analíticos. funciones trigonométricas e interpreto y utilizo sus derivadas. Tabla 1. Relación entre pensamientos y estándares.. Por otro lado, en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas no existe evidencia del concepto trigonometría, sin embargo, en el documento reciente, Derechos Básicos de Aprendizaje en su primera versión (MEN, 2015) se evidencia el objeto matemático razones trigonométricas en el enunciado 13 de grado noveno (ilustración 2 imagen superior), además en una de las ideas secundarias ilustración 2 imagen inferior), se puede identificar que la ubicación de los elementos trigonométricos pertenece tanto a la parte geométrica como a la algebraica.. 20.

(23) Ilustración 2. Derechos básicos de aprendizaje que refieren a razones trigonométricas.. A pesar de que el interés del trabajo de investigación no se concentra en el desarrollo o la comprensión del objeto razones trigonométricas, es importante ubicar el objeto en elementos conceptuales iniciales para una la posible caracterización del pensamiento trigonométrico. Como se pudo contemplar, tanto en los Estándares como en los DBA, la trigonometría puede recoger elementos de las dimensiones geométrica y algebraica, lo que lleva a pensar que el pensamiento trigonométrico necesita de elementos del pensamiento geométrico, como del pensamiento algebraico. Esta misma idea la contempla Montiel (2013) , manifestando que “la introducción a la trigonometría se contextualiza en la geometría y ésta por tradición escolar hace uso de los ángulos medidos en grados” (Montiel 2013, Pág. 38) a pesar de esta tradición escolar la representación de los triángulos es meramente ilustrativa y esto puede generar que la trigonometría se minimice a la idea de relación entre ángulos y catetos y se desconozca la esencia, el análisis y la comprensión de esta relación para hablar de razones trigonométricas, por esta razón la trigonometría debe valerse de los elementos analíticos que ofrece el pensamiento algebraico al trabajar con cantidades indeterminadas. No muy lejos de estas ideas está el sustento histórico de la trigonometría. Por un lado, la astronomía dio paso al uso de elementos geométricos para el cálculo de distancias y por otro lado Viéte Loi citado por Montiel (2005, p.83). “En los trabajos de Euclides. (aproximadamente 300 a. C.) No hay trigonometría en el sentido estricto de la palabra, pero hay teoremas equivalentes a leyes o fórmulas trigonométricas, elaborados en lenguaje geométrico”. 21.

(24) El objeto de conocimiento razones trigonométricas es un objeto transversal, en el sentido que potencia el pensamiento algebraico y geométrico, por tal razón no se debe privilegiar un pensamiento sobre el otro, por el contrario, se debe propender por la actualización de ambos. Por lo tanto, se pretende realizar una caracterización considerando elementos teóricos de la TO y elementos desde otras teorías que aborden el pensamiento geométrico. 2.2.1. Pensamiento algebraico Desde consideraciones filosóficas de la TO, Vergel (2015) asume que el pensamiento algebraico es una forma particular de reflexionar matemáticamente. Es un sistema de procesos corporizados de acción y de reflexión constituidos histórica y culturalmente; este tipo de pensamiento se caracteriza a partir de tres componentes estrechamente relacionados: el sentido de indeterminancia de objetos como incógnitas y variables; la analiticidad como forma de trabajar los objetos indeterminados; y la designación o expresión simbólica como manera específica de referir los objetos (Radford, 2001 citado por Vergel, 2015). Para desarrollar los componentes existen tres estratos del pensamiento caracterizados por medios semióticos de objetivación, tales como, signos y artefactos de diferente tipo (símbolos matemáticos, gráficos, palabras, gestos, calculadoras, etc.) (Radford, 2008a) que se utilizan para comunicar o hacer visible una intención, es importante resaltar que no son únicamente herramientas, además son portadores de una conciencia histórica de la actividad cognitiva de generaciones anteriores (Radford, 2010). Pensamiento algebraico factual: los medios semióticos de objetivación movilizados son los gestos, los movimientos, el ritmo, la actividad perceptual y las palabras. La indeterminancia no alcanza el nivel de la enunciación, queda implícita, pues se expresa en acciones concretas. Pensamiento algebraico contextual: los gestos y las palabras son sustituidos por otros medios semióticos de objetivación como “frases clave”. La indeterminancia es explícita, se vuelve objeto del discurso, aquí surge una descripción del término general. Pensamiento algebraico simbólico: las frases clave son representadas por símbolos alfanuméricos del álgebra. En este estrato de pensamiento se piensa en otro estado del proceso de objetivación de contracción semiótica. 22.

(25) 2.2.2. Pensamiento geométrico Se pueden adoptar elementos que definen el pensamiento desde la TO, considerando que el pensamiento geométrico es “labor humana cristalizada, esto es, formas de acción, pensamiento y reflexión que han quedado codificadas en la cultura” (Vergel, 2015, p.59). Esta forma de pensamiento ha sido desarrollada y refinada en el curso de la historia cultural y tiene relación con el pensamiento algebraico en varios momentos históricos. Existen diversas dimensiones del pensamiento geométrico que se apoyan en dos procesos cognitivos: la visualización y los procesos de razonamiento discursivo (Molina, Rosas y Castañeda, 2011) Algunos estudios asienten que “El aprendizaje de la geometría juega un papel fundamental en la resolución de problemas, puesto que, si se considera como un modelo de representación y descripción de la realidad, se constituye en un importante elemento unificador” (Fortuny y Giménez, 1998 citado por Díaz y Espinosa, 2013). Este pensamiento ayuda al estudiante a desarrollar diversos procesos de razonamiento que en la mayoría de los casos tienen adecuados soportes gráficos y manipulativos. Al igual que el pensamiento algebraico, el geométrico tiene unos niveles de comprensión donde los estudiantes van refinando los medios semióticos de objetivación como el lenguaje geométrico. Molina, Rosas y Castañeda (2011) refieren que se inicia la transformación del discurso desde una argumentación informal, apoyada fuertemente en la visualización de una figura, de carácter descriptivo, donde establece configuraciones por asociaciones evidentes y espontáneas; seguido por una a una organización discursiva formal que encadena proposiciones usando reglas lógicas, la cual requiere del uso de proposiciones de tipo teórico (axiomas, definiciones, teoremas). Los educadores y matemáticos holandeses Pierre M. Van Hiele y Dina Van HieleGeldof, desarrollaron una teoría de aprendizaje en la década de los setenta que describe las formas de razonamiento de los estudiantes en geometría, mediante el cual, explican cómo se produce la evolución del razonamiento geométrico de los estudiantes, además, el modelo brinda herramientas para realizar actividades didácticas.. 23.

(26) Para identificar los diferentes procesos de razonamiento geométrico Jaime y Gutiérrez (1998) realizaron un análisis documental de categorías y habilidades desde autores, adquiriendo una posición intermedia, identificando diferentes procesos de razonamiento como característicos. Características de varios (pero no todos) niveles1 de van Hiele: 1. Reconocimiento de tipos y familias de figuras geométricas, identificación de componentes y propiedades de las figuras. 2. Definición de un concepto geométrico. Este proceso puede verse en dos formas: a medida que los estudiantes formulan definiciones del concepto, están aprendiendo, y mediante la interacción en el aula con el profesor, sus compañeros o artefactos. 3. Clasificación de figuras o conceptos geométricos en diferentes familias o clases. 4. Prueba o demostración de propiedades o declaraciones, es decir, para explicar de alguna manera convincente. Por qué tal propiedad o declaración es cierta.. 1. No se referencia el último, pues los autores refieren que este nivel trabaja procesos de demostración para matemáticos o estudiantes de la ciencia.. 24.

(27) Capítulo 3 Aspectos metodológicos El presente capítulo expone los referentes metodológicos considerados en el diseño, planeación y puesta en marcha del estudio, el cual se desarrolla desde un enfoque de investigación cualitativa de carácter descriptivo e interpretativo. Toma como referencia el ciclo metodológico propuesto por TO, realizando algunas modificaciones a las últimas fases en concordancia con la investigación, además se realiza una caracterización de la población, la selección de tareas, los instrumentos de recolección de información son transcripciones de videos que reflejen la actividad kinestésica y gestual y la información contenida en las hojas de trabajo. En la fase de pilotaje se presenta un análisis conciso de la tarea y algunas de las decisiones que se tomaron en relación con el diseño de las tareas a implementar en la investigación.. 3.1. Diseño del estudio Este trabajo de investigación acoge el enfoque de investigación cualitativa para su análisis. Como plantea Miles y Huberman (Citados por Álvarez y Jugerson, 2003), en este enfoque el investigador intenta capturar los datos sobre las percepciones de los sujetos, llevando a cabo un proceso de profunda atención, de comprensión y de interpretación de los productos de los sujetos. En este sentido el método se acopla a las intenciones de esta investigación ya que permite describir e interpretar lo que los estudiantes realizan durante el desarrollo de una tarea específica, además, permite analizar y comprender el rol que juegan los. medios semióticos y como están inmersos en los procesos de objetivación y. subjetivación. En términos más específicos, tomamos como base la estructura metodológica propuesta desde la TO (Radford, 2010), la cual está constituida por cuatro fases; la primera corresponde al diseño de tareas, la segunda a la implementación de dichas tareas, la tercera, análisis e interpretación de los datos y finalmente la cuarta, generación de la teoría esta última fase se remite a la primera realizando un proceso cíclico. Es pertinente aclarar que la metodología de esta investigación tuvo en cuenta solo las tres primeras fases y una cuarta que difiere, ya que no hace parte de la generación de teoría sino una comparación teórica,. 25.

(28) descripción de resultados y conclusiones,. etapas que coinciden con la estructura. metodológica planteada por Moreno (2015) como se aprecia en la siguiente ilustración.. Ilustración 3. Estructura Metodológica Moreno (2015).. Para la ejecución del desarrollo metodológico de las tareas se tiene en cuenta la siguiente caracterización de las fases metodológicas. Fase 1: Las tareas propuestas fueron planteadas en el marco de la TO, desde diversas situaciones donde emergen espacios de reflexión crítica e interacción, además deben ser interesantes y atractivas para las estudiantes, haciendo significativos los conceptos matemáticos relacionados con resolución de triángulos y razones trigonométricas. Fase 2: Considerando los resultados emitidos por el pilotaje, se definen y reconfiguran las demás tareas, las cuales son aplicadas en sesiones de clases de matemáticas de grado noveno en el Instituto Clara Fey. Fase 3: Los datos obtenidos se analizaron desde la perspectiva multisemiótica, respecto a la observación de aspectos relacionados a la emergencia de medios semióticos, procesos de objetivación y procesos de subjetivación en la actividad matemática.. 26.

(29) Fase 4: Evidencia las conclusiones en concordancia con la pregunta orientadora y los objetivos de la investigación; considerando las tareas, la labor conjunta que se dio en el aula y el análisis de los datos.. 3.2. Caracterización de los participantes en el estudio El trabajo de campo se realizó con estudiantes de grado noveno del Instituto Clara Fey, colegio de carácter privado, femenino, ubicado en la localidad de Bosa de Bogotá D.C. Es importante resaltar que la institución está implementando un nuevo modelo pedagógico entorno al trabajo cooperativo, desarrollando en todos los cursos y las áreas, rutinas y destrezas de pensamiento, igualmente propone realizar las tareas desde diferentes formas de organización del aula. Cada curso de grado noveno (9A-9B) se compone de aproximadamente 35 estudiantes entre los 14 y 16 años de edad. Para la aplicación de las tareas se tuvo en cuenta el proceso de innovación metodológica en el que se encuentra la institución actualmente. Las tareas se han aplicado desde la estrategia 1-2-4, entendida como; un abordaje inicial de manera individual, luego por parejas y finalmente por grupos de cuatro estudiantes, esto permitió evidenciar los espacios de interacción y las acciones de las estudiantes cuando abordan las tareas en la labor conjunta. La selección del grado noveno se dio considerando los acercamientos que han tenido las estudiantes respecto al trabajo de resolución de triángulos, además, según los planes de estudio en el último periodo hay un desarrollo inicial de las razones trigonométricas, donde emergen formas de pensamiento algebraico y geométrico.. 3.3 Acciones preliminares y pilotaje de las tareas. 3.3.1. Categorías Iniciales Para poder dar evidencias de las formas de acción y expresión, se determinaron los insumos iniciales para la identificación de los procesos de objetivación y subjetivación, por esta razón se generan categorías iniciales provenientes de la TO, considerando como unidad de análisis la actividad, en tanto labor conjunta tal y como se ha teorizado en la TO (Radford,. 27.

(30) 2014, 2016, 2018)2; algunas de ellas conocidas como contracción semiótica, iconicidad (Radford, 2008a) y acciones de alteridad con otros sujetos. Estas categorías iniciales se evidenciarán en la movilización de los medios semióticos de objetivación, sin desconocer que en el análisis de los datos podrían surgir categorías emergentes de los procesos de objetivación y subjetivación que pueden ser nombrados de otra manera dependiendo de las producciones de los estudiantes. CATEGORIAS TEÓRICAS PRELIMINARES Procesos de Objetivación (PO). Contracción semiótica. Procesos de Subjetivación. Responsabilidad. (PS). Compromiso Gesto Actividad perceptual Formas lingüísticas (escrito – oral) Señalamientos. Medios Semióticos de objetivación (MSO). Iconicidad. El cuidado del otro. Inscripciones Ritmicidad Uso de artefactos Nodo semiótico. Tabla 2. Categorías de análisis.. 3.3.2. Fase de Pilotaje Fue de vital importancia centrar la prueba piloto bajo dos intereses, uno la observación de los modos de actuar de los estudiantes para poder establecer relaciones con las categorías iniciales y dos evidenciar la complejidad y pertinencia de las preguntas planteadas, puesto que lo importante es objetar al estudiante evidenciar un interés por encontrar la solución a la pregunta no obstaculizar con preguntas complejas y que fácilmente abandonen lo que deben realizar. Sin lugar a dudas el proceso de obtención de la información debía darse de manera natural, sin generar comportamientos provocados por el uso de un artefacto de grabación (video y audio) o por acciones del profesor, debía ser un ambiente habitual del espacio de clase.. 2. Según estos autores, la idea de trabajo conjunto significa alteridad, por cuanto es el encuentro con formas culturales de ser. La labor conjunta no significa necesariamente consenso; es un espacio subversivo que provoca tensiones y contradicciones.. 28.

(31) La prueba piloto se aplicó a un grupo de estudiantes de grado noveno 9B, del colegio Clara Fey en el mes de octubre de 2018, se llevó a cabo con 35 estudiantes, las cuales estuvieron a disposición de presentar la prueba diseñada, por medio de una tarea que involucraba el uso de razones en triángulos, considerando que este objeto matemático es previo a las razones trigonométricas y estas se trabajarían en tareas posteriores. Partiendo que la intención era evidenciar las formas de expresión e interacción en las estudiantes, se propuso trabajar en pequeños grupos (3 a 4 estudiantes) para promover la discusión de las diferentes preguntas de la tarea propuesta y así las integrantes tuvieran el espacio para dar a conocer los procesos a través de los cuales ellas plantearon la posible solución a las preguntas, además el espacio permitió evidenciar el apoyo mutuo para alcanzar una solución desde sus diferentes posturas. El pilotaje pretendía observar la emergencia de algunos medios semióticos de objetivación por parte de las estudiantes, además aspectos que permitieran refinar y verificar la pertinencia de las preguntas planteadas. Para esto se obtuvieron dos tipos de evidencias de la prueba piloto, por un lado los videos y audios que fueron grabados con ayuda de celulares en modo grabación de video y grabación de audio y el material gráfico textual tanto de las hojas de trabajo como del material impreso que se les entrego a cada una de las estudiantes. Para el pilotaje se implementó la primera tarea La sombra según el día la cual estaba planteada con la intención de que las estudiantes establecieran relaciones entre las medidas de algunos elementos presentados en las imágenes (árbol, persona, y sombras), algunas de las preguntas permitían la interacción y la discusión de los procedimientos realizados para la solución de cada situación y especialmente la pregunta número 5 estaba planteada para evidenciar los medios que usaban las estudiantes para expresar las ideas a otra de sus compañeras.. 29.

(32) TAREA 1 LA SOMBRA SEGÚN EL DÍA Juan debe recoger cierta información para cumplir con el laboratorio de la asignatura de física, la tarea que se le asigna es medir su sombra y la sombra que refleja un árbol en diferentes horas del día para determinar las relaciones entre ellas, no obstante Juan en ciertas horas del día solo tomo la medida de la sombra del árbol o la medida de su sombra como se muestra en las siguientes imágenes.. 1. 2. 3. 4. 5. 6.. Con la información que tienes en las imágenes puedes completar los datos restantes. ¿En qué hora del día la razón entre la estatura de Juan y su sombra y la altura del árbol y su sombra es menor a 1? ¿En qué hora del día la razón entre la estatura de Juan y su sombra y la altura del árbol y su sombra es mayor a 1? Si a las 4:00 pm la medida de la sombra del árbol es de 4.5 metros ¿Cuál será la medida de la sombra de Juan? ¿Qué puedes decir respecto a las horas del día en las que se tomaron las medidas y la medida de las sombras? ¿Cómo explicarías a un compañero que no desarrollo el problema de manera detallada la relación de las diferentes horas del día con la medida de las sombras?. 30.

(33) 3.3.3. Resultados prueba piloto Al iniciar el abordaje de la tarea las estudiantes realizan una lectura de la situación presentada en un enunciado inicial y revisan las imágenes de apoyo para la interpretación del problema, entiende que lo inicial es completar los datos numéricos faltantes en los espacios de las imágenes. En el intento de encontrar las medidas solicitadas se puede observar el acompañamiento de gestos con las formas de expresión oral en la idea de entender el problema, entre algunos de ellos se pudieron encontrar los señalamientos con los dedos con el lápiz, las figuras y trayectorias con las manos o con algunos artefactos (regla, lápiz, transportador) siempre acompañados de expresiones orales o escritas, es importante resaltar el valor que tuvieron las imágenes para la emergencia de estos recursos, para dar sentido en las maneras de organizar la información. Una evidencia del uso de los gestos se muestra en la siguiente ilustración.. Ilustración 4. Uso de sus manos para hacer referencia a la relación entre los lados de las figuras plasmadas en la tarea.. En la ilustración 4 se puede evidenciar el uso del cuerpo para explicar lo que se ha comprendido de la lectura de la tarea. La estudiante hace referencia que para poder encontrar los valores solicitados deben establecer relaciones entre los lados aparentes de la figura 31.

(34) “triángulo” formada en las imágenes de la tarea. En las imágenes de la parte superior de la ilustración 4, la estudiante afirma que se debe encontrar la razón entre las medidas de las sombra del árbol y la sombra de Juan, y las imágenes de la parte inferior de la ilustración 4 se evidencia que la razón se debe encontrar entre de la altura del árbol y la estatura de Juan, esta se evidencia nace a partir del diálogo entre el grupo de trabajo y de la solicitud de la profesora al pedir que comenten que habían entendido de la tarea y que debían realizar, además las estudiantes hacen referencia que deben usar algunos conceptos y procedimientos realizados en clase con referencia a la solución de triángulos, teniendo en cuenta que por la apreciación de las imágenes las estudiantes asumen que son triángulos rectángulos y lo muestran por medio del uso de gestos en el aire como se muestra en la ilustración 5.. Ilustración 5. Representación con sus manos del triángulo formado por la proyección de los rayos de sol, la altura del árbol y su sombra.. Los medios semióticos representados por movimientos en el aire con sus manos están acompañados por expresiones lingüísticas utilizados por la estudiante quien refiere que en la tarea percibe dos triángulos rectángulos con diferentes elementos, uno la sombra generada y dos la proyección de los rayos que ellas llamaron “hipotenusa”, asegurando que es posible que esos elementos puedan brindarles insumos para también determinar las medidas de los valores faltantes. Como se pudo observar en la tarea piloto, se encontraron algunos elementos semióticos al momento en que las estudiantes junto con la profesora abordaron e interpretaron la tarea, por lo que se puede afirmar que la tarea ha permitido movilizar medios semióticos de objetivación (señalamientos con el lápiz, representación en el aire, señalamientos y. 32.