Secuencia figural apoyada por representación tabular correspondiente a

Ilustración 22: Tarea 1.

Se inicia la sesión aclarando las condiciones básicas para la realización de las tareas de acuerdo a la TO como lo son el trabajo de manera grupal, que las hojas de trabajo se marcan con los datos solicitados y se escribe siempre con esfero. En esta primera sesión se pretende plantear una tarea ya utilizada en investigaciones anteriores en el marco de la TO con el fin de familiarizar a los estudiantes con este tipo de tareas y la forma de trabajar en las sesiones de clase.

En el desarrollo de esta tarea se hallaron determinaciones sensibles en la dimensión espacial y numérica que permitió a los estudiantes responder las preguntas que se les hacía. Algunas de estas determinaciones tienen sentido para el estudiante aunque no son correctas si consideramos el objetivo de la tarea. Sin embargo esto les permite empezar a comprender cómo se comportan los términos de la secuencia. En los estudiantes emergen las primeras fórmulas expresadas a través del cuerpo y el lenguaje natural oral y escrito.

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Actividad que involucra a Sarah en la tarea 1

A continuación presentamos un segmento de actividad donde se evidencian algunos aspectos que intervienen en las fórmulas corpóreas. En este caso un fragmento de transcripción de la sesión 1 de las estudiantes Sarah y Ana Lucía.

L137. Profesor: Por favor explícame la última respuesta, esa última respuesta, ¿quién quiere explicarla de las dos?

L138. Estudiantes al tiempo (Sarah y Ana Lucía): Yo.

L139. Profesor: Ella levantó primero la mano, primero tú y luego tú, [Señalando Sarah a Ana Lucía respectivamente].

L140. Ana Lucía: Acá nos dicen que expliquemos el procedimiento para calcular el número de cuadros de cualquier figura, y acá nos inventamos una figura 8 [Señala la hoja donde se encuentra la figura 8].

L141. Profesor: Okey.

L142. Ana Lucía: Y acá [leyendo y señalando la hoja] hicimos que en los cuadros de arriba tenía uno más que el de abajo y el de abajo tenía uno menos. Porque en la figura uno, acá tenía uno [refiriéndose al cuadro de abajo] acá tenía uno más [refiriéndose a los cuadros de arriba] y acá uno menos [refiriéndose al cuadro de abajonuevamente].

Ilustración 23: Indicación de cuadrados y señalamientos de filas de Ana Lucia en la figura 1 de la tarea 1.

La estudiante se apoya en el término número 1 para caracterizar la forma de las figuras enfatizando que en la fila de arriba hay “1 cuadrado más” (ver Ilustración 25), la estudiante muestra una intención perceptiva hacia la estructura espacial al descomponerla en dos (Radford, 2017). Desde el campo fenomenológico estas determinaciones sensibles

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permiten en el campo epistemológico y semiótico encontrar fórmulas que permiten hallar términos cercanos y lejanos.

En el siguiente fragmento de la sesión dos se evidencia cómo las estudiantes después de trabajar en la tarea 1 por un tiempo y de discutir en las respuestas, pueden dar cuenta de una fórmula apoyada por frases claves y deícticos, haciendo uso de las determinaciones sensibles en la dimensión espacial ya que descompone la figura en dos partes “arriba y abajo” (ver Ilustración 26) y la diferencia entre las filas es “1 cuadradito más” (ver Ilustración25) que encontraron al enfrentarse por segunda vez a la tarea, se puede decir que en las declaraciones de Sarah se quiere hacer referencia a todas las figuras de la secuencia y las expresa por medio de un nodo semiótico donde involucra gestos, medios lingüísticos, perceptivos y escritos.

L46. Sarah: En lo que yo le expliqué, como acá decía la secuencia, entonces lo que yo entendía era acá una menos [refiriéndose a la parte inferior de la figura] y acá una más [refiriéndose a la parte superior de la figura]. Aquí como decía calcular la cantidad de cuadrados de la figura 10, aquí sumamos 100 más 101 y en la 1.000 sería 1.000 y 1.001.

Ilustración 24: Operación de la hoja de trabajo de Sarah para hallar la cantidad de cuadrados de la figura número mil.

L48. Mariana: Sarah, pero espera no entiendo, acabo de contar los cuadros y me da 10, mira, 1, 2, 3, 4, 5 (…) 1, 2, 3, 4 y 5, sería 10.

L49. Sarah: Pero este [señala el cuadro sombreado], sería uno más. Uno más arriba y uno menos abajo.

L50. Mariana: Bueno.

L51. Sarah: Y acá para la figura 100, sumamos 100 y 101, eso nos da 201. Y acá explicamos los cuadros de arriba tienen uno más que los de abajo.

L52. Profesora: Digamos si yo le quisiera explicar a alguien que no estuviera acá, digamos que tú le quieres explicar a Mateo y no tienes la hoja. Le quieres explicar eso que me estás explicando a mí sin la hoja.

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L54. Profesora: Sí, sin la hoja. Digamos Mateo te dice que le expliques la figura 1.000. L54. Sarah: Yo le pondría 1.000 cuadros abajo y 1.001 arriba [muestra horizontalmente los cuadros de arriba y abajo].

L56. Profesora: ¿1.000 cuadros abajo y 1.001 arriba? L57. Sarah: [Afirma con la cabeza].

L58. Profesora: Y (…) si él te dijera pero yo quiero cualquiera, cualquiera, no importa el número. No importa el número ¿tú qué le dirías?

L59. Sarah: Cualquiera el número que elijas abajo y arriba uno. L60. Profesora: ¿Arriba uno?

L61. Sarah: [Afirma con la cabeza].

L62. Profesora: Osea, pone digamos un ejemplo acá tres y arriba uno. L63. Sarah: Arriba uno más que tres, osea cuatro.

L64. Profesora: Ujum. Entonces otra vez ¿si fuera cualquier número? L65. Sarah: Abajo pones el número y arriba le sumas uno a ese número.

Ilustración 25: Pregunta 4 de la tarea 1 de Sarah.

Ilustración 26: Representación de las filas a través de deslizamientos de la mano en el aire.

Desde los planteamientos de Vergel (2016) se puede decir que la estudiante está actualizando una forma de pensamiento algebraico factual, donde por medio de su actividad

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semiótica muestra una generalidad, además de evidenciar algunas frases claves; donde la generalidad encontrada en el campo fenomenológico se convierte en una característica común; sin embargo es importante aclarar que según Vergel (2016) para la estudiante “cualquier número” puede hacer referencia a un número particular “el que ella elija” y no necesariamente a un conjunto de números, este tipo de sentencias puede hacer que Sarah evolucione haciendo lo indeterminado parte del discurso.

No podemos asegurar que la estudiante se encuentre en un estrato de pensamiento algebraico contextual, ya que la indeterminación no hace parte de su discurso, como ya se ha demostrado. En la parte de su producción escrita, tampoco se evidencia todavía pensamiento algebraico simbólico, pero si aritmético.

En cuanto al paso por los tres problemas de la generalización, en el caso de Sarah se observa que desde el campo fenomenológico parte de las determinaciones sensibles que extrajo de la figura en cuanto a lo espacial “filas arriba y filas abajo” y lo numérico “arriba una más que abajo” para llegar a encontrar la cantidad de cuadrados de figuras lejanas como la número 1000, hace representaciones en el aire usando sus manos y operaciones en la hoja de trabajo. En el terreno epistemológico tiene en cuenta las determinaciones sensibles que le permiten encontrar una característica común y extrapolarla a términos lejanos, permitiendo así en el campo semiótico dar declaraciones verbales, escritas y corporales de una fórmula, que no evidencia una escritura algebraica formal.

Ilustración 27: Evidencia de las determinaciones sensibles en la dimensión espacial apoyadas con determinaciones sensibles en la dimensión numérica.

A continuación se muestra cómo Sarah al trabajar la tarea 1.1 extrae propiedades espaciales de los términos que apoyan sus determinaciones sensibles en la dimensión numérica, ella observa que “en la fila de arriba no hay los mismos que abajo” y apoya estas afirmaciones

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contando los cuadrados e indicando cuántos deben estar en cada fila, dichas afirmaciones se hacen evidentes en el siguiente segmento saliente de la sesión dos:

L154. Mariana: Yo escribí está mal dos puntos, porque hay empieza por qué ya que en la figura debería haber seis arriba y cinco abajo ya que arriba le ponemos uno y abajo le quitamos uno.

L155. Profesor: ¿Y tú qué dices?

L156. Sarah: Que también mal porque en la fila de arriba no hay los mismos que abajo. L157. Profesor: ¿Y no hay la misma cantidad en la figura arriba y abajo?

L158. Sarah: No, porque acá hay seis y acá seis, acá deberían ser seis [Señalando la fila de abajo] y acá siete [Señalando la fila de arriba].

L159. Profesor ¿Y tú, lo mismo? L160. Mariana: Sí.

Ilustración 28: Imagen de nodo semiótico donde Sarah indica el error de la imagen en la tarea 1.1. (Acción lingüística- perceptiva-gestual). Radford 2013a.

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Con el trabajo realizado por Sarah en esta tarea puede confirmarse el transcurso por los tres problemas de la generalización y según Radford (2013a, p.8) “es aquí donde la estructura espacial es portadora de índices perceptivos generalizables. Para utilizar dichos índices hay que ver los términos no como un conglomerado de cuadrados, sino como cuadrados propiciamente organizados.” En este caso, Sarah ve la figura como filas arriba y filas abajo, donde siempre hay “uno más” en la de arriba.

Actividad que involucra a Juan David en la tarea 1

En el caso de Juan David se evidencia determinaciones sensibles desde la dimensión numérica dejando de lado la dimensión espacial de la secuencia para hallar una fórmula, pero respetándola para dibujar términos específicos. Analizado desde el campo epistemológico y teniendo un pensamiento numérico sofisticado, propone estrategias basadas en procedimientos de ensayo y error llega a una fórmula que concuerda con aspecto numérico de la figura, pero no con el espacial, aunque respeta la configuración espacial en el aspecto pictórico. (Radford, 2013a)

Juan David siempre le resta 4 a los términos, pero no obtiene el resultado correcto. Luego de una labor conjunta con sus compañeros, a través de la iconicidad evidencia que su fórmula no concuerda con la de la secuencia “filas abajo y arriba”.

L100. Profesor: ¿Tú quieres explicar la tres?

L101. Juan David: Entonces en la segunda que me ayudo a resolver esta es que yo tome desde el seis y le sume cuatro veces hasta llegar al diez y yo después lo multiplique por el 3 y me da 30 entonces yo dije no puede ser, entonces yo le reste 3 y no me daba reste 4 y me dio 26, entonces acá hice lo miso pero con el 100 y ya.

Ilustración 30: Explicación del término 10 de Juan David.

L102. Profesor: Y después le restaste cuatro y te dio 296. L103. Juan David: Sí.

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L104. Profesor: Listo. ¿Alguien tiene otra hay? A ver yo cojo uno así al azar. Tú [se dirige donde Manuel], mira yo veo que en la pregunta número dos tú me dices que la figura 10 tiene (…).

L105. Manuel: Veintiún cuadros.

L106. Profesor: Te falta algo ¿qué te falta?

Como posible conclusión se observa la tarea 1.1 de Juan David para afirmar que las determinaciones sensibles en la dimensión espacial son importantes para crear una fórmula encarnada y posterior emergencia de pensamiento algebraico. Desde la perspectiva de Radford (2017, p.117) “la respuesta tiene sentido para el estudiante, aunque probablemente es cierto que, al enfocarse en la numerosidad de los términos de la secuencia, puede resultar más difícil llegar a una fórmula general como ”.

Ilustración 31: Desarrollo de la tarea 1 de Juan David abordando los términos dados.

En este caso el estudiante realiza una generalización que se podría escribir así: se parte de

los términos dados y pretende hallar la cantidad de cuadrados

de cada término . Entonces él procede haciendo donde n es el

número de la figura, e y es la cantidad de cuadrados.

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La multiplicación sofisticada que muestra Juan David da cuenta de una actividad perceptual refinada, ya que hay evidencia de subitización en la manera cómo percibe la figura, pues Juan David en un principio es el único estudiante que usa la multiplicación, mientras Sarah y otros estudiantes la evitan. La expresión que Juan David logra hace uso de una estructura multiplicativa, lo cual reduce la fórmula en cierto modo, pues según las ideas de Vergel (2014, p.125) “sugiere una especie de proceso genético en el cual toma decisiones entre lo que se considera relevante e irrelevante, es un síntoma de aprendizaje y de desarrollo conceptual, es decir, de toma de conciencia”.

En la sesión dos Juan David socializa con Manuel, Ana Lucía y Samuel, aquí Juan David se da cuenta que su respuesta es diferente a la de sus compañeros como se observa en el siguiente diálogo:

L01. Manuel: Como en la secuencia siempre hay un cuadro de más arriba, yo puse seis cuadros arriba y cinco cuadros abajo y en la figura seis lo mismo siete cuadros arriba y seis cuadros abajo. En el punto dos para calcular los cuadros de la figura 10, eh entonces como ya dije arriba siempre hay uno de más, entonces yo hice once cuadros arriba y diez abajo, sume los cuadros y me dio 21. Lo mismo hice para el 10, para el 100 digo.

L02. Profesora: Entonces explícales ¿qué harías si tuvieras que encontrar cualquier figura, digamos la figura 1.000.000, qué harías?

L03. Manuel: Aaa ya sé, ja un osea habría un millón uno de cuadros arriba y un millón abajo [acompaña sus sentencias con movimientos horizontales].

L04. Profesora: ¿Entonces cuántos cuadros habría en total? L05. Manuel: Habría dos millones uno.

L06. Profesora: ¿Dos millones uno? L07. Manuel: Sí.

L08. Profesora: Ahora tú, cuéntanos ¿cómo hiciste esos ejercicios? [Refiriéndose a Juan Felipe].

L09. Juan Felipe: (…) En la figura cinco hice seis arriba, cinco abajo, en la figura seis, siete arriba y seis abajo. En la figura diez me dieron 26.

L10. Profesora: ¿Y por qué hiciste eso?

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L12. Profesora: [Pregunta a Manuel] ¿y tú estás de acuerdo con ellos? L13. Manuel: No.

L14. Profesora: ¿Por qué no?

L15. Manuel: Porque (…), osea, no te entiendo ¿por qué restaste?

L16. Profesora: Entonces digamos si hiciera la misma pregunta a Juan David y Juan Felipe, que le hice ahorita a Manuel ¿cuántos cuadros tendría para ustedes la figura un millón? L17. Juan David: (…) ¿Un millón? Dos millones novecientos noventa y seis. No digo, 996 cuadritos.

L18. Samuel: Profe yo.

L19. Profesora: A ver ¿qué quieren decir ustedes?

L20. Samuel: Esa pregunta sería como que un millón abajo y un millón noventa y nueve abajo.

L21. Profesora: ¿Dime? Otra vez.

L22. Samuel: Pues un millón uno arriba y un millón abajo [acompaña sus sentencias con movimientos horizontales, diferenciando los cuadros de arriba y abajo] y ya.

L23. Profesora: ¿Y entonces cuántos serían en total? L24. Samuel: Dos millones uno.

En las líneas L15, L16 y L17 se ve como Juan David evade la respuesta a la pregunta de Manuel y no responde el por qué hace uso de la resta, en las producciones escritas de Juan David se observa que no tiene en cuenta el cuadrado sombreado debido al método de ensayo y error de las figuras dadas 1, 2, 3 y 4 para deducir la fórmula. En el mismo fragmento de actividad a Juan David se le dificulta hallar la cantidad de cuadrados de la figura un millón, según Radford (2013a) este tipo de procedimientos inductivos hacen que la abducción no sea usada de forma analítica, por lo tanto la generalización de Juan David aún no es algebraica. Estas afirmaciones están apoyadas en las producciones escritas al no sombrear el cuadrado superior derecho del término (ver Ilustración 33) y numerar los cuadrados de forma consecutiva (ver Ilustración 34).

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Ilustración 34: Numeración de cuadrados del término 1 y de la tarea 1.1 de Juan David respectivamente.

Desde los planteamientos de Radford (2013a) en el campo fenomenológico Juan David centra su atención en la dimensión numérica contando la cantidad de cuadrados de cada figura, desde el campo epistemológico evidencia que la secuencia es ascendente, además encuentra una característica común inducida, haciendo una generalización de tipo aritmética lo cual le dificulta encontrar términos lejanos, desde el campo semiótico puede hacerse evidente desde las producciones escritas que en su representación la variable en sí (el número del término) no es objeto del discurso, sin embargo puede hallar la cantidad de cuadrados de términos cercanos.

Actividad que involucra a Manuel en la tarea 1

Manuel desde el inicio de la tarea se fija en la dimensión espacial y numérica de la figura, a pesar de ser la primera vez que se enfrenta a este tipo de tareas él identifica que la figura está compuesta por cuadrados debidamente ordenados en dos filas e indica el cuadrado oscuro tomándolo como “uno más”, esto evidencia que Manuel tiene una mirada refinada (Radford, 2015), por lo tanto se debe observar la evolución en la percepción visual del estudiante pues el tener un ojo crítico será importante en el estudio y la actividad que establezca con sus compañeros permitirá un avance significativo, donde Manuel irá domesticando aún más su mirada y logrará reconocer los medios culturales de manera más rápida, pues según Radford (2010a, p.4) la domesticación del ojo es un proceso largo en el cual llegamos a ver y reconocer las cosas de acuerdo a medios culturales.

A continuación se muestra un segmento de diálogo entre Manuel y el profesor, en el cual se puede hacer evidente lo descrito anteriormente:

L129. Profesor: ¿Quieres explicarme algo? Haz de cuenta que yo no sé nada de eso.

L130. Manuel: En el segundo punto, entonces como en la figura siempre tiene (…) por ejemplo la figura uno tiene arriba dos cuadros y abajo uno, entonces arriba los cuadros de

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arriba siempre tienen uno más a la cantidad de la figura entonces en todos yo hice (…) once cuadros arriba y once cuadros arriba, diez cuadros abajo entonces yo lo sume me dio 21 cuadros.

L131. Profesor: Entonces en la 100.

L132. Manuel: En la 100 yo hice lo mismo, eh 101 cuadros arriba 100 cuadros abajo, los sume y me dio 201 [Tímidamente Manuel hace señalamientos en el aire de los cuadros e indica con su mano el uno más que agrega].

Ilustración 35: Señalamientos que acompañan las sentencias de Manuel.

En lo realizado por Manuel se puede evidenciar el papel que juegan los tres problemas de la generalización planteados por Radford (2013a) ya que en el campo fenomenológico el estudiante extrae determinaciones sensibles frente a lo espacial y numérico; esto le permite transitar al campo epistemológico al utilizar sus determinaciones para hallar términos lejanos de la secuencia, expresando una generalidad al afirmar: “yo cojo siempre la misma cantidad, pero uno más y luego lo sumo para que me del resultado”.

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Los registros semióticos movilizados se evidencian permanentemente por medio del cuerpo, gestos y habla, Manuel despliega una serie de medios semióticos para expresar la característica común hallada. Desde la perspectiva de Stacey (como se cita en Vergel 2014) Manuel usa una pauta lineal ya que asume indirectamente que (𝑛) = 𝑎𝑛 + 𝑏 apoyado en la

evidencia, se nota una cierta influencia del dibujo en el desarrollo de la estrategia por Manuel. Con lo observado en este fragmento de actividad se puede inferir que en el transcurso de las siguientes tareas las fórmulas corpóreas pueden evolucionar y llegar a un pensamiento algebraico simbólico.

Actividad en la tarea 2

Tarea 2: Secuencia figural apoyada por representación tabular correspondiente a .

Ilustración 37a: Tarea 2.

Con esta tarea se pretende acercar un poco más a los estudiantes al trabajo con este tipo de configuraciones, además de identificar las determinaciones sensibles que tienen los estudiantes para lograr sus generalizaciones, es importante empezar a comparar los medios semióticos de objetivación que surgen en los estudiantes y así mismo comenzar a identificar una posible evolución de las fórmulas corpóreas que van emergiendo en el trabajo realizado. En esta tarea se prestó especial atención a las determinaciones sensibles asociadas a la dimensión espacial de la figura y su parecido a un juguete que estuvo de moda en el momento de la aplicación llamado Fidget spinner y que posteriormente permitió a un grupo de estudiantes referirse a la forma de la figura (Ver ilustración 37b) usándolo como medio semiótico de objetivación.

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Ilustración 38b: Determinación sensible en la dimensión espacial asociada a la forma de la figura y su parecido con el “spinner”

Actividad que involucra a Sarah en la tarea 2

Para el desarrollo de esta tarea Sarah trabaja con su compañero Luis Felipe, en un primer