Evolución de fórmulas corpóreas en procesos de generalización de patrones en estudiantes de cuarto grado de educación primaria

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(1)Evolución de fórmulas corpóreas en procesos de generalización de patrones en estudiantes de cuarto grado de educación primaria. Christian Arturo Olarte Zabala Diana Pahola Suárez Mendoza. Director: Dr Rodolfo Vergel Causado. Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de Ciencia y Educación Maestría en Educación Énfasis en Educación Matemática Bogotá, 2018. 0.

(2) Evolución de fórmulas corpóreas en procesos de generalización de patrones en estudiantes de cuarto grado de educación primaria. Christian Arturo Olarte Zabala Diana Pahola Suárez Mendoza Trabajo de investigación para optar al título de Magíster en Educación. Director: Dr. Rodolfo Vergel Causado. Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de Ciencia y Educación Maestría en Educación Énfasis en Educación Matemática Bogotá, 2018. 1.

(3) Agradecimientos Al profesor Dr Rodolfo Vergel por compartir su conocimiento y ayudarnos en este proceso investigativo. A los niños del Liceo Alta Blanca que participaron en la fase pilotaje y a la coordinadora Ruth Rodríguez quien siempre estuvo con las puertas abiertas. A las directivas y niños del colegio Canapro que participaron en la investigación, quienes con gran entusiasmo asistieron cada sábado con ganas de aprender algo nuevo.. 2.

(4) Resumen Analítico en Educación – RAE 1. INFORMACIÒN GENERAL Título del documento. Tesis de grado de Maestría.. Acceso al documento. Universidad distrital Francisco José de Caldas.. Título del documento. Evolución. de. fórmulas. corpóreas. en. procesos. de. generalización de patrones en estudiantes de cuarto grado de educación primaria. Autores. Olarte Zabala, Christian Arturo Suárez Mendoza, Diana Pahola. Director. Dr. Vergel Causado, Rodolfo. Unidad patrocinante. Universidad Distrital Francisco José de Caldas.. Palabras clave. Generalización de patrones, Evolución, Fórmulas corpóreas y Problemas de la generalización.. 2. DESCRIPCIÓN Esta propuesta de investigación aborda la enseñanza-aprendizaje del álgebra en educación primaria, previa al lenguaje alfanumérico y a partir de la generalización de patrones como herramienta potenciadora. Desde una perspectiva sociocultural de la educación matemática, y apoyados en la metodología multimodal se investiga la evolución de fórmulas corpóreas, como indicativo de pensamiento algebraico, hacia formas más sofisticadas en generalización de secuencias de patrones. El análisis se realiza desde los tres problemas de la generalización (epistemológico, fenomenológico y semiótico), apoyados en la idea que los gestos, movimientos y señalamientos evidencian formas de pensamiento algebraico que tienen intenciones frente a una labor de generalización de patrones.. 3. FUENTES Arzarello, F. (2006). Semiosis as a multimodal process. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, Special Issue on Semiotics, Culture, and Mathematical Thinking, 267-299.. 3.

(5) Centro de Innovación en la Enseñanza de Matemáticas (CIMT), (Julio de 2005). Centre for Innovation in Mathematics Teaching. Recuperado el 25 de marzo de 2017. Disponible. en:. http://www.cimt.org.uk/projects/mepres/book9/bk9i10/bk9_10i1.html Bautista, S y Cardozo, J. (2016). La evaluación desde la Teoría cultural de la objetivación: Una experiencia con estudiantes de grado octavo. Tesis de Maestría. Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Bogotá, Colombia Godino, J y Font, V. (2003). Razonamiento algebraico y su didáctica para maestros. Facultad de Ciencias de la Educación, Universidad de Granada. Granada, España. Disponible en:. http://www.ugr.es/local/jgodino/edumatmaestros.. Mason, J., Graham, A., Pimm, D. y Gowar, N. (2014). Rutas hacia el / Raíces del álgebra. (C. Valderrama, Trad.) Ibagué, Colombia: Colors Editores. Moreno, P. (2014). La contracción semiótica como proceso de objetivación en estudiantes de grado sexto en el campo del pensamiento algebraico. Tesis de Maestría, Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá, Colombia. Pantano, O. (2014). Medios semióticos y procesos de objetivación en estudiantes de tercer grado de primaria al resolver tareas de tipo aditivo en los naturales. Tesis de Maestría, Universidad Pedagógica Nacional, Colombia, Bogotá, Colombia. Radford, L. (2002). On heroes and the collapse of narratives: a contribution to the study of symbolic thinking. Actas de la 16ª Conferencia del Grupo Internacional para la Psicología de la Educación Matemática, PME 26, Anne D. Cockburn y Elena Nardi (eds.), 4, 81-88. Radford, L. (2003). Gestures, speech, and the sprouting of signs: A semiotic-cultural approach to students' types of generalization. Mathematical thinking and learning, 5(1), 37-70. Radford, L. (2005). ¿Why do gestures matter? Gestures as semiotic means of Objectification. En Helen L. Chick, Jill L. Vincent (Eds.), Actas de la 29ª Conferencia del Grupo Internacional para la Psicología de la Educación Matemática, Universidad de Melbourne, Australia, 1(1), 143-145. Radford, L. (2008). Iconicity and contraction: a semiotic investigation of forms of algebraic generalizations of patterns in different contexts. ZDM Mathematics. 4.

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(7) Vergel, R. (2014b) El signo en Vygotski y su vínculo con el desarrollo de los procesos psicológicos superiores. Folios, 39, 65-76. Vergel, R. (2015). Sobre la emergencia del pensamiento algebraico temprano y su desarrollo en educación primaria. Bogotá, Colombia. UD editorial. Vergel, R. (2016). El gesto y el ritmo en la generalización de patrones. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas. 73. 23-31. Zapatera, A. (2016). Cómo desarrollar el pensamiento algebraico. Uno Revista Didáctica de las matemáticas (32). 32-37.. 4. CONTENIDOS La investigación se desarrolla en seis capítulos, de la siguiente forma: En el capítulo uno se desarrollan los aspectos preliminares: la delimitación del problema y los objetivos de la investigación. En el capítulo dos se muestra el marco teórico bajo el que se contextualiza la investigación, teniendo como referencia la teoría de la objetivación y los tres problemas de la generalización. En el tercer capítulo se describe la metodología de la investigación, las características de la población y las reformulaciones de las tareas. Teniendo en cuenta los datos obtenidos, en el capítulo cuatro se realizará el análisis fundamentado en el marco teórico de la evolución de las fórmulas corpóreas en el transcurso por los tres problemas de la generalización. La respuesta a la pregunta de investigación, reflexiones y síntesis se mostrarán en el capítulo cinco. Finalmente, en el capítulo seis se observarán las referencias bibliográficas y los anexos que se usaron en el desarrollo del trabajo.. 5. METODOLOGÍA Teniendo en cuenta la pregunta de investigación enmarcada en la perspectiva de la teoría de la objetivación propuesta por Radford, se realizará un análisis multimodal, donde, según Arzarello (2006) se debe tener en cuenta la relación de los diferentes recursos semióticos movilizados durante la actividad (lenguaje escrito, lenguaje hablado, gestos, acciones, etc). El desarrollo metodológico tomará la estructura de Radford (2010b) adaptada por Pantano (2014) constituida por: fase 1 de diseño de las. 6.

(8) tareas, fase 2 de implementación de las tareas, fase 3 de recolección de los datos y fase 4 de interpretación de los datos.. 6. CONCLUSIONES Se plantea una respuesta a la pregunta de investigación, teniendo en cuenta la articulación entre los objetivos descritos inicialmente, postulados teóricos de la teoría de la objetivación, y el análisis multimodal. Se encontraron los siguientes medios semióticos de objetivación:  Señalamientos con el lapicero.  Movimientos en el aire.  El spinner.  Señalamientos con los dedos.  Golpes sobre las hojas de trabajo o escritorio. En cuanto a la evolución de fórmulas corpóreas se resalta la importancia de los nodos semióticos, la contracción semiótica, la iconicidad y la experiencia en el trabajo con secuencias de patrones. Para terminar brindamos en este caso particular del paso por los tres problemas de la generalización conclusiones en cuanto a los tipos de secuencias utilizadas en el campo fenomenológico, a la experiencia en la generalización de patrones y la abducción analítica en el campo epistemológico y en cuanto a la representación del objeto generalizado y los medios semióticos de objetivación en el campo semiótico. Elaborado por: Revisado por:. Olarte Zabala, Christian Arturo Suárez Mendoza, Diana Pahola Dr. Vergel Causado, Rodolfo. Fecha de elaboración del resumen:. 12. 7. 05. 2018.

(9) Tabla de contenido Tabla de contenido ................................................................................................................. 8 Tabla de Tablas....................................................................................................................... 9 Tabla de Ilustraciones ............................................................................................................. 9 Introducción .......................................................................................................................... 12 Capítulo 1 ............................................................................................................................. 14 Planteamiento del problema .......................................................................................... 14 Antecedentes ................................................................................................................. 17 Objetivos............................................................................................................................... 21 Capítulo 2 ............................................................................................................................. 22 Marco teórico ................................................................................................................ 22 Capítulo 3 ............................................................................................................................. 30 Metodología .................................................................................................................. 30 Recolección de la información ...................................................................................... 46 Capítulo 4 ............................................................................................................................. 48 Análisis multimodal ...................................................................................................... 48 Actividad en la tarea 1................................................................................................... 48 Actividad en la tarea 2................................................................................................... 60 Actividad en la tarea 3................................................................................................... 72 Actividad en la tarea 7................................................................................................... 83 Capítulo 5 ............................................................................................................................. 97 Conclusiones y reflexiones ........................................................................................... 97 Reflexiones .................................................................................................................. 102 Limitaciones del estudio ............................................................................................. 103 Referencias bibliográficas .................................................................................................. 104 Anexos ................................................................................................................................ 107 Hojas de trabajo Sarah, tarea 1 ....................................................................................... 107 Hoja de trabajo Sarah, tarea 1.1 ...................................................................................... 110 Hojas de trabajo Sarah, tarea 2 ....................................................................................... 111 Hojas de trabajo Sarah, tarea 3 ....................................................................................... 113 Hojas de trabajo Sarah, tarea 7 ....................................................................................... 115. 8.

(10) Hojas de trabajo Juan David, tarea 1 .............................................................................. 117 Hoja de trabajo Juan David, tarea 1.1 ............................................................................. 119 Hojas de trabajo Juan David, tarea 2 .............................................................................. 120 Hojas de trabajo Juan David, tarea 3 .............................................................................. 123 Hojas de trabajo Juan David, tarea 7 .............................................................................. 125 Hojas de trabajo Manuel, tarea 1 .................................................................................... 127 Hoja de trabajo Manuel, tarea 1.1 ................................................................................... 128 Hojas de trabajo Manuel, tarea 2 .................................................................................... 129 Hojas de trabajo Manuel, tarea 3 .................................................................................... 131 Hojas de trabajo Manuel, tarea 7 .................................................................................... 133. Tabla de Tablas Tabla 1: Descripción de las tareas. .................................................................................................................. 45 Tabla 2: Fórmulas verbales de Sarah, Juan David y Manuel. ......................................................................... 96. Tabla de Ilustraciones Ilustración 1: Estructura de la generalización de secuencias figurales (Radford 2013a). .............................. 28 Ilustración 2: Metodología investigación longitudinal. (Radford, 2010b) ....................................................... 31 Ilustración 3: Diseño metodológico. (Pantano, 2014) ..................................................................................... 31 Ilustración 4: Fase de recolección de información (Vergel, 2016). ................................................................. 32 Ilustración 5: Tarea 1 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a . ............................. 33 Ilustración 6: Determinaciones en la dimensión espacial en la tarea 1 etapa de pilotaje. .............................. 33 Ilustración 7: Resultados de la tarea 2 donde el estudiante encuentra una característica común. ................. 34 Ilustración 8: Tarea 2 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a y tarea 2.1 “Término de Monique” (Radford 2013a). ........................................................................................................................ 35 Ilustración 9: Posible generalidad en la tarea 3. ............................................................................................. 35 Ilustración 10: Tarea 3 secuencia numérica con apoyo tabular correspondiente a . ............................ 36 Ilustración 11: Tarea 4 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a ........................ 36 Ilustración 12: Tarea 5 secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a ........................... 37 Ilustración 13: Tarea 1 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a . ........................... 38 Ilustración 14: Tarea 2.1 “Término de Monique”. (Radford 2013a) .............................................................. 38 Ilustración 15: Tarea 1 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a . ........................... 39 Ilustración 16: Tarea 3 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a . ........................... 40 Ilustración 17: Tarea 1 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a . .......................... 40 Ilustración 18: Tarea 5 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a . ........................... 40 Ilustración 19: Tarea 6 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a . .................................. 41 Ilustración 20: Tarea 7 secuencia numérica con apoyo tabular correspondiente a . ............................ 42 Ilustración 21: Cambio de la tarea número 7 en la fase de aplicación. Secuencia numérica con apoyo tabular correspondiente a .................................................................................................................................. 43 Ilustración 22: Tarea 1..................................................................................................................................... 48 Ilustración 23: Indicación de cuadrados y señalamientos de filas de Ana Lucia en la figura 1 de la tarea 1. 49 Ilustración 24: Operación de la hoja de trabajo de Sarah para hallar la cantidad de cuadrados de la figura número mil........................................................................................................................................................ 50. 9.

(11) Ilustración 25: Pregunta 4 de la tarea 1 de Sarah. .......................................................................................... 51 Ilustración 26: Representación de las filas a través de deslizamientos de la mano en el aire. ........................ 51 Ilustración 27: Evidencia de las determinaciones sensibles en la dimensión espacial apoyadas con determinaciones sensibles en la dimensión numérica. ..................................................................................... 52 Ilustración 28: Imagen de nodo semiótico donde Sarah indica el error de la imagen en la tarea 1.1. (Acción lingüística-perceptiva-gestual). Radford 2013a. .............................................................................................. 53 Ilustración 29: Tarea 1.1 de Sarah. ................................................................................................................. 53 Ilustración 30: Explicación del término 10 de Juan David. ............................................................................. 54 Ilustración 31: Desarrollo de la tarea 1 de Juan David abordando los términos dados. ................................ 55 Ilustración 32: Fórmula implícita hecha por Juan David. ............................................................................... 55 Ilustración 33: Evidencia que Juan David puede no fijarse en el cuadrado sombreado. ................................ 57 Ilustración 34: Numeración de cuadrados del término 1 y de la tarea 1.1 de Juan David respectivamente. .. 58 Ilustración 35: Señalamientos que acompañan las sentencias de Manuel. ...................................................... 59 Ilustración 36: Frase donde Manuel expresa la generalidad que encontró. .................................................... 59 Ilustración 37a: Tarea 2................................................................................................................................... 60 Ilustración 37b: Determinación sensible en la dimensión espacial asociada a la forma de la figura y su parecido con el “spinner” ................................................................................................................................ 61 Ilustración 38: Sarah dibujando en el aire los círculos. .................................................................................. 62 Ilustración 39: Producción escrita de Sarah, donde se evidencia la estrategia que usa para encontrar la cantidad de círculos de cualquier figura. ......................................................................................................... 64 Ilustración 40: Uso de medio de objetivación “spinner”. ................................................................................ 64 Ilustración 41: Posible forma en que Sarah ve los términos como dos filas en la base y después unir el centro a la fila superior. .............................................................................................................................................. 64 Ilustración 42: Hoja de trabajo de Ana Lucía. ................................................................................................. 66 Ilustración 43: Fórmula para las figuras 10000, 853 y 4102 de Juan David. ................................................. 66 Ilustración 44: Fórmula para cualquier figura de Juan David. ....................................................................... 67 Ilustración 45: Figura donde Juan David si sombrea el círculo de la mitad que representa el “uno más”. .. 67 Ilustración 46: Actividad perceptual del Juan David donde realiza deslizamientos en torno al “Spiner”, toca la figura y acompaña con la mirada sus sentencias. ........................................................................................ 68 Ilustración 47: Manuel describiendo la figura 25 haciendo uso de recursos perceptuales, gestuales y verbales. ........................................................................................................................................................... 70 Ilustración 48: Término 5 de Manuel con sus posibles determinaciones en la dimensión espacial. ............... 70 Ilustración 49: Explicación de la figura número 25 y 30 de Manuel. .............................................................. 71 Ilustración 50: Fórmula para cualquier término de Manuel. .......................................................................... 71 Ilustración 51: Uso de la fórmula para hallar las figuras 2000 y 10000 en la tarea 2 de Manuel. ................. 71 Ilustración 52: Tarea 3..................................................................................................................................... 72 Ilustración 53: Sarah indicado con golpes en las hojas 12 más 12 más 1. ...................................................... 73 Ilustración 54: Producción escrita de Sarah al resolver el ítem 5. .................................................................. 74 Ilustración 55: Espacios de los términos dejados intencionalmente en la fase de pilotaje. ............................. 75 Ilustración 56: Operaciones en la hoja de trabajo de Sarah de las figuras 12, 25 y 1500. ............................. 75 Ilustración 57: Primera fórmula concordante para la tarea 3 de Juan David. ............................................... 77 Ilustración 58: Segunda fórmula no concordante para la tarea 3 de Juan David. .......................................... 77 Ilustración 59: Tercera fórmula concordante de Juan David después de la labor conjunta. .......................... 77 Ilustración 60: Manuel muestra el “dos más” que encuentra en lo espacial. ................................................. 78 Ilustración 61: Método inductivo utilizado por Manuel en la tarea 3.............................................................. 79 Ilustración 62: Indicación en la hoja de trabajo de la diferencia de “dos fósforos más”. .............................. 81 Ilustración 63: Los diferentes métodos por ensayo y error de Manuel. ........................................................... 81 Ilustración 64: Manuel señalando el “uno más” en las figuras dadas. ........................................................... 82 Ilustración 65: Tarea 7..................................................................................................................................... 83 Ilustración 66: Sarah recitando la fórmula para el término t. ......................................................................... 84 Ilustración 67: Uso de la estructura aditiva de las fórmulas que usa Sarah. .................................................. 85. 10.

(12) Ilustración 68: Patrones figurales realizados por Sarah para representar una secuencia numérica con apoyo tabular. ............................................................................................................................................................. 86 Ilustración 69: Operaciones de los términos dados en la hoja de trabajo de Juan David. .............................. 87 Ilustración 70: Juan David describiendo cómo encontró la fórmula con un método inductivo teniendo en cuenta sus determinaciones sensibles de tipo numérico en L24 de la sesión 9. ............................................... 87 Ilustración 71: Respuesta de la pregunta cuatro de la Tarea 7 de Juan David. .............................................. 88 Ilustración 72: Juan David describiendo la figura tres de la tarea 7. ............................................................. 88 Ilustración 73: Respuesta de la pregunta cinco de la Tarea 7 de Juan David. ................................................ 89 Ilustración 74: Fórmulas para términos lejanos de Manuel concordante con lo esperado en la tarea 7. ....... 90 Ilustración 75: Fórmula para calcular cualquier término de la secuencia donde la indeterminancia no es parte del discurso. ............................................................................................................................................ 90 Ilustración 76: A la izquierda Manuel mostrando la operación para encontrar el número del término con número 3005 y a la derecha María Paula preguntándole el por qué de la división. ....................................... 91 Ilustración 77: División para encontrar el término a que pertenece el número 3005 y comprobación de su hallazgo a la izquierda. .................................................................................................................................... 91 Ilustración 78: Manuel haciendo dos golpes y un deslizamiento para decir la fórmula del término p. ........... 93 Ilustración 79: Juan realizando tres golpes en el aire y al mismo tiempo moviendo la cabeza a la derecha para decir la fórmula del término m, . .............................................................................................. 94 Ilustración 80: María Paula haciendo tres golpes con su dedo índice, hacia el frente, en el puesto y siguiendo los golpes con la mirada mientras dice la fórmula para el término h. ............................................................. 94. 11.

(13) Introducción La preocupación por abordar pensamiento algebraico en edades tempranas no es nueva, pero su respuesta requiere un estudio muy amplio, que ya se ha venido adelantando desde diferentes perspectivas. Al respecto los Lineamientos curriculares para el área de matemáticas (MEN, 1998, p.49) afirman que “Proponer el inicio y desarrollo del pensamiento variacional como uno de los logros para alcanzar en la educación básica, presupone superar la enseñanza de contenidos matemáticos fragmentados y compartimentalizados”, lo cual supone que el abordaje del pensamiento variacional debe (y puede) darse desde los primeros años de escolaridad. Este documento también propone iniciar el estudio de la variación (y por tanto del álgebra) como un intento de cuantificar la variación por medio de las cantidades y las magnitudes y además que su aprendizaje es un proceso que se madura progresivamente para hacerse más sofisticado a través de representaciones tabulares, gráficas de tipo cartesiano o sagital, pictóricas e icónicas, instruccional, mecánica, de las fórmulas y las expresiones analíticas. Por otro lado tomando ideas de Radford, quien ha investigado sobre el pensamiento algebraico afirma que es muy poco lo que se sabe sobre dicho pensamiento y aún menos en edades tempranas, al respecto el autor indica que el pensamiento algebraico es todavía muy general en su caracterización y requiere mucha más investigación, pues los docentes abordan pensamiento algebraico desde el uso de símbolos alfanuméricos y después de haber abordado aritmética necesariamente, lo cual desde la postura de Radford pierde validez, pues él, reconoce la existencia de una zona de emergencia del pensamiento algebraico altamente ignorada, donde los estudiantes piensan algebraicamente sin necesidad del uso del sistema semiótico propiamente algebraico y culturalmente e históricamente constituido. Ahora bien se pueden abordar los tres vectores del pensamiento algebraico desde los medios que el estudiante moviliza en la toma de conciencia del objeto que pueden ser provenientes de diferentes sistemas semióticos, entre los que se encuentran: el lenguaje. 12.

(14) propio del álgebra, el lenguaje natural y además todas las expresiones gestuales, rítmicas y corporales, por ello parece importante resaltar lo mencionado por Moreno (2014): La verbalización no es la única muestra de la emergencia del pensamiento algebraico, los gestos, movimientos, señalamientos e incluso los tonos de voz evidencian formas de pensamiento que tienen intenciones frente a una labor de generalización. En este sentido, las fórmulas corpóreas son un indicativo del pensamiento algebraico.. De los planteamientos anteriores surge el interés de profundizar y poder nutrir lo investigado en torno al pensamiento algebraico, teniendo en cuenta que la generalización de patrones es una forma potente para el desarrollo del pensamiento algebraico, al respecto Arzarello (2006) manifiesta que se deben tener en cuenta las formulaciones que expresan generalizaciones. La naturaleza multimodal del pensamiento, según este autor, permite observar actos de generalización a través de fórmulas corpóreas compuestas de acciones, como gestos, ritmos, miradas, palabras, entre otras; dicha generalización se constituye en el transcurso de los tres problemas de la generalización a saber el fenomenológico, epistemológico y semiótico (Radford, 2013a), en el ámbito educativo en el contexto cultural colombiano se pueden aportar más estudios en torno a evidenciar dichos problemas en las producciones de los estudiantes y más aún en la evolución de las fórmulas corpóreas. Se pretende estudiar el paso de los estudiantes por los tres problemas en una tarea de generalización y enfocándonos en las fórmulas corpóreas que el estudiante moviliza y su posible evolución a formas más sofisticadas de generalización en la búsqueda del desarrollo de pensamiento algebraico.. 13.

(15) Capítulo 1 Planteamiento del problema De acuerdo con lo planteado por el Ministerio de Educación Nacional de Colombia (MEN, 1998), el estudio de la variación puede ser iniciado desde los primeros grados de escolaridad en el currículo de matemáticas (p. 51) entendiendo los sistemas algebraicos como parte del pensamiento variacional, se puede inferir con dicha afirmación que es posible realizar el tratamiento del álgebra en cualquier grado de escolaridad, en este mismo sentido afirma Zapatera (2016), que la introducción del pensamiento algebraico desde los primeros cursos escolares es posible mediante la observacion de patrones, relaciones y propiedades matemáticas. Teniendo en cuenta lo anterior se evidencia que desde hace algunos años hay estudios demostrando el desarrollo de pensamiento algebraico en edades tempranas, sin necesidad de usar símbolos alfa-numéricos, ni la aritmética como prerrequisito, se reconoce a Kaput como precursor de estos estudios en lo que denominó “early algebra” o álgebra temprana, al respecto Vergel (2014a) afirma que: Conocemos muy poco sobre el pensamiento algebraico y, en particular, sabemos menos sobre el pensamiento algebraico en niños y jóvenes. La investigación en álgebra temprana comenzó hace apenas algunos años. El pensamiento algebraico es todavía muy general en su caracterización y requiere mucha más investigación. (p.20). Las ideas anteriores muestran que aunque existen investigaciones en álgebra temprana, aún queda mucho por investigar, por ejemplo, Radford tiene una posición frente al pensamiento algebraico. Tomando las ideas de Radford (2010b) se define pensamiento algebraico como una forma particular de reflexionar matemáticamente. Desde nuestras consideraciones podemos aseverar que el pensamiento algebraico, en tanto saber, es un conjunto de procesos corporizados de acción y de reflexión constituidos histórica y culturalmente. De acuerdo con Radford (2010b), el pensamiento algebraico está caracterizado por tres elementos (o vectores) estrechamente relacionados: sentido de la indeterminancia, la analiticidad y la designación simbólica, siguiendo esas ideas Radford (2010b) afirma que la. 14.

(16) generalización de patrones es considerada como una de las formas más importantes de introducir el álgebra en la escuela. (p.75) Por consiguiente, se puede hablar de generalizaciones factuales y contextuales (Radford 2010b), entendiendo la generalización factual desde Radford (2003) como las acciones ligadas a términos deícticos, gestos y actividad perceptual, al respecto afirma Vergel (2014a) los gestos, movimientos, señalamientos e incluso los tonos de voz evidencian formas de pensamiento que tienen intenciones frente a una labor de generalización. En este sentido, las fórmulas corpóreas son un indicativo del pensamiento algebraico. Lo general o lo indeterminado en este estrato factual de generalización queda sin nombrar. Por otro lado la generalización contextual hace referencia a un nivel más elevado sin alcanzar las generalizaciones simbólicas, en este estrado de generalidad la indeterminancia es explicita, se vuelve objeto del discurso. Considerando las ideas precedentes, Vergel y Rojas (2013) afirman que: El trabajo con tareas sobre generalización de patrones figurales parece ser una de las estrategias para introducir el álgebra en la escuela, pues entre otros aspectos, posibilita a los estudiantes acercarse a situaciones de variación importantes para el desarrollo del pensamiento algebraico. (p. 692). Por lo anterior puede afirmarse que la generalización es una forma de desarrollar el pensamiento algebraico, es entonces cuando nos encontramos con tres problemas estudiados por Radford, (2013a) que los estudiantes transcurren en su proceso de generalización de patrones y que están mutuamente relacionados. Dichos problemas son: 1. Problema fenomenológico: donde el estudiante procede a una serie de determinaciones1 sensibles para la escogencia de unas similitudes y diferencias de los términos dados. 2. Problema epistemológico: a partir de los trabajos desarrollados en el campo fenomenológico es posible encontrar una característica común y generalizarla sin. 1. Las determinaciones sensibles posibles constituyen un conjunto extenso: los alumnos pueden fijar su atención en la forma de los términos, en la cantidad de cuadros que constituyen cada uno de los términos, el color, el espacio entre ellos, etc. (Radford, 2013a, p.5). 15.

(17) necesidad de llegar a una “fórmula o regla”. Es en este problema donde se diferencia la generalización aritmética de la algebraica. 3. Problema semiótico: Donde se hace uso de sistemas semióticos para denotar el objeto generalizado, con gestos, símbolos o lenguaje natural. Estos problemas permiten un análisis de la actividad de generalización de patrones de los estudiantes permitiendo articularlos con los estratos de generalidad propuestos por Radford, al respecto parece importante mostrar las formas en que los estudiantes expresan la generalidad, tomando el hecho de que no necesariamente expresan sus ideas por medio del lenguaje natural, se puede hablar de fórmulas corporeizadas es decir según Vergel (2014a) fórmulas expresadas a través de acciones que se despliegan en el espacio y el tiempo, Radford (2005) se pronuncia al respecto expresando que: La comprensión y el buen uso del simbolismo algebraico implican la consecución de una forma cultural, sin embargo, no es la única forma de mostrar pensamiento algebraico, pues se desconocería el papel de las fórmulas corpóreas; por tanto, el objetivo es que “el proceso de objetivación permita dar cuenta de los aspectos conceptuales que, debido a su propia generalidad, no pueden ser completamente mostrados en el mundo concreto”. (p.1). Retomando los argumentos anteriores y evidenciando que las fórmulas corpóreas son un campo que requiere mayor investigación nos encontramos de acuerdo con Vergel (2014a) al decir que es pertinente y necesario indagar la relación de las producciones de los estudiantes y la evolución de fórmulas corpóreas hacia formas más sofisticadas, por ello surge la siguiente pregunta: ¿Qué elementos semióticos, epistemológicos y fenomenológicos intervienen en la evolución de fórmulas corpóreas hacia formas más sofisticadas en el proceso de generalización de secuencias de patrones en estudiantes de cuarto de primaria?. 16.

(18) Antecedentes En este apartado se presentan algunas investigaciones que se han realizado en torno al pensamiento algebraico temprano, medios semióticos de objetivación y otros elementos que permiten dar relevancia y fuerza a esta investigación, además de evidenciar la importancia de indagar las fórmulas corpóreas y su evolución en cuanto a la generalización de secuencias de patrones. Una de las primeras contribuciones a esta investigación se encuentra en Radford (2002) quien desde el campo de la educación matemática y la teoría de la objetivación realiza un análisis del signo desde la perspectiva del pensamiento algebraico en dos aspectos. El primero, la designación de los objetos de discurso en la construcción de narrativas simbólicas y el significado de afirmaciones simbólicas, el segundo, los problemas surgidos en las operaciones llevadas a cabo con los signos que relatan dicha narrativa. La actividad se basó en el planteamiento del siguiente problema verbal: “Kelly tiene 2 caramelos más que Manuel. José tiene 5 caramelos más que Manuel. Todos juntos tienen 37 caramelos”. En este estudio se evidencian dificultades de los estudiantes jóvenes en el intento de producir expresiones algebraicas a partir del lenguaje natural, teniendo en cuenta que la variable es la cantidad de caramelos de algunos de los personajes del problema. Aquí se encuentran elementos de juicio para abordar el paso por el tercer problema de la generalización (Radford, 2013a) el cual es el problema semiótico, además de esto también se evidencia el tercer estrato de generalidad donde los estudiantes llegan a usar el lenguaje propio del álgebra. Esto indica que existen avances investigativos en torno a los tres problemas de la generalización en el estrato factual. Por otra parte, Radford (2010a) afirma que la generalización en los humanos es un proceso social, conformado por prácticas propias cambiantes históricamente, asevera que es a través del proceso visual que se logra generalizar. Por esto se considera importante la investigación en torno a la generalización de patrones, planteando elementos teóricos y aplicativos, donde se evidencie como los estudiantes van refinando su mirada en torno a un objeto matemático en la interacción cultural con otros compañeros, el profesor y el mismo. 17.

(19) objeto de la actividad. La domesticación del ojo es un proceso largo en el cual llegamos a ver y reconocer el entorno a partir de los medios culturales. A través de dicha actividad de generalización de patrones se logra construir fórmulas encarnadas por medio de movilización de medios semióticos de objetivación como el gesto, ritmo y lenguaje natural. Se hace énfasis en los recursos que se movilizan y se complejizan en lo que Vygotsky denomina zona de desarrollo próximo. Estas fórmulas encarnadas se expresan a través de acciones desplegadas en el espacio y el tiempo, donde se concluye que pueden evolucionar a formas más sofisticadas por medio de un refinamiento del ojo pero se requiere mayor investigación. En este sentido, la tesis doctoral de Vergel (2014a) se constituye en uno de los principales referentes para este trabajo, ya que esta permite evidenciar lo realizado en Colombia sobre el desarrollo del pensamiento algebraico en educación primaria. Dicho referente movilizo el interés por trabajar en el campo del álgebra temprana. En el trabajo citado anteriormente se manifiesta la necesidad de indagar en el campo del pensamiento algebraico en primaria, de allí surge la idea de investigar sobre las fórmulas corpóreas pues el autor afirma que: “en particular, es materia de mayor investigación la evolución de las fórmulas corpóreas de los estudiantes hacia formas más sofisticadas, lo cual requiere un refinamiento de la actividad perceptual” (p.12). La investigación muestra la articulación entre la teoría y la implementación de una serie de tareas de generalización de patrones y proporciona los siguientes elementos teóricos (Vergel 2014b): 1. Las generalizaciones que producen los estudiantes podrían no ser tan sofisticadas entendiendo lo sofisticado como expresiones en términos de signos alfanuméricos. 2. Caracterización del pensamiento algebraico desde los planteamientos de Radford, por medio de tres vectores: el sentido de la indeterminancia, la analiticidad y la expresión semiótica. 3. Se debe reconocer que las formulaciones que expresan las generalizaciones de los alumnos pueden componerse de acciones, tales como gestos, ritmos, miradas,. 18.

(20) palabras, esto es, de formulaciones que se expresan y se despliegan en el espacio y el tiempo. En el primer numeral, el autor expone cómo el uso de los procesos psicológicos surgen de la actividad humana mediada por instrumentos psicológicos de carácter semiótico. Vergel (2014b) menciona que “el desarrollo cognitivo parece depender del dominio progresivo de unos sistemas de mediación simbólica cada vez más complejos” (p.74). En este sentido, la interacción según Vygotski, es una relación mediada simbólicamente, y se piensa con y a través de los signos histórico y culturalmente constituidos. En cuanto al numeral tres Vergel (2016) afirma que los gestos y el ritmo emergen como medios semióticos de objetivación en una tarea de generalización de patrones; el autor muestra varias posturas teóricas sobre el gesto y el ritmo en la actividad matemática, lo cual enriquece las conceptualizaciones que se puedes usar en la presente investigación; define y ejemplifica conceptos sobre el pensamiento algebraico temprano y una estructuración para la generalización algebraica de secuencias figurales, pues dicha estructura permite clasificar las generalizaciones que lleguen a hacer los estudiantes e interpretar sus actuaciones. En cuanto al pensamiento algebraico temprano y el uso de medios semióticos de objetivación, Radford (2008) afirma que la transformación de la generalización a través la evolución de los nodos semióticos hasta llegar a múltiples contracciones semióticas proporciona que los estudiantes adquieran formas superiores de generalidad algebraica. En cuanto al estudio de la enseñanza del álgebra en edades tempranas y el uso de secuencias Zapatera (2016) evidencia que la realización de diferentes tareas en los primeros grados de escolaridad permite abordar el pensamiento algebraico (corriente denominada pre-álgebra) haciendo uso de patrones con diferentes atributos (color, tamaño forma u orientación) concluyendo que si se realiza un trabajo progresivo con los estudiantes se pueden alcanzar las últimas fases del pensamiento algebraico desde una postura diferente a la socio cultural. Finalmente, Radford (2013a) expone la generalización como uno de los procedimientos principales de la producción de conocimiento, afirmando que está transcurre por medio de tres problemas mutuamente relacionados:. 19.

(21) 1. Problema fenomenológico: este problema se plantea en la escogencia de unas determinaciones sensibles, donde participan: la intuición, atención, intención y sensibilidad, entre otros; para encontrar similitudes y diferencias según la interpretación que haya hecho el estudiante del objeto. 2. Problema epistemológico: a partir de los trabajos desarrollados en el campo fenomenológico es posible encontrar una característica común y generalizarla sin necesidad de llegar a una “fórmula o regla”. Es en este problema donde se diferencia la generalización aritmética de la algebraica. 3. Problema semiótico: este se problema se plantea en el uso de sistemas semióticos para denotar el objeto generalizado, con gestos, símbolos o lenguaje natural. Los referentes mencionados aportan evidencia de algunos estudios relacionados con el pensamiento algebraico, su relación con la generalización y enseñanza en edades tempranas.. 20.

(22) Objetivos Objetivo general Identificar los elementos semióticos, epistemológicos y fenomenológicos que intervienen en la evolución de fórmulas corpóreas hacia formas más sofisticadas de generalización de secuencias de patrones en estudiantes educación primaria. Objetivos específicos 1. Describir los medios semióticos de objetivación que emergen en la actividad matemática con estudiantes de cuarto grado primaria. 2. Determinar elementos que permitan la evolución de fórmulas corpóreas hacia formas más sofisticadas de generalización de secuencias de patrones en estudiantes educación primaria. 3. Categorizar los medios semióticos de objetivación que emergen en el transcurso por los tres problemas de la generalización (fenomenológico, epistemológico y semiótico) en estudiantes de cuarto grado primaria cuando trabajan secuencias de patrones.. 21.

(23) Capítulo 2 Marco teórico En esta sección se exponen ideas teóricas que se consideran pertinentes para la elaboración de la investigación. Inicialmente se encuentran ideas sobre la teoría de la objetivación, definiendo elementos importantes que se trabajan en dicha teoría haciendo énfasis en la enseñanza-aprendizaje. Posteriormente se definirán y caracterizaran elementos importantes del pensamiento algebraico, teniendo en cuenta la idea de generalización de patrones. Sobre la Teoría de la objetivación La teoría de la objetivación (TO) está dentro de las teorías de tipo sociocultural, donde se muestra la enseñanza y el aprendizaje como una construcción social, difiriendo de teorías individualistas en las que se privilegia la trasmisión de saberes y sujetos netamente cognitivos dejando de lado su realidad cultural. Por lo anterior surge la teoría de la objetivación donde se evidencia un sujeto de carne y hueso, por ello es importante iniciar mostrando la forma en que se plantea la educación desde los planteamientos de Radford (2014) quien afirma que la educación en general y la enseñanza y aprendizaje en particular trata de saberes y seres, desde una perspectiva ontológica el ser y el saber no pueden ocurrir de forma separada. Es decir se debe tener en cuenta que en la enseñanza y aprendizaje deben estudiarse tanto los conocimientos en juego (es decir el knowing de los alumnos), como la formación del alumno en tanto que sujeto humano (becoming, es decir una transformación perpetua del sujeto). Dentro de la TO un principio fundamental es el de labor conjunta entendida como una actividad humana, este concepto está influenciado por el materialismo dialéctico, donde el ser humano hace parte de la naturaleza y tiene necesidades que satisface activándose, moviéndose y no realiza individualmente. La actividad de un sujeto esta mediada por sus pares y la historia que los objetos llevan. Es este sentido Radford (2018) afirma que: La característica social de la actividad no desaparece cuando laboramos solos (como cuando el niño hace su deber de matemáticas en su casa). Podemos estar físicamente. 22.

(24) solos, pero estamos recurriendo a recursos históricos, culturales y sociales (una computadora, una calculadora, un lápiz, el lenguaje, la escritura, etc.) que hacen de esa actividad una actividad social. (p.70). La actividad en el aula de clase se ve como la forma de producción de saberes y cooperación humana, donde los estudiantes gastan su energía encontrando gozo y autorrealización en lo que hacen. Es a través de la labor conjunta que estudiantes y profesores producen y se coproducen. En la TO se tiene en cuenta que la enseñanza y el aprendizaje no son actividades separadas, según Radford (2014) “la enseñanza- aprendizaje es la expresión de una forma de vida: una labor conjunta que ocurre en un espacio socio-político al interior del cual tiene lugar" (p.138). Cuando nacemos, nos encontramos en un mundo poblado de significados, un mundo que ha sido transformado por generaciones pasadas; por ello los objetos que se encuentran en el mundo llevan una experiencia que depende de la cultura en la que se desarrollen. Tomando las ideas anteriores los objetos deben empezar a ser reconocidos por el sujeto, para dicho reconocimiento deben pasar por el denominado proceso de objetivación, el cual según Radford (2014) define como: El proceso social, corpóreo y simbólicamente mediado de toma de conciencia y discernimiento crítico de formas de expresión, acción y reflexión constituidas históricamente y culturalmente. Es decir que en el proceso de objetivación participan acciones corporales y simbólicas construidas en un entorno social. (p.141). Continuando con las ideas anteriores es importante resaltar dentro de la teoría cultural de la objetivación, los medios semióticos de objetivación, las concepciones teóricas de nodo semiótico, contracción semiótica y finalmente hablar de elementos característicos del pensamiento algebraico desde la perspectiva de generalización de patrones. Medios semióticos de objetivación (MSO): Los medios semióticos de objetivación son todos aquellos recursos (gestos, artefactos, signos) que moviliza el estudiante y el profesor en el momento de tomar conciencia y hacer aparecer el objeto. En términos de Radford (2003) son los “medios utilizados por los individuos que se encuentren en un proceso de producción de significados, para lograr una forma estable de conciencia, para hacer. 23.

(25) presente sus intenciones y organizar sus acciones y así adquirir las metas de sus acciones” (p.4). Dichos medios hacen parte importante para comprender el significado de las acciones matemáticas que realizan los individuos, por ello según Vergel (2014a) es importante identificarlos, analizar su emergencia y evolución. Moreno (2014) resalta que “dentro de los medios semióticos de objetivación se debe dar importancia al gesto, según la autora este es uno de los medios más recurrentes (…) en los estudiantes que les permite comunicar ideas matemáticas abstractas, (…) es decir, los gestos colaboran a lograr la objetivación del saber" (p.14), se puede decir que los gestos hacen parte de la comunicación y ayudan a expresar ideas, además Vigotsky (como se cita en Vergel, 2016) afirma que las dificultades ocasionadas por la comunicación verbal pueden superarse al acompañar las palabras con gestos; hay que resaltar que la importancia del gesto no radica solo en superar la dificultad de la comunicación verbal. Nodos semióticos: En la actividad matemática es común que se usen simultáneamente varios medios semióticos de objetivación, donde por ejemplo el lenguaje verbal, los gestos y signos escritos trabajan de manera conjunta para expresar el objeto matemático; cuando trabajan sistemas o medios semióticos de distinta naturaleza simultáneamente se dice que aparece un nodo semiótico según Radford (2013b) un nodo semiótico es un segmento de la actividad semiótica en la que los signos que provienen de diferentes sistemas semióticos se complementan para lograr una toma de conciencia. Contracción semiótica: Teniendo en cuenta la idea de nodo semiótico puede verse en términos de Radford (2008) la contracción semiótica como la evolución de los nodos semióticos, en tanto la sobriedad en el pensamiento está ligada a la manera como los recursos semióticos van evolucionando de fórmulas corpóreas hacia fórmulas más sofisticadas. Iconicidad: Desde los planteamientos de Moreno (2014) la objetivación del saber se logra cuando los nodos semióticos evolucionan, una forma en que esto ocurre es cuando se toman elementos de labores anteriores que permiten clarificar la labor actual, dentro de la. 24.

(26) iconicidad se encuentra la orquestación icónica, es el proceso a través del cual los estudiantes toman gestos o intenciones de otros sujetos para convertirlos en propios. Sobre el pensamiento algebraico temprano Como ya se mencionó la teoría de la objetivación surgió como una perspectiva diferente de concebir la educación matemática, y una preocupación en torno a la enseñanza del álgebra en la escuela. Este apartado se ocupa de definir rasgos en este último terreno. Antes de abordar la idea de pensamiento algebraico es necesario aclarar el significado que adquiere el álgebra desde la teoría de la objetivación, posteriormente se describirán los tres estratos por los que el estudiante pasa en su proceso de generalización, como parte del estudio en la teoría de la objetivación hablaremos de los tres problemas al resolver secuencias de patrones y a partir de ellos se terminará con una breve definición fórmulas corpóreas. El álgebra es un lenguaje que comunica de forma sucinta, lo cual facilita su manipulación, aunque por esta misma razón está dada a la incomprensión por parte de algunos sujetos. A su vez es una herramienta para comunicar ideas complejas y abstractas, es especialmente adecuado para expresar declaraciones generales (Mason, Graham, Pimm, y Norman, 2014). Estos autores afirman que la generalidad es la vida de las matemáticas, y el álgebra es el lenguaje con el cual se expresa esa generalidad, en este mismo sentido siguiendo a Vergel (2015), estamos de acuerdo cuando afirma que “la generalización de patrones es considerada como una de las formas más importantes de introducir el álgebra en la escuela” (p.194). De la idea anterior se destacan dos ideas importantes en el desarrollo de este trabajo, la primera es la importancia del trabajo sobre secuencias de patrones (ya sea numéricos y figurales) y las segunda, es la importancia de potenciar el pensamiento algebraico en estudiantes jóvenes. En cuanto a esta última, se toma pensamiento algebraico desde Radford (2010b) como una forma particular de reflexionar matemáticamente, en tanto saber son procesos corporeizados de acción y de reflexión constituidos histórica y culturalmente. De acuerdo con Radford (2010b), el pensamiento algebraico está caracterizado por 3 elementos.. 25.

(27) 1. El sentido de indeterminancia (objetos básicos como incógnitas, variables y parámetros), aquello opuesto a la determinancia numérica. 2. La analiticidad, como forma de trabajar los objetos indeterminados, es decir, el reconocimiento del carácter operatorio de los objetos. 3. La designación simbólica o expresión semiótica de sus objetos, esto es, como la manera específica de nombrar o referir a los objetos. (Vergel 2015a) Estos 3 vectores o componentes analíticas están estrechamente relacionadas entre sí y dan forma y sentido a las formas de pensamiento algebraico. En este pensamiento algebraico Radford (2010c) reconoce tres formas o estratos caracterizados por los medios semióticos de objetivación movilizados por los sujetos en su actividad reflexiva, incluyendo percepción, movimientos, gestos o lenguaje natural. Esas formas de pensamiento algebraico son factual, contextual y simbólico y a continuación definiremos sus características: Pensamiento algebraico factual: los medios semióticos de objetivación movilizados son los gestos, los movimientos, el ritmo, la actividad perceptual y las palabras. En este estrato de pensamiento, la indeterminancia no alcanza el nivel de enunciación, pues se expresa en acciones concretas, por ejemplo, a través del trabajo sobre secuencias de números. Por esto podemos afirmar que la indeterminancia queda implícita. Por ejemplo, el alumno señala con la mirada, con su índice, realiza movimiento con un lápiz, dice “aquí”, señala y dice “más dos” o dice “y así sucesivamente” lo que llama el autor deícticos espaciales o temporales (Radford, 2010c). Pensamiento algebraico contextual: Los gestos y las palabras son sustituidos por otros medios semióticos de objetivación tales como frases “clave”. En este estrato de pensamiento la indeterminancia es explicita, se vuelve objeto del discurso. La formulación algebraica es una descripción del término general. Por ejemplo, el estudiante dice “arriba quito uno” o “dos por la figura más uno” o “# de la figura más para la fila de arriba y # de la figura más dos para la de abajo. Sumar dos para el total”. Esto significa que los estudiantes en este estrato de pensamiento tienen que trabajar con formas reducidas de expresión, lo cual sugiere pensar en la idea de contracción semiótica, en tanto hay evolución de nodos semióticos (Radford, 2010c).. 26.

(28) Pensamiento algebraico simbólico: Las frases clave son representadas por símbolos alfanuméricos propios del álgebra. Por ejemplo, mediante expresiones como. ó. . En este estrato de pensamiento “hay un cambio drástico en la manera de designar los objetos del discurso”, a través de signos alfanuméricos del álgebra, lo cual hace pensar en otro estado del proceso de objetivación de contracción semiótica (Radford, 2010b). En el trabajo que abordaremos nos centraremos en los dos primeros estratos ya que es de ahí donde surge la idea de fórmulas corpóreas, que son parte de nuestro objeto de estudio, y que profundizaremos en ellas una vez definidos los tres problemas que están presentes en el trabajo con generalización de patrones (Radford, 2010c). El primero de los tres problemas que se abordara es el fenomenológico y la intención perceptual en donde para generalizar una secuencia los estudiantes atienden a una serie de determinaciones sensibles para encontrar similitudes y diferencias. Entre las características en la que los estudiantes se pueden fijar está la cantidad de elementos de los términos, en la forma que estos adquieren, el color, el espacio entre los elementos de cada término entre muchos otros. El estudiante toma algunas de estas características desde la comprensión que hace del objeto y la intención con la que lo aborda. Esa intención fenomenológica que el estudiante tiene no es la misma que la del profesor, si lo fuera, no estaría por encima de las capacidades del estudiante. Muchas veces la escogencia de esas similitudes y diferencias no es la más adecuada para abordar la tarea, por ejemplo el estudiante puede limitarse a la dimensión cuantitativa, perdiendo la forma en la que el término fue dado y que le ayudaría a realizar su proceso de generalización. En las tareas que fueron abordadas por Radford (2013a) se les pedía a los estudiantes realizar los términos no dados 5, 6 y 7 de la secuencia. Para hacer esto los estudiantes han hecho una generalización de una propiedad común que encontraron en los términos dados (por ejemplo que entre un término y el siguiente hay dos elementos de más) y afirman que para encontrar cualquier otro término deben ir sumando dos elementos más hasta llegar al término solicitado, tarea que deja de ser práctica cuando se piden términos muy lejanos como el 25, 100 o el número 1000. Otros estudiantes más experimentados realizan un. 27.

(29) trabajo de ensayo y error para encontrar la expresión correcta que pueda definir todos los términos, ensayando con números pequeños su validez. Estos procedimientos se encuentran en el problema epistemológico. Ninguno de ellos cumple con lo que consideramos pensamiento algebraico, en cambio, si pueden considerarse aritmético.Se puede considerar que el estudiante hace una generalización algebraica cuando según Radford (2013a): 1. Se captura o identifica una característica común, sobre algunos elementos de la secuencia, la toma de conciencia de esta característica se hace en el trabajo sobre un terreno fenomenológico de observación de algunos términos. 2. La generalización o aplicación de esta característica común se hace sobre términos cercanos no dados de la secuencia. En otras palabras se hace una generalización de la característica común C (o como Pierce lo llamaría una abducción), y C se convierte en hipótesis H. 3. Se usa esta propiedad común dada para deducir una expresión directa que permite calcular el valor de cualquier término no dado de la secuencia. Cabe resaltar en este punto que cuando la característica común C solo es utilizada para pasar de un término a otro, se llega a una generalización aritmética, es decir, no se deduce una expresión directa que permite calcular cualquier término. Por otro lado cuando el estudiante induce una fórmula por ensayo y error, no se hace uso sino de la propiedad numérica de forma aritmética y por tanto, tampoco corresponde a una generalización algebraica. Este proceso se evidencia en el siguiente diagrama:. Ilustración 1: Estructura de la generalización de secuencias figurales (Radford 2013a).. 28.

(30) No siempre que el estudiante use símbolos alfanuméricos está haciendo uso de su pensamiento algebraico, de la misma forma que no siempre que esté ausente el lenguaje propio del álgebra, se puede decir que el estudiante no posee pensamiento algebraico. Como se mencionó anteriormente existen otras formas de manifestar pensamiento algebraico (factual y contextual, en estas formas la generalización algebraica puede ser efectuada a través de otros sistemas semióticos Radford (2013a). Por ejemplo en Radford (2013a) los alumnos llegaron a construir una fórmula encarnada en la acción y en el lenguaje y que se puede aplicar a cualquier término particular. En palabras de Radford: En el caso del término 25 la fórmula es 25 + 25 + 1. Pero lo alumnos pueden aplicarla ahora a otros términos. Otro alumno propone el término 50, y dice: 50 + 50 + 1. La encarnación (embodiment) de la fórmula en la acción y en el lenguaje natural es potente, pero tiene sus límites. (Radford, 2013a, p. 12). En esta fórmula encarnada lo indeterminado no es objeto del discurso pero si aparece instanciada en algunos de sus términos (lejanos y cercanos), para que esto ocurra habrá que mover la actividad de enseñanza-aprendizaje a otros niveles de generalidad en el que aparecerán, del lado de los alumnos (estudiantes), nuevas formas de conciencia mediatizados por el uso más abstracto del lenguaje oral y escrito (p.12). Con los planteamientos expuestos se da cuenta de los principales elementos teóricos necesarios para comprender y abordar la pregunta de investigación para posteriormente delimitar la metodología implementada.. 29.

(31) Capítulo 3 Metodología Enmarcamos la metodología desde un enfoque cualitativo donde, según Vasilachis (2006), la investigación cualitativa es interpretativa, inductiva, multimetódica y reflexiva. Emplea métodos de análisis y de explicación, flexibles y sensibles al contexto social en el que los datos son producidos. Se centra en la práctica real, situada, y se basa en un proceso interactivo en el que intervienen el investigador y los participantes. (Vasilachis, y otros, 2006, pág. 29) Teniendo en cuenta nuestro objeto de estudio y pregunta de investigación enmarcada en la perspectiva de la teoría cultural de la objetivación propuesta por Radford (2006) se realizará un análisis multimodal. Dicho análisis, según Arzarello (2006) debe tener en cuenta la relación de los diferentes recursos semioticos movilizados durante la actividad (Lenguaje escrito, lenguaje hablado, gestos, acciones, etc) tomando como referencia el ciclo inspirado en Radford (2010b) en donde se desarrollan las siguientes fases: diseño de las actividades de clase, implementación de las actividades de clase, interpretación de los datos y generación de teoría. En el presente desarrollo metodológico se tomará la estructura propuesta por Pantano (2014) la cual está constituida por las siguientes fases: fase 1 de diseño de las tareas, fase 2 de implementación de las tareas, fase 3 de recolección de los datos y fase 4 de interpretación de los datos, como se observa en dicha estructura han sido modificadas las dos últimas fases, ya que no se generará teoría; es importante hacer evidente la recolección de datos previamente a su interpretación, ya que se adapta a los propósitos de la presente investigación.. 30.

(32) Ilustración 2: Metodología investigación longitudinal.. Ilustración 3: Diseño metodológico. (Pantano, 2014). (Radford, 2010b). Los instrumentos de recolección de datos serán las producciones de los estudiantes, se tomaran vídeos, registros fotográficos, entrevistas y producciones escritas; teniendo en cuenta la fase de recolección de datos, se asumirán las consideraciones metodológicas de Vergel (2016) donde la recolección de información estuvo precedida por el diseño previo de tareas desarrollado en cuatro fases (Ver ilustración 4): En la primera fase, se graban en vídeo todas las actividades de clase, por un lado la sesión de clase completa y, por otro, discusiones focalizadas de algunos grupos en el aula de clase en el momento de resolver tareas. La segunda fase refiere a la obtención de hojas de trabajo de cada estudiante, advirtiendo que si la actividad no terminaba en una sesión, las hojas de trabajo se recogían y se entregaban nuevamente en la siguiente sesión. Las fases tres y cuatro hacen referencia, respectivamente, a la transcripción de todos los vídeos correspondientes a las sesiones de trabajo y al análisis de vídeos y de las hojas de trabajo en los cuales había evidencias de los procesos de resolución de las tareas sobre generalización de patrones. (Vergel,2016, p.25). 31.

(33) Posterior a la fase 1 Diseño de tareas y pilotaje. METODOLOGÍA Recolección de los datos Cuatro fases. Las clases 1. Grabación en video. Discusiones grupales. 2. Obtención de hojas de trabajo. Al finalizar cada sesión. 3. Transcripción de los videos. Videos. 4. Análisis. Hojas de trabajo Transcripciones Diario de campo. Ilustración 4: Fase de recolección de información (Vergel, 2016).. Se debe resaltar que el análisis de los datos se dará a la luz de la teoría recolectada en el marco teórico, prestando especial atención a los medios semióticos de objetivación movilizados por los estudiantes, con el fin de centrar nuestra atención en la evolución de las fórmulas corpóreas. Para la elaboración de las tareas se tuvo en cuenta una fase de pilotaje realizada con 5 estudiantes de grado tercero de un colegio privado en Bogotá. En el propósito de la tarea se encontraba la discusión en grupos de trabajo, sin embargo los estudiantes trabajaron de manera individual y posteriormente socializaron sus respuestas. Con la aplicación del pilotaje se esperaba observar la emergencia de algunos medios semióticos de objetivación y el transcurso por los tres problemas de la generalización. Elaboración de tareas y pilotaje Las tareas que se plantearon estaban relacionadas con la generalización de patrones, las tareas 1 y 2 son tareas de patrones figurales con apoyo tabular. La tarea 1 es tomada y. 32.