Enunciado KELVIN-PLANCK
Establece que es imposible construir un dispositivo que funcionando en forma cíclica su único efecto sea convertir completamente en trabajo todo el calor procedente de una fuente térmica. Una fuente térmica es un sistema tan grande que cualquier cantidad finita de energía que se extraiga de ella o se le suministre no afecta su temperatura, frecuentemente el aire de la atmósfera, un río, un lago o el océano se pueden considerar como fuentes térmicas.
Es necesario que Ud. entienda bien el alcance de este enunciado, se expresa como una negación no es posible transformar completamente el calor en trabajo. Si esto es así, ¿qué fracción de la energía en forma de calor se convierte en trabajo?, ¿qué pasa con la energía que no se utiliza en este proceso?
Para responder a estos interrogantes precisemos que un dispositivo que utiliza el calor para la generación de trabajo se conoce como máquina térmica, la revolución industrial y los posteriores adelantos tecnológicos en los medios de producción y el transporte, tuvieron su inicio en las primitivas máquinas de vapor.
En forma simplificada y esquemática toda máquina térmica recibe calor procedente de una fuente térmica y mediante un proceso cíclico parte de ese calor se convierte en trabajo y la otra parte se transfiere a una nueva fuente térmica a más baja temperatura según se ilustra en la figura 74. Qc representa el calor transferido a la máquina desde la fuente a temperatura alta Tc y Qf el calor que no se convierte en trabajo y que es transferido a la fuente a la temperatura más baja Tf. W representa el trabajo producido durante el ciclo termodinámico mediante el cual funciona la máquina.
Figura 74: Máquina térmica
En general la eficiencia de cualquier proceso se expresa por la relación entre el producto obtenido y los recursos invertidos en el proceso. Ahora, aplique este concepto para determinar la eficiencia de una máquina térmica. El producto de la máquina es el trabajo que realiza durante un ciclo y el recurso necesario es el calor procedente de la fuente de alta temperatura. Entonces la eficiencia de una máquina térmica se puede expresar mediante la relación
c
Q
W
Ecuación 159 donde η = eficiencia de la máquina térmica
W = trabajo realizado por la máquina durante un ciclo
Qc = magnitud del calor transferido entre una fuente de alta temperatura Tc y la máquina térmica
Al aplicar la primera ley se obtiene
f
c Q
Q W
Ecuación 160
Donde Qf = magnitud del calor transferido entre la máquina térmica y una fuente de
baja temperatura Tf
Remplazando W en la ecuación 159 se puede establecer otra ecuación muy útil para determinar la eficiencia de una máquina térmica
c f c f c Q Q Q Q Q 1 Ecuación 161
Observe que la segunda ley establece que Qf nunca puede valer cero lo que equivale a
decir que una máquina térmica nunca puede tener un ciento por ciento de eficiencia. Entonces, ¿cuál será la máxima eficiencia que puede tener una máquina térmica? La respuesta a este interrogante la formuló el ingeniero francés Nicholas Leonard Sadi Carnot.
TRANSFORMACIONES CÍCLICAS CON DOS FOCOS TÉRMICOS
Al no poder extraer trabajo de un motor con un proceso cíclico monotérmico, conviene plantear la posibilidad de colocar nuestro sistema termodinámico (motor) entre dos focos caloríficos y examinar de qué forma podemos construir nuestro ciclo para extraer trabajo.
Los focos térmicos que se van a considerar los designamos como F1, y F2 con sus respectivas temperaturas T1 y T2 y con la condición de T1 > T2 Las cantidades de calor intercambiadas con el sistema termodinámico (motor) son Q1 y Q2 respectivamente.
Nuevamente debemos partir del análisis de la primera ley de la termodinámica para el sistema en un proceso cíclico.
∆U = Q + W; por ser un ciclo: ∆U = 0 = Q + W
Así, la cantidad de calor Q que aparece en nuestra ecuación será la suma algebraica, Q = Q1 + Q2, proveniente de los dos focos caloríficos. La ecuación para el ciclo nos queda: Q1 + Q2 + W = 0
Esta última ecuación debe ser reordenada, de acuerdo con nuestra intención, esto es que el sistema termodinámico produzca trabajo. En consecuencia, el signo de W es negativo así podemos reescribir la ecuación:
dadas por las alternativas que ofrezcan los signos de las cantidades Q1 y Q2. Veamos cuales son estas alternativas:
Los valores de Q1 y Q2 son positivos (Q1 > 0 y Q2 > 0). Por consiguiente los dos focos caloríficos F1 y F2 ceden calor al sistema. Estos dos focos caloríficos pueden ser sustituidos por un solo foco calorífico, F3, que ceda la cantidad de calor correspondiente a la suma Q1 más Q2. Esta simplificación convierte este proceso en una transformación cíclica monotérmica, analizada en la sección anterior por el enunciado de Kelvin-Planck y cuyo resultado nos dice que el sistema no puede realizar trabajo sobre los alrededores.
Para el caso de Q1 < 0 y Q2 > 0 y de │Q2│> │Q1│. La construcción de este motor implicaría, en un balance general, el traslado de calor de un foco frío de temperatura T2 a un foco caliente de temperatura T1 y además, la realización de trabajo por parte del sistema sobre los alrededores.
En la experiencia real estos dos procesos no se dan simultáneamente: no es posible que nuestro sistema, de manera espontánea, pase calor de una fuente fría a otra caliente y realice un trabajo sobre los alrededores.
La última posibilidad que nos queda es: Q1 > 0 y Q2 < 0 con la condición de: > l°21 Este es el último caso por analizar y es el único posible para construir un motor térmico.
La diferencia entre el calor absorbido del foco F1 y el calor cedido al foco F2 es Q1 - Q2, es convertida totalmente en trabajo, -W, que se ejerce sobre los alrededores. En este proceso es necesario tener dos focos térmicos con diferentes temperaturas, para que espontáneamente el motor térmico tome calor del foco caliente y lo ceda al foco frío.
En esta máquina térmica que acabamos de diseñar, nos interesa conocer la eficiencia con la cual transforma la energía que recibe. La eficiencia de la máquina será el cociente entre el calor absorbido Q1, y el trabajo realizado, W. La eficiencia o rendimiento térmico es representada por η. Así, nos queda que:
1
Q
W
, eficiencia térmica de la máquina Ec. 5
PROBLEMA RESUELTO
En el diagrama que se muestra a continuación aparece representado un refrigerador térmico que tiene las siguientes condiciones de operación:
T1 > T2 y Q2 = -Q1
Aplique la primera ley al proceso y diga si se puede diseñar una máquina que cumpla con el flujo de energía que se presenta en el esquema.
FIGURA 35
SOLUCIÓN
La primera ley de la termodinámica nos dice que: ∆U= Q + W
En el caso que estamos estudiando en el esquema, no parece que el sistema termodinámico o motor reciba o ceda trabajo a los alrededores, luego W = 0 y ∆U = Q; en donde Q es la variación de calor:
Q1 – Q2 (calor ganado menos calor cedido).
Como Q2 = Q1 nos queda que ∆U = 0. El motor térmico no sufre cambio en su energía interna.
El efecto neto de proceso ejecutado por el sistema sería el de llevar calor de una fuente fría F2 a una fuente caliente F1, lo cual no es posible.
Como respuesta al problema se puede concluir que la variación de energía interna para el motor térmico es nula y que dicho motor no se puede construir, no es un motor real.
EL CICLO DE CARNOT
El resumen de los conceptos expuestos en los dos numerales anteriores nos lleva a concluir que: en todo proceso cíclico donde se pretenda realizar un trabajo sobre los alrededores, son necesarios dos focos térmicos con diferentes temperaturas; y, que la diferencia entre el calor absorbido y el cedido se transforma en trabajo.
Con estas dos premisas se puede elaborar el modelo de una máquina térmica. Desde el punto de vista histórico, la primera máquina que se desarrolló fue la llamada máquina de Carnot.
Hay que dejar claramente establecido que esta máquina es un modelo netamente teórico, en donde no tienen cabida los fenómenos propios de la vida real, como son la fricción, la radiación de calor, etc., y en consecuencia se debe tomar en cuenta únicamente, los fundamentos termodinámicos del proceso en el cual se basa la máquina de Carnot.
El proceso cíclico de la máquina de Carnot se conoce como el ciclo de Camot y su fundamento es el siguiente: trabaja con dos focos de diferente temperatura T1 y T2 y el proceso es totalmente reversible; esto exige que la ganancia y la cesión de calor sigan una trayectoria isotérmica y que el paso entre un foco y otro sea una trayectoria adiabática. El instrumento físico para estudiar el ciclo de Carnot será un gas Ideal encerrado dentro de un cilindro con un pistón móvil. Como se habla de realizar un trabajo, es decir, de realizar una variación en las propiedades termodinámicas de presión y volumen, es lógico escoger el diagrama P-V para representar el ciclo de Carnot.
El ciclo de Carnot tiene las siguientes etapas:
a) Punto 1 2. Expansión isotérmica a la temperatura T1: calor absorbido Q1 >0. b) Punto 2 3. Expansión adiabática de T1 a T2. Variación de calor Q = O
c) Punto 3 4. Compresión isotérmica a la temperatura T2: calor cedido Q2 < 0. d) Punto 4 1. Compresión adiabática de T2 a T1. Variación de calor Q = O.
El ciclo de Carnot representado en los pasos sucesivos del mecanismo propuesto por las trayectorias termodinámicas se muestra en la figura 37.
FIGURA 37
Representación gráfica de un pistón que sigue la trayectoria del ciclo de Carnot, en donde se muestra la variación de las propiedades termodinámicas, de calor y de trabajo, para
La explicación de los pasos que constituyen el ciclo es la siguiente:
a) El pistón que encierra el gas a P1, V1 se desplaza cuando absorbe calor Q1 del foco que está a la temperatura T1 (trayectoria isotérmica T1). El desplazamiento se efectúa hasta llegar al punto 2 (P2, V2).
b) En este momento se quita el contacto diatérmico con el foco y el pistón, por efecto de la inercia, continuará haciendo su expansión, pero en este caso adiabática (sin intercambio de calor) hasta llegar al punto 3 (P3, V3). Es obvio que la expansión adiabática ocasiona una disminución de la energía interna del gas, produciendo una disminución de la temperatura del mismo al llevarla de T1 a T2.
c) En el punto 3 el cilindro se pone en contacto con el foco a temperatura T2 y lentamente este le va quitando calor, Q2 lo que se traducirá en una compresión isotérmica, esto es en una reducción de volumen para llevarlo al punto 4 (P4, V4).
d) La inercia que trae el pistón al llegar al punto 4, es aprovechada para retirar el foco de T2 y hacer una compresión adiabática Q = O, la cual se traducirá en un aumento de energía interna ∆U manifestada por el paso de la temperatura T2 a T1, punto en el cual el sistema termodinámico vuelve a las condiciones iniciales y completa su ciclo.
Después de estudiar el ciclo nos queda por calcular la cantidad de trabajo realizado por el sistema hacia los alrededores. Obviamente la diferencia de energía, calor ganado menos calor cedido, será la cantidad de trabajo -W realizada por el sistema o motor térmico. Por consiguiente, tenemos:
Q = Q1 – Q2
Luego –W = Q1 – Q2 =
PdV
El rendimiento térmico de la máquina:
1 2 1 1
Q
Q
Q
Q
W
Ec.6Para el caso particular de un gas ideal la ecuación 6 puede ser expresada en función de las temperaturas T1 y T2 de los focos térmicos.
La ecuación 6, del rendimiento térmico de la máquina, las cantidades Q1 y Q2 pueden expresarse en función de los volúmenes iniciales y finales para cada uno de los procesos. Así, tenemos:
Q1 = W1 = n.R.T1 Ln (V2/V1) Q2 = W2 = n.R.T2 Ln (V2/V1) y reemplazando en η (ecuación 6)
En esta última ecuación el rendimiento térmico de la máquina es una función de las temperaturas de las trayectorias isotérmicas T1 y T2 y de los volúmenes V1, V2, V3, y V4, en los cuales se interceptan las trayectorias isotérmicas y adiabáticas.
Dividiendo miembro a miembro en estas dos ecuaciones: 4 3 1 2
V
V
V
V
Ec. 8Reemplazando en la ecuación 7 los volúmenes hallados por la relación de volúmenes de la ecuación 8, y efectuando las debidas simplificaciones, nos queda:
1 2 1 1 2 1
T
T
T
Q
Q
Q
Ec.9La aclaración que debe hacerse a la ecuación 9, es que las temperaturas deben expresarse en grados Kelvin.
Existen numerosas máquinas cuyo intercambio energético puede estudiarse tomando como modelo el ciclo de Carnot. Para un ejemplo de la vida práctica, basta considerar la carga y la descarga de una pila recargable (proceso reversible), con sus trayectorias adiabáticas e isotérmicas, o bien, el funcionamiento de la máquina de vapor donde se tiene la isoterma de la caldera; en donde se produce el vapor por calentamiento de agua (temperatura mayor); y la isoterma del condensador de menor temperatura; los procesos adiabáticos en la máquina de vapor corresponden a las llamadas carreras de trabajo que realiza el pistón para mover la rueda de la misma.
PROBLEMA RESUELTO
En la construcción de una máquina térmica se utilizaron dos focos compuestos por una masa de agua a diferentes temperaturas. El foco caliente tiene agua a 80°C, mientras que en el foco frío la temperatura es de 30°C. Calcule cuál sería el rendimiento total de la máquina térmica hasta cuando la temperatura del foco caliente sea igual a la temperatura del foco frío.
SOLUCIÓN
La situación que aquí se plantea es diferente a la que se ha expuesto en el ciclo de Carnot. En dicho ciclo las temperaturas de los focos permanecen constantes, con el objeto de simplificar los cálculos. En el problema planteado, dicha diferencia de temperatura no es constante. La cesión de calor del foco caliente al sistema, lo va enfriando paulatinamente a aquel, a medida que efectúa dicha cesión de calor.
En este ciclo el rendimiento siempre será una función de las temperaturas de los focos caliente y frío. De esta manera podemos comprender cómo a medida que se cede el calor va disminuyendo la temperatura del foco caliente, hasta llegar a la temperatura del foco frío, momento en el cual se detiene la máquina ya que no puede extraer más energía. Por supuesto, hay que hacer la aclaración de que la masa del foco frío es tan grande que el calor proveniente del sistema no altera su temperatura.
FIGURA 38
SOLUCIÓN MATEMÁTICA
El rendimiento en cada ciclo de Carnot viene expresado por la ecuación 9:
1 1 2 1
Q
W
Q
Q
Q
En cada pequeño ciclo en donde se varíe infinitesimalmente el calor cedido al sistema la ecuación que nos presenta esta alteración será:
δW = η . δQ
En donde el rendimiento η estará expresado por las temperaturas T y T2 que se van representando en cada momento, luego:
Q
.
T
T
T
W
2El reemplazo que debe hacerse aquí, será buscar una ecuación en la cual el calor sea una función de la temperatura:
Q = m.Cp.∆T, y así: δQ = m.Cp.dT
Luego nos queda:
dT
.
Cp
.
m
.
T
T
T
W
2El trabajo total, W, realizado será la integral de la ecuación antes expuesta, cuyos límites de integración serán las temperaturas T1 y T2 iniciales. Teniendo en cuenta que es un proceso de enfriamiento: 2 1 T T P 2 1
dT
.
C
.
m
.
T
T
T
W
dT . C . m . T T 1 W T P T 1 2 1 2 2 1 2 P 2 1 P T T Ln . T . C . m T T C . m W
El calor cedido por el foco caliente es: Q = m.Cp. (T1 – T2)
Por consiguiente el rendimiento total, ηt, para la máquina térmica es:
2 1 P 2 1 2 P 2 1 P t
T
T
.
C
.
m
T
T
Ln
.
T
.
C
.
m
T
T
C
.
m
Q
W
303 353 Ln . 50 303 1 T T Ln . T T T 1 Q W 2 1 2 1 1 t07
.
0
93
.
0
1
tEl rendimiento total para la máquina térmica expresado en porcentaje será de un 7%. Como se podrá observar el rendimiento es muy bajo y la máquina así diseñada sólo tiene interés para el estudio teórico.
Cuando se quiera averiguar el rendimiento de una máquina térmica dada, éste nunca podrá sobrepasar el valor del rendimiento de la máquina de Carnot. La razón es muy sencilla: la serie de simplificaciones que se hacen en su construcción obliga a pensar que cualquier máquina real comparada con ella tendrá una serie de pérdidas de energía debidas a fricción, disipación térmica, escape de gases, etc., que hacen que la energía disponible para efectuar trabajo sea menor y de ahí, su rendimiento también será menor.
El efectuar estos cálculos y compararlos con la máquina de Carnot nos permite conocer qué tan bien está construida la máquina, en la medida que su rendimiento se acerca al de la máquina de Carnot.