XVIII Estructuras biológicas raras La sabia evolución
XX. Seguridad y catástrofe E L COMPORTAMIENTO de un sistema complejo, al que en general
rigen leyes no lineales, puede entenderse, como vimos, en tér- minos de regiones periódicas y de regiones caóticas. En el ca- pítulo VIII estas regiones quedan delimitadas por valores pre- cisos de los parámetros característicos del sistema. En el ejemplo tratado en el capítulo VIII, el sistema está representado por un solo parámetro, q. En la figura 19 podríamos colorear los valo- res de q que dan lugar a un comportamiento periódico con un color, rojo, por ejemplo, y con otro, azul digamos, los valores de q que dan un comportamiento caótico.
Sin embargo, en muchos sistemas no es uno sino varios los parámetros que lo conforman. En este caso, el comportamien- to es similar al que estudiamos, pero hay una diferencia. El he- cho de que haya varios parámetros hace que la frontera entre un tipo de comportamiento, periódico, y otro, caótico, no sea tan fácil de definir. Para aclarar lo que ocurre, supongamos que un sistema está regido por una ecuación no lineal, similar a la ecuación (6) del capítulo VIII, que tenga dos parámetros, que llamaremos p y r. Procediendo de manera análoga a como se hizo en el capítulo VIII, dados valores específicos de py r, por ejemplo p = 2.1 y r = 0.43, se obtendría el tipo de compor- tamiento que sigue este sistema. Si se cambian los valores py r (equivalente a cambiar el valor de q) se vuelve a encontrar el tipo de comportamiento, y así se continúa para todas las posi- bilidades de p y de r.
Podemos presentar los resultados de este procedimiento de la forma siguiente: consideremos dos ejes perpendiculares (fi- gura 41) en los que uno de los ejes, el horizontal, marque los valores de p, y el vertical los de r. Para un conjunto de valores de p y de r dados (en la figura, para el valor p = a y r=b) marca- mos el punto P. Ahora bien, si este par de valores de los pará- metros da como resultado un comportamiento periódico del sistema, entonces el punto P lo marcamos de negro, por ejem- plo. Si el comportamiento del sistema para esta pareja de valo-
Figura 41. Gráfica para el caso en que haya dos parámetros que describan el sistema.
res resulta ser caótico, entonces marcamos el punto P con otro tono, blanco, por ejemplo. De esta manera se obtiene una figu- ra como la de la figura 42. Observamos que las regiones blan- cas y negras están entremezcladas.
Si quisiéramos ver en detalle la frontera entre una región negra y una blanca adyacente, esto es, si amplificáramos la re- gión encerrada en la figura 42, obtendríamos lo que se ve en el figura 43; si ahora amplificáramos cualquier región de la fi- gura 43, se encontraría una figura similar a la figura 43. Conti- nuando de esta manera, al ir yendo a escalas cada vez más pe- queñas se muestra la gran complejidad de la separación entre dos regiones adyacentes, la negra y la blanca. De hecho, se puede uno dar cuenta de que al cambiar de escala hay simili-
tud en las figuras que se van obteniendo. Por tanto, estas figu- ras son fractales.
Si el sistema estuviera regido por más de dos parámetros, la representación de lo que ocurre ya no la podríamos hacer
Figura 42. Las regiones negras corresponden a valores de los parámetros para los cuales hay un comportamiento estable. Las regiones blancas corres- ponden a comportamientos caóticos.
Figura 43. Amplificación de la zona encerrada en la figura 42.
en dos dimensiones, sino en un número mayor, cosa que no haremos.
Consideremos como ejemplo de un sistema complejo la red eléctrica de una región del país. Este sistema es oscilatorio y un gran problema es saber lo que le ocurre si por algún moti- vo se presenta una perturbación, como puede ser alguna varia- ción en el voltaje o la falla de una parte del sistema.
Cuando el sistema está funcionando en forma estable, los valores de los parámetros tendrán ciertos valores a los que co- rresponderá un punto en una región como la negra de la figu- ra 42, que llamamos Q. Si ocurre alguna perturbación en la
red, entonces los valores de los parámetros cambian y por tan- to el punto Q ya no describe al sistema perturbado, sino que será otro punto el que lo represente, digamos el T. Si éste cae dentro de una región negra, entonces bajo los efectos de la perturbación, el sistema seguirá funcionando de forma perió- dica, será estable. Pero ¿qué ocurre si el punto T cae en una región blanca? En este caso el comportamiento del sistema se- rá caótico y habrá problemas.
Si el comportamiento del sistema está representado por grá- ficas análogas a las de las figuras 42 y 43, entonces una peque- ña variación en los parámetros p y r puede pasar al sistema de una región negra (estable) a otra blanca (caótica), que esté en su vecindad. Nótese que los puntos de una región negra están muy cercanos, de hecho entremezclados, a los de las regiones blancas.
En general, el dominio en el cual un sistema complejo se comporta de manera estable se adivina a partir de un conjunto pequeño de datos. En el funcionamiento cotidiano de estos sistemas, el comportamiento se extrapola de modo que cubra una variación muy estrecha de valores de los parámetros. Sin embargo, esta extrapolación no está completamente justifica- da. ¿Qué ocurre si al extrapolar se pasa de una región negra (estable) a una blanca (caótica)? Nótese que una pequeña variación puede cambiar completamente el comportamiento del sistema.
Un problema que debe tratarse al considerar el diseño de un sistema no lineal, como la red eléctrica, es poder conocer con detalle la frontera entre las regiones estables (negra) y caótica (blanca), la frontera entre la calma y la catástrofe. Den- tro de los sistemas conocidos esta frontera todavía no se cono- ce con exactitud. Este problema es abierto. Es claro que, una vez conocida esta frontera, se podrá saber a ciencia cierta cuán- do los comportamientos serán seguros y se podrán tomar las providencias necesarias para evitar caer en una región caótica.