de los fractales y del caos, que tienen aplicación en varios cam- pos del conocimiento: la física, la biología, la ingeniería, la mú- sica y la lingüística entre otros. Estas han abierto la posibilidad de entender fenómenos que con anterioridad no habían sido tratados satisfactoriamente. Esta gama de fenómenos se com- porta en formas análogas. Un hecho interesante es que hay una aparente universalidad en la descripción de fenómenos que son de distinta naturaleza. Se ha descubierto que los deta- lles particulares de los fenómenos no tienen gran importancia.
Un hecho interesante es que muchos de los elementos ne- cesarios para el desarrollo de las teorías de los fractales y del caos ya se tenían desde hace más de un siglo por lo menos. Sin embargo, los pocos científicos que algo vislumbraron no tuvie- ron eco y sus ideas quedaron en el olvido.
Una característica común a los fenómenos estudiados —pro- venientes de distintas ramas del conocimiento— es que se tra- ta de fenómenos no lineales. Éste parece ser el punto crucial. Todos los fenómenos no lineales tienen un comportamiento que muestra, en ciertas circunstancias que analizamos con de- talle, el caos. En consecuencia, una vez que se analiza un caso, sus resultados nos permiten conocer importantes propiedades cualitativas de otros casos.
No hemos podido presentar una revisión de todos los casos en que se han aplicado las ideas de fractales y de caos. La varie- dad de aplicaciones es considerable y crece día con día, de modo que no es posible incluirlas todas. Sin embargo, hemos tratado un gran número de situaciones muy diferentes y toda- vía hay mucho por hacer en este campo.
La manera novedosa de tratar los fenómenos que hemos re- señado en el libro consiste en estudiar sus características en términos de los valores que pueden adquirir los parámetros del sistema. Esta forma de análisis global ha permitido descu- brir que para ciertos valores de estos parámetros el comporta-
miento es estable mientras que para otro conjunto de valores es caótico.
Las ideas desarrolladas acerca de los fractales y del caos tie- nen gran importancia, no sólo conceptual sino de aplicación práctica, por ejemplo, en la hidrodinámica y la aviación, en la economía y la bolsa de valores, y en muchos otros casos.
Un elemento de importancia vital para el desarrollo que he- mos presentado ha sido la moderna computadora digital. Con su ayuda es que se ha podido extraer el contenido de fractales y de caos de las distintas situaciones.
La creación de los nuevos métodos para tratar los fenóme- nos que hemos considerado ha dado oportunidad de que se haya producido un trabajo interdisciplinario entre matemá- ticos, físicos, químicos, ingenieros, economistas, músicos, médi- cos, biólogos, que han realizado con gran motivación. De esta manera se han obtenido logros considerables.
La utilización de las ideas de fractales y de caos ha tenido mucha repercusión en la descripción de fenómenos muy com- plejos. En particular, la geometría fractal ha resultado ser la que describe, posiblemente, la mayoría de los objetos que hay a nuestro alrededor, en contra de la idea que se tenía durante siglos de que las formas más comunes son las descritas por la geometría euclidiana. ¡Éstas han resultado ser las excepciones!
De la misma manera, el caos parece estar en todos lados: en la columna de humo de un cigarrillo, en el clima, en el movi- miento de los automóviles, en las avenidas de alta velocidad, en los seguros, en la teoría política, en astronomía. El caos ha eliminado barreras y fronteras entre disciplinas. El caos es una ciencia de la naturaleza global de los sistemas.
Hemos considerado el análisis de situaciones que pueden parecer raras o, más bien, poco familiares. Sin embargo, vién- dolas con mayor detenimiento resultan ser de gran simplicidad.
Es así que hemos presentado una vista panorámica de un tema que está causando una revolución en el pensamiento científico contemporáneo: el de los fractales y del caos.
ÍNDICE I. INT R O D U C C I Ó N ... 7 I I. LA G E O M E T R Í A E U C L I D I A N A. LO Q U E N O S E N- SEÑARON EN LA ESCUELA ... 11 III. EJE M P L OS DE A LG U N AS C OS AS R AR AS ... 12 I V. A V E CE S SE E S T Á M I R A N D O A L G O P E R O N O SE V E. ALG U N O S C A S O S HI ST ÓR IC O S ... 18 V. L OS FR AC TA LES. N UE VA S DIM E N SI ON A LI DA D ES . 23 V I. M Á S S O BR E F R A C T A LE S. S IM I L I T U D ... 34
VII. CON DI CI O NE S INI CIA LE S Y S U I M P O RT A N CI A . . 36
VIII. CAO S.FEN ÓM E N O S NO L INE AL E S ... 42
IX. MÁS S OB RE C AO S ... 54
X. ¿DE T E R M I N I S M O O I N D E T E R M I N I S M O?PR E D I C T I- BILIDAD ... 57
XI. SIM I LI T U D Y C A OS ... 64
XII. ARITM ÉT IC A.LA SECUE N CIA D E FIB ON ACCI . . . 66
XIII. CUASICRISTALES ... 74
XIV. LEY E S DE P OTE NCI AS.OTR A F U EN TE D E AU T O SIM I- LIT U D ... 85
XV. LA SIMILITUD EN LA MÚSICA.CÓMO USÓ BACH LAS LEYES DE POTENCIAS DE LAS QUE JAMÁS OYÓ
HABLAR ... 87
XVI. LA T URB UL E NCI A E N LO S F LU I D O S ... 92
XVII. ACE R CA DE L OS C IC L O S BIO L Ó GIC O S.EL CA S O D EL CO RA ZÓ N.EL C AO S SA LU DA BL E ... 96
XVIII. ES T RUC T UR A S BI OL Ó G I CA S RA R AS.LA SA BI A E V O- LUCIÓN Y LOS FRACTALES ...101
XIX. EL D IS E Ñ O D E ES T R U CT UR A E N L A IN G E N I E RÍ A . 104 XX SE G U R I D A D Y C AT Á S TR O F E ... 116 XXI. EL CA OS O RD EN A L A LI NG ÜÍS T ICA.LA LE Y DE ZIP F 121 XXII. EC O N O M Í A.¿ES P O S I B L E G A N A R E N L A B O L S A D E VALORES? ... 123 XXIII. LA C O M P O S I C I Ó N D E M A P A S.RE L I E V E S Y L Í N E A S COSTERAS ... 131 XXIV ¿DU RA RÁ E L SIS T EM A SO L AR? ...133 XXV. LOS ASTEROIDES ...137
XXVI. LOS TROPIEZOS DE HlPERIÓN ...143
XXVII. ¿Y QUÉ OCURRE CON LOS PLANETAS? ... 147