Si bien el crecimiento inicial de las perturbaciones en el campo de densidades puede estudiarse haciendo uso de herramientas te´oricas, la evoluci´on subsecuente, altamente no lineal, no puede ser descripta anal´ıticamente. El colapso de las fluctuaciones y la construcci´on jer´arquica de las estructuras, puede s´olo estudiarse a trav´es de simulaciones que resuelven las ecuaciones de movimiento de forma num´erica.
Como se ha mencionado anteriormente, el modelo m´as favorable es el modelo de materia oscura fr´ıa. La materia oscura fr´ıa puede ser descripta como un fluido no relativista y no colisional de part´ıculas de masam, posici´on r y momentop. La funci´on densidad de probabilidad, f(r,p, t), asocia cada punto en el espacio de las fases con un vector de seis dimensiones a un dado tiempo, dando el n´umero de part´ıculas de materia oscura con posiciones comprendidas entrexyx+dx,yyy+dy,zyz+dz, y componentes del momento comprendidas entrepx y px+ dpx,py y py + dpy, pz y pz+ dpz.
En un Universo que se expande (usualmente descripto por un modelo Friedmann- Lemaˆıtre) con un factor de escala a = (1 +z)−1, r es la posici´on com´ovil y la funci´on
1.3 Simulaciones Num´ericas Cosmol´ogicas
densidad de probabilidad en el espacio de las fases del fluido de materia oscura, puede ser descripta por la ecuaci´on no colisional de Boltzmann (o Vlasov)
df dt = ∂f ∂t + p ma2∇f−m∇Φ ∂f ∂p = 0 (1.22)
donde Φ es el potencial gravitacional, que se obtiene de resolver la ecuaci´on de Poisson
∇2Φ(r, t) = 4πGa2[ρ(r, t)−ρ(t)]¯ (1.23) siendo ¯ρ(t) la densidad media y G la constante de gravitaci´on. La densidad de masa ρ(r, t) se obtiene de integrar la funci´on de distribuci´on sobre los momentos p=ma2r˙
ρ(r, t) =
Z
f(r,p, t)d3p (1.24) Este conjunto de ecuaciones multidimensional es resuelto usualmente usando un con- junto discreto de N part´ıculas trazadoras de la materia oscura, que s´olo pueden inter- actuar gravitacionalmente. En coordenadas com´oviles, la soluci´on se encuentra a trav´es de resolver la ecuaci´on de movimiento de las part´ıculas
dp dt =−m∇Φ (1.25) y dr dt = p ma2 (1.26)
En t´erminos de la velocidad peculiar v=a˙r, estas ecuaciones pueden escribirse como dv dt +v ˙ a a =− ∇Φ a (1.27)
donde la derivada con respecto al tiempo del factor de expansi´on, puede obtenerse de la ecuaci´on de Friedmann, asumiendo ω = −1 para la ecuaci´on de estado de la energ´ıa oscura (equivalentemente constante cosmol´ogica Λ), seg´un
˙ a =H0
q
1 + ΩM(a−1−1) + ΩΛ(a2−1) (1.28)
Un c´odigo de N-cuerpos consiste de dos fases b´asicas, en una se calcula el campo de fuerzas ejercido por una configuraci´on dada de part´ıculas, mientras que en la otra las part´ıculas son desplazadas de acuerdo al c´alculo obtenido en la fase anterior. Las aproximaciones b´asicas desde donde se puede atacar el problema deN-cuerpos consisten en resolver directamente el movimiento de las part´ıculas o resolver la ecuaci´on de Poisson.
Entre los m´etodos m´as usuales se puede mencionar: Suma directa, M´etodo ´Arbol (oTree Code), M´etodo ”Particle-Mesh”, H´ıbridos (TreePM/P3M).
En este tipo de simulaciones cosmol´ogicas, el volumen V donde evolucionan las part´ıculas de materia oscura no puede considerarse aislado en el Universo, por lo que la regi´on fuera de los l´ımites geom´etricos del mismo, debe dar cuenta del campo de densidades con alg´un m´etodo. Considerar que existen l´ımites peri´odicos es la ´unica soluci´on viable a este problema, lo cual por otro lado, exige naturalmente que el volumen que contiene a las part´ıculas sea un cubo.
El tama˜no del volumenVsumado al n´umeroNde part´ıculas en esta representaci´on de sistema de N-cuerpos, determinan las resoluciones en masa y espacial de la simulaci´on.
1.3.1 Condiciones Iniciales
Para crear las condiciones iniciales a partir de las cuales comienzan a evolucionar las es- tructuras en una simulaci´on cosmol´ogica deN-cuerpos, se debe primero elegir un modelo cosmol´ogico y luego reproducir las perturbaciones que dar´an lugar a las fluctuaciones de densidad iniciales.
Un modelo de universo temprano, que puede considerarse como generador de los mecanismos responsables de las perturbaciones iniciales es el deInflaci´on[Guth (1981)], el cual predice fluctuaciones de densidad gaussianas. En una descripci´on gaussiana, las fluctuaciones a un dado redshift inicial est´an completamente determinadas por una s´ola funci´on, el espectro de potencias P(k), descripto anteriormente. Para crear condiciones iniciales, suele utilizarse un reticulado cartesiano de tres dimensiones, conN divisiones o ”grides” por dimensi´on. Cadagridubicado en (x, y, z) se encuentra un´ıvocamente aso- ciado con un vector (nx, ny, nz). Este reticulado determina entonces el conjunto de pun-
tos discretosk, en los que el espectro de potencias P(k) tomar´a valores. Una vez elegido el espectro de potencias de acuerdo al modelo, se procede a calcular las fluctuaciones en densidad (ecuacion 1.17) en el espacio-k,δk, las cuales corresponden a un valor com-
plejo con amplitud A y fases θ aleatorias. La gaussianidad del campo de fluctuaciones, radica en el hecho que las amplitudes poseen una distribuci´on gaussiana con una media P(k). Un m´etodo para lograr las caracter´ısticas mencionadas anteriormente, consiste en generarθ aleatoriamente en el intervalo [0,2π], y A tal que
1.3 Simulaciones Num´ericas Cosmol´ogicas
con R elegido aleatoriamente de una manera uniforme en el intervalo [0,1]. As´ı, puede obtenerse
δk =Aeiθ (1.30)
para luego, aplicando la transformada de Fourier sobre los valores de δk, obtener las
fluctuaciones de densidades, δr, en cada grid espacial del volumen de la simulaci´on.
Usando la ecuacion 1.17, puede obtenerse la densidad f´ısica de materia como
ρDM(r) = (1 +δr)¯ρDM (1.31)
donde ¯ρDM es la densidad media de materia oscura en la simulaci´on. En el r´egimen
lineal las perturbaciones en las densidades de materia oscura y bariones se encuentran acopladas seg´un
ρb(r) =
Ωb
ΩDM
ρDM(r) (1.32)
con Ωb = ¯ρb/ρc y ΩDM = ¯ρDM/ρc igual a los cocientes de la densidad media actual de
bariones y materia oscura con la densidad cr´ıtica, respectivamente.
El contenido de materia en una simulaci´on, es representado por un conjunto discreto de part´ıculas de materia oscura. Para finalizar la creaci´on de las condiciones iniciales, estas part´ıculas, ubicadas homog´eneamente, deben ser perturbadas de modo que reflejen el campo de fluctuaciones de densidades descripto anteriormente. El m´etodo usual consiste en desplazar las part´ıculas usando la aproximaci´on de Zel’Dovich (1970), la cual es una aproximaci´on de primer orden para la evoluci´on gravitatoria, v´alida en un r´egimen donde el contraste de densidad es mucho menor que la unidad.
Siqson las posiciones de las part´ıculas ubicadas homog´eneamente, entonces las posi- ciones que reproducen un determinado espectro de potencias pueden ser escritas de la siguente forma
r =a(t)[q+D(t)Ψ(q)] (1.33)
simplemente derivando con respecto al tiempo se obtiene el campo de velocidades v= a(t)˙
a(t)r−a(t) ˙D(t)Ψ(q) (1.34) dondeD(t) es el factor de crecimiento lineal y Ψes el vector desplazamiento o funci´on perturbadora, independiente del tiempo, que contiene informaci´on acerca del campo inicial de perturbaciones. Este campo es no rotacional y puede ser obtenido a partir de resolver la ecuaci´on de continuidad
∇ ·Ψ=− δr
El primer t´ermino de la derecha de la ecuaci´on 1.33 involucra la expansi´on del Uni- verso, mientras que el segundo da cuenta, a trav´es deΨ, de los movimientos peculiares producidos por las perturbaciones en densidad.