Simulaciones de Monte Carlo

Para confirmar toda la informaci´on obtenida a partir de las aproximaciones anal´ıticas y del c´alculo num´erico del operador de transferencia se han realizado si- mulaciones de Monte Carlo del modelo descrito por el hamiltoniano (5.3), lo cual permite adem´as obtener informaci´on nueva y complementaria a la de los enfoques anteriores. Para ello se ha utilizado exactamente la misma t´ecnica de simulaci´on descrita en el cap´ıtulo 3 para el modelo de sine-Gordon, esto es, templado para- lelo y algoritmo de ba˜no t´ermico para la simulaci´on individual de cada una de las r´eplicas del sistema. Se han realizado distintas simulaciones utilizando sistemas de tama˜no N = 500, N = 1000 y N = 2000, encontr´andose los mismos resultados en todas las simulaciones, tanto en las de distintos tama˜nos como en varias que se han hecho con cada uno de los tama˜nos de sistema. Por simplicidad s´olo se mues- tran resultados de una simulaci´on con N = 1000 y otra con N = 2000. Al igual que en el caso de sine-Gordon, no se ha promediado entre resultados de distintas simulaciones. En la simulaci´on con N = 1000 mostrada han sido necesarias 127 r´eplicas cubriendo un rango de temperaturas entre T = 14 y T = 0.097, en la de N = 2000, 180 r´eplicas entre T = 14 y T = 0.098.

En la figura 5.9 se muestra la energ´ıa interna por unidad de tama˜no del sistema obtenida de las simulaciones. La expresi´on e = T/2 + constante obtenida a partir del modelo de Edwards-Wilkinson para el r´egimen de altas temperaturas coincide perfectamente con los resultados de las simulaciones para T & 10.3, temperatura en la que se observa un cambio en la pendiente de la energ´ıa, se˜nal de la transici´on de fase. En el recuadro se muestra en detalle la regi´on de bajas temperaturas, y se ve que el resultado de las simulaciones coincide bien tanto con la predicci ´on de la ecuaci´on (5.11) para el modelo φ4 _{como con la ecuaci´on (3.45) para sine-Gordon.} Hay que tener en cuenta que hay que sumar una energ´ıa de e = −2 a la predicci´on de esas ecuaciones para tener en cuenta el cambio en el origen de energ´ıas causado por el pozo cuadrado con U0 =−2.

0 2 4 6 8 10 12 14 T -2 0 2 4 6 8 e -1.9-2_{0 0.2 0.4 0.6 0.8 1} -1.8 -1.7 -1.6 -1.5 -1.4 -1.3 -1.2 N=1000 N=2000 φ4 sine-Gordon temperatura alta

Figura 5.9: Energ´ıa interna por unidad de tama˜no del sistema obtenida a partir de simulaciones de Monte Carlo. Las barras de error son del mismo orden que los s´ımbolos empleados. Recuadro: detalle de la regi´on de bajas temperaturas. Las dos aproximaciones te´oricas son indistinguibles en esta escala.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 T 0.5 0.52 0.54 0.56 0.58 0.6 0.62 0.64 0.66 c MC, N=1000 MC, N=2000 φ4 sine-Gordon

Figura 5.10: Detalle de la regi´on de bajas temperaturas del calor espec´ıfico obteni- do a partir de las simulaciones, y comparaci´on con las predicciones te´oricas a bajas temperaturas.

0 2 4 6 8 10 12 14 T 0 500 1000 1500 2000 w2 N=2000 N=1000 0 1 2 3 4 5 6 7 T 0 4 8 12 16 20 0 0.2 0.4 0 0.05 0.1 0.15 Ap. analítica

Figura 5.11: Izquierda: rugosidad al cuadrado en funci´on de la temperatura, obteni- da de las simulaciones. Derecha: detalle de la regi´on de bajas temperaturas. N´otese la coincidencia perfecta de las dos curvas correspondientes a distintos tama ˜nos del sistema en la fase plana. Recuadro: detalle de la regi´on pr´oxima a T = 0, y com- paraci´on con la predicci´on te´orica.

En la figura 5.7 se mostr´o el calor espec´ıfico. Junto con el resultado obtenido del operador de transferencia y el obtenido directamente de las simulaciones, se muestra la derivada num´erica de la energ´ıa interna obtenida en la simulaci´on de N = 2000. La coincidencia entre todos es muy buena, salvo por el pico esp ´ureo que se obtiene a temperaturas bajas en el c´alculo a partir del operador de transfe- rencia, que no aparece en las simulaciones. De hecho, todas las curvas coinciden exactamente excepto en la regi´on de la transici´on de fase, donde hay peque˜nas dis- crepancias. La transici´on es m´as abrupta en la simulaci´on de N = 2000 que en la de N = 1000, como es de esperar debido a los efectos de tama˜no finito. En la figura 5.10 se muestra una ampliaci´on de la regi´on de temperatura baja del calor espec´ıfi- co, junto con las predicciones de las ecuaciones (5.12) y (3.46) obtenidas a partir de los modelos φ4 _{y sine-Gordon, respectivamente. Como ya se hab´ıa argumentado,} la diferencia entre ambas predicciones es peque˜na, y en la gr´afica se observa que el comportamiento asint´otico cuando T → 0 del calor espec´ıfico est´a bien descrito por ambas.

Como una de las verificaciones m´as importantes de la transici´on de fase plano- rugosa, en la figura 5.11 se muestra la rugosidad al cuadrado frente a la tempera- tura. Para temperaturas por encima de la transici´on de fase, la rugosidad depende del tama˜no del sistema y diverge cuando N → ∞, se˜nalando de esta forma que nos encontramos en la fase rugosa. Por debajo de Tc el resultado de los diferentes tama˜nos de sistema coincide perfectamente, por lo que la fase descrita es plana. Vemos en el recuadro de la figura de la derecha el resultado de las simulaciones a bajas temperaturas junto a la predicci´on de la f´ormula (5.18). La comparaci´on no es mala, pero habr´ıa que simular hasta temperaturas mucho m´as bajas para llegar a

0 500 1000 1500 2000 i 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 h_i

Figura 5.12: Configuraci´on t´ıpica de la interfase a temperaturas bajas. La de la figura se ha obtenido de la simulaci´on de Monte Carlo de un sistema de tama˜no N = 2000a T = 0.0981.

un r´egimen en el que el efecto entr´opico de repulsi´on por la pared de potencial fue- se despreciable y la aproximaci´on que lleva a la expresi´on (5.18) tuviese verdadero sentido cuantitativo. Desgraciadamente, el coste computacional de las simulacio- nes aumenta al acercarnos a T = 0, y realizarlas s´olo para comprobar con mayor finura este detalle no nos pareci´o relevante.

Otro detalle interesante de la curva de la rugosidad es el escal´on entre T ≈ 1 y T ≈ 1.5, relacionado con la abrupta aparici´on de escalones en la interfase asociada a la anomal´ıa Schottky de la que ya hemos hablado. Lo que es nuevo en este mode- lo, sin embargo, es la regi´on llana en la curva de la rugosidad entre T ≈ 2 y T ≈ 4. Esta regi´on en la que la rugosidad aumenta lentamente es debida a que, tras el gran aumento asociado a la aparici´on de escalones entre el pozo con m´ınimo en 2π y el pozo con m´ınimo en 0, al seguir aumentando la temperatura la formaci´on de esca- lones se ve frenada por la dificultad de las alturas en tomar valores fuera del pozo cuadrado de potencial. En ese rango de temperaturas, las fluctuaciones de la inter- fase est´an dominadas por los escalones, teniendo las peque˜nas fluctuaciones dentro de cada pozo del coseno un efecto menor. Por lo tanto, hasta que la temperatura del sistema no es lo suficientemente alta como para que la contribuci´on de las fluctua- ciones dentro de cada pozo sea comparable a la contribuci´on de los escalones (lo que implica que de nuevo se pueden formar m´as escalones), no empieza a crecer la rugosidad de forma acusada. Cuando esto ocurre, es porque adem´as se empiezan a formar los primeros escalones entre alturas dentro del pozo del potencial y pozos del potencial del coseno fuera del pozo cuadrado. Todo esto no es pura argumen- taci´on, sino que se puede comprobar f´acilmente observando las configuraciones de la interfase a distintas temperaturas. Como ejemplo, en la figura 5.12 se muestra una configuraci´on en la temperatura m´as baja simulada, comprob´andose que toda la interfase est´a dentro del pozo de potencial con m´ınimo en 2π, como ya se hab´ıa

0.001 0.01 0.1 r/N 1 10 100 1000 C(r)/T T=14.0 (Fase rugosa)

Aproximación de baja temperatura T=3.99

T=1.62

Figura 5.13: Funci´on de correlaci´on de la diferencia de alturas dividida entre la temperatura obtenida de la simulaci´on con N = 2000. Las temperaturas de cada curva son, de arriba a abajo del valor asint´otico en r/N = 0.5: T =14.0, 10.26, 9.53, 8.56, 7.80, 6.90, 1.62, 3.99, 1.12, 0.995, 0.836, 0.697, 0.0981.

deducido a partir del operador de transferencia. Este r´egimen persiste hasta T ≈ 1, donde el salto en la rugosidad indica que empieza a haber alturas en el pozo con m´ınimo en 0.

Finalmente, en la figura 5.13 se muestra la funci´on de correlaci´on de la diferen- cia de alturas dividida entre la temperatura, obtenida a partir de la simulaci ´on con N = 2000. La simulaci´on con otros tama˜nos del sistema produce los mismos resul- tados. Como en el caso de sine-Gordon, todas las curvas correspondientes a tempe- raturas mayores que la temperatura cr´ıtica colapsan en una ´unica curva, siguiendo la predicci´on del modelo de Edwards-Wilkinson. La curva correspondiente a la temperatura m´as alta que no sigue este comportamiento es la de T = 10.26 para la simulaci´on de N = 2000 y la de T = 10.31 para la simulaci´on de N = 1000. Esto, junto con las curvas de la rugosidad y el calor espec´ıfico, nos permite estimar la temperatura cr´ıtica a partir de las simulaciones de Monte Carlo como Tc = 10.3, en completo acuerdo con el operador de transferencia. Se muestra tambi´en en la fi- gura la predicci´on que se ha hecho para la funci´on de correlaci´on asint´otica cuando T _{→ 0. A diferencia de lo que ocurr´ıa en sine-Gordon, ahora las curvas correspon-} dientes al rango inferior de temperaturas simuladas ya no colapsan en una ´unica curva, lo que significa que el r´egimen asint´otico todav´ıa no se ha alcanzado. Por lo tanto, como ya se dijo al hablar de la rugosidad, para comprobar si la aproxi- maci´on hecha es cuantitativamente correcta habr´ıa que recurrir a simulaciones a temperaturas a´un inferiores.

Vemos de nuevo en la funci´on de correlaci´on el efecto sobre el que ya hab´ıamos llamado la atenci´on al hablar de la rugosidad. Entre T = 1.62 y T = 3.99 las fun- ciones de correlaci´on escaladas por la temperatura dejan de crecer mon´otonamente

con la temperatura, invirti´endose en ese rango la tendencia y disminuyendo los valores asint´oticos de las funciones al aumentar T . Esto es debido a que, al igual que vimos con la rugosidad, en ese rango la funci´on de correlaci´on depende muy d´ebilmente de T , por lo que en la funci´on escalada domina la tendencia impuesta por el factor 1/T . Nuestra interpretaci´on de lo observado se ve reforzada por el hecho de que esta inversi´on del comportamiento habitual s´olo se produce por en- cima de cierta escala de longitud, cuantificable en cinco nodos de la red, valor de rpara el cual se cruzan las curvas correspondientes a T = 1.62 y T = 3.99. Por debajo de esa escala, es poco probable encontrar un escal´on en una sucesi´on de cinco nodos consecutivos de la red, por lo que la f´ısica del modelo es casi insensi- ble a la existencia de escalones y la rugosidad a escala local sigue aumentando con la temperatura como efecto del aumento de la magnitud de las fluctuaciones de la interfase dentro de un mismo pozo de potencial.

5.4. El modelo BsG con desorden: la superrugosidad como una