En la etapa infantil, creo que no existe aún propiam ente cálculo, pero hay toda la preparación que, com o sucede con los fundam entos de
un edificio, constituye la base por lo La noción de cantidad es ww que, en cierto sentido, podemos decir que abstracción que se construye a es la parte más im portante. Esta prepa- p a;7/." ;K iu = -.v í■. r.':. :•r /;; / ./; ración es, en general, todo el trabajo de
ia manipulación de objetos. A. iu lógica, y, de manera más específica, con- noción de cantidad no se liega tar objetos, establecer correspondencias a partir de! número escrito, se y relaciones entre cantidades de objetos, y Ucea compara,hi>> crup : la ordenación y clasificación de grupos dife reñir r.inm.w - de ; ..jeto:-.. de objetos teniendo en cuenta su núm e ro de elementos. La práctica en estas ac tividades, y muchas otras prácticas que niños y niñas hacen por su cuenta en la vida diaria, les lleva, de form a natural y arm ónica, a la cons trucción ele la noción de cantidad, aproxim adam ente hacia los seis o siete años.
Es fundamenta! tener en cuenta que a la noción de cantidad no se llega a partir del número escrito, se llega comparando grupos con diferente nú
mero de objetos. La noción de cantidad es La uíquisi.- r ■ ■ / o . > o una abstracción que se construye a partir cantidad y kt realización c de la experiencia, de la manipulación de operaciones han de ir jumas.. objetos, no de la identificación con un son sima (raneas. número escrito o con una expresión cul tura! determinada. La noción de cantidad, tai y como acabamos de definirla, está estrecham ente ligada a la ele opera ción. En efecto, según define Piaget, la noción de cantidad es el convenci miento de que ésta no cambia cuando los elementos cambian de aspecto, de forma o de posición, sino sólo cuando añadimos o quitamos objetos. Por eso la noción de cantidad aparece al mismo tiempo, es inseparable, de la noción de operación, que no es otra cosa que un cambio de cantidad (aña-
dir, quitar, etc.). El hecho de tener adquirida una primera noción de canti dad es lo que, en referencia al cálculo, marca el paso de la etapa infantil a la primaria.
Otro aspecto importante, y que debería mejorarse, es ayudar al alumno a descubrir que hay diferentes tipos de números. Los niños se encuentran cotidianam ente con números negativos y de estos números no se habla en primaria.
En este mismo bloque del cálculo, m ás allá de los núm eros y las can tidades están las operaciones entre ¡os núm eros. ¿Cóm o se tendrían que trab ajar en el a u la ?
Para poder operar entre diferentes números -de manera comprensiva, no sólo mecánica- hay que tener adquirida, como ya he dicho, la noción de cantidad. La adquisición ele la noción de
cantidad y la realización de operaciones Los alum nos han de hacer las van juntas, son simultáneas. Esto es bási- operaciones entendiendo su co para que los alumnos hagan las opera- rhinijieado, no única m a n e su clones entendiendo su significado, no sólo m ecánica,
su mecánica.
Respecto a cómo deberían trabajarse las operaciones en el aula, que rría decir que las operaciones entre núm eros deberían hacerse de tal manera que permitieran trabajar con los alumnos tres aspectos fundam en tales. El primero, la lógica ele las operaciones: se han ele hacer operaciones entendiendo su significado, como ya he dicho, no sólo su ejecución mecá nica, reconociendo la operación inversa y descubriendo las leyes funda mentales de aquella operación concreta que se está realizando, es decir, las propiedades de las operaciones. Todo ello sienta las bases ele muchos con ceptos matemáticos posteriores como, por ejemplo, la resolución de ecua ciones, El segundo aspecto que debería estar presente en toda operación es el aspecto funcional, o de relación con la vicia. Es decir, el alumno ha de ver que aquella operación sirve para resolver situaciones concretas y ha de re conocer la operación en estas situaciones
concretas y saber aplicarla para poder Tocia operación ha de tener su resolverlas. El tercer aspecto es la resolu- : : cccfc íu a ck :ad y debe relu cida práctica de la operación, propia- donarse con ¡a vida.
mente dicha, es decir, saber hacerla,
primero m entalm ente y cuando llaga falta con los instrumentos, entre ellos la calculadora, y las técnicas necesarias, entre ellas los algoritmos escritos.
¿P o rq u é prim ero m entalm ente?
E! primer cálculo ha c!e ser experimental, concretándose en e! uso de muchos y diversos materiales m anipulates. Después viene el cálculo men tal, exacto o aproximado, que es el objetivo prioritario del cálculo.
El cálculo mental te lleva a un mejor conocimiento de las relaciones que hay entre los números y las operaciones, es imposible calcular mental mente si no hay una buena comprensión de la operación que haces y de las características de los números. El cálculo mental te lleva a trabajar las ope raciones sin dejar de lado el significado de las mismas, y los alumnos que aprenden a calcular incorporando al cálculo el significado de la operación están realizando un aprendizaje que les será válido siempre y especialmen te valioso en su futuro académico. Por eso, el cálculo mental, exacto o apro ximado, debería ser siempre la base de las operaciones, el primer contacto con ellas.
Hay que tener muy presente que, en el cam ino de aprendizaje de las operaciones, el primer paso es la manipulación de objetos -juntar, qui tar, contar...-. El segundo paso, más adelante, es calcular sin tocar ni ver los objetos. La calculadora, si se aprovecha como herram ienta para hacer ejercicios adecuados, puede servir también para practicar e! cálculo mental.
¿Y cómo llegan los alum nos al eáfeulo escrito?
El cálculo escrito debería ser, en primer lugar, la expresión escrita de aquello que primero hemos pensado o descubierto. Por ejemplo, si con las
regletas han descubierto que la de valor El edículo escrito debería ser 4 y la de valor 8 juntas valen más que la la expresión cscnm de m e ¡ 7 del 6 y la del 5 juntas, deberían saberlo que primero hemos pensado o expresar por escrito con lenguaje mate-
descnbierm, mático poniendo 4+8 > 6+5. Esto es cál
culo escrito. Se trata de aprender a usar correctam ente los símbolos de los números y las operaciones, de forma verídica, que cumplan las leyes matemáticas. Ésta es la form a previa del cálculo escrito.
Otra forma de cálculo escrito es la de los algoritmos, que son unas for mas mecánicas, o rutinas, que facilitan la ejecución de operaciones de cál culo con números más grandes de lo que una persona es capaz de imaginar. Para que no haya un corte, una separación, entre la comprensión lógica de la operación y la ejecución mecánica del algoritmo, en las primeras etapas
educativas, es importante tener en cuenta, por ejemplo, que resulta mucho menos mecánico, por ejemplo, el algoritm o de la suma escrito en línea ho rizontal que escrito en vertical, como se escribe m ayoritariamente, de modo que se pueda fa cilita r técnicam ente la realización de la operación. Hay maestros que no quieren que los alum nos pongan la suma en hori zontal, cuando es conveniente com binar los algoritm os más m ecánicos con los que lo son menos, para que no se queden, precisamente, en la simple mecánica.
Hablemos ahora de otro gran bloque, la geom etría. ¿C uáles serian las ¡deas básicas con respecto a conceptos y d id áctica?
La geometría se ocupa de tres tipos de conocimientos, todos ellos rela cionados con el espacio. Son ios siguientes:
Las relaciones de posición en el espacio, entre las que habría que des tacar la relación ele orden entre diferentes objetos. Responde a la necesidad de la humanidad de ubicarse en el espacio que se inicia con conceptos bá sicos como primero, segundo, último, delante, detrás, direccíonalidad, dere cha, izquierda, norte, sur, este, oeste...
Las form as que hay en la vida, tanto en la naturaleza (espiral en el caparazón de un caracol, por ejemplo}, como entre los objetos cotidianos, a partir de las que se han ido estructurando las categorías de figuras, que niños y niñas irán aprendiendo a lo largo de la escolaridad, reconociendo progresivamente sus características y regularidades.
Los cam bios de posición, o de forma, o de ambas cosas, que se llevan a cabo siempre en el espacio. Estos cambios se llaman «transformaciones geométricas», y corresponden en geometría a lo que en cálculo son las ope raciones. Hay transformaciones de diferentes tipos, pondré algunos ejem plos. Cuando nos desplazamos de un lugar a otro lo hacemos con una serie de movimientos combinados, unos en línea recta, alternados con giros o ro taciones hacia la izquierda o la derecha.
Los cambios de posición, siguiendo una recta con una determ inada longitud, son una transform ación que se llama «traslación». Los m ovi m ientos de rotación, respecto a un punto fijo, es otra transform ación que denom inam os «giro». Cuando nos miramos en un espejo plano, el paso ele nuestra figura a la imagen que vemos es otra transform ación que se llama «simetría». Cuando proyectam os diapositivas, e! paso de la imagen inicial, pequeña, en este caso, a la imagen más grande ele la pan talla es otro cambio de posición y medidas que se llama «proyección». Si
nos m iramos en un espejo cu rvilín eo, que m odifica la figura, tam bién es otra tran sfo rm ación , que se llam a «deform ación», porque es el paso de una figura inicial a otra figura y, en este caso, cam biando to ta lm e n te su form a.