Conversaciones matemáticas
con Maria Antònica Canals
O como hacer de las matemáticas un aprendizaje
apasionante
r.*
Purificación ■BiniéjlMBi^íHijg a ^
licenciada ónÜiericIH ^ lin f o S li
Ó ión-Reriodisrnól^H ^^^^^g^
■medios de xtím unícáció^^^^®^»
r^Mpjgmen tof/^a/s Iducáció^^^^^ut ^^^^a^h^anó^é-Terr^ss^G ^^, NU.
^^S^BSíÓ ri/^Ó ^có/an/n/i/íc/a.:.,
Conversaciones matemáticas
con María Antonia Canals
O cómo hacer de las matemáticas un aprendizaje
apasionante
Purificación Biniés Lanceta
G m ó
Biblioteca de Aula
Serie Didáctica de las matemáticas
* Purificación Biniés Lanceta
* de esta edición: Editorial GRAO, de IR1F, S.L C/ Hurtado, 29. 08022 Barcelona
w w w .g ro o .c o m
I.11 edición: septiembre 2008 ISBN: 978-84-7827-652-3 OL: 8-36.709-2008
Diseño de cubierta: Xavier Aguiló
Fotografías [de cubierta e interior): Rafael Bosch Impresión: Imprimeix
Impreso en España
Quedan rigurosamente prohibidas, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción o almacenamiento total o parcial de la presente publicación, incluyendo el diseño de la por tada, asi como la transmisión de la misma por cualquier medio, tanto si es eléctrico como químico, mecánico, óptico, de grabación o bien de fotocopia, sin la autorización escrita de los titulares de! c o p y rig h t.
Los m aestros han de ser felices haciendo m atem áticas, de ese m odo los alu m no s tam bién lo serón.
{M.;i Antonia Canals)
¿o educación no es lle n a r n i acum ular, la educación es encender.
Indice
Prólogo, Claudi Alsina I 7
Introducción j 9
Hablemos de «mates» ! 9
El personaje | 11
1. Aquello que es fundam ental [1 3
2. El problema de los problemas [ 23
3. Aproximación didáctica a los cuatro grandes bloques de las m atemáticas | 33
4. Algunos puntos débiles { 47
5. Escuela y educación I 55
Epílogo 1 61
Opiniones sobre las matemáticas y su enseñanza en la escuela [ 63
Anexos | 73
!. Decálogo para trabajar con materiales manipulables, por M.; Antonia Canals j 75
I!. Decálogo de la Didáctica de la Matemática, por Pedro Puig Adam | 77 III. A los niños y niñas, por M.3 Antonia Canals | 79
IV. Extracto del discurso de M.a Antonia Canals en la entrega del Premio Sánchez Vázquez, 2007 [ 81
V. Extractos de la conferencia de M.3 Antonia Canals, organizada por el CREAMAT | 83
VI. Testimonios de maestros en torno a las ideas sobre didáctica de la matemática de la profesora M.3 Antonia Canals I 85
Vil. Algunos recursos para el área de matemáticas | 89
Agradecimientos | 93
Claucli Alsina j Caíala
Éste es un libro muy especia! que nos presenta, en formato periodísti co ele entrevista, el testimonio pedagógico de una maestra de maestros: la estimada profesora M.s Antonia Canals. Al margen de unos interesantes ane xos recopílatenos e informativos, el eje vertebrador de este pequeño volu men es ia expresión contundente y consecuente de alguien como M.;í Antonia Canals que, por su trayectoria profesional, se ha convertido en un referente para la educación matemática escolar de nuestro país.
Muchas personas del mundo educativo han tenido ocasión de escu charla en directo, en los cursos y conferencias que ha impartido en tantos lugares y desde siempre. Ahora, leyendo esta larga entrevista, tenemos la oportunidad de reflexionar sobre io que nos dice y, además, de reconocer el discurso coherente que sigue haciendo y que mantiene desde hace ya varias décadas. A lo largo del texto, leyendo lo que dice (y observando también lo que no dice] se van descubriendo las diversas facetas de su visión pedagó gica. He aquí algunas de las que me gustaría resaltar en este prólogo:
En primer lugar, ¡a claridad de las originales y personales ideas de M.;¡ Antonia Canals, Realizando una labor que es fruto de una larga expe riencia como maestra y como formadora de maestros, ha llegado a una serie de principios para la mejora de la educación matemática, principios que aquí expone de forma precisa, con la inequívoca voluntad de invitarnos a seguir los. Sabe ¡o que hay que hacer y lo dice. Todo dicho con sencillez, pero con contundencia, partiendo desde el ejemplo personal y no como resultado de una selva de bibliografías consultadas. Hoy, cuando el mundo de la didácti ca de la matemática se convierte, a menudo, en una ingeniería de papel ava lada por investigaciones anglosajonas, testimonios claros y directos como los de M.a Antonia Canals tienen el valor añadido de ser accesibles y educativa mente impiementables.
En segundo lugar, la visión critica de M.a Antonia Canals, resaltando todo lo que no hay que hacer, o lo que se hace mal, o lo que es francamen te mejorable, al basarse en el aval de su propia experiencia educativa, se convierte también en una guía para introducir cambios. Leyendo algunas de sus críticas generales, sutilmente presentadas a través de ejemplos con
ere-tos, me ha venido a la memoria aquel dicho que dice «si haces siempre lo que ya hacías, obtendrás siempre lo que ya obtenías». Lo bueno de todo esto es que ¡VL:i Antonia Canals une a la crítica la mejor alternativa positiva, desde ei uso de sus apreciados materiales manipuladles a la capacidad de observa ción, logrando así fomentar la creatividad.
En tercer lugar, quiero destacar la esperanza de M.n Antonia Canals en un mundo mejor a través de una mejor escuela. A pesar de todos los pro blemas que ve, ella continúa animándonos a hacerlo mejor, a romper ruti nas de cálculo, a probar cosas nuevas, a no perder nunca en las clases el buen oficio de enseñar, de comprender y de sorprender. Y toda esta fuerza se nos pide teniendo muy en cuenta a los niños y niñas, que son quienes me recen todo el esfuerzo. Más allá de asociaciones, pactos, leyes, infraestruc turas y un largo etcétera, Canals piensa en todo momento en estos niños y niñas que han de poder disfrutar de una matemática más viva, más útil para todos y más motiva dora.
Durante años, no es ningún secreto, M.;1 Antonia Canals se ha dedica do, por afición, a la escalada. Esta afición la ha seguido acompañando, pero ha cambiado las montañas catalanas por una cumbre más ambiciosa, la de la buena formación matemática de las nuevas generaciones. Cuando se al canza una cumbre geológica, al orgullo de la meta conseguida sólo es razo nable añadir e! sentido común de volver hacia abajo. Cuando la cumbre es educativa, no se consigue nunca llegar a la cumbre, pero es la emoción de hacer ei camino en buena compañía lo que motiva a ir hacia arriba.
La periodista Purificación Biniés ha llevado a cabo un buen trabajo, ha ciendo posible esta minuciosa entrevista, sabiendo extraer y transcribir las muchas ideas de M.a Antonia Canals.
Desearía enormemente que los lectores de esta obra disfruten de su lectura, de la reflexión sobre la misma y que, si pertenecen al mundo edu cativo, lleguen a hacer suyas las ideas que aquí defiende una mujer que ama profundamente lo que ha hecho siempre y aún hoy continúa haciendo.
Introducción
¿Son Inexorablemente difíciles las matemáticas? ¿Qué está pasando en las escuelas y en los institutos para que ésta sea una de las asignaturas más suspendidas? ¿Hay que revisar currículos y didácticas? ¿Es posible disfrutar aprendiendo matemáticas? ¿Existen claves didácticas que ayuden a que esta asignatura deje de ser la pesadilla de la mayoría de alumnos y de muchos maestros? ¿Cuál es la situación actual y qué es necesario cambiar en la en señanza de las matemáticas?
Desde las Conversaciones matemáticos con M " Antonia Canals iremos desgranando todas estas preguntas y apuntando respuestas que puedan orientar a los maestros en su práctica educativa.
Entre las diferentes respuestas y aspectos, abordaremos uno funda mental: para ayudar a los alumnos a entender los conceptos matemáticos hay que llevar el aprendizaje por ei camino de una comprensión que procu re el propio descubrimiento, y no por los caminos, tan fáciles como débiles y falsos, de la mecánica. Ir por el camino de la comprensión, un requisito fundamental en el pensamiento matemático, es tener en cuenta los con dicionantes de cada alumno (etapa de desarrollo, conocimientos previos...) y crear, como maestros, las condiciones (didácticas, materiales, metodoló gicas...) que antepongan la comprensión a la respuesta dictada o ía mecánica aprendida.
Hablemos de «mates»
La primera entrevista con la profesora M.a Antonia Canals, para hablar de matemáticas, la tuvimos cerca de Breda (Girona), entre un Montseny pró ximo y sereno y un Montnegre que guarda, detrás de él, la inmensidad del mar. Quiso situarse geográficamente mirando las montañas y recordó cuan do iba con sus alumnos de la escuela Ton i Guida’, en Barcelona, a ver, tocar y pisar... montañas y ríos, porque ése era el tema que estaban trabajando en
1. Escuela fundada por M.-1 Antonia Canals, en 1962, símbolo de la renovación pedagógica y en estrecho contacto con un contexto socioeconómico desfavorable.
clase. «Aquel mismo curso vino un alumno nuevo que se sabia todos los ríos de España, era impresionante)), me dijo en tono confidencial. «Yo le pregun té si había visto algunos de esos ríos y me dijo que no. Entonces le pregun té que cómo se imaginaba él que debía ser de grande uno de esos ríos del mapa, si como desde la escuela hasta la plaza Cataluña, o más pequeño, o más grande aún. Él, dudoso, acabó representando con sus dedos la distancia que aquel río ocupaba en el mapa... Qué triste, ¿verdad? Esto es lo que nunca debería ser la enseñanza, en ninguna materia. En matemáticas, esta tendencia a alejar el máximo posible los conocimientos de la realidad de los alumnos es muy preocupante, es uno de los errores más grandes».
Así es como empezamos a hablar de la enseñanza de las matemáticas, sin demasiado optimismo, por cierto. Porque desde los errores del pasado pasamos a los errores del presente. De todas formas, e! optimismo requiere siempre partir de lo imperfecto, de aquello que se puede mejorar, pero, sobre todo, de aquello que creemos que se puede mejorar con esfuerzo y trabajo. En este sentido, el optimismo fue ocupando poco a poco su lugar en nues tra conversación, día tras día, entrevista tras entrevista. Desgranando ios errores, lo que hay que mejorar, fuimos llegando a lo que pensamos que hay que hacer. Y esto es, sin duda, el verdadero optimismo, todo un motor de cambio.
Os invitamos a participar de estos diálogos, de estas reflexiones sobre las maneras de enseñar bien las matemáticas, fundamentalmente en la edu cación primaria, que es el lugar donde se levantan los fundamentos del pen samiento lógico (aunque, inevitablemente, hablaremos también de la educación secundaria).
Como nos dice la profesora M.a Antonia Canals, «es imprescindible en señar bien las matemáticas para que los alumnos las aprendan de verdad». Con este objetivo iniciamos estas Conversaciones. Deseamos que sean una herramienta útil y provechosa para el profesorado.
Maria Antonia Canals (Barcelona, 1930), licenciada en Ciencias Exactas ~ Matemáticas- por la Universidad de Barcelona. Trabajó como maestra de edu cación infantil en la escuela Thalita y creó la escuela Ton i Guíela, de la que fue directora (1962-1979), escuelas comprometidas a nivel social y pedagógico. Pro fesora de didáctica de las matemáticas en la Universidad Autónoma de Barce lona, en la Universidad de Vic y en la Universidad de Girona. Como formadora de maestros, ha impartido cursos de didáctica de las matemáticas en 41 escue las de verano de Cataluña, y en otras a nivel estatal. Cofundadora de la Asocia ción de Maestros Rosa Sensat (1965), y de diversos Grupos de maestros sobre didáctica de la matemáticas, entre ellos el Grupo Petimetre de Girona. Impulsó la creación y fue la primera presidenta de ia FEEMCAT (Federación de Entidades para la Educación Matemática). Con la dotación dei Premio Jaume Vicens Vives, concedido por la Generalitat de Catalunya (2006), ha creado el GAMAR (Gabinet de Materials i Recerca per la Matemática a ¡'escola) que actualmente dirige. Du rante el curso escolar imparte cursos de formación permanente, sobre didáctica de las matemáticas, a nivel de Cataluña y de todo el Estado.
Premios recibidos
■ Medalla President Maciá (medalla del trabajo, Barcelona, 13 de abril de 1984).
- Premio «Mestres 68», por ¡a renovación aportada al campo de la di dáctica de la matemáticas y al concepto de educación infantil (Giro- ña, 17 de diciembre de 1994).
- Insignia de plata de la FEEMCAT (julio del 2000), Insignia de oro de la Universidad de Vic (17 de octubre de! 2000).
« Profesora emérita de ia Universidad de Girona (4 de octubre de 2001). * Distinción Ja time Vicens Vives «a la calidad en la docencia universitaria»
de la Generalitat de Catalunya (4 de octubre del 2001).
- Cruz de Sant Jordi de la Generalitat de Catalunya (25 de septiembre del 2006), por su trabajo en la formación de maestros, sus publica ciones matemáticas y su acción en la escuela Ton i Guida.
. Premio Gonzalo Sánchez Vázquez, de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM, julio de 2007).
Aquello que es fundam ental
Dotar de significatividad a la matemática es el gran reto que debemos afrontar para una innovación didáctica que permita a todos hallar gozo y satisfacción en su aprendizaje. V" esto se consigue cuando uno mismo descubre la necesidad de su uso para entender y comprender ¡os hechos de la vida; pero, también, para hacerse comprender o para poder explicarse. Es a partir de esta intercomunicación, que requiere el dominio de su simbologta específica pero arbitraría, que se podrá conquistar la comprensión semántica de las matemáticas y por lo tanto se podrá hallar el sentido de lo que son y para lo que sirven. (Josep Cal lis)
Como m aestra de niños y niñas de prim aría, como maestra de m aes tros, ¿c u á l diría que es ef pilar fundam ental de la enseñanza de las m ate m áticas?
Hay dos pilares fundamentales y uno de ellos es el conocimiento de !a materia. Quizá en otras profesiones no
sería necesario decir esto porque sería una obviedad, es obvio que no se puede enseñar aquello que no se sabe, o que no se sabe en profundidad. Pero yo me he encontrado con muchos maestros, en los cursos que hago, con un conocimiento muy deficiente de la lógica matemática, de los números..., y sobre todo de la geo metría.
Uno de los pilares funckimcn-
rales de la enseñanza cíe las
matemáticas es el conocí mien
to de la materia. Otro, una
buena didáctica, elemento irn-
prescmawie para tine el saber
de una persona se convierta en
ei descubrimiento o hallazgo
de otros.
Por lo tanto, aquella anécdota del maestro que decía «expliqué el pro blema una vez y no lo entendieron, lo volví a explicar y tampoco ¡o enten dieron, lo expliqué una tercera vez y entonces quien lo entendió fui yo», es bastante real...
Sí, lamentablemente. Y cuando no se domina la materia lo que se hace es enseñar la mecánica, porque un maestro que no conoce suficientemente los razonamientos matemáticos no puede ayudar a su desarrollo. En con secuencia, los alumnos no practican la auténtica matemática, sólo hacen mecánica de la suma, de la resta, de la división... sin acabar de entender el concepto matemático en sí. Hay falta de competencia en la materia entre los maestros de matemáticas, incluso muchas veces imparten esta asignatu ra maestros de especialidades que prácticamente no han hecho nada de matemáticas en la carrera de Magisterio.
Y también hay maestros que saben muchas matemáticas pero no fas saben explicar a Jos alumnos...
Efectivam ente, y éste es el otro pilar, una buena didáctica. Hay ma estros, y muchos licenciados, que saben matemáticas pero a les que les falta pedagogía, saber explicar. No dominan la didáctica, que es la inte rrelación entre el dominio del propio saber, del contenido, y la capaci dad de explicarlo a otros, de modo que esos otros hagan «su propio descubrimiento» del concepto. Asi que soy un poco pesimista porque a menudo veo que en la enseñanza de las matem áticas se juntan estos dos disparates: ¡a falta de dominio de la materia y la falta ele una buena pe dagogía, de una didáctica que lleve a una firme adquisición de concep tos. De todas maneras, también puedo ser un poco optimista porque últim am ente en muchas escuelas de magisterio se están enseñando mejor las matemáticas, hay buenos expertos en su didáctica, y también me encuentro con más maestros interesados en ir mejorando su manera de enseñarlas.
¿Cuáles serían las bases de una buena didáctica de las m atem áticas? El objetivo de la didáctica, en general, no es enseñar a los alumnos sino conseguir que los alumnos aprendan. Enseñar es un concepto insufi ciente, no garantiza el aprendizaje, que es un proceso sobre todo perso nal en el que el verdadero protagonista es el propio alumno.
La base de toda buena didáctica que ayuda a aprender es partir de la propia experiencia del alumno e introducir un interrogante. Como
decía la doctora Montessori, «el niño tiene la inteligencia en la mano», es decir, todo lo que se palpa a nivel sensorial llega al cerebro. La experi mentación de los niños es fundamental,
por lo tanto, para el aprendizaje. El pen- La nuuupula clora el movi- samiento lógico se va estructurando, se miemo y ía cay. a a, .■:/&■/ ím va consolidando, m adurando, hasta son las bases que nos permiten hacer posible la construcción de con- ir haría la construcción y e¡>- ceptos, a partir de la acción sobre los ¡ruciara-;óa ha1 m ■..>mi -.no objetos, ele la experiencia, de la propia tópico, que es básico m l m m u -rea 1 idad cotidiana2. Los materiales nía- temáticas.
nipulables son, por lo tanto, fundam en
tales en la enseñanza de las matemáticas. Es muy diferente aprender a contar haciendo una ficha con dibujos que hacerlo con objetos reales que el niño toca, mueve, junta, separa... No podemos tener a los alum nos sentados en las mesas, delante de un papel, la mayor parte del tiem po. Así aprenderán muy poco. El movimiento global -caminar, correr, subir, deslizarse... en espacios amplios-, el entorno que nos rodea como referente, como experiencia próxima, y la experimentación, con la m ani pulación de objetos concretos, son las herramientas básicas que ayudan a la estructuración del pensamiento. La percepción interna que procuran los propios sentidos es la base que permitirá al niño, más adelante, elaborar con buenos fundamentos los conceptos3. Pero no debemos olvidar el in terrogante.
2. «La enseñanza de las matemáticas es la capacitación en unos aspectos que no son solamente matemáticos, aspectos relacionados con las cantidades y el espacio que son importantes para vivir. Esta capacitación arranca de la vida misma. Por eso será tanto más auténtica cuanto más se vaya desarrollando sin separaría de la vida. La verdadera actividad matemática es continua y glo bal, y forma parte del crecimiento harmónico de cada persona. Como tal, abarca todos los ámbi tos, y no solamente el ámbito escolar». (M.1 Antonia Canals: «Visión general de las matemáticas en la escuela». Jornadas del Grupo Perímetro, 16 de abril de 2005)
3. «En el camino de lo concreto a lo abstracto, el primer paso es la manipulación, es decir, la acción sobre los objetos, y conviene, a pesar de las dificultades que pueda suponer para el ma estro o la maestra, no olvidar este aspecto [...] puesto que son las acciones las que desencade nan el pensamiento y sobre las que se pueden construir las representaciones [...] El material que ponemos al alcance del alumno tiene un papel fundamental [...] Pero la verdadera actividad matemática es mental, aun teniendo su punto cíe partida en la manipulación Algunos as pectos en matemáticas, como ia geometría, además de la manipulación requieren una vivencia motriz de todo el cuerpo, que a menudo se concreta en desplazamientos». [D is s e n y C u rh c u fo r p e r a l'E n s e n y a m e n t de ¡es M a te rn o tiq u e s a P rim a ria . Departament d'Educació, Generalitat de Catalunya, 2000)
¿Qué quiere decir con «el interrogante»?
Pues que la experimentación no es suficiente. La experimentación es la base que nos conduce hacia el pensamiento lógico, que nos ayuda a estruc
turarlo. Pero la experimentación por sí
L a -/■'/,. sola no nos lleva al aprendizaje, es nece
sito, no nos lleva ai aprenánti- sario también, cuando experimentamos, je. dar. \h car iv -y. o cíe -u- introducir un interrogante. Un interro-aro. q\:e e. . -trdadav gante relacionado, además, con la
expe-aprc. - v ./r/.- ciencia y e! entorno de vida del propio
e¡ o d a . : ¡.¡i : -fin alumno. Esto es básico para que haya i. vé#- ■ tu hr V--.,. qy ■ ha aprendizaje. Que el mismo niño sienta la meado..., y busque respuestas. necesidad de encontrar la respuesta a un La matemática, y en general problema, a una cuestión que no sabe toda ciencia, se sí arte de cómo resolver, que sea su propio interés i;. - .er pee m t 1 s - de ís ex- lo que le lleve a querer descubrir cómo es
períenda. tai cosa, cómo puedo resolver aquello
otro. Si no hay interrogante no hay eviden cia del problema con el que nos encontramos, y por lo tanto no se produce descubrimiento alguno. El verdadero aprendizaje es el propio descubrimien to, ya lo decía Freinet. Desde la escuela hay que apostar por el deseo y la ca pacidad de descubrir. Hay que trabajar, en definitiva, para favorecer entre los alumnos un espíritu científico, que ellos mismos se hagan preguntas e in tenten hallar respuestas. Naturalmente para el maestro es más complicado trabajar así. Es mucho más fácil decir «mirad, niños, para resolver tal cosa debéis hacer esto...», pero eso no es educación, eso es adiestramiento, eso no permite descubrir por uno mismo ni, por lo tanto, aprender de verdad. Dic tar conocimientos no es construir aprendizajes. El interrogante, además, nos hace ir más allá de la experiencia, porque la experiencia es el punto de par tida pero resulta insuficiente, por sí sola, para estructurar el pensamiento ló gico de los niños y construir aprendizaje. En este sentido, la matemática, y en general toda ciencia, es el arte de hacer pensar a partir de la experiencia.
¿Hacia dónde vamos, en definitiva, introduciendo el interrogante? Con el interrogante provocamos un diálogo sobre aquello que hemos visto, o tocado, o sentido... Pensamos, dialogamos internamente sobre ello, y este diálogo, este «hacernos pensar», nos lleva a establecer relaciones. Y así ya tenemos lo que es fundamental: hemos implicado el pensamiento lógico en la experiencia, es decir, empezamos a establecer relaciones -ordenar,
cía-sificar, diferenciar...-. Es muy importante el hecho de favorecer que los alum nos establezcan relaciones mentales porque, como decía Maria Montessori, es así, relacionando, como los alumnos van «ordenando su pensamiento». Las re laciones mentales desarrollan la lógica, que es la base del pensamiento y, muy especialmente, del pensamiento matemático. Estableciendo relaciones desde la experiencia, se va estructurando el pensamiento lógico que, en un proce so de progresiva complejidad, poco a poco, permitirá a los niños entender, ir construyendo, conceptos básicos como son la cantidad, el conocimiento de los números, las propiedades geométricas, etcétera.
El desarrollo del pensamiento lógico seria, por lo tanto, un proceso, con unas etopos que no nos deberíamos saltar...
Yo creo que sí. Y conocer este proceso y saber en qué etapa del desarro llo del pensamiento lógico se encuentra el alumno es fundamental en la prác tica docente. Porque un niño, dependiendo
de la etapa de desarrollo lógico en que se bar na ¡¡
encuentre, podrá o no podrá entender, por ■- m cus-a a ¡a etapa ■
ejemplo, el concepto de medida, de núme- v v ; -• •
ro -natural, fraccionario, decimal..,™, de ; ana • .<;•••• • •• ; ? línea recta, de poliedro o de cualquier otra h-r '■■¡ncrpu* rían- aámü- de las nociones fundamentales de las nía- ríd>..- r íes en •
temáticas. El buen horticultor se acerca al ■auihríuuica árbol muchas veces para ver como está la
fruta, pero sólo la coge cuando está madura. No sucede igual, lamentable mente, muchas veces en la enseñanza. Y así se van dictando conocimientos, uno detrás de otro y cada vez más complejos, sin una plena adquisición de los anteriores, sin una verdadera comprensión lógica, sin un descubrimiento pro pio del concepto anterior. En los institutos de Secundaria, donde la falta de preparación en ia didáctica de la materia es muy preocupante, se imparten conceptos que es imposible entender si no se entienden otros conceptos pre vios. Pero hay profesores que sólo se preocupan de «acabar el programa» y con ello abocan a muchos alumnos al fracaso escolar, evidentemente. En una buena escuela, los niños están por encima de los programas, y aquello que es importante para los alumnos ha de ser prioritario.
¿ Y qué lugar ocupa en la didáctica el alumno -niño o jove n- ?
Debería ocupar un lugar central. Ninguna didáctica tendrá éxito sin un conocimiento particular de cada alumno. La conexión personal con el niño,
la comprensión de sus necesidades y características ps también el punto de partida imprescindible a partir del cual se pueden probar diferentes estrate
gias didácticas que le ayuden a jnteresar-
• - se y a adquirir nuevos aprendizajes. Las
.,,; V. . i ;. / /dddi■ /:v/ = .: i, - recetas para todos no funcionan nunca. EI
r¿ r.,¿ aprendizaje es un proceso personal,
in-to }■:>>s.; .../ i/, ■: - hi aiu5n.;:. transferible, que depende también de las características, circunstancias personales, etc., de cada niño. La maduración de cada alumno, respecto a su capacidad de adquirir o no determinados conceptos o capacidades de razonamiento ló gico, tiene un tiempo absolutamente personal, es un proceso vital propio. En la escuela, como ya he dicho, nos empeñamos a menudo en enseñar con ceptos a los alumnos cuando aún no han adquirido plenamente el concep to previo necesario para llegar al siguiente. Los niños saben sumar fracciones, hacen el común denominador sin quizá haber comprendido re almente el concepto de fracción. Incapaces de ver, a primera vista, que 2/4 es igual que 6/12. Y es así como arrastramos a los niños al callejón sin sali da que es la mecánica. Hay que entender la educación como un fenómeno vital, con unos ciclos propios que se suceden los unos a los otros, que se van ampliando, en el que el ciclo posterior necesita del anterior para poder rea lizarse y en el que ei ritmo lo marca el propio sujeto. Cuando tenemos prisa por enseñar nuevos conceptos, sin que se hayan entendido bien los anterio res, elejamos de lado la comprensión.
¿Y qué sucede cuando abandonamos ici comprensión y vamos por el comino de i a m ecánica?
Pues que muchos niños, cuando llegan a ia mitad o a finales de la pri maria, se cierran a las matemáticas porque no las entienden. No han hecho un buen aprendizaje de los números, ni ■ u.í; ./a-1 ■ ■ H/cikr n de las categorías geométricas de las figu- * un-, -e. í ;■> de ia . ras, y les falta mucha práctica en razona- la fv ;am en-dra. i „ » v r u miento lógico, estrategias, simbolismo... ios alumnos ai fracaso escolar. En consecuencia, les cuesta mucho en tender el lenguaje algebraico y se estre llan contra el álgebra al llegar a secundaria. Dicen que Pitágoras no resolvía nunca una raíz cuadrada, que las resoluciones de las operaciones las hací an los esclavos. Pues en la escuela tenemos a Sos alumnos, mayoritaria- mente, haciendo este «trabajo de esclavos», resolviendo mecánicamente
operaciones cuyo sentido, además, no comprenden. Yendo a la mecánica, sin asegurarnos de que hay una comprensión previa del concepto que se está trabajando, es ir directamente hacia el fracaso escolar en matemáticas. La mecánica, sin comprensión, como camino es un falso camino y como re sultado no es nada.
Por lo tanto, si conseguimos llegar a la comprensión estamos en el final del proceso, entendemos los conceptos matemáticos y los podemos aplicar a fa realidad...
No del todo, porque la comprensión no es aún el último paso. Nin gún conocimiento es completo si no lo sabemos expresar. La expresión nos ayuda a concretar el pensamiento, a
interiorizar el concepto y, en conse- es
cuencia, a poderlo aplicar a la realidad. ; ..' = ••
Es muy importante que el alumno sepa •.••• • - - . . I
explicar lo que pasa, qué problema hay, cómo lo ha conseguido resolver... prime
ro con la expresión verbal, después con la expresión escrita -dibujo o texto- y, finalmente, mediante el lenguaje m atemático -números y sig nos™ que ha de ser el final ele todo el proceso. Es una barbaridad iniciar el aprendizaje de las matemáticas directam ente con el lenguaje numéri co pero, lamentablemente, es So que se hace en muchas escuelas. Después, en la Secundaria obligatoria, a estos déficits en los fundamentos se añade un curriculo y unas didácticas inadecuadas. Y, naturalmente, el fracaso es sonado.
Efectivamente, el número de suspensos en matemáticas en secunda ria aumenta significativamente respecto a la primaria. ¿Qué debería hacer un maestro de secundaria cuando más de la m itad de la clase suspende m atem áticas?
Todo menos suicidarse. Los maestros nos deberíamos aliar más con los alumnos en lugar de enfrentarnos, porque el enfrentamiento es un fracaso para ¡a acción educativa. En primaria no hay este enfrentamiento y tampo co debería de haberlo en secundaria. También es cierto, como ya he dicho, que los alumnos, en general, llegan mal preparados a la ESO, lo que aumen ta las dificultades. Pero esto no debería ser nunca una excusa para dejar de intentar desele un principio conectar con los alumnos porque, ele lo contra rio, en vez de progresar se irán hundiendo.
¿Po r qué a la mayoría de alumnos normalmente no les gustan las m a tem áticas?
Porque los niños se interesan por aquello que les es útil, por lo que tiene relación con su propia vicia. Las matemáticas que se hacen en la es cuela son, mayoritariamente, un listado de ejercicios mecánicos que no tie nen nada que ver con la vida de los alumnos y, claro, los niños se aburren. Se trata de una defensa psicológica de ios niños.
¿Son difíciles, por ellas mismas, las m atem áticas?
Sí que lo son. Aunque todas la ramas del saber son difíciles para unos y fáciles y atractivas para otros. Lo que sucede con las m atem áticas es que
tienen un lenguaje propio que no se en- ,4. mucho--: y . • y-> ¡y: . tiende de manera espontánea y que, por tas matemáticas porqa . mi y lo tanto, es necesario dominar. Los con-■'oí y:- . v .. / • /• d a m a,' ■ ce píos matemáticos son, además, con- :nre a d y .. ir ■ v -la. a-- ■ ceptos abstractos que resulta difícil "en útiles para su vida. enseñar. Esta singularidad de las m ate máticas supone una mayor dificultad en su proceso de enseñanza-aprendizaje. El lenguaje oral o escrito se puede enseñar, pero el lenguaje matemático, para ser entendido, ha de ser des cubierto por uno mismo. Para hacer m atem áticas hay que hacer abstrac ciones, sino estaríamos haciendo conocimiento del medio. La didáctica de la matemática es acom pañar en este paso de lo concreto a lo abstracto y en el aprendizaje de su lenguaje. Que sean difíciles no quiere decir, no obs tante, que no sean preciosas, también es difícil interpretar el lenguaje mu sical o subir ai Everest. La enseñanza de las matemáticas, como la educación, es un arte.
Esta actitud de rechazo de los alumnos hacia las matemáticas, o hacia cualquier ciencia, tiene, ahora y siempre, un sentido clarísimo de rechazo a unas clases poco adecuadas, apenas basadas en la experiencia y el deseo de conocer la realidad, y nada interesantes para los alumnos. Por el con trario, he visto algunas escuelas excelentes en estos aspectos. Sus alumnos además de seguir bien los contenidos, lo hacen con esfuerzo, están orgu llosos de aprender y son felices, jLástima que escuelas así haya tan pocas en nuestro país! Para mí son un testimonio de esperanza que me permite creer que una buena educación no escatima esfuerzo a los alumnos, que nuestros niños y niñas son personas sanas, con ganas de crecer, de descu brir y ele avanzar.
¿C u ál seria d objetivo fundam ental que un maestro se ha de plantear cuando enseña matemáticas, cuando propone alguna actividad a sus alum nos?
El primer objetivo de un maestro de matemáticas debería ser interesar a sus alumnos y conseguir que disfruten descubriendo los secretos de (os nú meros y de las formas, y que quieran avanzar, aprender más. Y el segundo objetivo, ayudar a los alumnos a descubrir las relaciones matemáticas que hay en distintos ámbitos de la realidad, en el mundo que nos rodea y en todos los fenómenos -física, música, etc.- y a continuación aplicarlas. De bería de llegarse a trabajar las matemáticas junto con las otras materias, porque están en ellas. Es muy importante que aquello que se está enseñan do o proponiendo haga pensar a los alumnos, que les lleve a querer investi gar, buscar respuestas, resolver. Y para que esto sea posible el alumno ha de ver que lo que le proponen tiene una estrecha relación con la vida y con el
El problema de los problemas
Cuando los alumnos vean que acogemos y valoramos su esfuerzo en intentar resolver un problema, lo que han pensado (a menudo tan diferente de lo que nosotros hablamos previsto), nuestros alumnos se adherirán con gusto a la nueva manera de «hacer problemas». (M.;i Antonia Canals)
Si las matemáticas son la pesadilla de muchos alumnos, los problemas son el peor de los enemigos... ¿Qué pasa con los problemas?
Los problemas requieren ingenio, hacer funcionar la lógica, imagina ción, búsqueda de estrategias... Los problemas son siempre situaciones ines peradas, no hay adiestramiento posible
para resolver un problema. Por muy claro ••• •
que tengan los conceptos, sin todo lo an- . /.v*
terior no 1 ó' podrán resolver. Y como esta
mos haciendo una enseñanza mecánica, como entrenamos poco a los alumnos para pensar ante situaciones nuevas, delante de un problema tiem blan ya ele entrada. Y el drama es que los problemas son, naturalmente, un eje transversal, deberán enfrentarse a ellos desde diferentes conceptos ma temáticos, desde diferentes asignaturas a lo largo de toda la escolaridad. Y lo que es más importante, a lo largo ele tocia su vicia.
El error, de entrada, es que muchos alumnos, inseguros delante de un problema, intentan «adivinar» cuál es la operación que tienen que realizar, suma, resta, división... Y son muchas veces los propios maestros quienes les llevan a este error inicial de actitud con preguntas como «¿qué tienes que hacer, una suma o una resta?». Éste es el camino contrario al razonamiento.
Cuando yo era joven teníamos unas charlas semanales con el pedagogo Ale xandre Gal i4 y me quedó grabada una idea fundamenta! que dijo: los pro blemas primero hay que pensarlos, hemos de pedir al niño que haga un trabajo mental, que nos explique qué pasa, qué pasará, cómo cree que se podrá resolver la situación... antes ele darle papel y lápiz para que haga ope raciones, de lo contrario podríamos caer en el error de pensar que resolver un problema es hacer una operación o aplicar un fórmula adecuada y ya está, A partir de tercero de primaria, decía Galí, es una edad prudente para que los niños empiecen a expresar con operaciones aquello que antes han pensado y calculado mentalmente. Esto es, por lo tanto, lo más importante que deberíamos tener en cuenta como docentes en nuestra didáctica, que los problemas son para pensar y descubrir alguna manera de resolverlos, no para calcular. Yo aconsejo a los maestros que, al plantear un problema, no pregunten a los niños «qué operación hay que hacer», y no siempre lo consiguen. Además, aunque no lo digan, si lo piensan, si en realidad lo que esperan es que los alumnos apliquen la operación adecuada, sin más, los niños lo captan y únicamente intentan hacer eso. Lo que más capta un niño del adulto son sus intenciones.
¿En qué sentido dice esto?
En el sentido de que las intenciones del adulto, lo que en realidad, en el fondo, quiere el adulto, tiene un peso importantísimo a nivel afectivo, emocional, en los niños. Nos quieren complacer porque necesitan nuestra aprobación -siempre y cuando nos vean de su parte, tanto cuando los apo yamos como cuando ¡es regañamos-. Explicaré un caso particular. Mi sobri na, entonces tenía ocho años, llegó a casa con un problema que hablaba de la altura de tres montañas y ie pedían, en la pregunta deí problema, que dijera la altura de las tres m ontañas juntas. Los mayores, al ver que el problema se «esforzaba» en alejarse todo lo posible de la realidad, se inter cambiaron miradas riendo. La niña se dio cuenta, se quedó pensativa unos momentos y de pronto dijo: «¡Ah! Ya sé por qué os reís, porque es imposible juntar las tres montañas una encima de la otra». Su padre, contento por el razonamiento absolutamente lógico de su hija la animó a escribir esta res puesta en su cuaderno. Al cabo de un momento, la niña se puso seria y em
4. Alexandre Galí i Col! (Camprodon, 1886. Barcelona, 1969}, pedagogo catalán impulsor de la escuela activa.
pezó a llorar diciendo: «No puedo escribir eso, no me podéis pedir que es criba eso». «¿Por qué no?», preguntó ei padre. Y ésta fue la respuesta de la niña: «Porque yo creo que lo que quiere la señorita es que yo sume». Es tris te porque, para complacer a la señorita, la niña no se sentía líbre de dar su propia respuesta, a pesar de ser tan correcta como la ele la suma, aun sien do más lógica que la de la suma, aun siendo una respuesta correctamente pensada. Pero mi sobrina había captado perfectamente que la maestra no les estaba pidiendo que pensaran, sino que hicieran sumas. E intuía que su respuesta razonada no le gustaría nada a la maestra, que no le contaría «bien» el problema. Este curricula oculto de las intenciones deja muy clara una norma establecida que dice «No pienses, haz lo que se te pide». Y esto no educa ¡as capacidades de los alumnos. No era pues, aquél, un problema para hacer pensar, era un problema para aplicar una operación, cuando son los problemas para pensar los que ejercitan el razonamiento. Además, hay una gran variedad de problemas para hacer pensar, pero en la escuela se dejan mayoritariamente de lado.
Y ¿cómo son, cómo han de ser, fos verdaderos problemas que hacen pensar?
Los verdaderos problemas son aquellos que no te señalan un camino que te lleva de la mano hacia el concepto matemático que estás estudiando en aquel momento, sin necesidad de pen
sar demasiado, convirtiéndose en mera L 'men ■ ■ • v ¡na =■■- aplicación. Son aquellos problemas que te a?, -ituaoi-ee. ■■ ■ ■ me pr . presentan una situación nueva, para la mas a la realidad del alumno, que no has estado previamente adiestra- e implican un cero que re hace do y que te hacen pensar, imaginar, com- pei.-.-.e.r, ::nmdnue,., Se ede- parar, buscar estrategias... Son aquellos cuan al nivel evolutivo del problemas que se adecúan al nivel evolu- alumno y pueden admitir na le tivo del alumno y a los conceptos que de una solución.
están ya adquiridos y que se proponen ir,
cuando es posible y como todo un reto, un poco más allá. Son los problemas que tienen que ver con la vida, con la experiencia, con el día a día del alum no, de modo que sea evidente su utilidad, su aplicación en situaciones pró ximas que debemos resolver. Son problemas que admiten, a menudo, más de una solución, o estrategias ele solución, porque el ingenio, el razonamiento, es, como todos nosotros, también diverso. Sobre este aspecto de las diversas soluciones son muy interesantes los problemas abiertos.
¿En qué consisten ios problemas abiertos?
Son problemas planteados con la intención de que surjan diferentes soluciones. Tengo una anécdota muy ilustrativa del trabajo desde la es
cuela con Droblemas abiertos. En una ; va e r . . clase de niños y niñas de 5 años, la
ma-ñun a ios niños que, am e una estra les presentó un problema en forma misma situación a resolver. de viñetas. Les explicó que la mamá de puex' uai t;r diver :■. solm i ■- Pau quería hacer un pastel para celebrar
nes válidas. su cumpleaños y envió a su hijo a com
prar 6 huevos. En la primera viñeta se veía al niño con los 6 huevos que acababa de comprar. En la segunda v i ñeta se veía que el niño se caía y se le rompían 2 huevos. La tercera viñe ta estaba en blanco y los alumnos tenían que hacer un dibujo explicando «qué pasaba al final».
La maestra se comprometió a no preguntar a los niños «cuántos hue vos le quedaban a Pau». La respuestas fueron las siguientes: 17 de los 22 niños y niñas de la clase dibujaron en la última viñeta a la madre dándole a Pau un cachete en e! culo por haber roto los huevos... Otro niño dibujó una sartén con algo dentro y explicó que era una tortilla que la madre hizo para aprovechar los dos huevos rotos. Una niña dibujó a Pau con sets hue vos diciendo que había vuelto a la tienda y compró de nuevo los huevos que le habían encargado. Una niña dibujó muchas personas de pie. Cuando la m a estra le preguntó por el significado del dibujo, explicó que como la madre ya no podía hacer el paste!, celebró el cumpleaños haciendo un baile. Otro alumno dibujó en la viñeta muchos cuadraditos pequeños y explicó que como se habían roto dos huevos la torta saldría más pequeña y la madre tendría que cortar trozos muy pequeños para que hubiera para tocios los invitados.
Con tanto ingenio desconcertante, la maestra, que había enseñado ya la resta, no pudo reprimirse más y rompió su compromiso. De modo que, con la última niña, que aún no había dibujado nada, se le escapó un «¿Cuán tos huevos Se quedarán a Pau? La niña, para desesperación de la maestra, dijo que le quedaban seis. La maestra, paciente, le dio una «segunda oportu nidad»: «¿Estás segura?, antes tenía seis, pero se han roto el os..., ¿cuántos tiene ahora?». La niña, impertérrita, seguía diciendo «seis». La maestra, ya un poco nerviosa, insistió: «Pero, ¿cómo puede tener los mismos si se han roto dos?». Y la niña, un poco harta ya, concluyó por fin: «¡Claro que tiene seis, cuatro enteros y dos rotos!».
Es evidente que en m ás ele una ocasión desde la escuda se valora poco el potencial de los alumnos...
Si, demasiado a menudo, por eso los problemas abiertos deberían estar más presentes en el aula. Ofrecen la posibilidad de expresar razo namientos, estrategias, soluciones diversas e imprevistas. Los niños y niñas las legitim an. Y tam bién dan a ios maestros más elementos para conocer las capacidades de sus alumnos. Hay muchos tipos de problemas que permiten una mayor diversidad en la expresión del pensamiento, pero la escuela los ignora m ayoritariam ente.-la escuela se centra, sobre todo, en los problemas de cálculo y además con una m etodología ú nica mente api (cativa.
¿Cuáles serian estos otros tipos de problem as?
Hay los problemas abiertos, de los que ya hemos hablado. Es intere sante tam bién trabajarlos en grupo. Primero cada uno, o cada grupo, piensa su estrategia y su solución. Después se ponen en común las explica ciones sobre las diferentes soluciones, con una actitud respetuosa hacia las diferentes aportaciones. Este tipo de problemas potencian una gran apertu ra de pensamiento. Se presentan, con los alumnos más pequeños, de forma visual, a través de imágenes (encadenamiento de imágenes con una casilla final o intercalada que hay que completar; presentación de una imagen con una pregunta, oral o escrita, etc.).
Otro tipo de problemas serían los de enigmas y juegos, que son situa ciones planteada con materiales, imágenes o texto y sin elementos numéri cos o geométricos relevantes. La solución, que a menudo es única, depende del establecimiento de relaciones correctas entre ios datos y ia incógnita o enigma. A menudo requieren un pensamiento abierto, lleno de creatividad, imaginación, iniciativa, que permite descubrir un punto de vista o un cami no diferente, no habitual. Se les denomina también problemas de ingenio.
También están los problemas de comprensión del texto, con preguntas sobre !o que sucede en la situación que presenta el enunciado del problema. Es importante trabajar este aspecto, porque si el alumno no comprende bien lo que el texto dice, o lo que le pide, no podrá pensar correctamente ni de forma útil. Otro formato serían los problemas de comprensión de la estruc tura, o problemas «con trampa», con datos que faltan o sobran para su re solución y que trabajan la capacidad de reconocer cuáles son los datos
esenciales y los datos complementarios o insignificantes. Estos formatos ayu dan a ejercitar la comprensión, la atención, ei análisis de la situación que se
presenta, y todo ello es fundamental para la resolución de todo tipo de pro blemas. Es lo que podríamos denominar el nudo o centro lógico del problema.
Y los problemas «tradicionales», ¿qué papel juegan en la enseñanza de ¡as m atem áticas?
Los problemas «tradicionales» deben intentar ir más allá de la pura aplicación y de los resultados, anteponiendo el razonamiento creativo.
Los problemas de cálculo, por ejemplo, Los ■ : rr^ u isy . -.'o.v pueden ser un buen ejercicio mental si matemá:?■■■■■ ■: ■■.■■■/toó': : el se plantean para pensar y no para la pensanü r-.' T ■ ■ v e: 'eee- aplicación de una operación después de nio, la a ■. quer- ■re- un adiestramiento. Son problemas de can-solvim situaciones interesantes tidades que, para ser resueltos, requieren y ¡a capa. \ ee' '■asear ‘ra- que se establezcan relaciones u opera-:■ ’ír/VfV/í.'/í- he ■■!>;. ciones entre ellas. En estos problemas es
im portante recordar que la comprensión lógica de la situación ha de estar por encima del aspecto numérico. Entre los problemas de cálculo, se deberían ele potenciar los de cálculo mental -para su resolución ios alumnos han de resolver alguna operación sin ningún material (lápiz y papel o calculadora), sólo con su propia capacidad de imaginarse las cantidades-; los de intercambios y equivalencias, un con cepto im portantísim o en las m atem áticas (medidas con unidades dife rentes pero convertibles, superficies de diferentes figuras, etc.); los que parten de pistas -intentar hallar un número que cumpla determinadas condiciones...-, etc.
Respecto a los problemas de geometría, cuyo objeto son los elementos, relaciones o fenómenos del espacio y que permiten el desarrollo de estrate gias propias, no sólo del cálculo, sino también del conocimiento y compren sión del espacio, es recomendable trabajarlos, mayoritariamente, con material m anipulate. Todos los problemas, siempre que sea posible, deberí an partir del uso y la manipulación de objetos o materiales.
Aunque es difícil dividir con exactitud las diferentes tipologías de pro blemas, la mayoría son de dos o tres tipos, es muy importante combinarlas en e! aula de modo que se puedan ejercitar las diferentes habilidades men tales de los alumnos. Hablando globalmente, los buenos problemas y juegos matemáticos son aquellos que ayudan a desarrollar el pensamiento lógico, el ingenio, la actitud de querer resolver situaciones interesantes y la capaci dad de buscar estrategias adecuadas para hacerlo.
¿Cómo podemos ir h ad o una buena didáctica en el planteam iento y la resolución de problemas?
Primero hemos de ser conscientes de que nuestra manera de ver y en focar los problemas es una de las causas más importantes del déficit de re sultados que obtenemos y que, por lo tanto, hemos de cambiarla si queremos que nuestros alumnos tengan otro concepto de lo que es un pro blema y los aborden con una actitud que les permita ir hacia respuestas ra zonadas y no únicamente aprendidas. Muchos maestros ven los problemas como actividades de cálculo, de aplicación de unas nociones aprendidas y que requieren hacer, necesariamente, unas operaciones aritméticas para lle gar a «la» solución, «buena y única posible». La base del cambio está en que nuestro deseo como maestros, sea, no tanto que los alumnos hagan y apli quen operaciones, sino que piensen, que puedan ir desarrollando las dife rentes habilidades mentales, que ejerciten la resolución de problemas para ir mejorando sus competencias, para hacerlos competentes.
¿Cuál es la razón de que, mayoritariamente, en la escuela sólo se plan teen problemas «tradicionales« y de manera ap licativa?
Es la forma en que la mayoría de maestros han aprendido, y arrastramos unas inercias. También es más fácil y cómodo para el maestro hacerlo asi, hay muchos manuales, muchos libros de texto que nos llevan hada aquí... A mi misma me ha costado muchos años descubrir el objetivo fundamental del planteamiento de un problema, saber que hay otras maneras de hacer. Ma neras que ya se practicaban en las instituciones más avanzadas de la escuela activa en el Estado español, y sobre todo en Cataluña, durante la República.
¿Cuáles serian las normas básicas a tener en cuenta por parte de los maestros a la hora de plantear un pro
blema a sus alum nos? Cuando en el aula pían ream os
En primer lugar, que el punto de par- im problema, hemos de partir ticla sea la vida cotidiana o los intereses de la realidad o intereses de los de los niños, teniendo en cuenta muchas alumno:-. hese::: de ese. me di-posibilidades y situaciones a resolver y j'erentes tipologías. con la fi-que tengan una fuertecarga de significa- nulidad de. ■ \ bs s mr di v ■ asa do para el alumno. Que haya una divers i- habilidades me males, y hemos dad de tipología de problemas para de valorar la búsqueda de es-fomentar el desarrollo de diferentes capa- traregias por encima de ios re-cidades. En la resolución del problema, sudados.
hay que valorar la búsqueda ele estrategias, el razonamiento lógico, por en cima del resultado que se obtenga. También es básico aceptar todas las res puestas de los niños que sean razonadas, aunque sean diferentes a la que el maestro esperaba.
¿S e podría decir que h ay estrategias p ara hacer pensar a ¡os alum nos, estrategias que favorecen un trabajo m enta! en ¡a resolución de proble m as?
Si, hay muchas. Por ejemplo, hacer que sean los propios alumnos los que inventen el enunciado del problema, lo que ayuda a consolidar ios aprendi zajes que se han hecho. Los problemas «en forma inversa», en los que se da la situación final y el alumno ha de buscar la situación inicial, practicando la re versibilidad de! pensamiento, una de las capacidades básicas del pensamien to lógico.
También es muy im portante pedir al alumno que explique verbal mente, o con un dibujo, qué pasa, qué piensa él al respecto, cómo ha de cidido que se puede resolver..., pero hablando de los objetos o elementos del problema, sin hablar de los números o las cantidades; así se les prepa ra para el álgebra. En ios problemas numéricos, con cantidades grandes, es im portante recurrir a cantidades menores que permiten un mayor control de la situación, lo que ayuda a la comprensión y, por lo tanto, a hallar una respuesta razonada.
La diversidad en la presentación y resolución de problemas también ayuda a realizar un trabajo mental: uso de materiales manipulables, tanto para situaciones cuantitativas como geométricas; cálculo mental, y no siem pre con papel, lápiz y cálculo escrito; realizar presentaciones conjuntas de un determinado problema a toda la clase para ser discutido en pequeños grupos, y no siempre individualmente, puesto que el intercambio de reflexiones entre los alumnos es una fuente segura ele aprendizajes.
Tengo tres problem as que me gu staría que resolviera o que com enta ra. ¿S e siente nerviosa?
No, intrigada. Desanimada si no los resuelvo y contenta si me salen.
El prim ero le fue planteado a un niño de 9 años. Dice así: «Te com pran una raqueta por ¡5 euros y la vendes por 20, ¿g anas o pierdes?». El niño contestó: «Pierdo porque me quedo sin raqueta». En la escuela le pusieron un cero, usted, ¿qué le d iría?
Lo encontraría perfecto porque el niño ha contestado con una buena lógica, y la lógica es matemática. Es, por lo tanto, una buena respuesta. Claro que el problema podría tener otras respuestas. Por eso, además, es un buen problema. Los buenos problemas han de tener diferentes posibilidades. Res pecto al 0 de la escuela, me abstengo de opinar.
Vamos ai segundo problem a. A un niño de cuatro años le dan un chi cle y empieza a p ro testar porque quiere dos. Su prim o, m ás mayor, para acabar con sus protestas se levanta, le parte el chicle y le dice: toma, uno y dos. El niño, bien contento, para de protestar. ¿Su diagnóstico?
Es muy normal la reacción del niño pequeño, él piensa que tiene dos porque los puede contar diciendo uno y dos. Así es la noción de cantidad a esta edad. El primo supo bailar una buena estrategia para resolver «el pro blema».
Y el tercero. A una niña de cinco años la m aestra le plantea el si guiente problem a: «Tienes cuatro cerezas y M ariona [su m ejor am iga) te da dos más, ¿cu án tas tendrás? La alum na, im pertérrita, contesta: «A m i no me gustan fas cerezas». ¿Algún com entario?
Esta respuesta es la demostración de que las respuestas de los niños, cuando no son condicionadas sino espontáneas, y en consecuencia reflejan lo que realmente piensan, suelen ser geniales. La niña sabe, probablemente, que ahora tiene seis cerezas, o por lo menos que tiene más cerezas que antes, pero para ella esto es irrelevante. Lo que quiere precisar, !o que nos quiere decir, es que no nos engañemos pensando que ese cambio sea para ella ninguna ganancia. Como no le gustan las cerezas no ha ganado nada, más bien ha perdido porque le costará más, ahora, deshacerse de las cere zas. Creo que la maestra debería acoger este mensaje y replantear el pro blema diciendo, por ejemplo, «Como no te gustan las cerezas, ¿qué harás con ellas?, ¿las repartirás?». Un nuevo planteamiento supone una mejora del problema. La situación se personaliza y se hace más cercana gracias a la res puesta ele la niña y a ia acogida de! adulto.
Aproximación didáctica a los cuatro
grandes bloques de las
matemáticas
Conviene cultivar los interrogantes, hacer surgir la necesidad, formular el deseo de querer saber «cuán to mide» o acuánto pesa», npor qué cambio», «cómo es»... alguna cosa nuestra, de las que hacemos servir en nuestro entorno. Y cultivar también la conciencia ele que hacemos algo útil, y no como táctica de aprendizaje, sino como fidelidad a la realidad de nuestra vida. (M.:i Antonia Canals)
Las m atem áticas se estructuran en campos m uy diversos que se refle ja n en los diversos apartados de los libros, de los currículos...
Sí, se acostumbra a dividir esta área del conocimiento en cuatro gran des bloques o apartados. El cálculo, con el conocimiento de! concepto de cantidad, de los diferentes tipos de números, las relaciones que se pueden establecer entre ellos y los cambios de cantidades u operaciones. La medida, aplicada a diferentes magnitudes, como la longitud, la capacidad, la masa o peso, el tiempo, la superficie, el volumen y los ángulos. La geometría, que es el conocimiento de las formas, de las transformaciones y de las relaciones de posición en el espacio. Y, finalmente, la probabilidad como ciencia que in cluye la estadística, la combinatoria y el estudio del azar. Pero no podemos olvidar los problemas, la lógica y el pensamiento algebraico, aspectos fun damentales de la matemática que hay que trabajar como ejes transversales en todos y cada uno de los cuatro graneles bloques que hemos descrito.
¿Qué es lo fundamental que un maestro debería tener en cuenta a ¡a
hora de trabajar cada bloque concreto?
Es imposible responder de manera genérica, tendríamos que tratarlos uno por uno porque cada uno de estos bloques tiene una complejidad y unas características específicas.
Empecemos pues por el cálculo
,
¿cuáles son los aspectos fundamen
tales del cálculo en la etapa infantil y primaria?
En la etapa infantil, creo que no existe aún propiam ente cálculo, pero hay toda la preparación que, com o sucede con los fundam entos de
un edificio, constituye la base por lo La noción de cantidad es ww que, en cierto sentido, podemos decir que abstracción que se construye a es la parte más im portante. Esta prepa- p a;7/." ;K iu = -.v í■. r.':. :•r /;; / ./; ración es, en general, todo el trabajo de
ia manipulación de objetos. A. iu lógica, y, de manera más específica, con- noción de cantidad no se liega tar objetos, establecer correspondencias a partir de! número escrito, se y relaciones entre cantidades de objetos, y Ucea compara,hi>> crup : la ordenación y clasificación de grupos dife reñir r.inm.w - de ; ..jeto:-.. de objetos teniendo en cuenta su núm e ro de elementos. La práctica en estas ac tividades, y muchas otras prácticas que niños y niñas hacen por su cuenta en la vida diaria, les lleva, de form a natural y arm ónica, a la cons trucción ele la noción de cantidad, aproxim adam ente hacia los seis o siete años.
Es fundamenta! tener en cuenta que a la noción de cantidad no se llega a partir del número escrito, se llega comparando grupos con diferente nú
mero de objetos. La noción de cantidad es La uíquisi.- r ■ ■ / o . > o una abstracción que se construye a partir cantidad y kt realización c de la experiencia, de la manipulación de operaciones han de ir jumas.. objetos, no de la identificación con un son sima (raneas. número escrito o con una expresión cul tura! determinada. La noción de cantidad, tai y como acabamos de definirla, está estrecham ente ligada a la ele opera ción. En efecto, según define Piaget, la noción de cantidad es el convenci miento de que ésta no cambia cuando los elementos cambian de aspecto, de forma o de posición, sino sólo cuando añadimos o quitamos objetos. Por eso la noción de cantidad aparece al mismo tiempo, es inseparable, de la noción de operación, que no es otra cosa que un cambio de cantidad
dir, quitar, etc.). El hecho de tener adquirida una primera noción de canti dad es lo que, en referencia al cálculo, marca el paso de la etapa infantil a la primaria.
Otro aspecto importante, y que debería mejorarse, es ayudar al alumno a descubrir que hay diferentes tipos de números. Los niños se encuentran cotidianam ente con números negativos y de estos números no se habla en primaria.
En este mismo bloque del cálculo, m ás allá de los núm eros y las can tidades están las operaciones entre ¡os núm eros. ¿Cóm o se tendrían que trab ajar en el a u la ?
Para poder operar entre diferentes números -de manera comprensiva, no sólo mecánica- hay que tener adquirida, como ya he dicho, la noción de cantidad. La adquisición ele la noción de
cantidad y la realización de operaciones Los alum nos han de hacer las van juntas, son simultáneas. Esto es bási- operaciones entendiendo su co para que los alumnos hagan las opera- rhinijieado, no única m a n e su clones entendiendo su significado, no sólo m ecánica,
su mecánica.
Respecto a cómo deberían trabajarse las operaciones en el aula, que rría decir que las operaciones entre núm eros deberían hacerse de tal manera que permitieran trabajar con los alumnos tres aspectos fundam en tales. El primero, la lógica ele las operaciones: se han ele hacer operaciones entendiendo su significado, como ya he dicho, no sólo su ejecución mecá nica, reconociendo la operación inversa y descubriendo las leyes funda mentales de aquella operación concreta que se está realizando, es decir, las propiedades de las operaciones. Todo ello sienta las bases ele muchos con ceptos matemáticos posteriores como, por ejemplo, la resolución de ecua ciones, El segundo aspecto que debería estar presente en toda operación es el aspecto funcional, o de relación con la vicia. Es decir, el alumno ha de ver que aquella operación sirve para resolver situaciones concretas y ha de re conocer la operación en estas situaciones
concretas y saber aplicarla para poder Tocia operación ha de tener su resolverlas. El tercer aspecto es la resolu- : : cccfc íu a ck :ad y debe relu cida práctica de la operación, propia- donarse con ¡a vida.
mente dicha, es decir, saber hacerla,
primero m entalm ente y cuando llaga falta con los instrumentos, entre ellos la calculadora, y las técnicas necesarias, entre ellas los algoritmos escritos.
