TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN PROBABILIDAD

SUBTEMA: NOCIÓN DE PROBABILIDAD Grado Bloque Apartado

• Enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Utilizar la escala de la probabilidad entre 0 y 1 y vincular diferentes formas de expresarla. Establecer cuál de dos o más eventos en una experiencia aleatoria tiene mayor probabilidad de ocurrir y justificar la respuesta

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• Reconocer las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.

1° V 4

• Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son independientes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes.

2° IV 4

• Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son mutuamente excluyentes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia.

2° V 4

• Utilizar la simulación para resolver situaciones

probabilísticas. 3° II 6

La Probabilidad

Muchos de los eventos que ocurren en la vida diaria no pueden ser predichos con exactitud desde antes por diversas razones, pues la mayoría de los hechos están influidos por factores externos. Además, existen aquellos sucesos que están directamente influidos por el azar, es decir, por procesos que no se está seguro de lo que va a ocurrir. Sin embargo, la probabilidad nos permite acercarnos a esos sucesos y estudiarlos, ponderando las posibilidades de su ocurrencia y proporcionando métodos para tales ponderaciones. Precisamente, algunos de esos métodos proporcionados por la probabilidad nos llevan a descubrir que algunos sucesos tienen una mayor o menor probabilidad de ocurrir que la ponderación

asignada a través del sentido común. Nuestros sentidos, la información previa que poseemos, nuestras creencias o posturas, nuestras inclinaciones, son algunos de los factores que intervienen para no permitirnos hacer ponderaciones reales y sistemáticas. La probabilidad nos permitirá estudiar los eventos de una manera sistemática y más cercana a la realidad, retribuyéndonos con información más precisa y confiable y, por tanto, más útil para las disciplinas humanas. A continuación te presentamos algunas definiciones y actividades que te servirán de apoyo para reafirmar tus conocimientos de los contenidos del programa de estudios en relación con el tema de probabilidad.

101 Conteo y Diagramas de Árbol

Conocimientos y habilidades: Enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Utilizar la escala de la probabilidad entre 0 y 1 y vincular diferentes formas de expresarla. Establecer cuál de dos o más eventos en una experiencia aleatoria tiene mayor probabilidad de ocurrir y justificar la respuesta.

Un recurso muy útil para conocer todos los posibles resultados de un experimento aleatorio son los diagramas de árbol.

Ejemplo: Al lanzar dos dados, ¿cuántos resultados posibles hay en total?

¿Cuántos de los resultados posibles son favorables al evento: la suma de los números que salen es un número impar?

Para encontrar la respuesta, en tu cuaderno elabora y completa un diagrama de árbol como el siguiente:

Tomado de la Guía Interactiva para Secundaria 2008.

Una vez que los alumnos hayan calculado los resultados posibles de varios experimentos, llámele “Espacio muestral” a cada uno de dichos conjuntos y pida a los alumnos que ellos escriban su definición con sus propias palabras.

Si fuera necesario consolidar la noción de experimentos aleatorios y la descripción del espacio muestral, se les puede pedir a los alumnos que ellos inventen experimentos aleatorios y

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determinen el espacio muestral. Seguro que recordarán algunos de los que manejaron en la escuela primaria. Pueden intercambiar experimentos para determinar los espacios muestrales. En el caso de que existan más de un suceso a observar, habría que contar el número de veces que pueden ocurrir todos los sucesos que se desean observar, para ello se utiliza el principio fundamental de conteo:

Si un suceso se puede presentar de n1 formas, y otro se puede presentar de n2 formas,

entonces el número de formas en que ambos sucesos pueden presentarse en ese orden es de n1·n2.

Ejemplo: Al lanzar dos dados cada uno de estos puede caer de seis formas diferentes; entonces el número de formas en que pueden caer al ser lanzados juntos es 6 x 6 = 36

En otras palabras, basta multiplicar el número de formas en que se puede presentar cada uno de los sucesos a observar.

Eventos

Cuando se realiza un experimento, que es cualquier proceso que produce un resultado o una observación, se van a obtener un conjunto de valores. A este conjunto de valores que puede tomar una variable se le denomina espacio muestral.

Por ejemplo: Si se tiene un dado cualquiera, el espacio muestral (EM) es EM={1,2,3,4,5,6}. Si existen más de una variable, el espacio muestral está formado por las combinaciones de valores de cada una de las variables.

Si tomamos un subconjunto cualquiera del espacio muestral tenemos lo que se denomina un evento, y si éste consta de un solo elemento entonces es un evento elemental.

Como se puede uno imaginar, existen eventos que siempre, no importa el número de experimentos o su situación, ocurren, y en cambio existen otros que nunca ocurren. Los que siempre ocurren son los eventos seguros, y los que nunca son los eventos imposibles.

Ejemplo: “días de la semana en que sale el sol” es un evento seguro ya que todos los días sale el sol (aunque esté nublado)

Al lanzar un dado “el numero que cae es mayor que 6”; es un evento imposible ya que el dado solamente tiene seis caras enumeradas.

NOTA: Solicitar a los alumnos que nombren algunos eventos seguros y otros imposibles. Sin embargo, no todos los resultados son al azar, pues si un experimento es cualquier proceso entonces los resultados pueden tomar cualquier tipo de valor. Por esta razón, se define como experimento aleatorio al proceso en el que se pueden predecir con certeza la ocurrencia de sus eventos, con excepción del seguro o del imposible. Hay que hacer la observación que esta

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definición habla en términos generales y no específicamente sobre algún experimento en particular.

A aquélla variable que está asociada a un experimento de este tipo se le denomina variable aleatoria.

Probabilidad empírica y teórica de un evento.

Una urna contiene 3 canicas, una azul (a), una blanca (b) y otra café (c). Después de revolver las canicas, se extrae una al azar, se anota su color y se regresa a la urna. El experimento anterior se repitió 20 veces y se obtuvieron los siguientes resultados: a) ¿Cuál crees que será el color de la canica que se extraiga la próxima vez y por

qué?

Se repitió varias veces el experimento anterior y se obtuvieron las siguientes series de 20 extracciones:

Solicitar a los alumnos que realicen el mismo experimento y anotar los resultados que obtuvieron en la serie de 20 extracciones.

Guiar el análisis con las siguientes preguntas:

¿Obtuviste los mismos resultados que en las series anteriores? ¿Cuántas veces te salió una canica blanca?

¿Cuántas veces salió una canica azul? ¿Cuántas veces una café?

De acuerdo con el experimento, una vez que se extrae y anota el color de la canica se regresa a la urna. Entonces, antes de realizar una nueva extracción ¿cuántas canicas y de qué color hay en la urna?

Si un color aparece dos veces seguidas, ¿es más probable que la próxima canica sea o no del mismo color? ¿por qué?

Si repites 10 veces el experimento podrías predecir cuántas veces extraerás una canica café?, ¿y una blanca?

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Realiza este experimento solamente 10 veces y completa la tabla siguiente: Evento No. De veces

que se extrae

Frecuencia relativa No. De veces que se espera extraer

Una canica azul __ /10

Una canica blanca

__ /10

Una canica café __ /10

Total 1

El problema que se plantea en esta pregunta implica que los alumnos pongan en juego sus intuiciones y conocimientos sobre cómo determinar los resultados posibles al realizar un experimento aleatorio. Particularmente se averigua sobre las reflexiones y los argumentos en los que los alumnos se basan para dar sus respuestas. En este caso, los valores de las probabilidades frecuenciales de los eventos simples: extraer una canica de color azul; extraer una canica de color blanco y extraer una canica de color café, no son iguales a los valores de sus probabilidades clásicas (que son de 1/3). Esto sucede porque 20 extracciones podrían ser “pocas” para que el valor de la probabilidad frecuencial (frecuencia relativa) se acerque o sea igual al de la clásica. Los alumnos deben saber que la probabilidad frecuencial es una medida obtenida de la experiencia de algún fenómeno o experimento aleatorio que permite estimar a futuro un comportamiento. Sin embargo, no es definitiva por lo que es importante saber interpretar los resultados que se obtienen.

Algunos alumnos considerarán que los resultados obtenidos en las 20 extracciones son “suficientes” y “representativos” para determinar que en la próxima extracción la canica será de color blanco. En este caso, en la retroalimentación se busca que los alumnos reflexionen si existen otras combinaciones en que se pudieran dar las 20 extracciones.

Los alumnos que seleccionan la opción b) sólo consideran la información proporcionada por la última repetición del experimento aleatorio. Los alumnos que seleccionan la opción c), observan la aparición de una racha a favor de un resultado, por ejemplo, el número de veces que se ha extraído la canica blanca y creen que eso disminuye la probabilidad de salga blanca. Para cualquiera de esas situaciones, se le sugiere dar a los alumnos la oportunidad de resolver problemas que requieran la recolección o simulación de sus propios datos para la toma de decisiones. Lo cual significa, introducir la enseñanza de la probabilidad de modo experimental y confrontar las creencias personales de sus alumnos, de carácter determinista.

Finalmente, los alumnos deben saber que para obtener la probabilidad clásica de un evento, no se requiere de la realización de experimentos como en la probabilidad frecuencial, sino de conocer dos datos: el de todos los resultados posibles que se pueden dar en el experimento, y el de los resultados favorables del evento que se observa. Por lo que la probabilidad clásica que un evento es diferente de la probabilidad frecuencial. Después de realizar muchos experimentos, la probabilidad frecuencial debe parecerse a la clásica.

Ahora considera los 60 resultados que aparecen en las series 1, 2 y 3 al inicio del problema y realizando el conteo completa la siguiente tabla:

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Evento: extraer No. De veces que se extrae

Frecuencia relativa

Una canica blanca

___ /60

Una canica azul Una canica café

Totales 1

Calcula la probabilidad clásica de cada evento

Evento: extraer posibles resultados de total No. evento al favorables resultados de No.

Una canica blanca Una canica azul Una canica café Totales

Si comparamos el valor de la frecuencia relativa del evento ”extraer una canica azul” con el valor de su probabilidad clásica ¿cuál valor es mayor?

Compara los demás valores y describe qué sucede:

Ejemplo: En el diagrama siguiente aparecen marcados los resultados favorables al evento: “que se obtenga 2 o 3 en alguno de los datos”, del espacio muestral que corresponde al experimento de “ lanzar dos dados al aire”.

Si la probabilidad de que ocurra un evento es mayor que cero (probabilidad de un evento nulo) y menor que 1 (probabilidad de un evento seguro) se dice que es un evento aleatorio a un caso especial de un experimento o acción efectuada, como lanzar una moneda, un dado, sacar una carta, tirar un dardo a la ruleta, etc.

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¿Cuántos resultados posibles tiene el evento: que se obtenga 2 o 3 en alguno de los datos? ¿Qué fracción representa este conjunto del total de resultados posibles del experimento de lanzar dos dados al aire?

El propósito de la pregunta es que los alumnos identifiquen el evento que tiene mayor probabilidad clásica (o teórica) de ocurrir. Al lanzar los dados hay 36 resultados posibles, que corresponde al espacio muestral del experimento de lanzar dos dados; cada uno con la misma probabilidad de ocurrir. Es posible que, cuando se considera la suma de los números que se obtienen, los alumnos determinen que hay 11 resultados posibles: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12; sin embargo, no todos tienen la misma probabilidad de ocurrir (para la suma 7 hay 6 formas de obtenerla y la suma 2 se obtiene de una sola forma: cuando cae 1 en ambos dados.). Pida a estos alumnos que le comenten sobre los resultados posibles hasta completar el espacio muestral del evento: que sume 2 o 3. Puede ser que estén considerando por separado el número de resultados en el que se obtiene 2 y en el que cae 3; es decir, que supongan que en el primer dado hay 6 formas de obtener 2 y 6 cuando cae 3, y que consideren la misma cantidad de resultados para el segundo dado. La conclusión errónea sería entonces que existen 24 resultados favorables. Pídales que cuenten los resultados favorables que se señalan en la retroalimentación, resalte que (3,2) y (3,3) se consideran solamente una vez.

Aunque en la primaria los alumnos ya han resuelto ejercicios semejantes, es posible que algunos tengan dificultades para abordarlos, si esto ocurre, hay que promover una discusión para recordar que la probabilidad de obtener un resultado puede expresarse con la razón del número de casos favorables entre el número total de resultados posibles.

Algunos problemas un poco más complejos podrían ser los siguientes:

Al realizar el experimento de lanzar simultáneamente dos dados y sumar los puntos obtenidos:

 ¿Cuál es el espacio muestral de obtener 2 puntos?

 ¿Cuál es el espacio muestral de obtener 10 puntos?

 ¿De cuántas maneras posibles se puede obtener un número mayor que 3 y menor que 6?

 ¿Qué es más probable, que se obtenga un número par o uno impar? ¿Por qué?

 ¿Qué es más probable, que se obtenga un número múltiplo de 2, un número múltiplo de 3 o un múltiplo de 4? ¿Por qué?

• Experimento: Lanzas dos monedas al mismo tiempo y observas las caras que caen. Obtener el espacio muestral

 Evento R: "En la primera moneda cae sol". ¿Cuántos resultados posibles hay?

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Se tiene un disco giratorio dividido en 10 sectores circulares iguales, tres de los cuales están marcados con 1, dos con 2 y cinco con 3.

 ¿Cuál es la probabilidad de que el dardo se clave en un sector marcado con 1?

 ¿Cuál es la probabilidad de que el dardo se clave en un sector marcado con 2?

 ¿Cuál es la probabilidad de que el dardo se clave en un sector marcado con un número diferente a 1?

 ¿Qué es más probable, que el dardo se clave en un sector marcado con 1 o en uno marcado con 3?

Al realizar el experimento de lanzar simultáneamente dos dados y sumar los puntos obtenidos:

 ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 puntos?

 ¿Cuál es la probabilidad de obtener 10 puntos?

 ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 3 y menor que 6?

 ¿Qué es más probable, que se obtenga un número par o uno impar? ¿Por qué?

 ¿Qué es más probable, que se obtenga un número múltiplo de 2, un número múltiplo de 3 o un múltiplo de 4? ¿Por qué?

• Al realizar el experimento de lanzar un dado: a) ¿Cuál es el espacio muestral?

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 10? ¿Por qué? c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número menor que 7? ¿Por qué?

La intención de las preguntas es que los alumnos descubran que la escala para calcular la probabilidad clásica va desde 0, es decir desde que el evento es imposible que ocurra, hasta el 1 cuando es seguro que el evento suceda. Algunas preguntas adicionales que permiten este análisis son las siguientes:

¿Se podría dar el caso en que el número de resultados favorables sea mayor que el número de resultados posibles?

¿Cuál es el mayor valor que puede tener la medida de la probabilidad? ¿Y el menor? ¿Qué significa que un fenómeno tiene probabilidad cero de ocurrir?

¿Qué significa que un fenómeno tiene probabilidad uno de ocurrir?

La clave para que el alumno adquiera un aprendizaje significativo tiene que ver con las preguntas que hagamos al respecto del objeto de estudio y la reafirmación del conocimiento adquirido.

Cuando se ha terminado el análisis de las preguntas puede pedírseles que intenten representar las probabilidades encontradas con otras expresiones equivalentes. Concluir que la probabilidad puede expresarse con una fracción, con un decimal o con un porcentaje. Así la respuesta a la pregunta c) es ½, 0.5 o 50%.

108 Predicción

Conocimientos y habilidades: Reconocer las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.

Al lanzar dos dados, ¿cuál de los siguientes eventos tiene mayor probabilidad de ocurrir? a) Que la suma de los números que salgan sea par

b) Que se obtenga dos o tres en alguno de los dados

c) Que la suma de los números que salgan sea menor o igual a 7 d) Que la suma de los números que salgan sea impar

Es recomendable que se propicie el análisis de las predicciones y compararlas con los resultados del juego; de ser posible aclarar las confusiones a partir del espacio muestral del experimento “lanzar dos dados y sumar los puntos que salgan”; así mismo elaborar el diagrama de árbol o arreglo cartesiano que muestre todas las posibles soluciones y contrastarlas con los resultados reales al lanzar varias veces dos dados; entendiendo por “salir”, las caras que quedan hacia arriba en cada dado.

a) Que la suma de los números que salgan sea par

b) Que se obtenga dos o tres en alguno de los dados

c) Que la suma de los números que salgan sea menor o igual a 7 d) Que la suma de los números que salgan sea impar

Es recomendable que se propicie el análisis de las predicciones y compararlas con los resultados del juego; de ser posible aclarar las confusiones a partir del espacio muestral del experimento “ la suma de las caras superiores al lanzar dos monedas al aire”, que se puede representar mediante un diagrama de árbol o arreglo rectangular.

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La probabilidad clásica de un evento E, que denotaremos por P(E), se define como el número de eventos elementales que componen al evento E, entre el número de eventos elementales que componen el espacio muestral:

Es la definición más utilizada porque supone de antemano, y se necesita como requisito indispensable, que todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir. Eventos independientes o mutuamente excluyentes

Conocimientos y habilidades: Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son independientes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes.

Determinar el espacio muestral que resulta al hacer el experimento de lanzar dos dados y contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos dados caigan en número par?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que en ambas caras aparezca el mismo número? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de sus caras sea 10?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de sus caras sea un 10 o un 6?

e) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de sus caras sea 10 y en ambas aparezca el mismo número?

La idea fundamental de esta actividad es retomar elementos básicos de la probabilidad mediante diversos cálculos.

Un arreglo rectangular o un diagrama de árbol son recursos que, si no surgen espontáneamente de los alumnos, pueden sugerirse para determinar el espacio muestral del