B.6. Teorema de Hartman-Grobman
B.6.1. Teorema de Hartman-Grobman para difeomorfismos
Como hemos comentado, trabajaremos en espacios de funciones y con mapas lineales acota- dos. En el caso general, para dos espacios de Banach E1 y E2, si A : E1→ E2 es un mapa lineal
definimos la norma de A como:
||A|| = sup
v6=0
|Av|2
|v|1
(B.35)
El mapa lineal A es un mapa lineal acotado si la norma ||A|| es finita (aun cuando la funci´on A no tome valores acotados en E2). Sea L(E1, E2) el conjunto de los mapas lineales acotados
entre E1 y E2 para la norma || · ||. En particular, trabajaremos en los espacios E1= E2= Rn.
Una funci´on F : Rn→ Rnse llama acotada si existe una C > 0 de forma que uniformemente
se satisface |F (x)| ≤ C para todo x ∈ Rn. Sea Cb0(Rn) = Cb0(Rn, Rn) el espacio de todos los mapas continuos y acotados de Rn en Rn. En este espacio, introducimos la topolog´ıa dada por el supremo:
||v1− v2||0= sup
x∈Rn
|v1(x) − v2(x)|. (B.36)
Con esta norma, Cb0(Rn) es un espacio m´etrico completo.
Para un mapa diferenciable G : Rn → Rk, la derivada en cada punto a ∈ Rn es un mapa
lineal acotado DG(a) : Rn → Rk. Sea C1
b(Rn) el conjunto de las funciones diferenciables de
Rn en Rn, G : Rn → Rn, tales que G ∈ Cb0(Rn) y tales que existe una cota uniforme para su
derivada, es decir, existe una constante C independiente de a ∈ Rn tal que ||DG(a)|| ≤ C.
Consideraremos funciones F : Rn → Rn tales que F = A + G con A ∈ L(Rn, Rn) un mapa
lineal hyperb´olico invertible y G ∈ Cb1(Rn). El teorema de Hartman-Grobman global dice que F puede conjugarse con A por un mapa continuo h : Rn → Rn con h = Id + v y v ∈ C0
b(Rn). En
concreto:
Teorema B.4. Sea A ∈ L(Rn, Rn) un mapa lineal hiperb´olico invertible. Existe un ε > 0 tal que si G ∈ Cb1(Rn) con Lip(G) < ε, entonces F = A + G es topol´ogicamente conjugado a A por un mapa h = Id + v con v ∈ Cb0(Rn), y la conjugaci´on es ´unica entre mapas Id + k con k ∈ Cb0(Rn). Formalmente, la existencia de la conjugaci´on puede probarse por el Teorema de la Funci´on Impl´ıcita. Para G ∈ C1
b(Rn), queremos encontrar un mapa Id + v que conjuga A + G con A, esto
es:
(A + G) ◦ (Id + v) = (Id + v) ◦ A, (A + G) ◦ (Id + v) ◦ A−1 = Id + v, 0 = Id + v − (A + G) ◦ (Id + v) ◦ A−1,
En consecuencia, definimos Ψ : Cb1(Rn) × Cb0(Rn) → Cb0(Rn) por
Ψ(G, v) = v − A ◦ v ◦ A−1− G ◦ (Id + v) ◦ A−1. (B.38) Dado G, queremos encontrar vG tal que Ψ(G, vG) = 0. Notemos que Ψ(0, 0) = Id − A ◦
Id ◦ A−1 = 0 luego esperamos poder utilizar el Teorema de la Funci´on Impl´ıcita cerca de (0, 0) ∈ Cb1(Rn) × Cb0(Rn) pare resolver vG con Ψ(G, vG) = 0.
Todas nuestra t´ecnicas se apoyan en el teorema B.2, por lo que cambiaremos el problema de encontrar un cero de Ψ por el de encontrar un punto fijo de la funci´on Θ : Cb1(Rn) × Cb0(Rn) → Cb0(Rn) dado por
Θ(G, v) = L−1{Lv − Ψ(G, vG)}, (B.39)
donde Lv = (Id − A#)v, con A#v = A ◦ v ◦ A−1.
Tras ver que L es un isomorfismo (lema B.2) probaremos que si ||L||Lip(G) < 1, entonces Θ(G, ·) es una contracci´on en C0
b(Rn) con un ´unico punto fijo vG. Tomando F = A + G y
h = Id + vG, vemos que h = F ◦ h ◦ A−1 o bien h ◦ A = F ◦ h. Finalmente, el lema B.3 prueba
que h es inyectiva y el lema B.4 prueba que h es exhaustiva, luego h es una conjugaci´on de A con F .
Previo a la demostraci´on, es preciso introducir algo m´as de notaci´on y algunos resultados sobre mapas lineales en espacios de Banach. La matriz A es hiperb´olica, por consiguiente pode- mos definir los subespacios estable e inestable: Eu⊕ Es= Rn.
Descomponemos as´ı el espacio, Cb0(Rn, Rn) = Cb0(Rn, Eu) ⊕ Cb0(Rn, Es), de funciones con- tinuas acotadas. Pondremos normas en Eu y Es tales que el mapa lineal A sea una contracci´on y una expansi´on en estos subespacios: ||(A|Eu)−1|| ≤ a < 1 y ||AEs|| ≤ a < 1. En Rn conside-
raremos la norma del m´aximo entre las normas de Eu y Es: si v = vu+ vs con vσ ∈ Eσ para
σ = u, s entonces
|v| = m´ax{|vu|, |vs|}. (B.40)
Sea el mapa de Cb0(Rn, Rn) definido anteriormente:
L(v) = v − A ◦ v ◦ A−1= (Id − A#)v. (B.41) Para σ = u, s, sea Aσ#= A#|C0 b(Rn,Eσ) y L σ = L| C0 b(Rn,Eσ).
Introducimos ahora el siguiente:
Lema B.2. Sea E un espacio de Banach y G, B ∈ L(E, E).
(a) Si ||G|| ≤ a < 1, entonces Id − G es un isomorfismo y ||(Id − G)−1|| ≤ 1−a1 .
(b) Si B es un isomorfismo con ||B−1|| ≤ a < 1, entonces B − Id es un isomorfismo con ||(B − Id)−1|| ≤ a
1−a.
(a) Dado y queremos encontrar x tal que x − Gx = y, o x = y + Gx. Podemos encontrar este x como punto fijo de un mapa u. Sea u : E × E → E dado por u(x, y) = y + Gx. Entonces u(x1, y) − u(x2, y) = G(x1− x2), luego |u(x1, y) − u(x2, y)| ≤ a|x1− x2|.
As´ı, fijado y, u(·, y) es una contracci´on. Por el teorema B.2, existe un ´unico punto fijo xy = u(xy, y) = y + Gxy. As´ı, y = (Id − G)xy. La existencia de xy muestra que Id − G es
exhaustivo. La unicidad muestra que Id−G es inyectivo. Para conseguir la cota de la norma de la inversa, notamos que si x = (Id − G)−1y, entonces, x − Gx = y y |x| − a|x| ≤ |y|, que podemos despejar:
|(Id − G)−1y|
|y| ≤
1
1 − a. (B.42)
de modo que (Id − G)−1 es un mapa lineal acotado y ||(Id − G)−1|| ≤ 1−a1 .
(b) Por el apartado (a), B−1− Id es un isomorfismo. Como B − Id = B(Id − B−1 vemos que tambi´en es isomorfismo. Su inversa es (B −Id)−1= (Id−B−1)−1B−1, luego ||(B −Id)−1|| ≤
a 1−a.
Mirando (B.39) notamos que es preciso demostrar tambi´en la existencia de L−1. La norma de Aσ# viene dada por:
||Aσ#|| = sup v∈C0 b(Rn,Eσ)\{0} ||Aσ #v||0 ||v||0 . (B.43) donde v ∈ Cb0(Rn, Eσ), ||As#v||0= sup x∈Rn |Av ◦ A−1x| = sup y∈Rn |Av(y)| ≤ a||v||0. (B.44)
As´ı, ||Aσ#|| ≤ a, y por el apartado (a) del lema anterior, Ls = Id − Aσ
# es invertible con
||(Ls)|| ≤ 1
1−a. Por un c´alculo similar, ||(A u #)
−1|| ≤ a, y por el apartado (b), Lu = Id − Au # es
invertible con ||(Lu)−1|| ≤ a
1−a. Debido a que la norma en Rn es la m´axima de las normas de Eu
y Es, tenemos que ||L−1|| ≤ 1 1−a.
Ahora estamos en situaci´on de ver que Θ es contractivo:
Θ(G, v) = L−1{Lv − Ψ(G, v)} = L−1{v − A#(v) − v + A#(v) + G ◦ (Id + v) ◦ A−1} = L−1{G ◦ (Id + v) ◦ A−1}. (B.45) As´ı, ||Θ(G, v1) − Θ(G, v2)||0 ≤ ||L−1|| sup x∈Rn |G ◦ (Id + v1) ◦ A−1x − G ◦ (Id + v2) ◦ A−1x| ≤ 1
1 − aLip(G) supy∈Rn
|v1(y) − v2(y)|
≤ 1
Para G fijado con 1−a1 Lip(G) < 1, Θ(G, ·) es una contracci´on en Cb0(Rn, Rn). Ya que es un espacio m´etrico completo, existe un ´unico punto fijo vG con Θ(G, vG) = vG, que es equivalente
a Ψ(G, vG) = 0. Tomando F = A + G y h = Id + vG, el hecho que Ψ(G, vG) = 0 implica que
h = (A + G) ◦ h ◦ A−1 = F ◦ h ◦ A−1, que implica h ◦ A = F ◦ h. Lo ´unico que queda por ver es que h es un homeomorfismo.
Lema B.3. El mapa h = hF es inyectivo.
Demostraci´on. Si h(x) = h(y), entonces h ◦ Ax = F ◦ h(x) = F ◦ h(y) = h ◦ Ay. Por inducci´on, h(Anx) = h(Any) para n ≥ 0. Usando el hecho que F es invertible y F−1◦ h = h ◦ A−1, podemos ver que h(Anx) = h(Any) para n ≤ 0, luego para todo n ∈ Z.
Ahora, escribimos x = xu+ xs y y = yu+ ys con xσ, yσ ∈ Eσ. Si x 6= y, entonces xu 6= yu
y xs 6= ys. Si xu 6= yu, entonces |Ajxu− Ajyu| ≥ a−j|xu− yu|. As´ı, podemos tomar j ≥ 0 con
|Ajxu − Ajyu| ≥ 3||h − Id||
0 > 0. (Si h = Id entonces es homeomorfismo y hemos acabado.)
Entonces, tomando xj = Ajx y yj = Ajy, h(xj) − h(yj) = xj− yj+ (h − Id)(xj) − (h − Id)(yj),
luego 0 = |h(xj) − h(yj)| ≥ |xuj − yju| − |(h − Id)(xj)| − |(h − Id)(yj)| ≥ ||h − Id||0 > 0. Esta
contradicci´on muestra que no es posible que xu 6= yu. Finalmente, usando iterados negativos
probamos xs= ys.
Lema B.4. El mapa h es exhaustivo, luego es un homeomorfismo de Rn.
Demostraci´on. Se demuestra a partir del hecho que h est´a a una distancia acotada de la iden- tidad: sea b = ||h − Id||0. Sean Br(0) y Br(0) las respectivas bolas abiertas y cerradas centradas
en el or´ıgen y de radio r, y sea S(r) = Br(0) \ Br(0) la esfera de radio r centrada en el or´ıgen.
Notamos que para todo x ∈ Br(0), h(x) ≤ |h(x) − x| + |x| ≤ b + r, luego h(Br(0)) ⊂ Br+b(0).
De forma similar, para x ∈ S(r), |h(x)| ≥ |x| − |h(x) − x| ≥ r − b, luego h(S(r)) ⊂ Br+b(0) \
Br−b(0).
Como h es biyectiva, env´ıa conjuntos abiertos a conjuntos abiertos. En particular, las im´agenes h(Br(0)) son abiertas. Tomando su uni´on, h(Rn) es abierto.
Por otro lado, supongamos que z0 ∈ Rn. Existir´a pues una sucesi´on de xj ∈ Rn con h(xj)
covergiendo a z0. As´ı, h(xj) es acotado con |h(xj)| ≤ |z0| + 1 ≡ R. Como R ≥ |h(xj)| ≥ |xj| − b,
tenemos que |xj| ≤ R + b, y los xj est´an acotados. Como BR+b(0) es un compacto, existir´a na
subsucesi´on xji, que converge a un punto x0 ∈ BR+b(0). Por continuidad de h, h(x0) = z0. En
consecuencia, z0 est´a en la imagen y h(Rn) = h(Rn).
Como h(Rn) es abierto y cerrado en Rn conexo, entonces h(Rn) = Rn.
Ahora presentamos la versi´on local del teorema. Para ello, definimos una funci´on ξ : Rn → [0, 1] de clase C∞ que cumpla la condici´on siguiente:
ξ =
1, si |x| ≤ 1
2, si |x| ≥ 2 (B.47)
y de esta forma, fijado un δ, definimos el difeomorfismo local en un entorno U = m´ax{|x|} ≤ δ:
G(x) = ξ |x| δ
En particular, tenemos el siguiente
Teorema B.5. Sea U0 un entorno abierto del origen en Rn. Sea F : U0 → Rn un difeomorfismo
local Crcon r ≥ 1 tal que F (0) = 0 y A = DF (0). Entonces, dado ε > 0, existe un entorno menor U ⊂ U0 y una extensi´on Cr que denotamos F : Rn→ Rn con F |U = F |U, (F − A) ∈ Cb1(Rn, Rn),
y Lip(F − A) < ε.
Demostraci´on. Tomamos una funci´on C∞del tipo (B.47). En particular, podemos encontrar una cota para su primera derivada |ξ0(x)| ≤ K.
Sea G = F − A (vemos que DG(0) = 0). Tomamos δ > 0 tal que ||DG(x)|| < ε/(4K) para todo x ∈ B2δ(0) ⊂ U0 (bola abierta de radio 2δ centrada en el origen). Y denotamos:
G(x) = ξ |x| δ
G(x) F (x) = Ax + G(x). (B.49)
De este modo F |U = F |U donde U = Bδ(0) y F |Rn\B2δ(0) = A. As´ı F ∈ C
1
b(Rn, Rn) y s´olo
queda comprovar que G es lipschitziana. Tomando x, y ∈ B2δ(0) tenemos:
|G(x) − G(y)| = |ξ |x| δ G(x) − ξ |y| δ G(y) | ≤ |ξ |x| δ − ξ |y| δ | · |G(x)| + |ξ |y| δ | · |G(x) − G(y)| ≤ K1 δ|x − y| ε 4K |x| + ε 4K |x − y| ≤ ε 1 2 + 1 4K |x − y| ≤ ε|x − y|. (B.50)
que termina la demostraci´on.