4. Aplicaciones de las derivadas
4.3. Teoremas de Rolle, Cauchy y Lagrange
4.5. Ejercicios propuestos
¿Quieres saber más?
¿Entras a descubrir nuevos mundos?
72 Capítulo 4. Aplicaciones de las derivadas
U
no de los problemas que se aborda en el cálculo diferencial es el del cálculo de los puntos singulares de las curvas, es decir, los máximos, mínimos y puntos de inflexión. Es de interés, por sus aplicaciones, optimizar relaciones o funciones para obtener máximos o mínimos absolutos de las mismas en un cierto intervalo de definición. En este capítulo abordaremos estos temas y para poder estudiarlos en profundidad estableceremos algunos resultados importantes en este contexto, como son el teorema de Rolle4.3.1, el teorema de Lagrange 4.3.7o la regla de L’Hôpital 4.4.1.4.1.
Monotonía y extremos
4.1.1. Crecimiento y decrecimiento de una función
Definición 4.1.1.
La función f : Dom(f)−→R se dice que es creciente (a veces tam-
bién se dice estrictamente creciente) en el intervalo (a, b) ⊂Dom(f) si para cualesquierax1, x2 ∈(a, b)conx1 < x2 se tiene quef(x1)< f(x2).
a b f(x1) x2 f(x2) x1 Definición 4.1.2.
La función f : Dom(f)−→ R se dice que es creciente en un punto
c∈Dom(f) si existe E(c, r)⊂Dom(f), entorno centrado en c, tal que
4.1. Monotonía y extremos 73 Definición 4.1.3.
La función f : Dom(f) −→ R se dice que es decreciente (a ve-
ces también se dice estrictamente decreciente) en el intervalo (a, b) ⊂ Dom(f) si para cualesquiera x1, x2 ∈ (a, b) con x1 < x2 se tiene que
f(x1)> f(x2).
a x1x2 b
f(x1)
f(x2)
Definición 4.1.4.
La función f : Dom(f)−→Rse dice que es decreciente en un punto
c∈Dom(f) si existeE(c, r)⊂Dom(f), entorno centrado en c, tal que
f(x)> f(c) six∈(c−r, c) yf(c)> f(x) si x∈(c, c+r).
Ejemplo 4.1.5 La función f(x) = x2 definida en todo R es creciente en
x= 2 y decreciente en x=−2.
Basta tomar los entornosE(2,1) yE(−2,1)y hacer las comprobaciones.
Proposición 4.1.6
Supongamos quef : (a, b)−→R es derivable enc∈(a, b). Se tiene que:
• sif′(c)>0, entonces f es creciente en c;
• sif′(c)<0, entonces f es decreciente en c. Demostración. Tenemos que f′(c) = l´ımx→c f(x)−f(c)
x−c . Sif′(c)>0 enton-
ces existe un entorno E(c, r) en el que f(xx)−−fc(c) tiene el mismo signo que
f′(c), es decir f(x)−f(c)
x−c >0. Por lo tantof(x)−f(c)yx−ctienen el mismo
signo en E(c, r), o sea, si x > c entonces f(x) > f(c) y si x < c entonces
f(x)< f(c) parax∈E(c, r) y, por tanto, resulta quef es creciente enc.
74 Capítulo 4. Aplicaciones de las derivadas
maximapuede ayudar a decidir si una función es creciente o decreciente en un punto. Con el comandodraw2d podemos dibujar gráficas como ya sabemos (no olvides cargar el paquete draw al iniciar la sesión) y con el comando diff podemos calcular la derivada de una función dada. Es fácil combinar ambos comandos para resolver las cuestiones del ejemplo4.1.7. El código es el siguiente:
(%i1) load(draw)$ (%i2) f(x):=cos(x);
define(g(x),diff(f(x),x)); ev(g(x),x=%pi/4);
draw2d(grid=true, color=red,
explicit(f(x),x,%pi/4-0.2,%pi/4+0.2))$ (%o2) f(x) := cos (x) (%o3) g(x) :=−sin (x) (%o4) −√1 2 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95
Ejemplo 4.1.7 Dada la función f(x) = cosx, estudia si es creciente o de- creciente en x0=π/4.
Derivamos, f′(x) = −senx, y calculamos f′(π4) = −senπ4 =−√22 < 0. Luego f es decreciente en el punto pedido.
Observación 4.1.8 Es importante hacer notar que la proposición anterior da una condición suficiente pero no necesaria para que una función sea cre- ciente en un punto; es decir, si f′(c) > 0 entonces f es creciente en c,
pero f puede ser creciente en c y no ser f′(c) >0. Por ejemplo, la función
f(x) =x3 es creciente en 0 como fácilmente se puede comprobar y, sin em- bargo, f′(0) = 0. Lo mismo vale para decreciente.
Lo que sí es cierto, como consecuencia de la proposición anterior, es que sif : (a, b)−→R es una función derivable en c∈(a, b) entonces:
4.1. Monotonía y extremos 75
• sif es creciente en c entonces f′(c)≥0;
• sif es decreciente en c entonces f′(c)≤0.
El estudio del crecimiento y decrecimiento global de una función lo reco- gen las dos proposiciones que siguen, cuyas pruebas incluimos aquí por con- veniencia, aunque hacen uso del teorema del valor medio de Lagrange 4.3.8 que se demuestra después.
Proposición 4.1.9
Sea f : [a, b]−→ R una función continua en [a, b] y derivable en (a, b).
Si f′(x)≥0 (resp.f′(x)>0) para todo x∈(a, b), entonces para cada y < z
en[a, b]se tiene f(y)≤f(z) (resp. f(y)< f(z)).
Demostración. Para caday < z en [a, b]consideramos el intervalo[y, z]⊂
[a, b], dondef verifica las hipótesis del teorema de Lagrange4.3.8. Por tanto existe c∈(y, z) tal que
f(z)−f(y)
z−y =f′(c)≥0.
Así f(z)−f(y) ≥ 0, o lo que es lo mismo f(y) ≤ f(z) como queríamos
demostrar. "
Proposición 4.1.10
Sea f : [a, b]−→ R una función continua en [a, b] y derivable en (a, b).
Si f′(x) ≤0 (resp. f′(x) <0) para todo x∈ (a, b), entonces para y ≤z en
[a, b]se tiene que f(y)≥f(z) (resp. f(y)< f(z)).
Corolario 4.1.11
Sea f : [a, b]−→ R una función continua en [a, b] y derivable en (a, b).
Si f′(x) = 0 para todo x∈(a, b), entonces f es constante.
Demostración. Basta combinar las proposiciones 4.1.9 y4.1.10. " Corolario 4.1.12
Seanf, g: [a, b]−→Rfunciones continuas en [a, b]y derivables en(a, b).
Si f′(x) =g′(x) para todo x∈(a, b), entonces existe c∈Rtal que
76 Capítulo 4. Aplicaciones de las derivadas
Demostración. Consideramos la función
h(x) =f(x)−g(x), x∈[a, b].
Se tiene que h′(x) = f′(x)−g′(x) = 0 para todo x ∈(a, b), luego después del corolario 4.1.11 se tiene h(x) = c para cada x ∈ [a, b]. Esto prueba la
fórmula (4.1). "
4.1.2. Máximos y mínimos de una función
Definición 4.1.13.
La función f : (a, b) −→ R tiene en el punto c∈ (a, b) un máximo
relativo si existe un entorno E(c, r) ⊂(a, b) tal que f(x) ≤ f(c) para cualquier x∈E(c, r).
c−r x c x c+r
f(x) f(x)
f(c)
Definición 4.1.14.
La función f : (a, b) −→ R tiene en el punto c ∈ (a, b) un mínimo
relativo si existe un entorno E(c, r) ⊂ (a, b) tal que si x ∈ E(c, r) se verifica que f(x)≥f(c). c−r c+r f(c) x f(x) x f(x) c
4.1. Monotonía y extremos 77 Los conceptos anteriores se extienden también al caso de intervalos ce- rrados [a, b], o semicerrados [a, b) y (a, b], con las modificaciones naturales: del entorno únicamente se consideran los puntos pertenecientes al intervalo en el que la función está definida.
Por ejemplo, si existe un entornoE(a, r)tal que six∈E(a, r)∩[a, b]se cumple quef(x)≤f(a)entonces se dice que f tiene un máximo relativo en el punto a.
Extremos.
Los puntos donde una función f tiene máximos o mínimos relativos se denominan extremos relativos.
Proposición 4.1.15
Si f : (a, b) −→ R es una función derivable en c ∈ (a, b) y presenta un
máximo o mínimo relativo en c entoncesf′(c) = 0.
Demostración. Supongamos que ces un máximo relativo, es decir, existe
un entornoE(c, r)tal que six∈E(c, r)se verificaf(x)≤f(c).Se tiene que
f′(c) =f+′ (c) = l´ım x→c+ f(x)−f(c) x−c ≤0 f′(c) =f−′ (c) = l´ım x→c− f(x)−f(c) x−c ≥0. Como 0≤f−′ (c) =f′(c) =f+′ (c)≤0 entonces f′(c) = 0.
La demostración para el caso del mínimo es análoga. "
Para funciones derivables el resultado anterior nos proporciona una con- dición necesaria, pero no suficiente, para buscar los extremos relativos que estén en el interior del intervalo en el que la función está definida.
Ejemplo 4.1.16 La función f(x) =x3 tiene derivada nula en 0 y en dicho punto no hay extremo relativo.
Proposición 4.1.17
Sea f : (a, b) −→ R una función derivable en (a, b) y sea c∈ (a, b) con
f′(c) = 0. Supongamos que existe también la derivada segunda de f enc. Se
78 Capítulo 4. Aplicaciones de las derivadas
• sif′′(c)<0, entoncesf presenta un máximo relativo en c;
• sif′′(c)>0, entoncesf presenta un mínimo relativo en c.
Demostración. Demostramos el caso f′′(c) >0. Si f′′(c)>0, entonces f′
es creciente enc. Como f′(c) = 0se tiene que
f′(x)<0 six∈(c−r, c) y f′(x)>0six∈(c, c+r).
Utilizando las proposiciones 4.1.9 y4.1.10 concluimos que
f(c)≤f(x), si x∈(c−r, c+r),
y por tantof tiene enc un mínimo relativo.
El casof′′(c)<0se demuestra de forma análoga. " Observación 4.1.18 En general, si f : (a, b) −→ R es una función 2n−1
veces derivable en(a, b), si existef(2n(c)parac∈(a, b)y si además se cumple que
f′(c) =f′′(c) =· · ·=f(2n−1(c) = 0 pero f(2n(c)̸= 0,
entonces se tiene que:
• sif(2n(c)<0, entonces f presenta un máximo relativo en c;
• sif(2n(c)>0, entonces f presenta un mínimo relativo en c.
Ejemplo 4.1.19 La función f(x) =x4 tiene en x= 0 un mínimo relativo.
Se tiene quef′(x) = 4x3 se anula en x= 0. Las derivadas f′′(x) = 12x2
yf(3(x) = 24x también se anulan parax = 0, pero f(4(x) = 24 ̸= 0. Luego la primera derivada que no se anula es la cuarta (par) y además es positiva, luego la función presenta enx= 0 un mínimo relativo.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Si queremos estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función una estrategia podría ser derivar la función y ver dónde se anula. A continuación estudiar el signo de la derivada a derecha e izquierda de los valores obtenidos, pero a éstos hay que añadir los puntos donde la función no sea derivable.
4.1. Monotonía y extremos 79
Ejemplo 4.1.20 Es fácil comprobar que la funciónf(x) =√3x2está definida
en todo R, es derivable en todos los puntos salvo en el 0 y su derivada no se
anula nunca.
Precisamente en 0hay un mínimo relativo y pasa de ser decreciente a la izquierda de 0a ser creciente a su derecha.
1 2 3 4 −1 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4
Ejemplo 4.1.21 (PAU Región de Murcia, septiembre 2008). Dada la fun- ciónf(x) = 4x−2x, se pide hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento así como los extremos relativos.
Dom(f) =R\ {4}, siendo x = 4una discontinuidad de segunda especie
de f, como fácilmente se puede comprobar. Derivamosf y obtenemos
f′(x) = 8x−x
2
(4−x)2
y ahora resolvemos la ecuación 8x−x2 = 0, que da como soluciones 0 y 8. Estudiamos el signo de la derivada en los diferentes intervalos (añadiendo el punto donde la función no existe) y de ahí deducimos el crecimiento o decrecimiento de la función, haciendo uso de las proposiciones4.1.9y4.1.10:
x <0 0< x <4 4< x <8 x >8
f′ − + + −
f decreciente creciente creciente decreciente
Por lo tanto en el punto de abscisa x = 0 hay un mínimo relativo y en el punto de abscisa x= 8hay un máximo relativo.
80 Capítulo 4. Aplicaciones de las derivadas
4.1.3. Optimización de funciones
Definición 4.1.22.
La función f : Dom(f) −→ R tiene en el punto c ∈ Dom(f) un
máximo absoluto si f(x)≤f(c) para cualquier x∈Dom(f).
Se dirá que f tiene en c un mínimo absoluto si f(x) ≥ f(c) para cualquier x∈Dom(f).
En ocasiones se nos plantean problemas de optimización, es decir, pro- blemas en los que averiguar cuándo una magnitud alcanza su valor máximo o mínimo absoluto, sujeta a ciertas condiciones en su dominio de definición. En el lenguaje que estamos aprendiendo aquí, lo que se plantea es determinar el máximo o mínimo absoluto de una función en un determinado dominio.
Puntos críticos.
Si queremos buscar los extremos absolutos de f : [a, b] −→ R, en
primer lugar veremos dónde es continua la función y después hemos de considerar:
• los extremos del intervalo;
• los puntos donde la función es continua pero no derivable;
• los puntos donde la derivada se anula.
A cualquiera de estos puntos los denominaremos puntos críticos.
Teniendo en cuenta las posibles discontinuidades y los puntos críticos estaremos en condiciones de saber si hay máximo y/o mínimo absoluto.
Ejemplo 4.1.23 La función f : [−1,2]−→Rdefinida por f(x) =x2 alcan-
za el máximo absoluto en el extremo x= 2 y el mínimo absoluto se alcanza en x= 0 coincidiendo con el único mínimo relativo. En el punto x=−1 se tiene un máximo relativo.
Efectivamente, observamos primero que la función es continua en[−1,2]. La derivadaf′(x) = 2x se anula en x= 0 y presenta en dicho punto un mí-
nimo relativo, como fácilmente se puede comprobar. Por otra parte tenemos quef(−1) = 1,f(2) = 4yf(0) = 0.
4.1. Monotonía y extremos 81 1 2 3 4 1 2 3 −1 −2 f(x) =x2 Máx Mín
Ejemplo 4.1.24 Sea f : [0,1] → R la función definida por f(x) = x. La
derivada f′(x) = 1 no se anula nunca, ahora bien, la función es continua y está definida en un intervalo cerrado, por el teorema de Weierstrass 2.2.5 alcanza el máximo y el mínimo.
Como la función es trivialmente creciente el máximo y el mínimo se en- cuentran en los extremos del intervalo
f(0)≤f(x)≤f(1). 1 1 2 −1 −2 f(x) =x Máx Mín
Ejemplo 4.1.25 Consideremos la función f(x) = |x| definida en R, que
como sabemos no es derivable en cero y en dicho punto la función alcanza el mínimo absoluto. 1 2 3 1 2 3 −1 −2 −3 f(x) =|x| Mín
82 Capítulo 4. Aplicaciones de las derivadas
Ejemplo 4.1.26 Halla los puntos de la curva y = 1+1x2 en que la recta tangente tiene pendiente mínima y máxima.
La pendiente de la tangente a la curva es la funciónm(x) =−2x/(1+x2)2
que está definida en todoRy cuya derivada esm′(x) = (6x2−2)/(1+x2)3, que
se anula enx=±1/√3. Teniendo en cuenta quem(x)→0six→±∞vemos que en +√1
3 y − 1
√
3 se alcanzan, respectivamente, el mínimo y el máximo
absoluto de m. 1 2 −1 1 2 3 −1 −2 −3 f(x) =1+1x2 m <0 m >0
Ejemplo 4.1.27 Determina el máximo y el mínimo absolutos de la función
f(x) =x5+x+ 1 en [−1,1].
La función es continua y derivable en todoR, en particular en el intervalo [−1,1]. Además su derivadaf′(x) = 5x4+1es siempre positiva y por lo tanto,
gracias a la proposición 4.1.9, será creciente en[−1,1];f alcanza el mínimo absoluto enx=−1, siendo su valor en este punto−1, y el máximo absoluto se alcanza en x= 1, siendo su valor 3.
1 2 3 −1 1 2 −1 −2 y=x5+x+ 1 Mín Máx
4.1. Monotonía y extremos 83
Ejemplo 4.1.28 De todos los cilindros inscritos en una esfera de radio R, halla la altura del cilindro que tiene volumen máximo, obteniendo éste.
Llamemos h a la altura del cilindro inscrito y r al radio de su base. Queremos determinar la relación que existe entre h yr para poder expresar la función volumen en función de una sola variable. Observando la figura siguiente vemos que, por el teorema de Pitágoras, R2 = r2 +%h
2 &2 luego r2 =R2−h42. h/2 r R h
El volumen del cilindro viene dado por la función
V(h) =πr2h=π ' R2−h 2 4 ( h=πR2h−π 4h 3 (4.2)
donde h por la propia construcción de la figura recorre el intervalo [0,2R]. Claramente se ve que en los extremos el volumen vale 0, es decir será mínimo. Derivando
V′(h) =πR2−3π
4 h
2
e igualando a 0 obtenemos como solución que h = 2√33R. Si calculamos la derivada segunda
V′′(h) =−3π 2 h
y sustituimos el valor anterior resulta ser negativa, luego se trata de un má- ximo. Sustituyendo dicho valor en la fórmula (4.2) se obtiene que el volumen máximo esV = 4√3πR3/9.
84 Capítulo 4. Aplicaciones de las derivadas
4.2.
Curvatura y puntos de inflexión
4.2.1. Convexidad y concavidad
Definición 4.2.1.
Una función f : (a, b) −→R diremos que es convexa si verifica que
para cualesquiera x1, x2 ∈(a, b) y 0≤t≤1 se cumple
f((1−t)x1+tx2)≤(1−t)f(x1) +tf(x2).
Geométricamente quiere decir que para cada punto
xt= (1−t)x1+tx2, 0≤t≤1,
del intervalo [x1, x2]el valor de función en dicho punto xt es menor o igual
que la ordenada del punto (xt, yt) que está en la cuerda que une los puntos
(x1, f(x1))y(x2, f(x2)).
f(x1)
f(x2)
x1 x2
Definición 4.2.2.
Una función f : (a, b) −→ R diremos que es cóncava si −f es con-
vexa.
La ilustración de la concavidad la da la gráfica que sigue.
f(x1)
f(x2)
4.2. Curvatura y puntos de inflexión 85
Proposición 4.2.3
Sif : (a, b)−→Res una función derivable en (a, b) se cumple que:
• sif′ es creciente, entonces f es convexa;
• sif′ es decreciente, entonces f es cóncava.
Corolario 4.2.4
Si f : (a, b) −→R es una función que admite derivada segunda en (a, b)
se cumple que:
• si f′′ es positiva, entonces f es convexa;
• sif′′ es negativa, entonces f es cóncava.
4.2.2. Puntos de inflexión
Definición 4.2.5.
Sea f : (a, b) −→R una función. Un punto c∈(a, b) diremos que es
deinflexiónpara f si en él la función pasa de ser convexa a ser cóncava o recíprocamente.
Proposición 4.2.6
Seaf : (a, b) −→Runa función dos veces derivable en (a, b) para la que
existe la derivada tercera en c∈(a, b). Si f′′(c) = 0 y f′′′(c)̸= 0 entonces f
presenta un punto de inflexión en c.
Observación 4.2.7 En general, si f : (a, b)−→R es una función 2n veces
derivable en (a, b), existe f(2n+1(c) para c∈(a, b) y además se cumple que
f′′(c) =f′′′(c) =· · ·=f(2n(c) = 0 pero f(2n+1(c)̸= 0,
entonces f presenta un punto de inflexión enc.
Ejemplo 4.2.8 Consideremos la función f(x) = x3. Sabemos que f′(x) = 3x2, f′′(x) = 6x y f′′′(x) = 6, luego f′(0) =f′′(0) = 0 pero f′′′(0) = 6̸= 0,
86 Capítulo 4. Aplicaciones de las derivadas 1 2 −1 −2 −3 1 −1 −2 f(x) =x3
Ejemplo 4.2.9 Calcula los puntos de inflexión de la curva f(x) = senx. Calculamos la derivada segunda: f′(x) = cosx, f′′(x) = −senx que se anula para los valores0 +kπ siendo k∈Z.
Hacemos ahora la derivada tercera, f′′′(x) = −cosx, y es fácil ver que no se anula en los valores anteriores, luego se trata de los puntos de inflexión de la función dada.
Si queremos estudiar los intervalos donde una función es convexa o cón- cava una estrategia podría ser derivar dos veces la función y ver dónde se anula. A continuación estudiaremos el signo de la derivada segunda a derecha e izquierda de los valores obtenidos, pero a estos hay que añadir los puntos donde la función no sea derivable.
Ejemplo 4.2.10 Estudia los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de f(x) =x2e−x.
La función f(x) =x2e−x admite derivadas sucesivas en todo R. Calcu-
lamos la segunda derivada y la igualamos a cero
f′(x) = 2xe−x−x2e−x =%2x−x2&e−x
f′′(x) = (2−2x)e−x−%2x−x2&e−x =%2−4x+x2&e−x f′′(x) = 0⇒2−4x+x2 = 0⇒x= 2±√2
x <2−√2 2−√2< x <2 +√2 2 +√2< x
f′′ positiva negativa positiva
f convexa cóncava convexa
4.3. Teoremas de Rolle, Cauchy y Lagrange 87
Ejemplo 4.2.11 (PAU Castilla y León). Dada la función
f(x) = x
2−3x+ 3
x−1
se pide estudiar la convexidad y concavidad, así como los posibles puntos de inflexión.
Claramente Dom(f) = R−{1} y en x = 1 hay una discontinuidad de
segunda especie. Calculemos su derivada segunda
f′(x) = (x−1)(2x−3)−(x 2−3x+ 3) (x−1)2 = x2−2x (x−1)2 f′′(x) = (x−1) 2(2x−2)−(x2−2x)2(x−1) (x−1)4 = 2 (x−1)3
por lo tanto la derivada segunda no se anula nunca y no hay puntos de inflexión. Por otra parte
• f′′(x)<0 six∈(−∞,1), entoncesf es cóncava en(−∞,1);
• f′′(x)>0 six∈(1,∞), entonces f es convexa en(1,∞).
4.3.
Teoremas de Rolle, Cauchy y Lagrange
Teorema 4.3.1. Rolle.
Si f : [a, b] −→ R es una función continua en [a, b], derivable en (a, b) y f(a) =f(b) entonces existe c∈(a, b) tal que f′(c) = 0.
Michel Rolle
Ambert, 1652 - París 1719
Demostración. Comof es continua en[a, b], por
el teorema de Weierstrass (2.2.5), alcanza el máxi- mo y el mínimo, digamos en α,β ∈ [a, b], respecti- vamente, es decir
f(α)≥f(x)≥f(β)
para cualquierx∈[a, b].
88 Capítulo 4. Aplicaciones de las derivadas
!α oβ, o ambos, pertenecen al interior del intervalo. Entonces, gracias
a la proposición 4.1.15,f′ se anula en α oβ o en ambos.
!Niαniβ pertenecen al interior del intervalo. Ello significa que son los
extremos de dicho intervalo. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que α=ayβ =b,entonces
f(a) =f(α)≥f(x)≥f(β) =f(b)
pero, al serf(a) =f(b), resulta quef es una función constante y su derivada
se anula en todos los puntos de (a, b). "
Geométricamente el teorema nos indica que, bajo las condiciones exigidas, existe al menos un punto de la gráfica de la función en el que la pendiente de la tangente a la curva en dicho punto es 0, es decir paralela al eje OX. En la gráfica que se muestra a continuación se ve que pueden existir varios puntos verificando la condición.
a c b
Ejemplo 4.3.2 La función tgx toma valores iguales para x = 0 y x = π, ¿se puede aplicar el teorema de Rolle 4.3.1en el intervalo [0,π]?
Evidentemente no, puesto que la función no es continua en [0,π] ya que presenta, como es sabido, una discontinuidad de segunda especie enx=π/2.
Ejemplo 4.3.3 (PAU Castilla y León, 2011).Dada la funciónf: [0,2]−→R
definida por
f(x) =
> √
x si 0≤x≤1
−32x2+ 72x−1 si 1< x≤2,
estudia si verifica las hipótesis del teorema de Rolle 4.3.1.
Claramente se ve quef(0) =f(2) = 0. Por otra parte, la función √x es continua y derivable con derivada continua en(0,+∞) y−3
2x2+72x−1lo es
en todo R, por lo tanto el único punto que puede plantear dudas en cuanto
4.3. Teoremas de Rolle, Cauchy y Lagrange 89 Veamos ahora sif es derivable en x= 1.
f′(1+) = l´ım x→1+f ′(x) = l´ım x→1+ . −3x+7 2 / = 1 2 f′(1−) = l´ım x→1−f ′(x) = l´ım x→1− 1 2√x = 1 2
luego se cumple que f′(1) = 12, por lo tanto f es derivable en (0,2) y sí se puede aplicar el teorema de Rolle.
Ejemplo 4.3.4 Consideramos la función f(x) = 7 +xm(1−x)n siendom y n números naturales. Demuestra que f′ tiene al menos una raíz en (0,1),
sin calcular la derivada.
Evidentemente f es continua y derivable en todo R y, en particular, en [0,1]. Al serf(0) =f(1) = 7el teorema de Rolle 4.3.1 garantiza que existe
c∈(0,1) donde f′(c) = 0.
Observación 4.3.5 Como consecuencia del teorema de Rolle 4.3.1se tiene que si f es continua y derivable se cumplen las siguientes afirmaciones:
• entre dos ceros consecutivos de una función f existe al menos un cero de la derivada;
• entre dos ceros consecutivos de la derivada, existe a lo más un cero de la función.
Ejemplo 4.3.6 (PAU Castilla-La Mancha). Demuestra, usando el teorema de Bolzano 2.2.1, que existen al menos tres raíces reales distintas de la ecua- ción x5−5x+ 3 = 0. Demuestra, usando el teorema de Rolle 4.3.1, que la
ecuación anterior no puede tener más de tres raíces reales distintas. Consideramos la funciónf(x) =x5−5x+ 3cuya derivada es:
f′(x) = 5x4−5 = 5 (x−1) (x+ 1)%x2+ 1&.
Como f′se anula en1y−1,resulta quef se anula como máximo tres veces,
ya que sif se anulase más veces, por ejemplo cuatro, por el teorema de Rolle
90 Capítulo 4. Aplicaciones de las derivadas Para demostrar que se anula exactamente tres veces, utilizamos el teore- ma de Bolzano. Consideremos los intervalos [−2,0],[0,1]y[1,2].
f(−2) =−32 + 10 + 3<0 f(0) = 3>0 A Por T. Bolzano =⇒ f se anula en(−2,0) f(0) = 3>0 f(1) = 1−5 + 3<0 A Por T. Bolzano =⇒ f se anula en(0,1) f(2) = 32−10 + 3>0 f(1) = 1−5 + 3<0 A Por T. Bolzano =⇒ f se anula en (1,2)
En el ejemplo anterior hemos aprendido a acotar el núme- ro de soluciones de una ecuación combinando los teoremas de Bolzano y de Rolle. Conmaximapodemos encontrar esas so- luciones o dar aproximaciones a las mismas con una precisión más que suficiente para la inmensa mayoría de las necesidades. Puedes practicar modificando la función y calculando las raíces de la ecuación que de- termina.
(%i1) f(x):= x^5-5*x+3$
draw2d(grid=true,xaxis=true,xaxis_type=solid, color=red,explicit(f(x),x,-2,2) )$
find_root(f(x), x,-2,0); find_root(f(x), x,0,1); find_root(f(x), x,1,2); (%o2) -10 -5 0 5 10 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 (%o3) −1.618033988749895 (%o4) .6180339887498948 (%o5) 1.275682203650985
4.3. Teoremas de Rolle, Cauchy y Lagrange 91 Teorema 4.3.7. Valor medio generalizado o de Cauchy.
Si f, g: [a, b]−→R son funciones continuas en[a, b]y derivables en (a, b), entonces existe c∈(a, b) verificando:
f′(c)%g(b)−g(a)&=g′(c)%f(b)−f(a)&.
Augustin Louis Cauchy
París, 1789 - Sceaux, 1857 Demostración. Consideramos la función
h(x) =f(x)*g(b)−f(a)+−g(x)*f(b)−f(a)+
que es continua en[a, b]y derivable en(a, b), por ser suma y producto de funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b). Además h(a) =h(b) = 0 como se comprueba fácilmente. Por lo tanto h verifica las condiciones del teorema de Rolle 4.3.1, luego existe
c∈(a, b) tal tal queh′(c) = 0, lo que equivale a que
f′(c)*g(b)−f(a)+−g′(c)*f(b)−f(a)+= 0,
que claramente termina la demostración del teorema. "
Teorema 4.3.8. Valor medio de Lagrange.
Si f : [a, b] −→ R es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe c∈(a, b) verificando
f(b)−f(a)
b−a =f
′(c).
Joseph-Louis Lagrange
Turín, 1736 - París 1813 Demostración. Si tomamos g(x) = x y aplicamos
a las funciones f yg el teorema de Cauchy 4.3.7 de- ducimos la existencia de un punto c∈(a, b) tal que
f′(c)(b−a) = 1·(f(b)−f(a)),
que es lo que queremos demostrar. "
La interpretación geométrica del teorema de La- grange 4.3.8, como podemos observar en la gráfica
92 Capítulo 4. Aplicaciones de las derivadas siguiente, es que existe un punto c ∈ (a, b), tal que la recta tangente a la gráfica de f en (c, f(c)) es paralela a la recta secante que une los puntos
(a, f(a))y(b, f(b)).
a b
f(a)
f(b)
c
El teorema de Lagrange se usa para demostrar ciertas desigualdades. Al abordar la demostración de estas desigualdades la dificultad radica en determinar a qué función y a qué intervalo se le puede aplicar el teorema.
Ejemplo 4.3.9 Demuestra que si0< a < b, entonces 1−ab <lnab < ba−1. Aunque sospechamos qué función y qué intervalo elegir, hagamos algunos cambios en la desigualdad para que quede más claro. Operando tenemos que la desigualdad que queremos establecer equivale a
b−a
b <lnb−lna < b−a
a
que a su vez es equivalente a
1 b < lnb−lna b−a < 1 a.
Ahora se ve con más claridad que podemos aplicar el teorema de Lagran- ge4.3.8 a la funciónf(x) = lnxen el intervalo[a, b]. Claramente se cumplen las hipótesis del teorema, luego existec∈(a, b) tal que
lnb−lna b−a =f ′(c) = 1 c Como a < c < b tenemos 1 b < 1c < 1a de donde 1 b < lnb−lna b−a < 1 a