350
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as
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la w
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200
las
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U
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350
pro
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Má
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00
de
las
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e
-
l
ibris
ecto
Matemáticas II
Bachillerato
de Ciencia y Tecnología
José Asensio Mayor
José Martínez Hernández
Antonio Moreno Rael
José Asensio Mayor es Licenciado y
Doctor en Matemáticas por la Universidad de Murcia (UM) y Profesor Titular de Álgebra en la misma, con amplia experiencia docente. Autor de diversos trabajos sobre teoría de anillos y del libroEcuaciones Algebraicas (DM-UM). Actualmente es Delegado en la UM de la Real Sociedad Matemática Española (RSME) para la Olimpiada Matemática Española y miembro de la Comisión de Educación de la RSME. Entre 1996 y 1999 fue Coordinador General de las Pruebas de Acceso a la Universidad en la UM y es Coordinador con Educación Secundaria de la misma. Ha participado en diversos proyectos de Innovación Educativa financiados por el ministerio de educación y la Comunidad Autónoma de la Región de Murcia.
José Martínez
Hernández es Licenciado en Matemáticas por la Universidad de Granada. Catedrático de Enseñanza Secundaria (Matemáticas) y Director del IES Isaac Peral (Cartagena). Es Profesor Asociado de la Universidad Politécnica de Cartagena y Delegado la Olimpiada
Matemática Española (RSME) para la misma, donde además ejerce como preparador de olimpiadas matemáticas. Ha desarrollado material educativo con énfasis en el uso de aplicaciones como Geogebra. Obtuvo varios Premios TIC de la CARM: 2o
en 2005, 3o en 2006 y 1o
en 2007. Fue Tutor del Instituto Nacional de Tecnología Educativa entre los cursos 2009/2010 y 2012/2013. También es Premio de la Academia de Ciencias de la Región de Murcia.
Antonio Moreno Rael es Licenciado en Matemáticas por la Universidad de Murcia y Catedrático de Enseñanza Secundaria en la especialidad de Matemáticas. Actualmente es Director del IES Rey Carlos III de Águilas.
Profesor preparador de alumnos para la Olimpiada Matemática Española, ha participado en diversos proyectos de innovación educativa relacionados con las matemáticas. José Navarro Cáceres es
Licenciado en Matemáticas por la Universidad de Murcia y Catedrático de Enseñanza Secundaria en la especialidad de Matemáticas. Desarrolla su labor docente en el IES Alquibla
Primera edición
A.M.S. Mathematics Subject Classification (2010): 00-01, 15-01, 26-01, 51-01 Código IBIC: PBF, PBKA, PBM
Código CDU: 512,514, 517
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pág.47,http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Darboux.jpg
pág.48,http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Karl_Weierstrass.jpg
pág.87,http://alain.camanes.free.fr/thumbs/rolle_michel-1652_1719.jpg
pág.91,http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Augustin_Louis_Cauchy.JPG
pág.91,http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lagrange_portrait.jpg
iv
pág.173,http://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/papiro_rhind.htm
pág.174,http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gabriel_Cramer.jpg
pág.174,http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hermann_Graßmann.jpg
pág.206,http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Arthur_Cayley.jpg
pág.254,http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Carl_Friedrich_Gauss.jpg
pág.294,http://commons.wikimedia.org/wiki/File:GeorgFrobenius.jpg
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pág.313,http://euclides59.files.wordpress.com/2013/01/27396_david_hilbert.jpg
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Pestañas de acceso a capítulos: en color intenso
el capítulo actual 1.1. Límites de sucesiones 1.2. Límites de funciones. Definiciones 1.3. Operaciones con límites de funciones 1.4. Resolución de indeterminaciones 1.5. Ejercicios propuestos
1.2. Límites
1.3. Operaciones
1.4. Resolución 1.5. Ejercicios
Índice de capítulos con hipervínculos internos
3. Derivadas. Funciones derivables
3.1. Derivada en un punto. Función derivada 3.2. Reglas de derivación . . . . 3.3. Ejercicios propuestos . . . .
3.
Derivadas.
3.1. Deriv
3.2. Reglas
3.3. Ejercicios
Índice general con hipervínculos internosT
tangente en un punto . . . .57
tasa de variación media . . . .54
teorema de Bolzano . . . .45
de Cauchy . . . .91
de Darboux . . . .47
de Lagrange . . . .92
T un punto . . . .57
ariación media . . . .54
Bolzano . . . .45
hy . . . .91
oux . . . .47
Lagrange . . . .92
Índice terminológico con hipervínculos internos or ello que el conjunto de puntos
espacio vectorial V3de vectores libres lado, en el capítulo12habíamos visto
teníamos definido un producto escalar, éase la proposición12.2.5):
que el conjunto de
vectorial
V
3de vectores
capítulo
12
habíamos
definido un producto
proposición
12.2.5
):
Hipervínculosinternos
eso por lo que nosotros lo La definición de límite Weierstrass (1815-1897) con la flecha debajo es debida A Course of Pure Mathematics
Observando lo anterior se intuye que los términos de la sucesión
por lo que nosotros
La
definición
eierstrass (1815-1897)
la flecha debajo
Course of Pure
Hipervínculos externos
x→+∞ −
c) l´ım
x→+∞
(0,2x −5)
d) l´ım
x→+∞
(2−x
+ 1)
e) l´ım
x→+∞
1 √
x
1.3 Calcula los siguientes
a) l´ım x
2
√
Calcula los siguien
Acceso a lasolución de un ejercicio
1 2
1 2 3 4 5
Practicacon los comandos
Practica
con
Introducción 1
I Análisis 3
1. Límites 7
1.1. Límites de sucesiones . . . 8
1.2. Límites de funciones. Definiciones . . . 12
1.3. Operaciones con límites de funciones . . . 19
1.4. Resolución de indeterminaciones . . . 25
1.5. Ejercicios propuestos . . . 33
2. Continuidad 39 2.1. Continuidad en un punto . . . 41
2.2. Continuidad en un intervalo . . . 45
2.3. Ejercicios resueltos . . . 49
2.4. Ejercicios propuestos . . . 50
3. Derivadas. Funciones derivables 53 3.1. Derivada en un punto. Función derivada . . . 54
3.2. Reglas de derivación . . . 60
3.3. Ejercicios propuestos . . . 68
4. Aplicaciones de las derivadas 71 4.1. Monotonía y extremos . . . 72
x Índice general
4.2. Curvatura y puntos de inflexión . . . 84
4.3. Teoremas de Rolle, Cauchy y Lagrange . . . 87
4.4. Regla de L’Hôpital . . . 93
4.5. Ejercicios propuestos . . . 94
5. Representación gráfica de funciones 99 5.1. Definiciones . . . 100
5.2. Dominio, cortes con los ejes, simetrías y periodicidad . . . . 100
5.3. Asíntotas y otras ramas infinitas . . . 105
5.4. Regiones, monotonía, concavidad y convexidad . . . 112
5.5. Ejercicios resueltos . . . 113
5.6. Ejercicios propuestos . . . 122
6. Cálculo de primitivas 127 6.1. Primeras definiciones . . . 128
6.2. Métodos de cálculo de primitivas . . . 129
6.3. Ejercicios propuestos . . . 144
7. Integral definida 147 7.1. Áreas aproximadas . . . 148
7.2. Integral definida . . . 149
7.3. Aplicaciones de la integral definida . . . 158
7.4. Ejercicios propuestos . . . 166
II Álgebra Lineal 171 8. Sistemas de ecuaciones lineales. Método de Gauss 177 8.1. Introducción . . . 178
8.2. Sistemas escalonados y sistemas equivalentes . . . 179
8.3. Método de Gauss . . . 188
8.4. Sistemas de ecuaciones con uno o dos parámetros . . . 196
8.5. Ejercicios resueltos . . . 196
Índice general xi
9. Matrices 205
9.1. Matriz real de ordenm×n. Definiciones . . . 206
9.2. Operaciones con matrices. Propiedades . . . 211
9.3. Matriz inversa . . . 220
9.4. Rango de una matriz . . . 229
9.5. Ejercicios resueltos . . . 241
9.6. Ejercicios propuestos . . . 247
10. Determinantes 253 10.1. Determinantes de orden dos . . . 254
10.2. Determinantes de orden superior . . . 260
10.3. Regla de Cramer . . . 270
10.4. Cálculo de la matriz inversa . . . 272
10.5. Cálculo del rango de una matriz . . . 274
10.6. Ejercicios resueltos . . . 280
10.7. Ejercicios propuestos . . . 286
11. Sistemas de Cramer y teorema de Rouché-Frobenius 293 11.1. Sistemas de Cramer . . . 294
11.2. Teorema de Rouché-Frobenius . . . 298
11.3. Ejercicios resueltos . . . 301
11.4. Ejercicios propuestos . . . 306
III Geometría 309 12. Vectores en el espacio 315 12.1. Vectores. Operaciones con vectores . . . 316
12.2. Producto escalar de vectores . . . 329
12.3. Producto vectorial . . . 334
12.4. Producto mixto . . . 338
12.5. Ejercicios resueltos . . . 341
xii Índice general
13. Rectas y planos en el espacio afín 347
13.1. Espacio afín real tridimensional . . . 348
13.2. Sistemas de referencia en el espacio . . . 349
13.3. Rectas en el espacio: ecuaciones y posiciones relativas . . . . 353
13.4. Planos en el espacio: ecuaciones y posiciones relativas . . . . 369
13.5. Ejercicios resueltos . . . 384
13.6. Ejercicios propuestos . . . 389
14. Problemas métricos en el espacio 395 14.1. El espacio afín euclídeo . . . 396
14.2. Distancias en el espacio . . . 402
14.3. Ángulos . . . 428
14.4. Áreas y volúmenes . . . 433
14.5. Ejercicios resueltos . . . 438
14.6. Ejercicios propuestos . . . 443
L
os catorce capítulos que siguen, divididos en tres partes, Análisis, Álgebra y Geometría, constituyen el libro titulado Matemáticas II, correspon-diente al segundo curso del Bachillerato de Ciencias y Tecnología, dentro del sello e-Lectolibris.Los contenidos de estos capítulos cubren sobradamente los establecidos en el Real Decreto 1467/2007, de 2 de noviembre, por el que se establece la estructura del bachillerato y se fijan sus enseñanzas mínimas y los decretos correspondientes de las distintas comunidades autónomas.
Hemos procurado ilustrar los conceptos y métodos que aparecen en el libro con ejemplos, para intentar ayudar en la comprensión de los mismos. El lector podrá observar que a lo largo del libro hay también numerosos enlaces amaxima, un programa de software libre y abierto para la manipulación de
expresiones numéricas y simbólicas y también para la representación gráfica. Esto permite a los estudiantes, además, comprobar sus propias soluciones y, modificando las entradas, utilizarlo como herramienta de apoyo en la reso-lución de problemas de naturaleza similar, contribuyendo de ese modo a la adquisición de los conceptos y técnicas propias de la materia. Se responde así al requerimiento del decreto antes mencionado que demanda la « utiliza-ción de recursos tecnológicos como apoyo en el análisis gráfico y algebraico de las propiedades de las funciones y para su representación gráfica». Deli-beradamente se ha realizado una introducción progresiva de algunos de los comandos de maxima en respuesta a necesidades concretas del aprendizaje
de la materia, no del software.
El libro está concebido para poder ser adaptado a las necesidades docen-tes. Se ha optado por incluir la mayoría de las demostraciones de los teoremas
2 Índice general
y proposiciones y de esta forma el profesor puede elegir, al desarrollar su cur-so, entre omitir algunas demostraciones o contenidos, mantenerlas o, por el contrario, proponer actividades de ampliación, si dispone del tiempo y con-diciones adecuadas. En cada capítulo se han incorporado ejercicios resueltos, algunos de los cuales son sencillos, que contribuyen a consolidar los conceptos introducidos.
Al final de cada capítulo aparece una lista de ejercicios propuestos, la gran mayoría de ellos procedentes de las pruebas de acceso a la universidad, a cuya solución se puede acceder desde el propio libro electrónico haciendo click en el enlace diseñado a tal efecto ( ). En conjunto se contabilizan unos 350 problemas resueltos, de los que más de 200 corresponden a las PAUs de prácticamente la totalidad de las comunidades autónomas. Los ejercicios van etiquetados con el nivel de dificultad, lo que, aún sabiendo que se trata de una apreciación subjetiva, puede ser útil al profesor a la hora de proponerlos o al alumno a la hora de elegirlos para su realización. Algunos de ellos se complementan con acceso a un fichero de audio donde se explican las ideas para su resolución.
Otros servicios ofrecidos desde el libro electrónico incluyen enlaces a un diccionario de términos matemáticos seleccionados y enlaces a Wikipedia relativos a matemáticos históricamente relevantes para el curso. Al comienzo de cada capítulo se incluye «una puerta» de acceso a materiales en la web y que se irán enriqueciendo paulatinamente.
Este libro electrónico se ofrece en múltiples formatos para tabletas, orde-nadores, teléfonos móviles y pizarra digital.
Para finalizar, deseamos expresar nuestro agradecimiento más sincero a todas aquellas personas que con sus sugerencias han contribuido a mejo-rar este libro, en particular a Bernardo Cascales, Antonio Cabrera, Antonio Galvis, José Manuel Mira, Salvador Sánchez-Pedreño y al revisor de la Real Sociedad Matemática Española.
Murcia, 24 de abril de 2014
5
S
i entramos en Wikipedia y buscamosanálisis matemático podremos leer que es un área de las matemáticas que estudia los números reales, los complejos y las funciones entre esos conjuntos. Su origen es el cálculo dife-rencial e integral que fue desarrollado a partir del siglo xvii y que tratabade resolver, entre otros, problemas como el cálculo de tangentes a una curva, extremos relativos de funciones, longitudes de curvas o el cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos geométricos.
Entre los más importantes precursores del Análisis matemático podemos citar a Barrow, que determinó la tangente por medio de un cociente incre-mental, pero sobre todo a Newton y Leibniz.
A finales del sigloxviiNewton y Leibniz de manera independiente,
apro-vechando los resultados obtenidos por sus predecesores, desarrollaron dos conceptos, que hoy llamamos derivada e integral, y unas reglas para operar. Comprobaron que ambos conceptos eran inversos el uno del otro a través del teorema fundamental del cálculo. Posteriormente Bolzano (1781-1848) y Cauchy (1789-1857) se acercaron más a una definición precisa de lími-te y de continuidad; las que hoy utilizamos en nuestros lími-textos son debidas a Weierstrass (1815-1897), y matemáticos de la talla de Johann Bernoulli (1667-1748), L’Hôpital (1661-1704) o Euler (1707-1783), entre otros, utili-zaron las herramientas que proporciona el cálculo diferencial para resolver muchos problemas.
Barrow
6
Newton
Isaac Newton(1642-1727). Fue un físico, filósofo, teólogo y matemático inglés. Es autor de los Philoso-phiae naturalis principia mathematica, más conocidos como los Principia, donde describió la ley de la gravi-tación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre. New-ton fue el primero en descubrir el cálculo infinitesimal pero, dado su poco interés en publicar sus resultados, guardó casi en secreto su descubrimiento, aunque siem-pre hubo copias de sus trabajos en sus círculos de
ami-gos. Su primera obra sobre el cálculo, De analysi per æquationes numero terminorum infinitas, que le valió la cátedra que dejó su maestro Barrow, fue finalizada en 1669 aunque sólo la publicó en 1711. La segunda obra de Newton sobre el cálculo De methodis serierum et fluxionum fue escrita en 1671 pero no fue publicada hasta 1737 (diez años después de su muerte y 66 después de escrita). En ella estableció el teorema fundamental del cálculo.
Leibniz
Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716). Fue un filósofo, lógico, matemático, jurista, bibliotecario y po-lítico alemán nacido en Leipzig. Se le reconoce como uno de los grandes pensadores de los siglosxviiyxviii.
Realizó importantes contribuciones a diferentes áreas como metafísica, lógica, filosofía de la religión, mate-mática o física. De forma independiente a Newton in-ventó el cálculo infinitesimal. Su descubrimiento fue posterior al de Newton, aunque Leibniz fue el primero en publicarlo. Lo hizo además utilizando un procedi-miento novedoso para la época, lo publicó en 1684 en la revista científicaActa Eroditorum, con el título Nova Methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, et singulare pro illis calculi genus que incluía la solución defini-tiva al problema de las tangentes.
1.1. Límites de sucesiones
1.2. Límites de funciones. Definiciones 1.3. Operaciones con límites de funciones 1.4. Resolución de indeterminaciones 1.5. Ejercicios propuestos
¿Quieres saber más?
¿Entras a descubrir nuevos mundos?
8 Capítulo 1. Límites
E
l concepto de límite es históricamente posterior a otros conceptos del cálculo como el de derivada o el de integral. Sirvió para dar una justifi-cación más rigurosa de los resultados conocidos hasta ese momento y es por eso por lo que nosotros lo estudiamos antes que los otros.La definición de límite tal y como la conocemos hoy se debe a Karl Weierstrass (1815-1897) y la notación de escritura usando la abreviatural´ım
con la flecha debajo es debida Hardy (1877-1947) que la introdujo en su libro A Course of Pure Mathematics publicado en 1908.
1.1.
Límites de sucesiones
Las sucesiones de números reales, así como los límites de las mismas, han sido objeto de estudio en cursos anteriores. Haremos a continuación un breve repaso y daremos las definiciones de límites con algo más de precisión que se hizo en primer curso de bachillerato.
Si (an) es una sucesión de números reales, a veces nos va a interesar
saber la tendencia de sus términos cuando n → +∞. Puede que se acer-quen más y más a un cierto número, que crezcan indefinidamente superando cualquier cantidad positiva que imaginemos, que decrezcan indefinidamente siendo menores que cualquier cantidad o bien que no ocurra ninguno de los casos anteriores.
Consideremos la sucesión an = n2+1n y representemos en unos ejes de
coordenadas los primeros términos de la sucesión
1 2 3
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Observando lo anterior se intuye que los términos de la sucesión se acercan cada vez más a 2, que es su límite, como ya sabemos del curso anterior. La representación gráfica anterior ilustra el concepto de límite.
1.1. Límites de sucesiones 9
(%i1) a[n]:=2*n/(n+1); limit(a[n],n,inf);
(%o1) an:=
2n n+ 1
(%o2) 2
1.1.1. Definiciones
Definición 1.1.1.
Diremos que L es el límite de la sucesión de números reales (an) si para cualquier cantidad ε > 0 podemos encontrar un cierto n0 ∈ N de
manera que si n≥n0 entonces |an−L|<ε. Cuando lo anterior ocurre, se escribe
l´ıman=L o también
l´ım
n→+∞an=L.
En otras palabras, elegida una cierta cantidad, por pequeña que sea, hay un término de la sucesión tal que él y todos los que le siguen, y esto último es esencial, están más cerca del límite que la cantidad elegida. Por ejemplo, sabemos que
l´ım
n→+∞
2n n+ 1 = 2.
Elijamos ahora una cantidad pequeña, como puede ser ε = 10−6. Para que
se cumpla !
! !
!n2+ 1n −2 ! ! ! !< 1016
operando, ! ! !
!n2+ 1n −2 ! ! ! ! =
! ! !
!2n−n+ 12n−2 ! ! ! !=
! ! ! !n−+ 12
! ! !
10 Capítulo 1. Límites
2
n+ 1 < 1 106
O lo que es lo mismo
2·106 < n+ 1,
de donde
2·106−1< n.
Bastaría elegir para este cason0 = 2·106. Notemos que esto se puede hacer
siempre para cualquier cantidad elegida, es decir el razonamiento anterior se puede adoptar para otro εobteniendo el correspondiente n0.
Consideremos ahora la sucesión
bn=
⎧ ⎨ ⎩
1 si 1≤n≤106 2n
n+ 1 si n >10
6
que la hemos obtenido sustituyendo el primer millón de términos de an por
el valor 1 y a partir de ahíbn=an, es decir los dejamos como estaban. Como
se comprueba fácilmente
l´ım
n→+∞an= l´ımn→+∞bn= 2,
es decir, para el cálculo del límite de una sucesión podemos ignorar los 100
primeros, 1 000 primeros, m primeros términos siendo m cualquier número natural y el límite seguirá siendo el mismo.
Definición 1.1.2.
Diremos que el límite de la sucesión (an) es +∞, y lo escribimos
l´ımn→+∞an = +∞, si para cualquier cantidad K existe n0 ∈ N de
manera que si n≥n0 entonces an> K.
Definición 1.1.3.
Diremos que el límite de la sucesión (an) es −∞, y lo escribimos
l´ımn→+∞an = −∞, si para cualquier cantidad K existe n0 ∈ N de
1.1. Límites de sucesiones 11
Ejemplo 1.1.4 Se cumple que
l´ım
n→∞(n
2+n+ 1) = +∞ y l´ım
n→∞(−n
3+n) =−∞.
1.1.2. El número e
Tiene especial interés la sucesión an = %1 +n1&n. Si calculamos los
pri-meros términos de dicha sucesión veremos que van aumentando desde 2, el primero, hasta 2,593742460100002. . . el décimo, etc. Podríamos aventurar que la sucesión es creciente, cosa que es cierta. Si le damos ahora a n valo-res grandes, por ejemplo del orden de 106 o 109, veremos que aunque sigue
creciendo lo hace muy lentamente y que los valores obtenidos son todos in-feriores a 2,72; lo que nos hace pensar que la sucesión va a estar acotada, cosa que también es cierta. Está demostrado que toda sucesión de números reales creciente y acotada tiene un límite que será menor o igual que una de sus cotas. En nuestro caso su límite es un número irracional que se denota por la letra ey cuyas primeras cifras decimales son2,7182818284. . .
Concluyendo
l´ım
n→+∞
'
1 + 1
n
(n
=e.
Si estás interesado en saber más cosas sobre éste número, sin duda una de las constantes más importantes de las matemáticas, puedes consultar El número e en Wikipedia.
¿Es difícil el cálculo del númeroe? Con nuestro calculador puedes obtener aproximaciones del númeroe. El código que sigue te servirá para ver cómo simbólicamentemaxima obtie-ne ecomo límite y para ver qué valor tienen distintos términos de la sucesión que lo define.
(%i4) a[n]:=(1+1/n)^n$ limit(a[n],n,inf); a[10],numer; a[10^6],numer;
(%o5) e
(%o6) 2.593742460100002
12 Capítulo 1. Límites
1.2.
Límites de funciones. Definiciones
En lo que sigue vamos a considerar funciones f : D −→ F definidas en un conjunto D ⊂R, llamado dominio o conjunto inicial, que toman valores
en un conjunto F ⊂R, llamado conjunto final, entendiendo por función a la
regla, del tipo que sea, que permite asignar a cada elemento x∈Dun único punto f(x) ∈ F. Las mayoría de las veces f(x) vendrá dada mediante una fórmula en x, aunque esto no es imprescindible.
En sentido estricto la función viene determinada por la regla, el dominio y el conjunto final y un cambio en alguno de ellos significaría cambiar la función. Sin embargo suele ser habitual, por razones de economía de escritura, referirse a una función en la forma «sea la función f(x) = x3−x», donde el dominio y el conjunto final se omiten, entendiendo que el dominio está formado por todos aquellos números para los cuales la regla tiene sentido. Conviene insistir quef(x)no es la función, es sólo el valor de la funciónf en el puntox, aunque por abuso de notación lo utilicemos para referirnos a ella. En ocasiones nos va a interesar restringir la aplicación de la función a un subconjunto del dominio, por ejemplo un intervalo, sin considerar que hemos cambiado de función.
En lo que sigue[a, b],[a, b),(a, b],(a, b) denotan los intervalos correspon-dientes de la recta real de extremos a y b tal y como fueron definidos en cursos anteriores.
1.2.1. Límites finitos en un punto
Consideremos la funciónf :R−→Rcuya gráfica es la siguiente:
1 2 3 4
−1
−2
1 2 3
−1
−2
1.2. Límites de funciones. Definiciones 13
Observamos que si x se acerca más y más al valor 1 (tanto por la derecha como por la izquierda) los valores de función hacen lo propio hacia el valor 2. Esa es precisamente la idea intuitiva que tenemos de límite de una función en un punto: es el valor al que tienden los valores que toma la función cuando
xtiende al punto dado. Hagamos notar que el valor de la función en el punto no influye para nada, en el ejemplo anterior f(1) = 3 y sin embargo el límite es 2.
Damos ahora la definición precisa de límite de una función en un punto.
Definición 1.2.1.
Una función f : (a, b) −→ R se dice que tiene por límite L cuando
x tiende a x0 ∈(a, b) si se cumple que para cualquier ε>0 elegido es
posible encontrar un número δ >0 de forma que, para cada x ∈(a, b), si0<|x−x0|<δ entonces |f(x)−L|<ε.
Cuando lo anterior ocurre escribimos
l´ım
x→x0f(x) =L.
Como se ha comentado antes, observamos que en la definición de límite se prescinde del valor de la función en el puntox0 al considerar0<|x−x0|.
Definición 1.2.2.
Dada una funciónf : (a, b)−→R, diremos que Les el límite lateral
por la derecha cuando x tiende a x0 ∈ [a, b) si se cumple que para
cualquier ε>0 elegido es posible encontrar un número δ >0 de forma que, para cada x∈(a, b), si 0< x−x0 <δ entonces |f(x)−L|<ε.
Cuando lo anterior ocurre escribimos
l´ım
x→x+0
f(x) =L.
Notemos aquí que la condición0< x−x0 <δ implica que necesariamente la
variablexes mayor quex0(se acerca ax0por la derecha en la representación
de los números en la recta real). Observemos también que si f tiene como dominio el intervalo (a, b) tiene sentido calcular su límite por la derecha en
14 Capítulo 1. Límites
Definición 1.2.3.
Dada una funciónf : (a, b)−→R, diremos que Les el límite lateral
por la izquierda cuando x tiene a x0 ∈ (a, b] si se cumple que para
cualquier ε>0 elegido es posible encontrar un número δ >0 de forma que, para cada x∈(a, b), si 0< x0−x <δ entonces |f(x)−L|<ε.
Cuando lo anterior ocurre escribimos
l´ım
x→x−0
f(x) =L.
Aquí la condición0< x0−x <δimplica que necesariamentexes menor que
x0 (se acerca ax0 por la izquierda en la representación de los números en la
recta real).
Observemos en la gráfica de la funciónf que sigue
1 2 3 4
−1
−2
1 2 3 4
−1
−2
−3
que se cumple que l´ımx→x−
0 f(x) = 2, l´ımx→x+0 f(x) = 3 y en este caso
f(1) = 3, aunque esto último no influye para nada en el cálculo de los límites laterales.
Proposición 1.2.4
La condición necesaria y suficiente para que una funciónf tenga límiteL
en un punto x0 es que tenga límites laterales en dicho punto (por la derecha
y por la izquierda) y ambos coincidan.
l´ım
x→x0
f(x) =L⇐⇒ l´ım
x→x−0
f(x) = l´ım
x→x+0
f(x) =L. Proposición 1.2.5
1.2. Límites de funciones. Definiciones 15
1.2.2. Límites infinitos en un punto
Si observamos la siguiente gráfica correspondiente a la función
f(x) = 1
|x|
vemos que cuandoxse va aproximando a 0 entonces la función toma valores cada vez mayores. En este caso el límite va a serinfinito.
1 2 3 4 5
1 2
−1
−2
f(x) = 1
|x|
La definición precisa de este hecho es la siguiente:
Definición 1.2.6.
Diremos que la función f : (a, b) −→ R tiene límite +∞
(respecti-vamente −∞) cuando x tiende a x0 ∈(a, b) si para cualquier cantidad
M existe un ciertoδ>0tal que para cada x∈(a, b) si0<|x−x0|<δ
entonces f(x)> M (respectivamente f(x)< M). Lo expresamos de la forma
l´ım
x→x0
f(x) = +∞
(respectivamente l´ımx→x0f(x) =−∞).
En el caso de la función de la gráfica anterior se cumple que
l´ım
x→0
1
|x| = +∞.
16 Capítulo 1. Límites
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
1 2
−1
−2
−3
f(x) = 1 x
Esto nos lleva a dar las siguientes definiciones:
Definición 1.2.7.
Diremos que la función f : [a, b) −→ R tiene límite +∞
(respecti-vamente −∞) si x tiende por la derecha a x0 ∈[a, b) si para cualquier
cantidad M existe δ>0 tal que, para cada x∈[a, b), si0< x−x0 <δ
entonces f(x)> M (respectivamente f(x)< M).
Definición 1.2.8.
Diremos que la función f : (a, b]−→Rtiene límite +∞
(respectiva-mente −∞) si x tiende por la izquierda a x0 ∈(a, b] si para cualquier
cantidad M existe δ>0 tal que, para cada x∈(a, b], si0< x0−x <δ
entonces f(x)> M (respectivamente f(x)< M).
Para la funciónf(x) = 1/x podemos calcular los límites laterales en 0:
l´ım
x→0−
1
x =−∞ y xl´ım→0+
1
x = +∞.
1.2.3. Límites finitos en el infinito
1.2. Límites de funciones. Definiciones 17
2 4
2 4
−2
−4
f(x) = 4x
2−1 x2+ 1
Diremos, en este caso, que el límite es 4cuando x→±∞.
Con ayuda de maxima puedes dibujar gráficas y calcular límites de funciones fácilmente. En el caso de la funciónf(x) = (4x2−1)/(x2+ 1) el código es el siguiente (load(draw) sólo
hay que ejecutarlo una vez en cada sesión).
(%i1) load(draw);
(%o1) .../maxima/5.30.0/share/draw/draw.lisp
(%i2) f(x):=(4*x^2-1)/(x^2+1);
draw2d(grid=true, proportional_axes=xy, yrange=[-1.5,4.5], color=red,
explicit(f(x),x,-6,6))$ limit(f(x),x,-inf);
limit(f(x),x,+inf);
(%o2) f(x) := 4x2−1 x2+1
(%o3) 4
(%o4) 4
Practica este código y modifícalo convenientemente para poder usar-lo con usar-los diferentes ejempusar-los y ejercicios del capítuusar-lo.
Las definiciones precisas para estos casos son las siguientes:
Definición 1.2.9.
Diremos que la funciónf : (a,+∞)−→Rtiene límiteL∈Rcuando
x → +∞ si para cualquier cantidad ε > 0 existe k tal que, para cada
18 Capítulo 1. Límites
Definición 1.2.10.
Diremos que la funciónf : (−∞, b)−→Rtiene límiteL∈Rcuando
x → −∞ si para cualquier cantidad ε > 0 existe k tal que, para cada
x∈(−∞, b), si x < k entonces|f(x)−L|<ε.
En el caso de la función de la gráfica anterior lo expresamos de la forma
l´ım
x→−∞
4x2−1
x2+ 1 = l´ımx→+∞
4x2−1
x2+ 1 = 4
Para la funciónf(x) = 2x
1 +|x| cuya gráfica es
1 2
−1
−2
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
se cumple que
l´ım
x→−∞
2x
1 +|x| =−2 y x→l´ım+∞
2x
1 +|x| = 2.
1.2.4. Límites infinitos en el infinito
Otras veces, cuando |x| tiende a +∞, la función toma valores cada vez más grandes en valor absoluto, como podemos ver en la siguiente gráfica que corresponde a la funciónf(x) =−x23 + 2x2
2 4 6
−2
−4
−6
2 4 6
−2
−4
1.3. Operaciones con límites de funciones 19
Damos la definición precisa para este caso:
Definición 1.2.11.
Diremos que la función f : (a,+∞)−→Rtiene límite +∞
(respec-tivamente−∞) cuando x→+∞ si para cualquier cantidadM existe k
tal que, para cada x ∈(a,+∞), si x > k entonces f(x) > M (respecti-vamente f(x)< M).
De la misma forma se dice que la función f : (−∞, b) −→ R tiene
límite +∞ (respectivamente −∞) cuando x → −∞ si para cualquier cantidad M existe k tal que, para cada x∈(−∞, b), si x < k entonces
f(x)> M (respectivamente f(x)< M).
Para la función correspondiente a la gráfica precedente se tiene que
l´ım
x→−∞
−x3
2 + 2x
2= +∞ y l´ım
x→+∞
−x3
2 + 2x
2 =−∞.
1.3.
Operaciones con límites de funciones
1.3.1. Caso de límites finitos
Las siguientes propiedades son válidas cuandox→x0ox→±∞, así que,
para simplificar la notación, omitimos el valor al que tiende la variable. Si
l´ımf(x) =a∈R y l´ımg(x) =b∈R
entonces se cumple que:
• l´ım[f(x)±g(x)] =a±b.
• l´ım[f(x)·g(x)] =a·b.
• Sib̸= 0,l´ımfg((xx)) = ab.
• Sif(x)>0ya >0, entonces l´ımf(x)g(x)=ab.
• Sines impar o sines par en cuyo caso deberá ser f(x)≥0, entonces
l´ım)n f(x) = √na.
20 Capítulo 1. Límites
Genéricamente hablando, las propiedades anteriores, y otras que se po-drían añadir, pueden ser resumidas diciendo que para calcular el límite de una funciónf que puede ser expresada como resultado de ciertas operaciones (sumas, productos, cocientes, logaritmos, exponenciales,...) realizadas con las funciones f1, f2, . . . , fn, todas las cuales tienen límite, basta con calcular
di-chos límites y efectuar con ellos las operaciones correspondientes. En esencia la afirmación es cierta, si bien es necesario precisar más el alcance de la mis-ma. Pero antes de entrar en detalles señalemos que lo anterior corresponde a una cierta propiedad conmutativa: se obtiene lo mismo haciendo primero las operaciones y calculando luego el límite, que haciendo primero los límites de los elementos que intervienen y luego realizando las operaciones que sean pertinentes. Dicha propiedad está fuertemente relacionada con la noción de función continua que estudiamos en el capítulo 2.
La propiedad señalada es muy confortable porque nos permite trocear el problema inicial en varios problemas más simples, abordarlos de forma inde-pendiente y luego reensamblar los resultados parciales, cuando sea posible, para obtener el resultado global.
Por ejemplo, como ya hemos dicho, si f(x) = f1(x)f2(x) para calcular
L = l´ımf(x) no necesitamos conocer la fórmula de f, nos basta con saber cuanto valena= l´ımf1(x) yb= l´ımf2(x). En el supuesto de que seaf(x) =
f1(x)/f2(x)también ocurre lo mismo, pero con una salvedad, bno puede ser
cero. En primer lugar porque la divisióna/bcarece de sentido, pero más allá de eso, porque el sólo conocimiento deaybno nos permite calcularl´ımf(x).
Unos cuantos ejemplos bastarán para convencerse de ello.
1. Tomamosf1(x) = 0yf2(x) =x y deseamos calcularL= l´ımx→0 ff12((xx)).
En este casoa= 0 =byL= 0.
2. Tomamos ahora f1(x) =x2 yf2(x) =x. Entonces a= 0 =b yL= 0.
3. Si f1(x) =√xyf2(x) =|x|, entoncesa= 0 =byL= +∞.
4. Y por último sea f1(x) = 1 yf2(x) =xsig(sen(1/x)), donde sig(x) es
la función signo definida como +1 si x ≥0 y −1 en otro caso. Ahora
a= 1,b= 0 yL no existe.
Situaciones como ésta, en las que la información sobre la existencia y el valor de los límites de las funciones f1, f2, . . . , fn no permite por sí
1.3. Operaciones con límites de funciones 21
denominación de indeterminación. Indeterminaciones son, como acabamos de vera/0(que puede ser +∞ o−∞) y0/0; pero hay más, como veremos a continuación.
1.3.2. Caso de límites infinitos
Mantenemos la notación del apartado anterior, pero supondremos en este apartado que al calcular l´ımf(x) y l´ımg(x) alguno de ellos, o los dos, da como resultado ∞. Cuando no se indica el signo de ∞ podemos considerar cualquiera de los dos casos y para determinar el signo del resultado tendremos que tener en cuenta los signos de f(x) yg(x) al acercarnos al límite.
Como antes, se trata de calcular el límite de una función que puede ser expresada como resultado de ciertas operaciones (sumas, productos, cocien-tes, logaritmos, exponenciales,...) realizadas con las funcionesf yg, en base a los valoresayb, cona, b∈R∪{−∞}∪{+∞}, que se supone que existen.
Para enumerar las propiedades inmediatas que se satisfacen, y a fin de escribir menos, utilizaremos expresiones formales; pero el significado de las igualdades siempre estará claro. Por ejemplo,
(+∞) + (+∞) = +∞
significa que sil´ımx→∞f(x) = +∞ yl´ımx→∞g(x) = +∞ entonces
l´ım
x→∞
*
f(x) +g(x)+= +∞,
lo cual es obvio.
Con ese tipo de nomenclatura, si a∈R se cumplen los siguientes
resul-tados:
•a+∞=∞ •a·∞=∞, sia̸= 0
• ∞a = 0 • ∞a =∞
• ∞0 =∞ •(+∞) + (+∞) = +∞
•(+∞)+∞= +∞ •(+∞)−∞= 0
•(−∞) + (−∞) =−∞ •∞·∞=∞
•a+∞= +∞sia >1 •a−∞= 0, sia >1
•a+∞= 0, si0< a <1 •+∞a= +∞, sia >0
22 Capítulo 1. Límites
Como ocurría en el caso de los límites finitos, también ahora aparecen indeterminaciones, es decir expresiones simbólicas para las que no es posi-ble determinar el límite conociendo únicamente los valores a y b. Son las siguientes:
! 0·∞ ! (+∞)−(+∞) ! 1∞
! (−∞)−(−∞) ! (+∞) + (−∞) ! ∞0 ! (−∞) + (+∞) ! ∞
∞ ! 00
La primera de ellas ya ha aparecido, en la sección anterior, bajo una forma diferente, 0/0, que resulta equivalente. En efecto, si f(x) → 0 yg(x) → ∞
entonces f(x)·g(x) = 1f/g(x(x)) = Gf((xx)) donde G(x)→0.
Es inmediato poner ejemplos de funciones conl´ımf(x) = +∞= l´ımg(x)
pero tales que l´ım%f(x)−g(x)& = 0, o bien l´ım%f(x)−g(x)& = 1, o bien
l´ım%f(x)−g(x)&= +∞, o bien l´ım%f(x)−g(x)&=−∞,... Así pues ∞ − ∞ (en cualquiera de las variantes) es una indeterminación.
También para el caso ∞
∞ es muy sencillo ver que se trata de una
indeter-minación.
1. Si tomamos f(x) =x,g(x) =x. Entonces l´ımx→∞fg((xx)) = 1 y
l´ımx→∞f(x) =∞= l´ımx→∞g(x).
2. Pero tomando f(x) =x2,g(x) =x. Entonces l´ımx→∞fg((xx)) =∞ y
l´ımx→∞f(x) =∞= l´ımx→∞g(x).
3. Y tomandof(x) =√x,g(x) =x. Entoncesl´ımx→+∞fg((xx)) = 0 y
l´ımx→+∞f(x) = +∞,l´ımx→∞g(x) =∞.
No es difícil darse cuenta de la analogía existente entre la indeterminación
∞
∞, que acabamos de mostrar, y la 00 que vimos en la sección precedente. De
hecho ∞
∞ puede transformarse en 00 y al revés. En efecto, sil´ımf(x) = +∞=
l´ımg(x) entonces
f(x)
g(x) =
1/g(x) 1/f(x) =
F(x)
G(x)
siendo l´ımF(x) = 0 = l´ımG(x). Otro tanto ocurre con 0·∞ que puede ser escrita en la forma 0
0 o bien ∞∞ y por tanto es también una indeterminación.
1.3. Operaciones con límites de funciones 23
tomando logaritmos1∞y∞0se transforman en 0·∞que, a su vez, se puede
transformar en ∞
∞ o en 00.
1.3.3. Infinitos e infinitésimos
Entre las indeterminaciones más usuales se encuentran ∞
∞ y00. Resolver la
indeterminación en cada caso concreto suele estar relacionado con comparar los tamaños relativos de los infinitos del numerador y denominador o de los infinitésimos de numerador y denominador.
Definición 1.3.1.
Diremos que la función f : (a, b) −→Res un infinito enx0 ∈(a, b)
si l´ımx→x0f(x) = +∞.
Sif está definida en R podemos hablar de que f es un infinito en ±∞
cuandol´ımx→±∞f(x) = +∞. Las funcionesx, x2, x3, . . . , xn, . . . son infinitos
en +∞.
Definición 1.3.2.
Si f, g : (a, b)−→ R son infinitos para x=x0 ∈(a, b), diremos que
f es un infinito de orden superior a g si se cumple
l´ım
x→x0
f(x)
g(x) = +∞.
Si l´ımx→x0 f(x)
g(x) = L ̸= 0 diremos que f(x) y g(x) son infinitos del
mismo orden.
Proposición 1.3.3
Las siguientes afirmaciones se cumplen cuandox→+∞.
• Las funciones exponenciales de base mayor de 1 son infinitos de orden superior a cualquier potencia de x.
24 Capítulo 1. Límites
• Dadas dos funciones exponenciales de bases mayores que 1 la de mayor base es el infinito de orden superior.
• Dadas dos potencias positivas dex la de mayor exponente es el infinito de orden superior.
• Dos funciones logarítmicas son infinitos del mismo orden.
Nótese que si l´ımx→x0f(x) = −∞, entonces −f es un infinito y por
tanto las consideraciones anteriores pueden aplicarse también, con el cuidado adecuado con los signos, a funciones como f.
Definición 1.3.4.
Diremos que la función f : (a, b)−→Renx0 ∈(a, b) es un
infinité-simosi l´ımx→x0f(x) = 0.
Definición 1.3.5.
Dos infinitésimos f, g : (a, b) −→ R en x0 ∈(a, b) son equivalentes
si
l´ım
x→x0
f(x)
g(x) = 1.
Cuando lo anterior ocurre escribimos f(x)∼g(x).
Equivalencias importantes son
senx∼x∼tgx.
Es decir,
l´ım
x→0
senx
x = 1 y xl´ım→0
tgx
x = 1, (1.1)
pero estos límites son fáciles de obtener usando las siguientes desigualdades
senx≤x≤tgx si 0≤x≤ π
2,
1.4. Resolución de indeterminaciones 25
senx
tgx
x
1
También se tiene que
l´ım
x→0
ln(1 +x)
x = 1. (1.2)
1.4.
Resolución de indeterminaciones
En la sección1.3hemos visto que las principales dificultades en el cálcu-lo de límites provienen de resolver las indeterminaciones. En esta sección veremos algunas pautas que resultan de utilidad para ese propósito.
Ya vimos el curso pasado que las funciones polinómicas no plantean pro-blemas a la hora de calcular límites. Para el caso x→x0
l´ım
x→x0
(anxn+an−1xn−1+· · ·+a0) =anx0n+an−1x0n−1+· · ·+a0; (1.3)
y para el caso x→ ∞
l´ım
x→∞(anx
n+a
n−1xn−1+· · ·+a1x+a0) = l´ım
x→∞(anx
n) =∞,
siendo necesario para determinar el signo del resultado tener en cuenta los signos de an yx.
Por ejemplo
l´ım
x→−1(x
3+x−1) = (−1)3+ (−1)−1 =−3,
l´ım
x→−∞(x
3+x−1) = l´ım
x→−∞x
26 Capítulo 1. Límites
1.4.1. Tipo ∞/∞
Al calcular límites de cocientes de funciones polinómicas cuandox→ ∞
nos aparecen casos de indeterminación, concretamente del tipo ∞
∞. Se
resuel-ven, como ya vimos el curso pasado, dividiendo numerador y denominador por la máxima potencia de la variable.
Ejemplo 1.4.1 Calcula l´ım
x→+∞
−x5+ 3x3+ 2x−7
x3+x+ 1 .
Claramente es del tipo ∞
∞. Procedemos a dividir porx5
l´ım
x→+∞
−x5+ 3x3+ 2x−7
x3+x+ 1 = l´ımx→+∞
−x5
x5 +
3x3 x5 +
2x x5 −
7
x5
x3
x5 +
x x5 +
1
x5
=
= l´ım
x→+∞
−1 + 3
x2 +
2
x4 −
7
x5
1
x2 +
1
x4 +
1
x5
=−∞.
También vimos el curso pasado que estos límites se pueden calcular apli-cando la regla de los grados:
• Si el grado del numerador es mayor que el del denominador su límite es∞.
• Si el grado del numerador es menor que el del denominador su límite es 0.
• Si el grado del numerador es igual que el del denominador su límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado.
Ejemplo 1.4.2 Calcula l´ım
x→+∞
2x3+x−5 3x3+x2+ 1.
Es del tipo ∞
∞, luego aplicando la regla de los grados
l´ım
x→+∞
2x3+x−5
3x3+x2+ 1 = l´ımx→+∞
2x3
3x3 =
2 3.
Recordemos que para calcular límites cuandox→ −∞podemos tener en cuenta que l´ımx→−∞f(x) = l´ımx→+∞f(−x), procedimiento que nos evitará
1.4. Resolución de indeterminaciones 27
1.4.2. Tipo 0/0
Al calcular límites de cocientes de funciones polinómicas cuandox→x0
nos pueden aparecer indeterminaciones del tipo 0
0. Estos casos se resuelven
factorizando los polinomios numerador y denominador, sacando el factor co-mún (x−x0).
Ejemplo 1.4.3 Calcula l´ım
x→2
x2−4
x3−4x2+x+ 6
Si sustituimos x por 2 veremos que se trata de una indeterminación del tipo 0
0, por lo tanto vamos a factorizar los polinomios. Es evidente quex2−4 =
(x−2)(x+ 2). El denominador es de grado 3 así que utilizaremos la Regla de Ruffini para factorizarlo
1 −4 1 6 2 2 −4 −6 1 −2 −3 |0
resultando x3−4x2+x+ 6 = (x−2)(x2−2x−3), luego
l´ım
x→2
x2−4
x3−4x2+x+ 6 = l´ımx→2
(x−2)(x+ 2) (x−2)(x2−2x−3) =
= l´ım
x→2
x+ 2
x2−2x−3 =−
4 3
A veces será necesario proceder de nuevo a factorizar si persiste la indeter-minación 0
0 y, en otros casos, se precisará un análisis más detenido.
Ejemplo 1.4.4 Calcula l´ım
x→1
x2+ 4x−5
x3−5x2+ 7x−3
Si sustituimos x por 1 veremos que se trata de una indeterminación del tipo 0
0, así que vamos a factorizar los polinomios
x2+ 4x−5 = (x−1)(x+ 5)
y
28 Capítulo 1. Límites
luego
l´ım
x→1
x2+ 4x−5
x3−5x2+ 7x+ 3 = l´ımx→1
(x−1)(x+ 5)
(x−1)2(x−3) = l´ımx→1
(x+ 5) (x−1)(x−3)
que resulta ser del tipo a
0, lo que nos obliga a estudiar los límites laterales
por separado
l´ım
x→1−
(x+ 5)
(x−1)(x−3) = +∞, l´ım
x→1+
(x+ 5)
(x−1)(x−3) =−∞.
maxima te permite realizar también límites laterales. El código para los que aparecen en el ejemplo1.4.4es el siguiente:
(%i1) f(x):=(x^2+4*x-5)/(x^3-5*x^2+7*x-3); limit(f(x),x,1,minus);
limit(f(x),x,1,plus);
(%o1) f(x) := x2+4x−5 x3−5x2+7x−3
(%o2) ∞ (%o3) −∞
Los cocientes de funciones irracionales que presentan indeterminaciones del tipo 0
0 en algunas ocasiones se suelen resolver multiplicando numerador
y denominador por ciertas expresiones, a fin de eliminar la indeterminación.
Ejemplo 1.4.5 Calcula l´ım
x→6
√
x+ 3−3
x−6
Sustituyendo x por 6 resulta una indeterminación del tipo 0
0. Vamos a
multiplicar el numerador y el denominador por la expresión conjugada del numerador, que en este caso nos permite eliminar la indeterminación:
l´ım
x→6
√
x+ 3−3
x−6 = l´ımx→6
(√x+ 3−3)(√x+ 3 + 3) (x−6)(√x+ 3 + 3) = = l´ım
x→6
(x+ 3)−9
(x−6)(√x+ 3 + 3) = l´ımx→6
1
√
1.4. Resolución de indeterminaciones 29
1.4.3. Tipo ∞ − ∞
Veamos ahora algunos límites con una indeterminación del tipo∞ − ∞.
Ejemplo 1.4.6 Calcula l´ım
x→+∞
'√
x4+ 1−x
3+ lnx
x2+ 1
( .
Aunque en principio nos pueda parecer complicado se puede resolver sim-plemente por comparación de infinitos. Si nos fijamos
l´ım
x→+∞
)
x4+ 1 =∞
y por otra parte
l´ım
x→+∞
x3+ lnx
x2+ 1 =∞
luego estamos ante una indeterminación del tipo ∞ − ∞, pero el primero es un infinito de orden 2 mientras que el segundo es deorden 1, luego el límite pedido es +∞.
En otras ocasiones el límite no se aprecia por simple comparación y se precisa hacer operaciones.
Ejemplo 1.4.7 Calcula l´ım
x→+∞
'
5x−10x
3+x2−1
2x2+ 3
( .
Comprobamos que se trata de una indeterminación del tipo∞ − ∞ sus-tituyendo x por +∞. Pero en este caso se trata, como fácilmente se puede ver, de dos infinitos del mismo orden. Procederemos entonces a efectuar la operación indicada
l´ım
x→+∞
'
5x−10x
3+x2−1
2x2+ 3
(
= l´ım
x→+∞
(10x3+ 15x)−(10x3+x2−1)
2x2+ 3 =
= l´ım
x→+∞
−x2+ 15x+ 1
2x2+ 3 =
−1 2 .
Ejemplo 1.4.8 Calcula l´ım
x→+∞
,√
30 Capítulo 1. Límites
Se trata de una indeterminación del tipo ∞ − ∞y en este caso también de dos infinitos del mismo orden. En este caso vamos a multiplicar y dividir por la expresión conjugada y así cambiaremos el tipo de indeterminación a otra más sencilla
l´ım
x→+∞
.)
x2+ 1−(x−1)
/
=
= l´ım
x→+∞
,√
x2+ 1−(x−1)- ,√x2+ 1 + (x−1)
-√
x2+ 1 + (x−1) =
= l´ım
x→+∞
(x2+ 1)−(x−1)2
√
x2+ 1 + (x−1) = l´ımx→+∞
2x
√
x2+ 1 + (x−1)
Ahora tenemos una indeterminación del tipo ∞
∞ que resolveremos dividiendo
todos los términos por la mayor potencia de la variable, que en este caso esx:
l´ım
x→+∞
2x
√
x2+ 1 + (x−1) = l´ımx→+∞
2x x
0
x2
x2 +x12 +
%x
x− 1x
& =
= l´ım
x→+∞
2
0
1 +x12 +
%
1−x1&
= √ 2
1 + 1 = 1.
1.4.4. Tipo 0·∞
Las indeterminaciones del tipo 0·∞ las resolveremos transformándolas mediante operaciones en otras del tipo 0
0 o ∞∞.
Ejemplo 1.4.9 Calcula l´ım
x→+∞x
210x2−1 x2+1 −1
2 .
1.4. Resolución de indeterminaciones 31
l´ım
x→+∞x
2
'3
x2−1
x2+ 1−1
(
= l´ım
x→+∞
x2'0x2−1 x2+1−1
('0
x2−1 x2+1+ 1
(
0
x2−1 x2+1 + 1
=
= l´ım
x→+∞
x21x2−1 x2+1 −1
2
0
x2−1 x2+1+ 1
= l´ım
x→+∞
x21x2−1−x2−1 x2+1
2
0
x2−1 x2+1+ 1
=
= l´ım
x→+∞
−2x2 x2+1
0
x2−1 x2+1 + 1
= √−2
1 + 1 =−1.
Más adelante, cuando veamos la regla de L’Hôpital, en la sección 4.4, veremos otros casos de este tipo de indeterminación.
1.4.5. Tipo 1∞
Sabemos que
l´ım
x→+∞
'
1 + 1
x
(x
=e.
Entonces, haciendo el cambio de variable x=−y es fácil deducir que
l´ım
x→−∞
'
1 + 1
x
(x
=e.
Y también es cierto que si l´ımx→x0h(x) = +∞ (o l´ımx→x0h(x) = −∞)
entonces
l´ım
x→x0
'
1 + 1
h(x)
(h(x)
=e, (1.4)
lo que nos va a permitir resolver las indeterminaciones del tipo1∞.
Sil´ımx→x0f(x) = 1 siendo f(x)> 1 cerca de x0 y l´ımx→x0g(x) = +∞
entonces
l´ım
x→x0
32 Capítulo 1. Límites
En efecto
l´ım
x→x0
f(x)g(x)= l´ım
x→x0
[1 +f(x)−1]g(x) = l´ım
x→x0
4
1 + 11
f(x)−1
5g(x)
=
= l´ım
x→x0
6'
1 + 11
f(x)−1
( 1
f(x)−17[f(x)−1]g(x)
=exl´ım→x0[f(x)−1]g(x)
ya que l´ımx→x0
1
f(x)−1 = +∞.
Vale la pena darse cuenta que la fórmula (1.5) vale sin embargo con la única condición de que l´ımx→x0f(x) = 1, ya que
l´ım
x→x0
f(x)g(x)= l´ım
x→x0
eg(x) ln[f(x)] =exl´ım→x0g(x) ln[1+(f(x)−1)] =exl´ım→x0g(x)[f(x)−1]
después de la fórmula (1.2).
Ejemplo 1.4.10 Calcula l´ım
x→+∞
'
x2+x+ 1
x2−3x+ 2
(2x .
Claramente se ve que es una indeterminación del tipo1∞. Podemos apli-car la fórmula anterior o, si se quiere, se puede resolver operando como antes para nuestro caso particular. Vamos a hacerlo de la segunda manera y se deja como ejercicio sencillo la resolución aplicando la fórmula.
Haciendo la división de los polinomios se tiene que
l´ım
x→+∞
'
x2+x+ 1
x2−3x+ 2
(2x
= l´ım
x→+∞
'
1 + 4x−1
x2−3x+ 2
(2x
=
= l´ım
x→+∞
4
1 + x2−13x+2
4x−1
52x
= l´ım
x→+∞
⎡ ⎢ ⎣
4
1 + x2−13x+2
4x−1
5x2−3x+2 4x−1
⎤ ⎥ ⎦
8x2−2x x2−3x+2
=
=ex→l´ım+∞
1.5. Ejercicios propuestos 33
1.5.
Ejercicios propuestos
1.1 Si l´ım
x→x0
f(x) = 2 y l´ım
x→x0
g(x) =−1. Calcula: a) l´ım
x→x0
[f(x)−g(x)]
b) l´ım
x→x0
[f(x)g(x)]
c) l´ım
x→x0
f(x)
g(x)
d) l´ım
x→x0
f(x)g(x)
e) l´ım
x→x0 3
)
g(x)
1.2 Calcula los siguientes límites: a) l´ım
x→+∞(x−x
3)
b) l´ım
x→+∞(2
x−x2)
c) l´ım
x→+∞(0,2
x−5) d) l´ım
x→+∞(2
−x+ 1) e) l´ım
x→+∞
1
√
x
1.3 Calcula los siguientes límites:
a) l´ım
x→+∞
x2
√
x
b) l´ım
x→+∞
x
√
x3
c) l´ım
x→+∞
lnx
√
x
d) l´ım
x→+∞
x5
√
ex
1.4 Calcula los siguientes límites: a) l´ım
x→+∞
1
4 √
x3+ 8−x22
b) l´ım
x→2
1
4 √
x3+ 8−x22
c) l´ım
x→+∞
'
x4+ 1
x −
x3+ 1
x2
34 Capítulo 1. Límites
1.5 Demuestra, utilizando la definición, que l´ım
x→2(2x+ 2) = 6.
1.6 Calcula los siguientes límites: a) l´ım
x→+∞(2
x−lnx) b) l´ım
x→+∞
logx2
x
c) l´ım
x→+∞
'
1−√ 1
x+ 1
(
1.7 Calcula los siguientes límites: a) l´ım
x→+∞
%√
x+ 1−√x&
b) l´ım
x→+∞
'
2x2
x+ 1−
2x2+ 3
x−1
(
1.8 Calcula los siguientes límites:
a) l´ım
x→+∞
1√
x2+ 1−3x2
b) l´ım
x→+∞
'
x3
(x+ 2)2 −
x2 x+ 2
(
1.9 Calcula los siguientes límites:
a) l´ım
x→+∞
'
1− 3
x
(2x
b) l´ım
x→+∞
'
2 + 1
x
(1 x
c) l´ım
x→+∞
'
2x+ 1 2x−1
(7x2
d) l´ım
x→+∞
'
x4−2
x4+ 2x3−x+ 1
(3x+1 2
1.10 Calcula los siguientes límites:
a) l´ım
x→+∞
'
x2+ 1
x2−1
(x
b) l´ım
x→+∞
'
1− 3x
x2+ 4
1.5. Ejercicios propuestos 35
c) l´ım
x→+∞
'
x5−1
x5+ 1
(x4+1 x3−1
1.11 Calcula los siguientes límites:
a) l´ım
x→−3
x3−7x+ 6
x2+ 8x+ 15
b) l´ım
x→2
√
x2−4
4 √
x2−x−2
c) l´ım
x→1
x3−x2−x+ 1
x4+ 2x3−3x2−4x+ 4
1.12 Calcula los siguientes límites:
a) l´ım
x→5
x3−7x2−5x+ 75
x3−5x2−25x+ 125
b) l´ım
x→1
3 √
x2−1
√
x2+ 3x−4
1.13 (PAU Región de Murcia, septiembre 2012). Dada la función
f(x) =x10xx+1−1 −12, se pide: a) calcular l´ımx→1+f(x);
b) ¿es posible calcular también l´ımx→1−f(x)? justifica la respuesta;
c) calcular l´ımx→+∞f(x).
1.14 (PAU Madrid, junio 2005). Calcula el siguiente límite:
l´ım
x→+∞
1)
x2+x−)x2−x2.
1.15 (PAU Madrid, junio 2009). Calcula el siguiente límite:
l´ım
x→+∞
'
1 + 1
αx2+ 4x+ 8
((x+1)