Tests de raíz unitaria

Los tests más populares para comprobar la hipótesis nula de raíz unitaria en la serie, son los tests de Dickey-Fuller, Philips-Perron y los tests de cointegración.

3.10.1 Test Dickey-Fuller

El test de Dickey-Fuller sirve para comprobar si hay una raíz unidad en un modelo autorregresivo, fue desarrollado por D.A. Dickey y W.A. Fuller en 1979. Su procedimiento se explica a continuación.

Si se considera yt como un proceso AR (1):

E. 3.17 _ = _+ J_ E. 3.18 ∆_ = K_+ J_

Para incluir la posibilidad de una tendencia determinista (considerando sólo el caso lineal) se estiman las siguientes regresiones:

E. 3.19 L_ = M + N_ + _ E. 3.20 ∆_ = K_+ _ que serán equivalentes a estimar la regresión de la siguiente manera:

E. 3.21 ∆L_ =  + I_ + KL_+ /_

A todas las fórmulas anteriores se aplica el siguiente sistema de hipótesis:

• H0: K = 0, por lo que el proceso tiene una raíz unitaria.

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Además, los valores críticos se pueden encontrar en tablas según el conjunto de coeficientes de regresión usados. Estas estimaciones fueron realizadas por Dickey y Fuller (1979-1981) empleando para ello simulaciones de Monte Carlo.

3.10.2 Test ampliado de Dickey-Fuller

Para un proceso general AR (p) es suficiente comprobar la hipótesis K = 0 considerándola regresión:

E. 3.22 ∆L_ =  + I_ + KL_+ ∑₁₂'M₁∆L_1+ /_

Los valores críticos para este test son los mismos que para el caso de AR (1) y dependen de la presencia de tendencia lineal y de los términos constantes. El test asume que los errores et son independientes y tienen varianza constante.

Al no saber realmente qué datos reales genera el proceso, el test ampliado de Dickey- Fuller presenta cuatro problemas:

1. Los datos reales generadores del proceso pueden contener también componentes de medias móviles.

2. Los órdenes de la parte autorregresiva y de la parte de media móvil son desconocidos.

3. Pueden existir múltiples raíces.

4. No se sabe si la tendencia determinista está presente o no.

Atendiendo al primer problema mencionado y como un modelo invertible MA puede transformarse en un modelo autorregresivo, se generaliza el test para un modelo

ARMA (p, q) tomando la siguiente regresión:

En la práctica y según Said y Dickey (1984), un ARIMA (p, 1, q) desconocido se aproxima a un ARIMA(n, 1, 0) con n ~ T1/3 donde T es la longitud de la serie.

El segundo problema, incluir demasiados retrasos reduce el poder para rechazar la hipótesis nula. En cambio, introducir pocos hace que no se capture el proceso de error. Una posible solución es comenzar a estimar con un retraso relativamente grande n e ir comprobando el estadístico para el coeficiente de n en la regresión previa; si el valor es insignificante reducir el retraso en n-1 hasta encontrar un valor significativo. Será necesario hacer un test posterior para comprobar la ausencia de autocorrelaciones entre residuos.

Para evitar la existencia de múltiples raíces se realizará el test de Dickey Fuller en el proceso diferenciado de primer orden; ante la existencia de una segunda raíz se volverá a diferenciar y se repetirá el test hasta conseguir un proceso estacionario.

Finalmente y atendiendo al último problema, para solucionarlo habrá que decidir acertadamente que tipo de regresores se deben incluir en el test. Basándose en tablas elaboradas por Dickey y Fuller, M. Barigozzi propone el método representado gráficamente en la siguiente figura. Es importante destacar que estos tests dependen enormemente de los conjuntos de regresores usados y no distinguen bien entre raíces unidad que son reales y procesos cercanos al de raíz unidad.

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Figura 3.8- Test ampliado Dickey Fuller

3.10.3 Test de Phillips-Perron

El test de Phillips-Perron evalúa la hipótesis nula de una raíz unitaria en una serie temporal y. Todos los test usan el siguiente modelo:

E. 3.24 _ = $ + O_+ M_+  "

A diferencia del test aumentado de Dickey-Fuller, no existen términos de diferencias retardados. La hipótesis nula restringe el parámetro a = 1. Las variantes de este test, adecuado para las series con diferentes características de crecimiento, el test también puede limitar la

deriva y por último restringe los coeficientes de tendencia determinista, C y D, respectivamente, al valor 0. Las distintas versiones del test de usan el test aumentado de Dickey-Fuller para detectar las series de correlaciones en un proceso e (t).

3.10.4 Test cointegración

Los test de cointegración según [AROS04] son las pruebas iniciales para calcular la eficiencia del mercado de divisas. La ausencia de cointegración es frecuentemente interpretado como la eficiencia del mercado, mientras que la presencia de cointegración implica una ineficiencia del mercado y / o la existencia de alguna prima de riesgo. Los tests de cointegración se realizan para el período de crisis y para otros dos períodos sin crisis.

Inicialmente, los test de Dickey-Fuller y Phillips-Perron (PP) para detectar la raíz unitaria se realizan en los logaritmos de las tasas de cambio al contado para determinar si las series temporales eran estacionarias. Si las series están cointegradas, un modelo de corrección de errores (ECM) es apropiado tanto para pronosticar la dinámica a corto plazo, como para tratar las tendencias a largo plazo.

Por lo tanto, las pruebas de raíz unitaria en la prima de riesgo se pueden utilizar para investigar la eficiencia en los mercados. La estacionalidad de la prima de riesgo se prueba con los test estándar de DF y de PP para detectar las raíces unidad.

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