El trabajo a futuro puede plantearse en diferentes aspectos: a) Teórico:
a.1) Obtención del modelo en variables de estado para un sistema de comunicaciones ópticas inalámbricas con modulación multifásica (y/o empleando WDM) con detección coherente.
a.2) Obtención del modelo en variables de estado para un sistema de comunicaciones ópticas coherentes vía fibra óptica donde se planteen mediante dichas variables de estado perturbaciones al estado de polarización de la luz, dispersión cromática, etc. Todo esto con la finalidad de compensarlas en recepción. a.3) Solución de las ecuaciones de la varianza y el estimador para un sistema de comunicaciones ópticas coherentes inalámbrico homodino con ganancias adaptables a las características cambiantes del canal atmosférico de forma que la varianza se mantenga siempre al valor mínimo para intervalos mayores de turbulencia.
b) Simulación:
b.1) Investigar y evaluar diferentes opciones para la implementación de la simulación que sea además de precisa, eficiente en tiempo de procesamiento y uso de recursos de cómputo.
c) Experimental
c.1) Implementación y caracterización a nivel laboratorio de un sistema de comunicaciones ópticas coherentes inalámbrico homodino, es decir, emplea un oscilador local independiente, lo que implica el uso de un sistema de control automático de frecuencia, un control del estado de polarización, entre otros elementos adicionales,
c.2) Implementación de algoritmos de los diversos algoritmos de estimación de fase óptica mediante el uso de arreglos de campos de compuertas de programables ó FPGA (de las siglás en inglés de Field Programmable Gate Array) y/o procesadores digitales de señales de alta velocidad.
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Anexo A
Obtención del estimador utilizando la aproximación del error de fase gaussiano.
En este modelo x1 (se omite la dependencia del tiempo por conveniencia) representa
las variaciones de fase debido al ruido de fase del láser transmisor y el láser del receptor, x2
son las variaciones de fase debido a la turbulencia. Se considera que las fluctuaciones de amplitud (y de intensidad) son controladas de alguna manera por lo que no se consideran en este desarrollo. Tanto el error del estimado de x1 y de x2 son considerados con una
estadística gaussianos con el fin de tener una expresión manejable. Se considera que x1y x2
son procesos aleatorios independientes.
La señal observada ú observable eléctrico (a la salida de la etapa de fotodetección es: (A.1)
en donde w y φ son procesos aleatorios, es la frecuencia.
La generación de los procesos aleatorios, en el cual definimos w como el proceso que representa la variación entre los láseres local y transmisor como un proceso de Wiener, haciendo w=x1 la siguiente ecuación:
: (A.2) se convierte a
en donde tc es el tiempo de coherencia del láser
Por simplicidad, modelaremos el proceso de variación de fase debido a la turbulencia como 2 (A.4)
El vector de los procesos:
(A.5)
Así el primer término de la ecuación A.2
: :: (A.6)
00 0 (A.7) Las ecuaciones para la obtención del estimador de acuerdo a la teoría de la estimación estadística usando la formulación general de variables de estado.
, , , , (A.8a)
Las expectaciones que aparecen en las ecuaciones anteriores son con respecto a la función densidad de probabilidad condicional , | , , . Nótese que los estimados descritos por las ecuaciones (A.8a) y A.8b) requieren de expectaciones que a su vez requieren del conocimiento de la función densidad de probabilidad condicional, la cual no es conocida. Omitiendo la dependencia del tiempo por conveniencia y y y , procedemos a obtener el estimado , ,
, , , , , ,
2 Im
(A.9) considerando a x1y x2 estadísticamente independientes
, , 2
2
(A.10)
definiendo e1
( )
t =x1−xˆ2 y e2( )
t =x2−xˆ2Haciendo uso de la función generadora de momentos de la estadística del error e
(A.11) para el caso en el cual ω=1 se tiene:
1 (A.12) Sustituyendo (A.12) en la expresión (A.10), el estimado de S queda:
, , 2
2 1 1
2 1 1
, , _ 1 1 (A.13)
en el siguiente desarrollo se omite la dependencia del tiempo de e(t) por cuestiones prácticas. Procedemos a encontrar los elementos faltantes de las ecuaciones (A.8a) y (A.8b) en términos de cantidades conocidas
, , , , 1 1 (A.14) , , , , 1 1 (A.15) , , , , _ (A.16)
Con el propósito de evaluar la función Me una buena aproximación conocido de de trabajos de linealización y simulación se considerará una aproximación Gaussiana de los procesos involucrados en el ruido de fase, lo que da:
1
2
(A.17) La primera derivada de (A.17):
1 2 (A.18) 2 , , 1 1 2 , , , , 1 1 1 (A.19) 2 , , 1 1 2 , , , , 1 1 1 (A.20) 1 1 1 2 1 2 1 2 (A.21)
1 1 1 2 (A.22) 1 1 1 1 2 1 2 (A.23) 1 1 1 1 2 1 2 (A.24) Haciendo la sustitución de las ecuaciones del estimador (A.9) a (A.24) en (A.8a),
obtenemos la ecuación del estimador de x1:
2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 0 1 2 2 2 2 1 2 2 (A.25) De forma similar para xˆ2
2 2 1 2
2
(A.26) Para las ecuaciones de la varianza (Snyder, 1969):
: : : : : (A.27) Así : : : : : (A.28) : : : : : (A.29)
Por simetría y : : : : : (A.30)
De la sección 4.2 de Snyder (ecuaciones 4.7, 4.13 y 4.14)
:
(A.31)
donde se han omitido lo términos dt debido a son infinitesimales y dydy= Ndt
: (A.32) con N-1 = 2/No 2 , , (A.33)
ya que : , , (A.34) de forma similar 2 , , , , (A.35) 2 , , (A.36) Las ecuaciones de las varianzas quedan después de sustituir
1 2 , , , , , , 2 , , (A.37) desarrollando la ecuación
1 2 , , 2 , , , , 2 , , 2 , , , , 2 , , (A.38) desarrollando cada elemento de la ecuación de la varianza
2 , , 2 , , 1 1 (A.39) 2 , , , , 2 , , 1 1 , , 1 1 (A.40) 2 , , 2 , , 1 1 2 , , 1 1
2 , , , , 2 , , 1 1 , , 1 1 2 , , 1 1 (A.42) 2 , , 2 , , 1 1 (A.43) Sustituyendo en la ecuación del estimador v11(t)=v1(t)
1 2 , , 1 1 2 , , 1 1 , , 1 1 2 , , 1 1 2 , , 1 1 2 , , 1 1 (A.44)
1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 (A.45) 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 (A.46)
1 2 2 1 1 1 1 4 1 2 1 1 1 1 1 4 1 2 1 1 (A.47)
desarrollando los términos de las funciones características
1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (A.48) 1 1 1 1 1 (A.49) 1 1 (A.50)
1 2 2 1 2 4
2
(A.51) en forma similar para dv22(t) = dv2(t)
2 2 2 1 2 4 2 (A.52)
La varianza v12 ó v21 no es necesaria calcularla porque debido a la independencia de x1 y x2
Anexo B
Obtención del Espectro de fase A partir de la expresión
.
/ (B.1)
Con v como la velocidad del viento transversal a la trayectoria del haz y k0
como número de onda de la escala interna ó escala pequeña [Andrews 2001]. Diferentes alternativas existentes para representar denominador en forma de un polinomio en potencias enteras, tal como el desarrollo en series de Taylor ó como serie binomial, pero requieren de un buen número de términos para tener una aproximación adecuada. Otra opción es el uso de interpolación ó ajuste de la curva. Un método ajuste de curva para obtener el “mejor modelo” a partir de los datos basado en los algoritmos de Levi, [Dennis 1983], (el cual es usado para obtención de los coeficientes de filtros a partir de la característica de respuesta a la frecuencia del filtro deseado) es utilizado para la obtención de un espectro racional de la forma
(B.2) El método antes mencionado busca los coeficientes del filtro tienen la forma:
(B.3)
min
, ∑ (B4)
para crear un sistema de ecuaciones lineales.
Los coeficientes de la ecuación (B2) son obtenidos numéricamente por el algoritmo antes explicado, el cual es implementado por medio de software para cálculos matemáticos. En la gráfica se muestra el espectro para la (B1) y los valores obtenidos por algoritmo a partir de estos datos para una expresión de la forma (B2). Se utiliza una forma orden m=1, ya que esta expresión se utiliza para la obtención de la ecuaciones del estimador y la sencillez es primordial. Otra opción considerada es la aproximación heurística donde se considera :
.
/
.
(B5) Los espectros indicados por las expresiones (B.1), (B.2) y (B.3) son determinados para los valores indicados en la tabla B.1
Tabla B.1 Parámetros de los espectros de fase de la figura B.1 Cn2 1×10-15 m-2/3
v 10 m/s
λ 1.55 μm
lo 0.1 m
L 1500 m
Para el caso anterior se tiene
1664.6282
(B.6)
El espectro obtenido por el algoritmo de Levi (B.4)
1144.274
43454.64596545
(B.7)
Usando la aproximación dada por (B.5) se tiene:
1664.6282 98696.04401
(B.8)
En la gráfica tal se puede observar la comparación entre las gráficas de los espectros obtenidos a partir de las ecuaciones (B.1), (B2) y (B5)
Figura B.1. Espectros de fase de acuerdo a la expresiones (B.1), (B.2) y (B.3)
100 101 102 103 10-3 10-2 10-1 ω [rad/s] Sφ ( ω ) [r a d 2 ]
Expresión en potencia fraccional Aproximación heurística Algoritmo de Levi
De la expresión (B.1) y (B.2) se tiene las siguiente relaciones:
2.91 /
( B.9)
y (B.10)
De acuerdo a la teoría de sistemas y estimación estocástica [Nahi], el espectro anterior se puede representar en forma de una ecuación diferencial estocástica, la cual permite fácil mecanización para la generación del proceso de fase:
2 (B.11)
Comportamiento similar presenta el logaritmo de la amplitud el cual puede ser representado por:
2 (B.12)
Este proceso se relaciona con la amplitud por:
Anexo C
Parámetros del estimador de fase utilizados en la simulación
Los valores requeridas para el diseño del estimador y la simulación del mismo se presentan son
Parámetros de simulación
Potencia recibida (sin turbulencia), Pr 1nW
Potencia oscilador local, PLO 1mW
Responsitividad, ℜ 0.9A/W
Resistencia, r 2kΩ
Ganancia amplificador 1
Tiempo de coherencia del oscilador, tc 3.1830×10‐7,1.591549×10‐7, 1.591549×10‐8
7.957747×10‐9 Constante de estructura 1.21×10‐15, 6.57×10‐15, 1.34×10‐14, 1.51×10‐14, 2.06×10‐14, 3.54×10‐14, 6.49×10‐14. Potencia del proceso de generación de
perturbación de fase debido a la turbulencia atmosférica , P
1.0204, 5.5405, 11.303, 12.7339. 17.
3721, 29.8531, 54.7308 Inverso del periodo de correlación de fase,
debido a la turbulencia atmosférica , k
986. 9604
Determinación de constantes del sistema (Ecuaciones 74, 74, 76 y 77)
2 2 2 2 10 7 10 3 12 2 103 2 0.92 6.48 10 4
0 4 2 2 4 1.6 10 19 1.8 10 3 2 103 2 4.613 10 15
2
0 2.808 10
Parámetros del enlace óptico
Potencia transmitida (PTX) 10mW 25mW 50mW Sensitividad -40 dBm -40 dBm -40 dBm Ganancia antena transmisora (GTX) 106.13dB 106.13 dB 106.13 dB Ganancia antenna receptora (GRX) 94.09dB 94.09dB 94.09dB Pérdidas por trayectoria -201.9 dB -201.9 dB -201.9 dB Pérdidas inserción -11.46 dB -11.46 dB -11.46 dB Pérdidas misceláneas -25dB -25dB -25dB Margen de enlace 11.86dB 15.78dB 18.79dB