Las gr´uas porta–contenedores son usadas en mu- chos puertos para cargar y descargar contenedores hacia y desde barcos. Los contenedores quedan fijados mediante cables flexibles montados en la cabezera de la gr´ua. La cabezera de la gr´ua de mueve sobre una gu´ıa horizontal. Cuando se levanta un contenedor y la cabezera de la gr´ua comienza a moverse, el contenedor empieza a ba- lancearse. Este balanceo, si bien no es un proble- ma durante el transporte del contenedor, s´ı lo es para poder soltarlo ya que para poder alojar el contenedor en el barco, ´este ha de care a plomo. Existen dos soluciones triviales para resolver este problema [10]. Una es posicionar la cabeza de la gr´ua exactamente sobre la posici´on de descarga, y entonces, esperar hasta que el contenedor deje de balancearse hasta un nivel aceptable. Si el d´ıa no es ventoso, es posible llegar a eta situaci´on, aunque ciertamente consume mucho tiempo. Ob- viamente, por razones de coste, un barco porta– contenedores ha de ser cargado y descargado en el menor tiempo posible. La otra soluci´on consiste en elevar el contenedor y desplazarlo muy lenta- mente para que no se balancee. Nuevamente, si el d´ıa no es ventoso, es posible realizar esta ope- raci´on, aunque ciertamente a coste de emplear mu- cho tiempo en la misma. Una slouci´on alternativa consiste en disponer de contenedores con cables adicionales para su fijado durante la operaci´on de carga y descarga. Sin embargo, esta soluci´on, no es muy habitual ya que es bastante costosa. Existen operadores humanos expertos que a par- tir del control continuo de velocidad del motor de la cabeza de la gr´ua, compensan el balanceo con avances y retrocesos hasta posicionar el con-
tenedor en el sitio exacto. Esta operaci´on, si bien no es f´acil, s´ı es realizada de forma aceptable por gru´ıstas expertos.
La soluci´on pasa por la automatizaci´on de este problema de control no es trivial, ya que los mo- delos de planta obtenidos [8] son sensiblemente no lineales y pueden alcanzr grados de complejidad muy elevados: el comportamiento del motor de la cabeza de la gr´ua es no lineal, la cabezza de la gr´ua se mueve con fricci´on, las perturbaciones tales como rachas de viento son imprevisibles, etc. Sin embargo, a pesar de todos los problemas men- cionados, est´a claro que un operador experto es capaz de controlar la gr´ua sin necesidad de utilizar complejas ecuaciones diferenciales. Por tanto, parece ´este un problema apropiado para ser abor- dado desde el punto de vista de la l´ogica borrosa. Para automatizar el control de la gr´ua, se em- plean sensores para la posici´on de la cabeza de la gr´ua (variable Distancia) y el ´angulo de ba- lanceo del contenedor (variable ´Angulo). ´Estas ser´an las variables de entrada que configurar´an los antecedentes de las reglas. La variable de salida ser´ıa la potencia del motor, la cual configurar´a el consecuente de las reglas. El modelo borroso a elaborar es del tipo Mandani, esto es, la potencia ser´a un conjunto borroso.
Los posibles valores de las variables ling¨u´ıstica [10] (denominados t´erminos o etiquetas) son: para la variable Distancia {lejos, media, cerca, cero, negativo cerca} donde que la distancia sea negativa nos indica que nos hemos pasado de la posici´on objetivo; para la variable ´Angulo {pos grande, pos peque˜no, cero, neg peque˜no, neg grande} y para la Potencia {pos alta, pos media, cero, neg media, neg alta} donde la potencia negativa nos indica la potencia a aplicar en el caso que la distancia sea negativa (ver Figu- ras 1, 2 y 3.
Sea x la variable Distancia y α la variable ´
Angulo. Sea V = 1
2(x
2+ α2) la funci´on de Lyapunov can- didata.
Para que el controlador sea estable, se ha de cumplir que ˙V = x ˙x + α ˙α ≤ 0.
Para ello se ha de terner en cuenta que:
(1) La Potencia del motor es proporcional a la distancia (en sentido opuesto).
(2) La Potencia del motor es proporcional a la velocidad con que se desplaza el contenedor sobre el brazo de la gr´ua.
(3) La velocidad del ´Angulo es proporcional a la
Potencia que suministremos al motor.
En base a las premisas anteriores, podr´ıa definirse una base de reglas, basadas en el sentido com´un aplicado al conocimiento que se tiene de la planta, para implementar el control de la gr´ua. Esta base de reglas, elaborada completamente con palabras, podr´ıa ser la siguiente:
R1: Si x es Lejos y α es cero entonces debe ocurrir ˙x < 0 (fuerza inicial, media), Potencia es pos media.
R2: Si x es Lejos y α es negativo peque˜no ˙x < 0 debe ser negativo grande y, (ya que el ´angulo es negativo) y, en conse- cuencia, Potencia es positiva alta. R3: Si x es media y α es negativo peque˜no
entonces ˙x ha de ser negativo media. Como el ´angulo es negativo peque˜no, hay que elegir Potencia es posi- tiva alta.
R4: Si x es media y α es negativo grande entonces ˙x es negativo medio y en con- secuencia, Potencia es positivo media. R5: Si x es cerca y α es positivo peque˜no
entonces Potencia es negativa media. R6: Si x es cerca y α es cero entonces
Potencia es negativa media.
R7: Si x es cerca y α es negativo peque˜no entonces Potencia es positiva media. R8: Si x es cero y α es positivo peque˜no en-
tonces Potencia es negativa media. R9: Si x es cero y α es cero entonces
Potencia es cero.
Para cada variable ling¨u´ıstica, cada t´ermino se de- fine mediante sus funciones de pertenencia. Para la variable Distancia, x, se definen las fun- ciones de pertenencia siguientes (ver Figura 1):
µnegativo cerca(x) =£1 + e2k1(x+c1/3)¤−1
µcero(x) = e−kx2
µcerca(x) = e−k(x−c1)2/2
µmedia(x) = e−k(x−2c1)2/2
µlejos(x) =£1 + e−2kc1(x−8c1/3)¤−1
Para la variable Angulo, α, se definen las siguien- tes funciones de pertenencia (ver Figura 2):
µneg grande(α) =£1 + ek2c2(α+3c2/2)¤−1
µneg peque˜no.(α) = e−k2(α+c2)
2/4
µcero(α) = e−k2α2
µpos peque˜no.(α) = e−k2(α−c2)
2/4
−100 −5 0 5 10 15 20 25 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Variable DISTANCIA negativo
cerca cero cerca media lejos
Figura 1: Funciones de pertenencia para la varia- ble de entrada Distancia
−500 0 50 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Variable ANGULO neg
grande negpeq. cero pospeq. posgrande
Figura 2: Funciones de pertenencia para la varia-
ble de entrada ´Angulo
−300 −20 −10 0 10 20 30 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Variable POTENCIA neg
alta negmedia cero posmedia posalta
Figura 3: Funciones de pertenencia para la se˜nal
de control (variable Potencia)
Por ´ultimo, la se˜nal de control, definida por la variable u, queda implementada por las siguientes funciones de pertenencia:
µneg alta(u) = e−k3(u+2c3)2/4
µneg media(u) = e−k3(u+c3)2/2;
µcero(u) = e−2k3u2
µpos media(u) = e−k3(u−c3)
2/2
µpos alta(u) = e−k3(u−2c3)2/4
donde c1, c2, c3, k1, k2, k3∈ R+.
Puesto que al final del proceso de inferencia se ha de actuar sobre el motor, la se˜nal de control ha de adquirir en cada momento un valor con- creto (crisp), esto es, tantos kW. Por tanto, el sistema de control necesita deborrosificar la vari- able ling¨u´ıstica Potencia para producir un valor real.
En el sistema borroso desarrollado se aplica el m´etodo de inferencia producto y como desborrosi- ficador el centro–promedio. Esto es
~u(x, α) = 4 X i=1 wiui 4 X i=1 wi (2)
donde wi es el grado de cumplimiento de la regla i–´esima.
Esta f´ormula re´une tanto el m´etodo de inferencia como de deborrosificaci´on.
ui es es valor para el que se produce el valor
m´aximo del conjunto borrroso de salida en la regla correspondiente. Por ejemplo, en la regla R1, u es “positiva media”, µpositivo media(u) = 1 ⇔ u1 = −c3, y as´ı sucesivamente para todas las reglas). Introduciendo todos estos valores en la expresi´on 2 se tiene:
~u(x, α) = num (x, α) den (x1, x2) donde
num (x, α) = µlejos(x) · µcero(α) · c3
+µlejos(x) · µneg peque˜no(α) · 2c3 +µmedia(x) · µneg peque˜no(α) · (2c3) +µmedia(x) · µneg grande(α) · (c3) +µcerca(x) · µpos peque˜no(α) · (−c3) +µcerca(x) · µcero(α) · (−c3) +µcerca(x) · µneg peque˜no(α) · (c3) +µcero(x) · µpos grande(α) · (−c3) +µcero(x) · µcero(α) · 0
den (x, α) = µlejos(x) · µcero(α)
+µlejos(x) · µneg peque˜no(α) +µmedia(x) · µneg peque˜no(α) +µmedia(x) · µneg grande(α) +µcerca(x) · µpos peque˜no(α) +µcerca(x) · µcero(α) +µcerca(x) · µneg peque˜no(α) +µcero(x) · µpos peque˜no(α) +µcero(x) · µcero(α)
Para valores particulares de las distintas cons- tantes que aparecen descritos a continuaci´on, se han obtenido dos expresiones que aproximan en la medida que se indica a la expresi´on del con- trolador. As´ı para los valores k1 = 002, k2 =
0005, k3= 001, c1= 7, c2= 15 y c3= 905, se han
obtenido para el controlador las siguientes aprox- imaciones:
u(x, α) = 609037 tanh(003725x − 409822) −506503 tanh(001609α + 007204)
+1002853 tanh(000220x − 000328α + 007820)
(3)
que proporciona un error Medio = 3.2468.
−10 0 10 20 30 −20 −10 0 10 20 −20 −10 0 10 20 30
Figura 4: Gr´afica de la funci´on
u(x, α) = 609037 tanh(003725x −
409822) − 506503 tanh(001609α + 007204) +
1002853 tanh(000220x − 000328α + 007820)
Como segunda aproximaci´on:
u(x, α) = 67307822 tanh(000009x + 000004) −804893 tanh(001080α + 003474)
(4)
que proporciona un error Medio = 4.1065.
−10 0 10 20 30 −20 −10 0 10 20 −20 −10 0 10 20 30
Figura 5: Gr´afica de la funci´on
u(x, α) = 67307822 tanh(000009x + 000004) −
804893 tanh(001080α + 003474)
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Conclusiones
En este trabajo se ha presentado una primera aproximaci´on a una metodolog´ıa uqe, extendiedno la s´ıntesis cl´asica de Lyapunov al dominio de pal- abras, permite obtener de forma sistem´atica la base de reglas de un controlador borroso as´ı como una expresi´on anal´ıtica para la ley de control re- sultante.
Este resultado permite dar un paso en la formal- izaci´on de los sistemas de control borroso, ya que al disponerse de una expresi´on anal´ıtica se pueden abordar metodolog´ıas de an´alisis cl´asicas.
Agradecimientos
Este trabajo es una contribuci´on del proyecto DPI2005–01065 financiado por el Minsisterio de educaci´on.
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