Consideremos una cadena de N ´atomos semejantes, de masa M , y distancia de equilibrio interat´omica a que puedan moverse a lo largo de una recta (eje x, polarizaci´on longitudinal) como se ilustra en la figira 3.2. Consideramos que los ´atomos en la cadena est´an unidos por “resortes” de constante C.
Figura 3.2: Cadena lineal monoat´omica. Se tienen N ´atomos de masa M cuyas posiciones de equilibrio son puntos de una red lineal de par´ametro de red a. Entre los ´atomos se consideran fuerzas tipo ley de Hooke con constante de fuerza C y las oscilaciones son longitudinales a lo largo del eje x siendo u el desplazamiento de un ´atomo respecto de la posici´on de equilibrio.
En este sistema, cada ´atomo posee un grado de libertad, en tanto que el sistema en conjunto tiene N grados de libertad.
Sea un (x, t) el desplazamiento en cierto instante t del n-´esimo ´atomo respecto de su
posici´on de equilibrio en el punto de coordenada xn = na.
La ecuaci´on de movimiento para el ´atomo n est´a dada por la ecuaci´on 3.2: M d 2u n dt2 =
p∈
Z C p (un+ p−
un) (3.2)Ahora hallamos los modos normales de las vibraciones , es decir, los tipos de movimientos con los cuales todos los ´atomos vibran con el tiempo a una misma frecuencia ω:
Se buscan Soluciones en forma de onda plana .
50 ESTADO S ´OLIDO. NOTAS DE CLASE (2016)
Reemplazando la ecuaci´on 3.3 en la ecuaci´on 3.2, se obtiene:
−
Mu0ω2ei(nak−
ωt) =
p∈
ZC pu0e
−
iωt
ei(n+ p)ak−
einak
(3.4)−
Mω2 =
p
∈
Z
C peipak−
1
(3.5)Por la simetr´ıa del cristal se cumple C p = C
−
p, entonces:Mω2 =
−
p>0
C peipak−
1
+
C pe−
ipak−
1
=−
p>0 C p [2cos ( pak)−
2] (3.6) ω2 = 2 M p>0
C p [1−
cos( pak)] (3.7) La ecuaci´on 3.7, es la relaci´on de dispersi´on para las ondas que se propagan en una cadena lineal de ´atomos iguales: ω = ω (k)Si asumimos que solo hay interacci´on entre pr´oximos vecinos ( p = 1), tenemos: ω (k) =
4C 1M
sen
ka2
(3.8)donde se ha utilizado la identidad cos 2x = 1
−
2sen2x.Figura 3.3: Relaci´on de dispersi´on ω = ω(k) para una cadena lineal de ´atomos id´enticos en una red lineal. Se observa que ω(k) es una funci´on peri´odica con per´ıodo 2π/a. Por lo tanto, es suficiente considerar valores de k en el intervalo [
−
πa, π
a], esto es, en la primera zona de Brillouin de la red. Para k
∼
0,ω
≈
vs|
k|
, con vs una constante e igual a la velocidad del sonido en el s´olido.En la figura 3.3 se muestra la gr´afica de la relaci´on de dispers´ıon ω = ω(k). Esta relaci´on de dispersi´on es una funci´on par y peri´odica en k con per´ıodo 2πa . Por lo tanto nos podemos limitar al an´alisis de ω (k) en el rango k
∈
−
πa, πa
.CAP´ITULO 3. VIBRACIONES DE LOS ´ATOMOS DE LA RED CRISTALINA 51
El intervalo
−
πa, πa
, en el espacio k (espacio rec´ıproco) se denomina primera zona de Brillouin de la cadena y corresponde a la celda de Wigner Seitz de la red rec´ıproca.La frecuencia de las oscilaciones del n-´esimo ´atomo no depende de n, lo que quiere decir que en un modo, todos los ´atomos de la cadena vibran con la misma frecuencia.
La soluci´on 3.3, describe las ondas que se propagan a lo largo de una cadena con la velocidad de fase, vf = ω k = vs
sen(ka/2) ka/2
(3.9) y la velocidad de grupo, vg = dω dk = vs
cos ka 2
(3.10) con, vs =
C 1a2 M =
C 1a ρ (3.11)donde ρ = M a es la densidad de la cadena.
El cociente entre los desplazamientos de dos ´atomos vecinos es: un+1 (t) un (t) = u0e i[(n+1)ka
−
ωt] u0ei(nka−
ωt) = eika (3.12)Esta funci´on es peri´odica en k, con per´ıodo 2πa . Por lo tanto existen valores distintos de k (distintas longitudes de onda λ = 2πk ) que describen el mismo fen´omeno f´ısico (figura 3.4).
Obtenemos todos los valores de un+1(t)
un(t) posibles si ka
∈
[−
π, π]. Como k puede ser positivo o negativo escogemos el intervalo k∈
−
πa, πa
(primera zona de Brillouin).Si un vector k se encuentra por fuera de la primera zona de Brillouin siempre es posible encontrar un k
dentro de la primera zona con,k
= k−
n2πa , n
∈
Z (3.13)de tal forma que,
un+1 (t)
un (t)
= eika = eika
·
ei2nπ
1= eika (3.14)
o sea que k y k
desriben el mismo fen´omeno f´ısico. En la figura 3.4 se muestra una ondacon vector de onda, k, (longitud de onda, λ) que est´a por fuera de la primera zona y una onda con vector de onda, k
= k−
2πn/a (longitud de onda, λ
) dentro de la primera zona.52 ESTADO S ´OLIDO. NOTAS DE CLASE (2016)
Figura 3.4: Una onda con vetor de onda, k, (longitud de onda, λ) que queda por fuera de la primera zona de Brillouin y una onda con vector de onda, k
= k
−
2πn/a (longitud de onda, λ) dentro de la primera zona: estas dos ondas describen el mismo fen´omeno f´ısico.
Discusi´on de la relaci´on de dispersi´on, ω = ω(k)
•
Para k = km´ax =±
πa (borde de la primera zona de brillouin). En este caso,|
k|
= 2πλ =
π
a
⇒
λ = 2a (3.15)longitudes de onda corta. Por otra parte,
un+1
un
=
−
1 (3.16)dos ´atomos vecinos vibran con fase opuesta. un (t) = u0e
−
iπ
ana
−
iωt = u0 cos (nπ) e−
iωt (3.17) se tiene una onda estacionaria. No se puede transmitir una se˜nal.De acuerdo con la ecuaci´on 3.9 La velocidad de fase es, vf = π2vs.
Seg´un la ecuaci´on 3.10 la velocidad de grupo es, vg = 0. Esto significa que no se
transporta energ´ıa.
Claramente, vg
= vf . Entonces hay dispersi´on.•
Cuando los valores de k son peque˜nos, o lo que es lo mismo, cuando las longitudes de onda son considerablemente mayores que las distancias promedios entre los ´atomos en la cadena, λ
a, se tiene: sen
ka2
ka2 , entonces, ω =
4C 1 M
ka 2
=
C 1a2 M|
k|
= vs|
k|
(3.18)CAP´ITULO 3. VIBRACIONES DE LOS ´ATOMOS DE LA RED CRISTALINA 53
La velocidad de fase y la velocidad de grupo coinciden,
vf = vg = vs (3.19)
Por lo tanto no hay dispersi´on. Por otro lado,
un+1
un
1 (3.20)
Dos ´atomos vecinos vibran con la misma fase.
En el l´ımite de k peque˜no (λ
a) debemos obtener los mismos resultados que para la teor´ıas del cont´ınuo.La velocidad del sonido en un cont´ınuo es, vs =
Eρ (3.21)
con E el m´odulo de elasticidad.
Deducimos entonces que E = C 1a.