W Leibniz, Bosquejo de una Geometría brillante1, 1682.

/260¡ Los hombres de fino juicio han observado con frecuencia que los Geómetras

enseñan sin duda cosas muy ciertas, verdaderas y confirmadas, de tal manera que no puede negarse el progreso, sin embargo el espíritu no se aclara suficientemente ni penetra en los principios hallados, mientras el lector se sienta atrapado y constreñido . Comprender puede no ser suficiente tampoco, como ocurre en esos casos en que el asunto hace que los hombres admiren, más que entiendan, las demostraciones de los Geómetras. Ni basta que se perciban sus frutos para la corrección del intelecto, provechosa también en otras disciplinas, en las que, con todo, veo la poderosísima utilidad de las demostraciones de los Matemáticos. Pues bien, como, meditando sobre estas cosas, se atina a menudo con muchísimas que permiten mostrar las causas dadas y los principios descubiertos, da gusto escribir de estos asuntos con términos familiares y estmctura libre, según viene a la mente, más rígida en otro momento al exponer las razones observadas.

Los Geómetras usan o pueden usar varias nociones tomadas de otros ámbitos, a saber, las de lo mismo y lo diverso o lo coincidente y no coincidente, lo que está contenido o lo que no está contenido, lo determinado y lo indeterminado, lo congmente e incongruente, lo semejante y desemejante, el todo y la parte, lo igual, mayor y menor, lo continuo o discontinuo, la mutación y, finalmente, lo cual les es propio, el sitio y la extensión.

/26U La doctrina de lo coincidente o no coincidente es la misma doctrina que la de

las formas de los silogismos. Aquí asumimos que los que coinciden con un tercero coinciden entre sí, si de dos coincidentes, uno no coincide con un tercero, el otro tampoco coincidirá con él . De esta manera, los Geómetras enseñan que el punto en el que se cortan dos diámetros del círculo (esto es, las rectas que cortan el círculo en dos partes congruentes) coinciden con el punto en que se cortan otros dos diámetros de este círculo. Véase fig. 1.

De la doctrina de lo que está contenido en otro, hay también alguna parte en 86

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 87 Digitized by

las demostraciones por enlace en los Primeros Analíticos de Aristóteles, pues él advirtió que el predicado está contenido en el sujeto4. Por supuesto, la noción del predicado en la noción del sujeto, aunque además, inversamente, los individuos del sujeto están entre los individuos del predicado. Y también pueden demostrarse muchas cosas generales del continente y el contenido o inexistente, útiles en el futuro tanto para los Lógicos como para los Geómetras5. De los cuales di el siguiente ejemplo: tan pronto se ha demostrado que A está contenido en B y B en C, se ha demostrado que A está contenido en C, fig. 2; así, si A está contenido en L, y B está contenido en L, el compuesto a partir de A y B estará contenido en L, fig. 3; igualmente, si A está contenido en B, y B está contenido en A, A y B coinciden, fig. 4. Además, solucioné problemas como encontrar varios números cualesquiera tales que, a partir de ellos, no se componga ninguno nuevo. Esto ocurre si están sucesiva y alternativamente uno en el otro, por ejemplo, si A está contenido en B y B en C y C en D, etc., no puede componerse ninguno nuevo. Puede demostrase de otro modo. Sean los cinco A, B, C, D, E, y A + B coincide con C, y A está en D, finalmente, B + D coincide con E, ahora ninguno de ellos puede componer uno nuevo comoquiera que se combinen. A partir de lo cual muestro también, cómo deben relacionarse los números dados en cuanto a la coincidencia e inexistencia para establecer combinaciones útiles a la composición de algo nuevo. Y de esto, de las fórmulas universalmente aceptadas, se ocupa parte de la Ciencia Combinatoria general, a la cual, como se ha señalado, se subordina no sólo la Geometría, sino la Logística o

Mathesis universalis, que trata de las Magnitudes y las Razones en general.

Sigue la doctrina de lo determinado y lo indeterminado, por supuesto, cuando está circunscrito a ciertos datos buscados, de los que solamente uno puede satisfacer las condiciones. Se dice semideterminado cuando pueden mostrarse no exactamente uno, sino muchos, aunque en cantidad definida o finita, que satisfacen las condiciones. De este modo, dados dos puntos, A y B, está determinada la recta AB (fig. 5) o la vía mínima del uno al otro; pero si se busca en el plano el punto C

/262¡ cuya distancia a los puntos A y B son magnitudes conocidas, el problema es

semideterminado, ya que pueden hallarse dos puntos en este plano C y (C) que satisfagan lo buscado. Mas, sólo puede hallarse un círculo que pase por tres puntos

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J

Jo

(Lì

A L

C

B

dados A, B, C. Por tanto, si se presentan dos círculos y en los cálculos se halla que cada uno de ellos pasa por los tres puntos propuestos, es seguro que los círculos llamados dos son en verdad uno y el mismo o coinciden. Si se juzga que las condiciones dadas son determinantes, puede conocerse a partir de ellas mismas, cuando es el caso, cómo contienen la generación o producción de la cosa buscada o, al menos, cómo demuestran su posibilidad, y mientras se genera o demuestra, siempre se procede de modo determinado, de tal manera que no se deja nada en ninguna parte al arbitrio o la elección. Pues, si procediendo de esta forma se llega a la generación de la cosa o a la demostración de su posibilidad, ciertamente el problema está determinado hasta lo más hondo.

De aquí, por otra parte, deduje el uso de muchos y grandes Axiomas y máximas que, sin embargo, no veo observados suficientemente. De éstos el más poderoso es que los determinantes pueden ser sustituidos en una nueva determinación colocando, en lugar de un determinado, de nuevo otro determinante, salvándose la determinación. De este modo, si decimos que la recta indefinida que pasa por dos puntos A y B (fig. 6), es el lugar de todos los puntos que se relacionan con A y B de modo determinado, o de sus sitios únicos respecto de A y B, demuestro de esto que, tomados otros dos puntos en la misma recta, por ejemplo C y A (por facilidad y brevedad tomamos ahora de nuevo uno de los primeros), esta recta está también determinada por estos dos puntos C y A, o cualquiera de los puntos en esta recta tiene su sitio único respecto de A y C. La demostración es como sigue: sea la recta que pasa por A y B -en la que un punto cualquiera, como L, tiene respecto de A y B su sitio único-, de tal manera que no puede encontrarse además otro punto que se relacione del mismo modo respecto de A y B (lo cual es una propiedad de la recta), o A.B.L. un. (de este modo suelo escribir la determinación), y se toma otro punto C en la misma recta, digo que cualquier punto de la recta, como L, también tiene su sitio único respecto de A y C, o A.C.L. un. Pues A.B.L. un. (por hipótesis) y A.B.C. un. (ya que C está en la recta que pasa por A,B). Ahora se suprime B en la determinación posterior sustituyendo, por medio de la primera determinación, B por A.L (por el presente axioma, ya que B se determina a partir de A.L.), por consiguiente en la determinación posterior tenemos A.A.L.C. un. Pero la

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repetición de A es inútil /263/, o si A.A.L.C. es un., también A.L.C. es un., o L tiene su sitio único respecto de A y C, que era lo que nos proponíamos demostrar6.

De este ejemplo vemos nacer un nuevo género de cálculo no usado hasta ahora por ningún mortal, que no emplea magnitudes, sino puntos y donde el cálculo no se hace por ecuaciones, sino por determinaciones o congruencias y coincidencias. La determinación, sin duda, puede resolverse por medio de la congruencia en la coincidencia de este modo: A.B.L. un., esto es, si el sitio A.B.L. es congruente con el sitio A.B.Y., coinciden L e Y. Suelo anotar la coincidencia con el signo oo y la

congruencia con un signo de tal manera oc7. Por tanto A.B.L. un. vale lo mismo que

la proposición condicional siguiente: si A.B.L. oc A.B.Y, será L oc Y (donde la letra Y la empleo para el punto indefinido a imitación de los Algebristas, para los que las últimas letras, como x, y, suelen significar magnitudes indefinidas). Pues, cualquier punto que se tome, como Y, que se relacione del mismo modo con los puntos A y B, como L se relaciona con A y B, es necesario que coincida con L, supuesto, naturalmente, que el sitio es único, o que L está en la recta que pasa por A y B.

Así pues, pasamos a explicar la congruencia. Congruentes son los que no pueden diferenciarse de ningún modo si se consideran por sí mismos, como en la fig. 5 los dos triángulos ABC y AB(C), en los cuales nada prohibe aplicar el uno al otro de modo que coincidan. En consecuencia, ahora se diferencian por la sola posición o por la relación a cualquier otro de posición ya dada, de manera que, dado algún punto L, puede hacerse que ABC se relacione de otro modo con L, de como AB(C) se relaciona con L. Por ejemplo, si L está más cercano a C que (C). Sin embargo, es necesario poder encontrar otro (L) que se relacione a AB(C) como L se relaciona con ABC, de tal manera que ABCL y AB(C)(L) sean congruentes, de lo contrario, si lo que pudiese hacerse respecto a AB(C) no pudiese hacerse respecto a ABC (de tal manera que no pudiese hallarse un (L) con relación a aquél como L con relación a éste), por lo mismo podrían diferenciarse ABC y AB(C), no siendo congruentes. Y esto es un axioma de máxima fuerza, que si se tienen dos congruentes ABC y AB(C) y se halla algún L que se relaciona en cierto modo a ABC, también se da, o es posible, un (L) que se relacione del mismo modo al otro AB(C). Lo designo así (fig. 7), A.B.C oc L.M.N, lo que significa que los tres puntos,

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Fig. 7

Fig. 8

Fig. 9

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A, B, C, están situados entre sí del mismo modo que los tres puntos L, M, N -se entiende, siguiendo respectivamente el orden prescrito. Es evidente que, cuando A.B.C y L.M.N resultan ser congruentes o coinciden o pueden aplicarse en sí

mismos, A coincidirá /264/con L, B con M, y C con N. De aquí, si A.B.C oc L.M.N,

se sigue además A.B « L.M, y de esta manera en los casos semejantes. Mas, cuando reunimos verdaderamente A.B.C oc L.M.N, es necesario probar primero A.B oc L.M y A.C oc L.N y B.C oc M.N, entonces sin duda, por fin, nos está permitido decir con seguridad del compuesto que A.B.C oc L.M.N. De esta manera vemos (fig. 8) que, aunque los triángulos ABC y LMN tienen dos lados iguales, AB igual a LM y AC igual a LN, sin embargo, puesto que no tienen un tercero igual, BL y MN, no son congruentes. De manera que, en general, la congruencia de los grados más altos de combinación puede colegirse de las congruencias de las combinaciones de los grados inferiores y no es necesaria la de todas las temas para encontrar la congmencia de las tétradas, sino sólo de tres; y para deducir la congmencia de las quinternas, cinco temas; de las septas, siete temas y así al infinito, como aparecerá más abajo al hablar de la semejanza8.

Es evidente también, en general, que, a partir de congmentes respectivos en todas las combinaciones de un grado, siempre puede inferirse que son congmentes todas las combinaciones de grado superior, por ejemplo, de todos los binomios, todos los trinomios, porque de todas las combinaciones de un grado, por ejemplo, de todos los binomios de cuatro cosas congmentes, puede inferirse la misma combinación total de cuatro cosas o cuaterna A.B.C.D congmente con L.M.N.P. Ahora, a partir de la congmencia de la combinación total, se deduce la de cualquier combinación inferior o cualquier tema congmente correspondiente, en consecuencia, de todos los trinomios todas las temas.

A partir de esto, percibimos la gran diferencia de congmencia a coincidencia e inexistencia o comprehensión. Pues, (fig. 9) si la recta AB coincide con la recta LM y, al mismo tiempo, la recta AC coincide con LN, también la recta BC coincidirá con la recta MN. Por esto mismo, mientras coincidan AB y LM, coinciden también los puntos A con L y B con M y, por lo mismo, mientras coincidan AC y LN, coincide también el punto C con el punto N. Como, en

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consecuencia, los puntos A, B, C, coinciden respectivamente con L, M, N y, del mismo modo, BC con LM, también las rectas BC y MN coincidirán. De la naturaleza de la recta, en lo tocante a las inexistencias, se ha señalado en otra parte que si A está contenido en L y B en M, también A ® B está contenido en L ® M, y si A ® B está contenido e n L ® M y A @ B e n L @ N , también A ® B © C estará contenido en L ® M ® N, lo cual no permite imitar el modo de argumentar en la congruencia y la semejanza.

Por lo que dijimos de la diferencia entre coincidencia y congmencia, surge ahora, la explicación de que, siendo congmentes los triángulos ABC /265I y (L)(M)(N), si los lados AB y (L)(M), y AC y (L)(N) son congruentes, aunque no se haga mención de los terceros, AC y (M)(N), serán congruentes los ángulos de A y (L). Pues, si la recta (L)(M) es congmente con la recta AB, y la recta (L)(N) con la recta AC, y también el ángulo de (L) lo es con el ángulo de A, ahora pueden transferirse las rectas (L)(M) y (L)(N) a AB y AC conservando su sitio, y aún más, (L)(M)(N) puede aplicarse a ABC, de tal manera que coincidan AB y LM, lo mismo que AC y LN. En consecuencia, también a partir de la naturaleza de la coincidencia, BC y MN coinciden. Así, si tanto las rectas descritas como los ángulos de éstas son congmentes, también las bases serán congmentes y, de este modo, todo un triángulo con el otro.

Con este mismo ejemplo puede ilustrarse este Axioma notable y de gran uso: los que se determinan a partir de congmentes del mismo tipo, son congmentes . De este modo, puesto que, en general, a partir de la magnitud de dos rectas dadas y del ángulo entre ellas, dado según su posición y magnitud, está determinado y dado el triángulo en su posición, de aquí, si se dan dos triángulos ABC, (L)(M)(N), siendo congmentes las bases AB con (L)(M) y AC con (L)(N) y el ángulo que comprenden los congmentes, el ángulo A, con el ángulo (L), los triángulos mismos serán congmentes. Parecidamente, puesto que a partir de la magnitud de estas tres rectas dadas, también están dados los ángulos según su magnitud, están todos determinados de tal modo que otros distintos impedirían la congmencia. De aquí, si dos triángulos tienen respectivamente tres rectas iguales y, por esto, congmentes (sin duda las rectas iguales son congmentes), los mismos triángulos serán congmentes. Y

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considerando esto atentamente, se descubre que coincide con el método de las superposiciones de Euclides10.

Otros axiomas pertinentes a esto son que los congmentes con el mismo son congruentes entre sí y los que son congruentes entre sí, si uno de ellos es incongruente con un tercero, también el otro será incongruente con él, los cuales sin embargo sólo son corolarios del axioma de lo mismo y de lo diverso. Sin duda, en los congruentes, todos son idénticos antes de la posición, de tal manera que sólo difieren por el número. Y en general, cuanto puede hacerse o decirse de uno de los congruentes, también puede hacerse o decirse del otro, con una excepción, que lo que se aplica a uno difiere en número o posición de lo que se aplica al otro. De esta manera, entendemos que son congruentes no sólo dos brazos o dos pies, sino dos libras, tomadas abstractamente, dos horas, dos grados iguales de velocidad. Es de observar también que, si los ámbitos de dos cuerpos son congruentes, los mismos cuerpos serán congruentes, porque si los lindes son congruentes en acto o coinciden, también coinciden los cuerpos. Mas no es necesario que las superficies y líneas cuyos extremos coinciden, o son congruentes, /266/ coincidan o sean congruentes. Sin embargo puede decirse que, en general, dos cuerpos extensos coinciden o son congruentes si coinciden o son congruentes los que pueden limitarlos exteriormente, o pueden tener un exterior común. De aquí que no baste que sean congruentes o coincidentes los términos de las superficies y líneas que pueden limitarlos por todas partes exteriormente -no los verdaderos sólidos. Esta es también la naturaleza del espacio en general, ser extenso (y hasta tal punto que cuanto se concibe de los cuerpos no es otra cosa que estar presentes en él), internamente congruente e indiscernible por todas partes (como si se agarra el agua o se palpa en la oscuridad sin tocar nada). Sólo por ésta puede discernirse lo que toca exteriormente o lo que es común con otro (con el que no tiene ninguna parte común). De aquí también, que si se hallan dos superficies o líneas uniformes, de extremos congruentes o aún congruentes en acto, serán congruentes o coincidirán en acto.

A partir de los congruentes se originan los iguales11. Ciertamente, los que son congruentes o, si es necesario, pueden hacerse congruentes por transformación, se dicen iguales. De este modo, en la fig. 10, los triángulos BAD, BCD, BCE, BFE,

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%A

B

P

D

son congruentes y, por tanto, iguales, porque el triángulo EBD es igual al cuadrado ABCD. Aunque es verdad que el triángulo y el cuadrado no son congruentes, sin embargo, en este caso, puede hacerse congruente con parte de él por transposición, pues si transfieres una parte del triángulo EBD, BCD, congruente con BFE, permaneciendo la otra parte ECB, entonces, a partir de BFE y ECB, se constmye el cuadrado BCFE, congruente con el cuadrado ABCD. Solemos designar la igualdad con el signo =, esto es, A = B significa A y B son iguales.

También pueden decirse iguales los de la misma magnitud. Pero, la magnitud, es atributo de ciertas cosas cuyas características no pueden determinarse por ninguna definición ni ninguna noción, sino que es necesario fijar cierta medida para decidir. Por tanto, si Dios aumentara el orbe del universo conservando todas las proporciones de las partes, no habría base para notarlo. Sin embargo, tomando una cosa fija en tanto que medida, por su aplicación a otras cosas y recurriendo a la repetición, puede conocerse también el número de la magnitud de las otras cosas. Por consiguiente, la magnitud se determina por el número de partes que son iguales entre sí o desiguales en cierta medida. Y, aunque la otra cosa sea inconmensurable respecto de la medida o respecto de las cosas con cuya medida exacta repetida /267/ es congruente, sin embargo, continuada al infinito, la substracción de la medida con relación a la cosa o de la cosa con relación a la medida, y de los restos respecto de lo que se substrae, cuantas veces pueda hacerse, a partir de la experiencia, del crecimiento del número de repeticiones se conoce entonces la cantidad de la cosa respecto de la medida. Y, por tanto, son iguales los que se relacionan del mismo modo a la misma medida respecto a la repetición, y es claro que, éstos, por lo mismo, pueden hacerse congmentes, resolviendo cada uno en partes todas ellas congruentes del mismo modo.

A partir de lo anterior, se comprende además lo que los Matemáticos llaman razones o proporciones. Pues, si de A y B, se toma uno, A, por medida, entonces la

magnitud del otro, B, se expresa por algún número (o por cierta ley procedente de la

serie de los números), puesto que A expresa la unidad. Pero si no hay ninguna medida, entonces el número que expresa B por A -A es una casi medida o unidad-, expresa la razón o proporción de A a B. En general, la expresión de una cosa por

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otra homogénea (o resoluble en algo congruente) expresa la razón de una a la otra, de manera que, por tanto, la razón es la relación más simple de dos en cuanto a la magnitud, suponiendo, naturalmente, que no hay ningún tercero homogéneo a ellos que exprese el valor de la magnitud de uno por la magnitud del otro. Sean, por ejemplo, dos magnitudes A y B (fig. 11) y queremos determinar la razón entre ellas. Supongamos que A es mayor y B menor, así pues, de A restaremos B cuantas veces pueda hacerse, por ejemplo, 2 veces, y queda C; este C es necesario que sea menor que B, y C se resta de B de nuevo cuantas veces pueda hacerse, supongamos que puede restarse 1 vez y el resto es D, y a C puede detraérsele D de nuevo 1 vez y el