Con las tablas obtenidas hasta este momento (Tabla ANOVA), solo podemos aceptar o rechazar la hipótesis nula, en favor de la Hipótesis alternativa (H1) que con frecuencia se enuncia ‘Al menos una de
las medias es distinta’. Recordemos que se rechaza la H0 cuando los niveles de significancia son
pequeños, lo cual indica que los F están sobrepasando los valores críticos. Pero hay un problema, porque esa decisión no nos indica cuál o cuales medias son distintas a las demás. ¡No sabemos cuál tratamiento difiere de otro! Solo sabemos que la humedad ha actuado como un factor que está disminuyendo el efecto de la temperatura, pero deberíamos conocer cómo varían estos efectos a lo largo de todos los tratamientos. ¿Será, por ejemplo 70% de humedad a 28°C distinto de 90% de
humedad a 26°C?.
La Solución...
Lo más sencillo e ilustrativo es elaborar un gráfico con todas las medias implicadas y probar sus diferencias con ayuda de una prueba a posteriori. Estas pruebas se obtienen muy fácilmente con los programas estadísticos mencionados y hacen una comparación entre todos y cada uno de los tratamientos (como si comparásemos por pruebas t de student todos los tratamientos entre sí). En estas pruebas obtenemos matrices en las cuales observamos algún valor o símbolo que nos indica si las medias comparadas son iguales o no (estadísticamente), y a partir de esos resultados podemos hacer el análisis y concluir sobre el experimento.
El programa STATISTICA hace automáticamente estos gráficos, pero ustedes también pueden también hacerlos manualmente puesto que conocen todas las medias. En el mismo recuadro donde se seleccionó la opción ALL EFFECTS, está otra opción con el nombre MEANS/GRAPHS. Se presiona ese botón y aparecen las tres fuentes de variación (Temperatura, Humedad y la interacción de ambas). Se sombrea el gráfico deseado (si se sombrea Temperatura, graficará las medias de temperatura (Figura 9). Si se sombrea Humedad, sólo las de humedad (Figura 10) y si se presiona 12 (la interacción de las dos variables), aparecerán las medias de cada tratamiento pues hay una interacción para cada tratamiento (Figura 11).
El programa XLSTAT también hace gráficos automáticamente si marcan la opción “Residual” y “Chart” (Figura 5). Con estas opciones, aparecen estos gráficos y otros, que por el momento pueden pasar por alto. Si no marcan la opción “Residual”, los gráficos (charts) no aparecerán.
Plot of Means (unweighted) TEMPERAT Main Effect F(3,12)=51.36; p<.0000 TEMPERAT V a riable: % _ E C L O S 20 25 30 35 40 45 50 55 G_1:20 G_2:23 G_3:26 G_4:28
Figura 9. Medias de los tratamientos para las cuatro temperaturas.
Plot of Means (unweighted) HUMEDAD Main Effect F(2,12)=34.74; p<.0000 HUMEDAD Variable: % _ ECLO S 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 G_1:70 G_2:80 G_3:90
Figura 10. Medias de los tratamientos para las tres humedades.
HUMEDAD G_1:70 HUMEDAD G_2:80 HUMEDAD G_3:90 Plot of Means 2-way interaction F(6,12)=32.49; p<.0000 TEMPERAT Variable: %_ECLOS 10 20 30 40 50 60 70 80 G_1:20 G_2:23 G_3:26 G_4:28
Figura 11. Medias de cada uno de los doce tratamientos (todas las combinaciones de temperatura y humedad).
El programa Minitab también hace los gráficos automáticamente si se seleccionan en el botón GRAPHS del cuadro de diálogo (Figura 8).
Para determinar si las variaciones que observamos entre estos valores son significativas (descartar que sean producto de la escala a la que estamos graficando, seleccionamos del cuadro de resultados la opción POST-HOC COMPARISIONS y aparecerá una ventana que permite seleccionar las variables independientes a comparar. Podemos seleccionar solo una (temperatura o humedad) o ambas (en este caso se escogieron las dos variables). Luego aparece un cuadro con todas las pruebas a posteriori que dispone el programa. Una muy fácil de interpretar es la de “Diferencias mínimas significativas” (LSD test or planned comparisions). Al seleccionar esta opción obtenemos la matriz que presentamos en la Tabla 6 y que explicaremos a continuación:
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LSD test; variable %_ECLOS (coleop.sta) Probabilities for Post-Hoc Tests
INTERACTION: 1 x 2 {1} {2} {3} {4} {5} {6} {7} {8} {9} {10} {11} {12} medias - > 27.5 28.0 48.5 35.0 72.5 37.5 44.0 53.5 28.5 29.0 29.0 16.0 20 70 {1} .888 .000 .052 .000 .014 .000 .000 .779 .674 .674 .006 20 80 {2} .888 .000 .067 .000 .018 .001 .000 .888 .779 .779 .005 20 90 {3} .000 .000 .002 .000 .008 .220 .176 .000 .000 .000 .000 23 70 {4} .052 .067 .002 .000 .486 .024 .000 .086 .110 .110 .000 23 80 {5} .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 23 90 {6} .014 .018 .008 .486 .000 .086 .001 .024 .031 .031 .000 26 70 {7} .000 .001 .220 .024 .000 .086 .018 .001 .001 .001 .000 26 80 {8} .000 .000 .176 .000 .000 .001 .018 .000 .000 .000 .000 26 90 {9} .779 .888 .000 .086 .000 .024 .001 .000 .888 .888 .004 28 70 {10} .674 .779 .000 .110 .000 .031 .001 .000 .888 1.00 .003 28 80 {11} .674 .779 .000 .110 .000 .031 .001 .000 .888 1.00 .003 28 90 {12} .006 .005 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .004 .003 .003
Tabla 6. Probabilidades resultantes de la prueba de “Diferencias mínimas significativas” para los doce tratamientos obtenidas con el programa STATISTICA para Windows.
Los números entre corchetes sirven para identificar cada tratamiento (combinación de temperatura y humedad), especificado en la primera columna (el número superior es el valor de temperatura y el inferior el de humedad). En la primera fila, además de esto, tenemos los valores de las medias para cada tratamiento (lo que está graficado) y lo que se indica en la matriz, son las probabilidades que tienen de aparecer las diferencias obtenidas cuando Ho es cierta. La Ho de esta prueba es que todas estas medias son iguales. Veamos esto con un ejemplo: el tratamiento 10 (70% de humedad y 28°C) no difiere significativamente del tratamiento 9 (90% de humedad y 26°C) porque hay una alta probabilidad (88,8%) de obtener la diferencia observada cuando Ho se cumple. En otras palabras, las diferencias entre esas medias son producidas por error experimental y son prácticamente iguales. Por el contrario, el tratamiento 10 si difiere del tratamiento 8 (80% de humedad y 26°C) porque la probabilidad de obtener la diferencia observada si Ho se cumple, es muy baja (son aparentemente muy distintas, más de lo que cabría esperarse por puro error experimental). Es lógico que no aparezcan valores en la diagonal principal de la matriz, porque un mismo valor debe ser idéntico a sí mismo.
El programa XLSTAT también calcula comparaciones a posteriori. Para ello, en la ventana de la Figura 4 deben marcar las opciones “Comparisions” e “Interactions” (si no marcan esta última, no dará ambos efectos ni el efecto de la interacción). Seguidamente aparecerá una ventana donde podrán especificar si quieren solo el efecto de la temperatura, solo de la humedad o de la interacción entre ambas. Cuando le dan OK, aparece el tipo de pruebas que pueden pedirle al programa y pueden seleccionar la que prefieran.
La Tabla para la prueba de Diferencias Mínimas Significativas aparece con otro formato distinto (Tabla 7) al que da el programa STATISTICA, pero pueden comprobar que contiene la misma información y además contiene una columna donde señala si las diferencias son significativas o no.
Categories Difference Standardized difference Critical v alue Pr. > Diff Significant TEMPERAT-23*HUMEDAD-80 ~ TEMPERAT-28*HUMEDAD-90 56.500 16.254 2.179 < 0.0001 Yes TEMPERAT-23*HUMEDAD-80 ~ TEMPERAT-20*HUMEDAD-70 45.000 12.946 2.179 < 0.0001 Yes TEMPERAT-23*HUMEDAD-80 ~ TEMPERAT-20*HUMEDAD-80 44.500 12.802 2.179 < 0.0001 Yes TEMPERAT-23*HUMEDAD-80 ~ TEMPERAT-26*HUMEDAD-90 44.000 12.658 2.179 < 0.0001 Yes TEMPERAT-23*HUMEDAD-80 ~ TEMPERAT-28*HUMEDAD-80 43.500 12.514 2.179 < 0.0001 Yes TEMPERAT-23*HUMEDAD-80 ~ TEMPERAT-28*HUMEDAD-70 43.500 12.514 2.179 < 0.0001 Yes TEMPERAT-23*HUMEDAD-80 ~ TEMPERAT-23*HUMEDAD-70 37.500 10.788 2.179 < 0.0001 Yes TEMPERAT-23*HUMEDAD-80 ~ TEMPERAT-23*HUMEDAD-90 35.000 10.069 2.179 < 0.0001 Yes TEMPERAT-23*HUMEDAD-80 ~ TEMPERAT-26*HUMEDAD-70 28.500 8.199 2.179 < 0.0001 Yes TEMPERAT-23*HUMEDAD-80 ~ TEMPERAT-20*HUMEDAD-90 24.000 6.904 2.179 < 0.0001 Yes TEMPERAT-23*HUMEDAD-80 ~ TEMPERAT-26*HUMEDAD-80 19.000 5.466 2.179 0.000 Yes TEMPERAT-26*HUMEDAD-80 ~ TEMPERAT-28*HUMEDAD-90 37.500 10.788 2.179 < 0.0001 Yes TEMPERAT-26*HUMEDAD-80 ~ TEMPERAT-20*HUMEDAD-70 26.000 7.480 2.179 < 0.0001 Yes TEMPERAT-26*HUMEDAD-80 ~ TEMPERAT-20*HUMEDAD-80 25.500 7.336 2.179 < 0.0001 Yes TEMPERAT-26*HUMEDAD-80 ~ TEMPERAT-26*HUMEDAD-90 25.000 7.192 2.179 < 0.0001 Yes TEMPERAT-26*HUMEDAD-80 ~ TEMPERAT-28*HUMEDAD-80 24.500 7.048 2.179 < 0.0001 Yes TEMPERAT-26*HUMEDAD-80 ~ TEMPERAT-28*HUMEDAD-70 24.500 7.048 2.179 < 0.0001 Yes TEMPERAT-26*HUMEDAD-80 ~ TEMPERAT-23*HUMEDAD-70 18.500 5.322 2.179 0.000 Yes TEMPERAT-26*HUMEDAD-80 ~ TEMPERAT-23*HUMEDAD-90 16.000 4.603 2.179 0.001 Yes TEMPERAT-26*HUMEDAD-80 ~ TEMPERAT-26*HUMEDAD-70 9.500 2.733 2.179 0.018 Yes TEMPERAT-26*HUMEDAD-80 ~ TEMPERAT-20*HUMEDAD-90 5.000 1.438 2.179 0.176 No TEMPERAT-20*HUMEDAD-90 ~ TEMPERAT-28*HUMEDAD-90 32.500 9.350 2.179 < 0.0001 Yes TEMPERAT-20*HUMEDAD-90 ~ TEMPERAT-20*HUMEDAD-70 21.000 6.041 2.179 < 0.0001 Yes TEMPERAT-20*HUMEDAD-90 ~ TEMPERAT-20*HUMEDAD-80 20.500 5.897 2.179 < 0.0001 Yes TEMPERAT-20*HUMEDAD-90 ~ TEMPERAT-26*HUMEDAD-90 20.000 5.754 2.179 < 0.0001 Yes TEMPERAT-20*HUMEDAD-90 ~ TEMPERAT-28*HUMEDAD-80 19.500 5.610 2.179 0.000 Yes TEMPERAT-20*HUMEDAD-90 ~ TEMPERAT-28*HUMEDAD-70 19.500 5.610 2.179 0.000 Yes TEMPERAT-20*HUMEDAD-90 ~ TEMPERAT-23*HUMEDAD-70 13.500 3.884 2.179 0.002 Yes TEMPERAT-20*HUMEDAD-90 ~ TEMPERAT-23*HUMEDAD-90 11.000 3.164 2.179 0.008 Yes TEMPERAT-20*HUMEDAD-90 ~ TEMPERAT-26*HUMEDAD-70 4.500 1.295 2.179 0.220 No TEMPERAT-26*HUMEDAD-70 ~ TEMPERAT-28*HUMEDAD-90 28.000 8.055 2.179 < 0.0001 Yes TEMPERAT-26*HUMEDAD-70 ~ TEMPERAT-20*HUMEDAD-70 16.500 4.747 2.179 0.000 Yes TEMPERAT-26*HUMEDAD-70 ~ TEMPERAT-20*HUMEDAD-80 16.000 4.603 2.179 0.001 Yes TEMPERAT-26*HUMEDAD-70 ~ TEMPERAT-26*HUMEDAD-90 15.500 4.459 2.179 0.001 Yes TEMPERAT-26*HUMEDAD-70 ~ TEMPERAT-28*HUMEDAD-80 15.000 4.315 2.179 0.001 Yes TEMPERAT-26*HUMEDAD-70 ~ TEMPERAT-28*HUMEDAD-70 15.000 4.315 2.179 0.001 Yes TEMPERAT-26*HUMEDAD-70 ~ TEMPERAT-23*HUMEDAD-70 9.000 2.589 2.179 0.024 Yes TEMPERAT-26*HUMEDAD-70 ~ TEMPERAT-23*HUMEDAD-90 6.500 1.870 2.179 0.086 No TEMPERAT-23*HUMEDAD-90 ~ TEMPERAT-28*HUMEDAD-90 21.500 6.185 2.179 < 0.0001 Yes TEMPERAT-23*HUMEDAD-90 ~ TEMPERAT-20*HUMEDAD-70 10.000 2.877 2.179 0.014 Yes TEMPERAT-23*HUMEDAD-90 ~ TEMPERAT-20*HUMEDAD-80 9.500 2.733 2.179 0.018 Yes TEMPERAT-23*HUMEDAD-90 ~ TEMPERAT-26*HUMEDAD-90 9.000 2.589 2.179 0.024 Yes TEMPERAT-23*HUMEDAD-90 ~ TEMPERAT-28*HUMEDAD-80 8.500 2.445 2.179 0.031 Yes TEMPERAT-23*HUMEDAD-90 ~ TEMPERAT-28*HUMEDAD-70 8.500 2.445 2.179 0.031 Yes TEMPERAT-23*HUMEDAD-90 ~ TEMPERAT-23*HUMEDAD-70 2.500 0.719 2.179 0.486 No TEMPERAT-23*HUMEDAD-70 ~ TEMPERAT-28*HUMEDAD-90 19.000 5.466 2.179 0.000 Yes TEMPERAT-23*HUMEDAD-70 ~ TEMPERAT-20*HUMEDAD-70 7.500 2.158 2.179 0.052 No TEMPERAT-23*HUMEDAD-70 ~ TEMPERAT-20*HUMEDAD-80 7.000 2.014 2.179 0.067 No TEMPERAT-23*HUMEDAD-70 ~ TEMPERAT-26*HUMEDAD-90 6.500 1.870 2.179 0.086 No TEMPERAT-23*HUMEDAD-70 ~ TEMPERAT-28*HUMEDAD-80 6.000 1.726 2.179 0.110 No TEMPERAT-23*HUMEDAD-70 ~ TEMPERAT-28*HUMEDAD-70 6.000 1.726 2.179 0.110 No TEMPERAT-28*HUMEDAD-70 ~ TEMPERAT-28*HUMEDAD-90 13.000 3.740 2.179 0.003 Yes TEMPERAT-28*HUMEDAD-70 ~ TEMPERAT-20*HUMEDAD-70 1.500 0.432 2.179 0.674 No TEMPERAT-28*HUMEDAD-70 ~ TEMPERAT-20*HUMEDAD-80 1.000 0.288 2.179 0.779 No TEMPERAT-28*HUMEDAD-70 ~ TEMPERAT-26*HUMEDAD-90 0.500 0.144 2.179 0.888 No TEMPERAT-28*HUMEDAD-70 ~ TEMPERAT-28*HUMEDAD-80 0.000 0.000 2.179 1.000 No TEMPERAT-28*HUMEDAD-80 ~ TEMPERAT-28*HUMEDAD-90 13.000 3.740 2.179 0.003 Yes TEMPERAT-28*HUMEDAD-80 ~ TEMPERAT-20*HUMEDAD-70 1.500 0.432 2.179 0.674 No TEMPERAT-28*HUMEDAD-80 ~ TEMPERAT-20*HUMEDAD-80 1.000 0.288 2.179 0.779 No TEMPERAT-28*HUMEDAD-80 ~ TEMPERAT-26*HUMEDAD-90 0.500 0.144 2.179 0.888 No TEMPERAT-26*HUMEDAD-90 ~ TEMPERAT-28*HUMEDAD-90 12.500 3.596 2.179 0.004 Yes TEMPERAT-26*HUMEDAD-90 ~ TEMPERAT-20*HUMEDAD-70 1.000 0.288 2.179 0.779 No TEMPERAT-26*HUMEDAD-90 ~ TEMPERAT-20*HUMEDAD-80 0.500 0.144 2.179 0.888 No TEMPERAT-20*HUMEDAD-80 ~ TEMPERAT-28*HUMEDAD-90 12.000 3.452 2.179 0.005 Yes TEMPERAT-20*HUMEDAD-80 ~ TEMPERAT-20*HUMEDAD-70 0.500 0.144 2.179 0.888 No TEMPERAT-20*HUMEDAD-70 ~ TEMPERAT-28*HUMEDAD-90 11.500 3.308 2.179 0.006 Yes
Tabla 7. Probabilidades resultantes de la prueba de “Diferencias mínimas significativas” para los doce tratamientos obtenidas con el programa XLSTAT para Windows.
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