Relation de comportement
Dans le cas où les déformations initiales 0 et les contraintes initiales sont nulles, la densité d'énergie libre s'écrit.
Énergie potentielle et relations d'équilibre
Expression Lagrangienne du taux de restitution d'énergie
D'après la proposition 7 de [bib4], le taux de restitution d'énergie locale G est une solution de l'équation variationnelle. En revanche, on ne peut rien dire du cas de propagation dans la direction indiquée comme [bib5] [Figure 1.3-b] (c). Ainsi, cette dérivée partielle du champ spatial, appelée dérivée lagrangienne, est constituée de la dérivée , M en fixant le point matériel P=F−1M.
Cette hypothèse n'est vérifiée que pour des corps assez réguliers (par exemple appartenant aux espaces de Sobolev de température ne peuvent plus être négligés, leur gradient en chaque élément est également nul par construction (ils sont discrétisés P0 c'est à dire constants par éléments finis), il s'ensuit que la dérivée lagrangienne n'est rien.
Et on peut éliminer u ˙ de l'expression de G en notant que u ˙ est cinématiquement admissible et en utilisant l'équation d'équilibre. De plus, l'élément surface est multiplié par r pour tenir compte du calcul de l'intégrale pour une unité de radian.
Méthode en dimension 2
Méthode en dimension 3
Choix dans Aster de la discrétisation de G en dimension 3
- Description des espaces d'approximations
- Premier cas (LEGENDRE-LEGENDRE)
- Second cas (LEGENDRE-LAGRANGE)
- Troisième cas (LAGRANGE-LAGRANGE)
- Troisième cas (LAGRANGE_NO_NO-LAGRANGE)
- Correction des valeurs aux extrémités du fond de fissure
Il existe donc plusieurs choix possibles de discrétisations, qui sont résumés dans le tableau ci-dessous : Polynômes LEGENDRE Fonctions de forme. Les polynômes de Legendre, qui forment une base orthonormée sur 0, on a aij=ij et le système linéaire se rétrécit donc à. La base des fonctions de test pour s est définie à partir des fonctions de forme des nœuds NNO du fond de fissure.
Dans ce cas, on doit avoir NDEG≤ NNO, ou NDEG min7, NNO où NNO est le nombre de nœuds au fond de fissure. Par contre, dans le cas d'un fond fermé, la condition sur le deuxième membre b1=bNNO implique que G1=GNNO. Pour obtenir que G1=GNNO, il faut ajouter des termes à la matrice du système linéaire Aij sur la première et la dernière ligne.
Dans le cas d'un fond fermé, on ajoute des termes à la matrice du système linéaire pour respecter la condition G1=GNNO. Cette méthode est issue de la méthode de Lagrange-Lagrange, mais elle est simplifiée : on remplace la solution du système linéaire en multipliant les valeurs Gi par un coefficient de pondération. De plus, si G i=cste =b , ∀ i et on considère une constante G par élément (cette méthode n’a pas de signification vectorielle), nous avons.
Ceci est probablement dû au fait que l'ordre de la singularité ne se situe plus dans -1/2 surfaces presque libres. L'ordre de la singularité aux bords dépend de (et de l'angle entre le fond de fissure et la surface libre et de l'angle entre la normale à la surface de la fissure et la normale à la surface libre). Ce traitement est effectué même si des conditions de symétrie sont appliquées aux bords du fond (alors que dans ce cas l'ordre de la singularité est bien -1/2 et aucun traitement ne serait nécessaire).
On fait une extrapolation linéaire entre le 2ème et le 3ème points bas (ou entre les 2 avant-derniers points bas).
Implantation de G en thermo-élasticité linéaire dans Aster
Types d'éléments et de chargements
Environnement nécessaire
En 2D comme en 3D, la fissure doit être définie pour le calcul mécanique et pour le post-traitement à l'aide de la commande DEFI_FISS_XFEM. Si la fissure n'est pas maillée, les éventuelles symétries du modèle par rapport aux bords de la fissure ne peuvent pas être prises en compte. Le calcul de G est effectué en post-traitement, uniquement à partir du champ de déplacements de la solution informatique sur le modèle considéré.
En particulier, la densité d'énergie libre et les contraintes sont calculées à partir du champ de déplacement et des caractéristiques du matériau.
Calculs des différents termes du taux de restitution d’énergie
- Terme classique élémentaire
- Terme force volumique
- Terme force surfacique
- Terme thermique
- Terme de pré-déformations et contraintes initiales
- Axisymétrie
- Autres cas
Dans cette expression de surface nous avons des normales à la surface qui n'ont aucune signification pour les éléments de peau utilisés dans Code_Aster. Nous avons donc recours à la géométrie différentielle et aux dérivées contravariantes pour mieux comprendre cet intégral sur la surface de calcul (cf. Comme le reste de cette documentation, la présence de contraintes initiales n'est valable que dans le cas de l'élasticité, et ici même isotrope linéaire.
Pour être activé, il faut donc être dans une relation de comportement incrémental (BEHAVIOR) avec une relation ELAS. Dans d’autres cas, il n’est pas possible de fournir un champ de contraintes initial. Compte tenu de la difficulté de validation, il n'est actuellement pas possible de combiner pré-déformations (chargement sous le mot-clé PRE-EPSI) et contraintes initiales (le mot-clé SIGM_INIT de CALC_G.
Les calculs de G en présence d’une condition initiale peuvent être effectués avec une fissure maillée ou une fissure non maillée. Dans tous les cas, ce champ de contraintes initiale doit s'AUTO-ÉQUILIBRER, en l'absence de fissures, avec les seules conditions aux limites. L'utilisateur pourra (devrait...) vérifier que son champ de contrainte initial est légal en l'appliquant au mot clé ETAT_INIT de l'opérateur STAT_NON_LINE, avec un comportement élastique-croissant (BEHAVIOR, LINK. = 'ELAS'), avec le uniquement des conditions aux limites ; le résultat mécanique doit être le même champ de contraintes sans déformation supplémentaire.
Le champ de contraintes initial doit avoir été préalablement utilisé dans le calcul thermomécanique. L'approche de calcul du taux de libération d'énergie en présence de contraintes initiales est présentée dans la figure 2.1. G tel qu'appliqué ici calcule le retour énergétique à la cinématique définie par.
Considérons le cas d'une fissure inclinée dont le fond de fissure est à une distance R de l'axe de symétrie. Dans Aster, l'axe OY est l'axe de symétrie dans la modélisation 'AS' et correspond au taux de restitution d'énergie calculé.
Conditions à remplir
Choix du champ en dimension 3
Méthode de construction
En tout point 0 marqué par sa courbe en abscisse s, on peut définir un plan normal P et. Cela revient à préciser deux rayons Rinf s et Rsups et à effectuer des calculs de distance du point courant jusqu'au fond de la fissure pour déterminer la valeur de en ce point.
Algorithmes de calcul
Soient F1 et F2 deux plans qui appartiennent aux lèvres de la fissure et qui comportent les arêtes successives T1 et T2 de 0. On calcule d'abord la normale n1 à l'arête T1 dans le plan du plan F1 puis la normale n2 à l'arête T2 dans le plan du plan F2. Dans le cas où Fi est un triangle, le plan de la face Fi est défini.
Dans le cas où Fi est un quadrilatère, on divise Fi en 2 triangles Fi1 et Fi2. Il faut alors calculer les équations des deux plans contenant les faces Fi1 et Fi2 et effectuer deux calculs normaux pour l'arête Ti. Ce calcul nécessite la reconnaissance des faces appartenant aux bords de fissure et incluant une arête de 0.
Dans Code_Aster l'utilisateur saisit tous les éléments surfaciques appartenant aux lèvres de la fissure. On connaît le type de plan (TRIA ou QUAD) et on calcule l'équation des plans tangents.
Choix du champ en dimension 2
Autre méthode
