XIII - Inverse Trigonometric Functions - mrsk.ca

MATHEMATICS 201-NYA-05 Differential Calculus

Martin Huard Fall 2013

XIII – Inverse Trigonometric Functions

1. Evaluate exactly. (Do NOT use a calculator.)

a) arcsin1 b) arcsin ₂² c) arccos 1

d) arctan1 e) arccos ¹₂ f) arctan 3

g) arctan ₃³ h) arcsin ₂³ i) arccos0

j) arcsec 2 k) arccsc 2 l) arccot 3

2. Find the exact value of each expression.

a) sin arcsin

²5

b) sin arctan

⁴3

c) arcsin sin

⁷6^S

d) arccos cos

¹²7^S

e) sec arcsin

4³

f) sec arccsc 2

g) cos arctan 2

h) arccos cos

3^S

i) sin 2arccos

³5

3. Complete the identities.

a) ^{sin arccos}

^x

^? b) ^{cos arctan}

^x

^? c) ^{cot arccsc}

^x

^?

d) ^{sin arctan}

^x

^? e) ^{tan arccot}

^x

^? f) ^{tan arccos}

^x

^?

4. Prove the following identities.

a) arcsecx arccos¹_x if xt1 b) arccotx arctan¹_x if x!0 5. Find ^dy

dx.

a) y arcsin 4x b) y arctanx²

c) y arcsecx³ d) y arccot x

e) ^{arcsec 1} ₂ y 1

x f) y arcsin¹_x

g) y xarccos 2x ¹₂ 1 4 x² h) y arcsinxarccosx i) ^arcsec₂

1 y x

x j) ^{y x2}

^arccosx

³

k) y x^{12arctan 5}x l) xarcsiny x y

m) arcsin xy arccos xy n) arcsecxarccscy ^S2

Math NYA XIII – Inverse Trigonometric Functions

Fall 2013 Martin Huard 2

6. Find the equation of the tangent line at the given point for the following curves.

a) y arctan 2x at x ¹₂ b) f x xe^{arcsin 3x} at x ¹₆

7. Find all points where the function arcsin ₂ 1 f x x

x

§ ·

¨ ¸

© ¹ has a horizontal tangent.

8. Find fcc x if

a) f x arctanx b) f x arcsecx²

9. Find fccc x if f x arcsec e^x

Math NYA XIII – Inverse Trigonometric Functions

Fall 2013 Martin Huard 3

ANSWERS

1. a) ^S₂ b) ₄^S c) S ^{d) S}₄ ^{e) 2}₃^{S f) S}₃

g) ^S₆ h) ^S₃ i) ^S₂ j) ^S₄ k) ⁷₆^S l) ⁵₆^S

2. a) ²₅ b) ⁴₅ c) ₆^S d) ²₇^S e)^{4 7}₇ f) 2

g) ₅⁵ h) ^S₃ i) ²⁴₂₅

3. a) ^{sin arccos}

^x

^{1x2 b) cos arctan}

¹ ₂

x 1

x c) ^{cot arccsc}

^x

^{x2 1}

d) ^{sin arctan}

₂

1 x x

x e) ^{tan arccot}

^x

¹

x f) ^{tan arccos}

^x

^{1 x2}

x

4. a) Let arcsecx T Then

1 cos

1

sec

cos 1

arccos _x x

x

x

T

T

T T

Thus arcsecx arccos¹_x

b) Let arccotx T Then

1 tan

1

cot

tan 1

arctan _x x

x

x

T

T

T T

Thus arccotx arctan¹_x

5. a) ⁴ ₂

1 16 dy

dx x b) ² ₄

1

dy x

dx x c)

6

3 1 dy

dx x x

d) ²

¹¹

dy

dx x x

e)

2

1 1 dy

dx x f)

2

1 1 dy

dx x x

g) dy arccos 2

dx x h) dy 0

dx

i)

2 2

2 2

1 4 1arcsec

2 1 1

x x x x

dy

dx x x x

j)

²

²

2

arccos 2 1 arccos 3

1

x x x x x

dy

dx x

k)

2 5 5

3 2

2 arctan 50arctan 5 25

x x

dy x x

dx x x

l) ²

2

1 1 arcsin 1

y y

dy

dx x y

m) ^{dy y} dx x

n)

2

2

1 1 dy y y

dx x x

6. a) y x ¹₂ ^S₄ b) ^{y 2eS6}

^{3 3}

^{x 33eS6 7.}

^1,6S

^{and 1,S6}

8. a) ^{fcc x}

^x22x1

^{2 b)}

³²

4

2 4

2 6 1 f x x

x x cc

9.

⁵²

2 2

2

2 1

x x

x

e e f x

e ccc

-pi/6