CAPITULO 7 DISEÑO DE AMPLIFICADORES DE SEÑAL DEBIL

CAPITULO 7

DISEÑO DE AMPLIFICADORES DE SEÑAL DEBIL

7.1.

Introducción

En este capítulo se analiza el diseño de amplificadores de señal débil de radiofrecuencia, basado en la descripción del amplificador como un cuadripolo, por medio de los parámetros de dispersión (S).

Los parámetros de dispersión y sus ventajas se describen por medio de la teoría de líneas de transmisión y de los conceptos de coeficiente de reflexión y de transmisión, así como el concepto de ondas viajeras.

Se muestra la forma como se miden los parámetros S y la manera como se dibujan en gráficos, en función de la frecuencia y la polarización en los dispositivos activos; dichos gráficos son el modo normal por medio del cual los fabricantes especifican los dispositivos en alta frecuencia.

También se revisan los conceptos de gráficos de flujo de señal y la regla de Mason para calcular relaciones de transferencia. Con base en estos gráficos se calculan los coeficientes de reflexión, de entrada y salida y las diversas ganancias de potencia que se pueden obtener dependiendo del tipo de acople a la entrada y a la salida y de si hay realimentación interna o no en el dispositivo activo.

es muy baja (lo que se cuantifica con un factor llamado figura unilateral de mérito).

Adicionalmente, se hace un estudio del concepto de estabilidad y se muestra cómo calcularla por medio de los parámetros S y, usando círculos de estabilidad en la carta de Smith, determinar qué tipos de impedancia de fuente y carga hacen que el amplificador sea estable o no.

Igualmente, se estudia una manera aproximada de calcular el ancho de banda global de varios amplificadores en cascada con base en el ancho de banda individual de cada etapa o, viceversa, calcular el ancho individual de cada etapa a partir del ancho de banda total.

7.2.

Modelo de Cuadripolo

Un dispositivo lineal de dos puertos (cuadripolo) como el de la figura 7.1,

Figura 7.1. Dispositivo de dos puertos (cuadripolo).

se puede describir por diferentes conjuntos de parámetros; por ejemplo, la relación entre las variables de entrada y salida se describe mediante

Parámetros 𝐻, así:

2 12 1 11

1 h I h V

V  

2 22 1 21

2 h I h V

I  

O mediante parámetros 𝑍, así:

2 12 1 11

1 Z I Z I

V  

2 22 1 21

2 Z I Z I

V  

Similarmente, mediante parámetros 𝑌, así:

+

 +

2 12 1 11

1 Y V Y V

I  

2 22 1 21

2 Y V Y V

I  

La diferencia entre estos conjuntos de parámetros es la escogencia de las variables dependientes e independientes y las constantes usadas para relacionar dichas variables se determinan por medidas de cortocircuitos y circuitos abiertos.

Al subir la frecuencia se presentan algunos problemas:

 No hay equipos de medida disponibles para medir voltajes y corrientes totales en los puertos de la red.

 Es difícil obtener cortocircuitos y circuitos abiertos en un rango amplio de frecuencias, ya que en alta frecuencia se convierten en cargas reactivas.

 Los dispositivos activos generalmente oscilan cuando se les colocan cargas reactivas.

Debido a esto, en alta frecuencia se usa otro tipo de parámetros, en los que no es necesario usar cortocircuitos y circuitos abiertos para su medida; dichos parámetros se denominan parámetros Scattering (de dispersión o “S”) y se basan en relaciones de ondas incidentes y reflejadas en los puertos como se muestra en la figura 7.2.

Figura 7.2. Ondas incidentes y reflejadas en un cuadripolo.

La relación entre las distintas variables de entrada y salida:

2 12 1 11

1 S a S a

b  

2 22 1 21

2 S a S a

b  

Con:

2 a

2 b

b₁

a₁

1

a : Onda de voltaje o corriente incidente normalizada en el puerto de entrada.

2

a : Onda de voltaje o corriente incidente normalizada en el puerto de salida.

1

b : Onda de voltaje o corriente reflejada normalizada en el puerto de entrada.

2

b : Onda de voltaje o corriente reflejada normalizada en el puerto de salida.

Es decir, a_i y b_i son ondas viajeras incidentes y reflejadas normalizadas; los parámetros S_ij se definirán posteriormente.

Los parámetros S están directamente relacionados con los conceptos de ondas viajeras de las líneas de transmisión que se repasarán a continuación.

7.3.

Líneas de Transmisión

En sistemas de alta frecuencia la potencia de una fuente normalmente se entrega a la carga a través de una línea de transmisión, tal como muestra la figura 7.3.

Figura 7.3. Fuente acoplada a una carga a través de una línea de transmisión.

Figura 7.4. Modelo de una línea de sección uniforme.

Un parámetro importante de esta línea es la impedancia característica Z₀ y, de la teoría de líneas se demuestra que13_:

C j G

L j R Z₀

 

  

En donde, R, L, C y G son parámetros especificados por unidad de longitud.

Si la sección de línea es corta, se da un modelo simplificado (sin pérdidas) como el de la figura 7.5.

Figura 7.5. Modelo simplificado de una sección de línea corta.

13 _{CHIPMAN, R. A. Líneas de transmisión: Teoría y 165 problemas resueltos. México: McGraw}_{Hill, 1971.}

p. 5056, 171175.

C L

R L

En este caso,

C L Z₀  .

En alta frecuencia la mayoría de las líneas se construyen con una Z₀ de 50 , aunque

son comunes las líneas con Z₀  75, 90 y 300.

Si la impedancia de carga es diferente de Z₀, parte de la potencia se refleja generando un patrón de onda estacionaria de voltajes y corrientes, de tal manera que estos cambian de valor en todos los puntos de la línea.

Para determinar los parámetros S se definen voltajes y corrientes incidentes y reflejados en la carga, así:

7.3.1.

Voltaje incidente

Se define como el voltaje sobre la carga cuando ésta tiene una impedancia que es el complejo conjugado de la impedancia de la fuente, como muestra la figura 7.6.

Figura 7.6. Carga acoplada a una fuente para el cálculo del voltaje y corriente incidentes.

Este voltaje se puede calcular así:

* 0 0

* 0 Z Z

Z v

v_i s

 

0 Z



0

Z

i I

 

i v

 

7.3.2.

Corriente incidente

Se define como la corriente a través de la carga cuando ésta tiene una impedancia que es el complejo conjugado de la impedancia de la fuente:

* 0 *

0 0

v I Z

Z Z

v

I_i s  _i  _i 



Con una impedancia de carga cualquiera como en la figura 7.7,

Figura 7.7. Fuente conectada a carga (sin acoplar).

se tiene un voltaje y una corriente en la carga, dados por las siguientes expresiones:

L

Z Z

v

I s

0 



L L

Z Z

Z v

V s

0 



7.3.3.

Voltaje (o corriente) reflejado

Se define como la diferencia entre la onda de voltaje (o corriente) incidente y el voltaje (o corriente) en la carga:

i

r V V

V   i

r I I

I   

I

0 Z

L

Z

 

s v

 

De donde: * 0 0 0 Z Z v Z Z v

I_r s s

L     

















v_{s s}

     













0 Z Z

Z v Z Z Z v

V_r s s

L L    

















L Z Z Z Z Z Z Z v Z Z Z

v_{s s}

0 0 0 0 0 0 0 * * *      













r Z I

V  ₀

Normalmente Z₀ se puede asumir real, de tal manera que las expresiones anteriores se pueden simplificar de la siguiente forma:

0

Z V I_i  i

0

Z V I_r  r

0 Z V V

I  i  r  I  I_i  I_r



i V

V

7.3.4.

Coeficiente de reflexión

Da una medida de la calidad del acople entre la impedancia de la fuente, la impedancia de la carga y la impedancia característica de la línea y se define como:

     

i r V V

Con Z₀ real:















0 0 0

0 0

Z Z

Z v

Z Z Z Z

Z Z Z v

s s

L L

  



 

L L

Z Z

Z Z

0 0

  

1 1   

n n

L L

Z Z

n n

L L

Y Y   

1 1

7.4.

Parámetros S

Sea una red de dos puertos insertada en la línea como se muestra en la figura 7.8.

Figura 7.8. Red de dos puertos conectada a fuente y carga.

1 i

v v_i2

2 r v 1

r v

 

s v

s Z

L

Z

En este caso se tienen ondas viajeras interrelacionadas, así por ejemplo V_r2 está compuesta de una porción de V_i2 reflejado a la salida y de una porción de V_i1 transmitido a través de la red.

Si se toman como variables independientes los voltajes incidentes y como variables dependientes los voltajes reflejados, se tiene:

2 12 1 11

1 i i

r S V S V

V  

2 22 1 21

2 i i

r S V S V

V  

Dividiendo por Z₀ :

2 12 1 11

1 S a S a

b  

2 22 1 21

2 S a S a

b  

En donde

0 1 1

Z V a  i

0 2 2

Z V a  i

0 1 1

Z V b  r

0 2 2

Z V b  r

Se observa que el cuadrado de estas variables tiene dimensiones de potencia:

2 1

a : potencia pico incidente en el puerto de entrada.

2 1

2

2 1

a

: potencia media incidente en el puerto de entrada.

2

2 1

b

: potencia media reflejada en el puerto de entrada.

Similarmente para las variables en el puerto de salida.

Los coeficientes S_ij se llaman parámetros S y se miden como se muestra en la siguiente sección.

7.4.1.

Medida de los parámetros S

Como se dijo previamente, en la medida de los parámetros S no es necesario realizar cortocircuitos o circuitos abiertos sino que se requiere colocar cargas acopladas tanto a la entrada como la salida, como se verá a continuación, procediendo a medir las ondas incidentes y reflejadas en el cuadripolo.

El resultado de estas medidas depende tanto de la frecuencia como de la polarización (en el caso de dispositivos activos) y es por tanto una cantidad compleja. Los resultados se presentan en gráficos de magnitud y fase en función de la frecuencia y para una polarización específica como se muestra en las figuras 7.10, 7.12, 7.15 y 7.17.

El parámetro S₁₁ se calcula así:

0 2 1 1 11

 

a a b S

Figura 7.9. Montaje para el cálculo de S₁₁ y S₂₁.

Normalmente los fabricantes dan curvas de S₁₁ y S₂₂ en la carta de Smith para un rango de frecuencias y una polarización específica14.

La figura 7.10 muestra la forma que puede tener el parámetro S₁₁ de emisor común de un transistor.

Figura 7.10. Comportamiento del parámetro S₁₁ vs frecuencia graficado en una carta de Smith.

14 _{AN 154: S}_{PARAMETER design: En: Hewlett Packard Company. s.l.: Hewlett Packard Company, 1972.}

p. 19.

1

a a₂ 0

2 b 1

b 0

Z

0 Z

 

s

v Z₀ Z₀

Como se observa, esta curva sigue más o menos un círculo de resistencia constante y corresponde a un circuito como el de la figura 7.11:

Figura 7.11. Modelo equivalente del transistor a la entrada.

R: Resistividad de cuerpo de la región de base. C: Capacitancia de juntura de emisor.

PKG

L : Inductancia de empaquetamiento.

PKG

C : Capacitancia de empaquetamiento.

El parámetro S₂₁ se calcula de la siguiente forma:

0 2 1 2 21

 

a a b S

Este parámetro corresponde a una ganancia o atenuación y se llama coeficiente de transmisión directa.

Los fabricantes normalmente dan curvas de S₂₁ y S₁₂ en un gráfico de magnitud y fase para varias frecuencias y una polarización específica15_.

15 _{AN 154: S}_{PARAMETER design: En: Hewlett Packard Company. s.l.: Hewlett Packard Company, 1972.}

p. 20.

C

PKG L R

PKG C 11

El coeficiente S₂₁ de emisor común es similar al que se muestra en la figura 7.12.

Figura 7.12. Comportamiento del parámetro S₂₁ vs frecuencia en un gráfico de magnitud y fase.

Este gráfico corresponde al circuito de la figura 7.13.

Figura 7.13. Modelo equivalente del transistor que justifica el comportamiento de S₂₁ vs frecuencia.

La fuente de corriente da la ganancia del transistor.

El parámetro S₂₂ se calcula así:

0 1 2 2 22

 

a a b S

s G bb

R

be C

C

E B

be V g_m  be

R

En este caso se conecta una impedancia igual a la impedancia característica de la línea en el puerto de entrada como se muestra en la figura 7.14.

Figura 7.14. Montaje para la medida de S₁₂ y S₂₂.

S₂₂ es el coeficiente de reflexión a la salida de la red. El parámetro S₂₂ de emisor común se comporta de manera similar a como se muestra en la figura 7.15.

Figura 7.15. Comportamiento del parámetro S₂₂ vs frecuencia graficado en una carta de Smith.

Figura 7.16. Modelo equivalente del transistor que justifica el comportamiento del parámetro S₂₂ vs frecuencia.

El parámetro S₁₂ se calcula así:

0 1 2 1 12

 

a a b S

Este parámetro corresponde a un coeficiente de transmisión inversa y tiene una gráfica como la que se muestra en la figura 7.17.

Figura 7.17. Comportamiento del parámetro S₁₂ vs frecuencia en un gráfico de magnitud y fase.

Lo que corresponde de manera aproximada al circuito de la figura 7.18. R_s

0 R PKG

L

22

S

C

Figura 7.18. Modelo equivalente del transistor que justifica el comportamiento del parámetro S₁₂ vs frecuencia.

Ejemplo:

Hallar los parámetros S de la red mostrada en la figura 7.19.

Figura 7.19. Red simple para el ejemplo.

Normalizando con la admitancia característica de la línea se tiene un circuito como el de la figura 7.20.

Figura 7.20. Montaje para el cálculo de S₁₁ y S₂₁. Y

1

1

c C

be C bb

R

be R

B C

E

be

mV

Parámetro S₁₁:

11 S

in 



T T

Y Y S

1 1

11

  

n n

Y Y 2

 

1  Y_n  Y_T

Donde:

in

 : Coeficiente de reflexión de entrada.

n

Y : Admitancia normalizada, Y_n Y Y₀ .

T

Y : Admitancia normalizada vista por la fuente.

Por la simetría de la red S₂₂ S₁₁.

Parámetro S₂₁:

2 2 1

1 b a b

a    , (Voltajes iguales a la entrada y la salida).

0

2 1 2 21





a a b S

1 1 1

a b a  

1 1

1 a b  

2 1

  

n n

Y Y

2 2

 

n

Y

7.4.2.

Gráficos de flujo de señal

Son gráficos orientados que permiten seguir ondas incidentes y reflejadas a través de una red. Están construidas con base en nodos (que representan las variables) y flechas (que representan la relación entre las variables).

7.4.2.1.

Reglas para construir un gráfico de flujo de señal

1. Cada variable a₁, a₂ , b₁, b₂ se designa como un nodo.

2. Cada uno de los parámetros S y los coeficientes de reflexión son una rama. 3. Las ramas entran a las variables dependientes y salen de las independientes.

4. En las ecuaciones del cuadripolo b₁ y b₂ son las variables dependientes y a₁ y a₂ son las independientes.

5. Cada nodo es la suma de las ramas que entran.

Ejemplo:

En las figuras 7.21 a 7.27 se muestra el diagrama de flujo para distintas relaciones funcionales y configuraciones circuitales.

 Para b₁  S a_{11 1}  S₁₂a₂ se tiene:

 Para b₂  S₂₁a₁  S₂₂a₂ se tiene:

Figura 7.22. Diagrama de flujo para b₂S₂₁a₁S₂₂ a₂.

 El diagrama de flujo para un cuadripolo:

b₁  S a_{11 1}  S₁₂a₂ b₂  S a_{21 1}  S₂₂a₂

Figura 7.23. Diagrama de flujo para un cuadripolo.

 Para un generador se tiene:

 Para la carga se tiene:

Figura 7.25. Carga y su respectivo diagrama de flujo.

 Para una carga conectada a un generador se tiene:

Figura 7.26. Fuente y carga y su respectivo diagrama de flujo.

 Para un cuadripolo conectado a una fuente y a una carga se tiene:

Figura 7.27. Cuadripolo conectado a fuente y carga y su respectivo diagrama de flujo.

b

L

Z

a

L



b

a

s



b_s

a L

b a

b

b s

b

a s Z

b

0 Z

L

Z a

s v

2

b

2 a

L

Z 1

b 1

a

s v

s b

s Z

S

in

 _out

22 21

12 11

,

,

S S

S S

11 S S₂₂

21 S

L



s



a₁ b₂

Para calcular relaciones de transferencia usando la regla de Mason en una red, es necesario definir lazos de primer orden, segundo orden, etc.

Lazos de primer orden:

Se definen como el producto de las ramas que se encuentran en una trayectoria cerrada que parte de un nodo y retorna al mismo siguiendo la dirección de las flechas.

Lazos de segundo orden:

Se definen como el producto de dos lazos de primer orden que no se toquen.

Lazo de tercer orden:

Se definen como el producto de tres lazos de primer orden que no se toquen.

Similarmente se podrían definir los lazos de orden mayor.

7.4.2.2.

Regla de Mason

Sirve para determinar la relación entre dos variables, una dependiente

 





ndep dep

i

V V  T

 

_{ }







 



 

 

 

     





 

 

 

 

 

...

...

...

...

3 2

1 1

1 1

2 1

1 1 1 ₂ 2

1

L L

L

L P

L L

P

En esta ecuación se tiene:

P₁, P₂ ,

...

 

L 1 1



 

Un lazo no toca una trayectoria si no comparte ramas o nodos con ella.

 



 



 



Ejemplo:

En la red de la figura 7.28, obtener b₁ b_s por medio de la regla de Mason.

Figura 7.28. Diagrama de flujo para cuadripolo conectado a fuente y carga.

En este diagrama de flujo de señal se tienen:

 Lazos de primer orden:  Desde a₁: S₁₁_S

S L S

S₂₁ ₁₂

 Desde a₂: S12S S21L L S₂₂

 Cualquiera de los otros nodos genera uno de los tres lazos de primer orden.

 Lazos de segundo orden:

 S₁₁_S S₂₂_L (sólo éste).

 Lazos de tercer orden:

 El ejemplo no tiene lazos de tercer orden.

 Para obtener s b

b₁ :

1. Se hallan las trayectorias que van de b_s a b₁:  S₁₁

 S₂₁_L S₁₂

2. Se encuentran los lazos que no se tocan con respecto a las trayectorias halladas.

 S₁₁ no tiene nodos o ramas en común con S₂₂_L, luego se dice que S₂₂_L es un lazo no tocante con S₁₁.

 S₂₁_L S₁₂ toca todos los lazos de primer orden, o sea que carece de lazos no tocantes.

Luego:









s S S S S S S

S S S S b b               

Simplificando se tiene:











s L L

L L S S S S S S S S b b             1 1 1 21 12 22 11 12 21 22 11 1

7.5.

Consideraciones sobre ganancia de potencia y estabilidad

En el diseño del amplificador interesa obtener una señal amplificada en potencia a la salida y no así amplificada en voltaje o corriente debido a las impedancias que son diferentes a la entrada y en la carga.

El objetivo del diseño es lograr la máxima ganancia de potencia posible con ciertas especificaciones de estabilidad, lo cual dependerá de si el dispositivo activo es incondicionalmente estable o potencialmente inestable.

En caso de que el dispositivo activo sea incondicionalmente estable se pueden diseñar los acoples de entrada y salida tales que haya máxima transferencia de potencia y que se logre la ganancia máxima.

Si el dispositivo activo es potencialmente inestable es posible que con la máxima ganancia se produzca inestabilidad y en este caso el diseño está supeditado a obtener una cierta ganancia con estabilidad.

En la sección 7.5.1 se muestra cómo es posible calcular de manera gráfica la ganancia de un amplificador usando la carta de Smith y en la sección 7.5.2 se analiza la estabilidad y cómo calcularla usando nuevamente la carta de Smith.

La dependencia entre la impedancia de entrada y salida se muestra a continuación.

Por la definición del coeficiente de reflexión se tiene que:

 

 

 

Z z Z z

  



Luego, a la entrada:

0 0

Z Z

Z Z

s s s

   

y a la salida:

0 0

Z Z

Z Z

L L L

   

Para la red mostrada en la figura 7.29 se calcularán los coeficientes de reflexión a la entrada y a la salida en función de los parámetros S del cuadripolo y las impedancias de fuente y de carga:

Figura 7.29. Cuadripolo conectado a fuente y carga y su respectivo diagrama de flujo.

1 1

a b in 

 : Coeficiente de reflexión de entrada.

2 2

a b out 

 : Coeficiente de reflexión de salida.

También:

2

b

2 a

1 b

1

a

L

Z s

v

s Z

2 b s

b a₁

L



s

 S22

12

S

21

S

11

S

1

0 0 Z Z Z Z in in in     y 0 0 Z Z Z Z out out out     2 12 1 11

1 S a S a

b  

2 22 1

21

2 S a S a

b  

L

b a₂  ₂

Multiplicando b₂  _L:

L

L S a

a S

a₂  _{21 1}  _{22 2} 

Es posible encontrar _in y _out usando la regla de Mason:

Figura 7.30. Diagrama de flujo para el cálculo del coeficiente de reflexión a la entrada.

11

1 S

P  , P₂  S₂₁_L S₁₂,



 



 

Por la regla de Mason:





L L L

S

S S

S S

in

 

    



1 1

22

12 21 22

11

L L

S S S S

 

 



1 ₂₂

21 12 11

Lo que coincide con el resultado hallado previamente.

De igual forma:

Figura 7.31. Diagrama de flujo para el cálculo del coeficiente de reflexión a la salida.

11

S S₂₂ _L

1 1 a b

in 



1

a

21

S b2

1

b S12 a₂

11

S S₂₂

21 S

s



b₁

a₁

2 a

2 b

12 S

0

2 2

 



s out

22

1 S

P  , P₂  S₁₂_s S₂₁,



 



 

Por la regla de Mason:





s s s

out

S

S S S

S

 

    



1 1

11

21 12

11 22

s s S

S S S

 

 



1 ₁₁

21 12 22

En la ecuación para _in se observa la dependencia de _L y por tanto de Z_L, la cual cambia al sintonizar el acople de salida, lo que implica un cambio en la impedancia de entrada, de manera semejante se observa la dependencia de _out con respecto a _s.

7.5.1.

Ganancia de potencia

Existen algunas definiciones de ganancias en potencia, dependiendo éstas de las condiciones de acople a la entrada y a la salida.

7.5.1.1.

Ganancia en potencia de operación

La ganancia de potencia de operación de un amplificador está definida como la razón de la potencia entregada a la impedancia de carga P_L sobre la potencia de entrada a la red P_in.

in P

P G_P  L

2 2

2 2 2

2 a

b P_L  





2

2 1

2 1

L

b  



Ya que

L

Entonces:

2 2 2 2

2 b L

a  

De forma semejante:

2 2

2 1 2

1 b

a P_in  





2

1 1

2 1

in a   

Como:

in a b₁  ₁

Luego:

2 2 1 2

1 a in

b  

Entonces, G_P se puede calcular mediante la regla de Mason así:

in L P

P P

G 









2 1

1 2

1

2 2

1

2 2

2

in a

b _L

 

  









1

2 2

1

2 2

2

in a

b _L

 

  

Dividiendo el numerador y el denominador por b_s 2 se tiene:









1

2 2

1

2 2

2

in s

s

b a b b G

L P

 

La razón b₂ b_s puede ser obtenida usando la regla de Mason:

La única trayectoria entre b₂ y b_s es S₂₁ y no hay lazos de primer orden que no toquen a S₂₁.

Luego:





s S S L S S L S S L

S b b           

Reagrupando términos en el denominador:







s S S L S S L

S b b        

De igual forma:





s L L L

L S S S S S S S b a             







s L L

L S S S S S          

Sustituyendo estos resultados en la expresión para G_P:









1 1 2 2 22 2 2 21 in L L P S S G        1 1 1 1 2 22 2 2 21 2 L L S S

in  

  

 

7.5.1.2.

Ganancia disponible

AVS AVN A

P P

G 

La potencia disponible es la máxima potencia que puede entregar la fuente a la carga (o sea con acople perfecto: impedancia de fuente igual a impedancia de carga).

Anteriormente se encontró que:





2

2 1

2 1

L

L b

P   

La potencia disponible se logra con _L _out* :





2 2

AVN 1

2 1

out b

P   

En la fuente,





2

1 1

2 1

in

in a

P   

Se tiene que:

s

s b

b

a₁   ₁

Como:

in a b₁  ₁

Entonces:

s in

s a

b

a₁   ₁ 

De donde:





s a

b  ₁ 1 









2 2

1 1

2 _{in s} in

s in

b

P  

   

Con acople perfecto:

*

s in  

Entonces:





2 2 2 AVS 1 1 2 s s s b

P  

   1 2 1 2 2 s s b    

Sustituyendo P_AVN y P_AVS en G_A:









2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 A s s out b b G     







2 1 1

s

s out

b

b    



Ya se conoce que:







21 2

s s

s S S L S S L

y 1 11 21 12 22 s s out S S S S      

De _out se tiene:

1 11 21 12 22 s s out S S S S      

Reemplazando S₂₂ en la ecuación para b₂ b_s , se obtiene:





L S S

S S S S S b b                             













L _{S S}

S S S S S S S                         





1 11 11 21 s out s S S S

L   

    







11 21 out s L S S      

Haciendo _L _out* :









2 11 21 2 out s s S S b b     

Sustituyendo b₂ b_s en G_A se tiene:















1 1 1 1 2 2 21 2 11 2 A out s s S S G       

La máxima ganancia disponible (MAG) se tiene si S₁₂  0

Entonces: 0 1

0 22 ₁₂

21 12 11

12   

     S S S S S S L L in 11 S  * s   0 1

0 11 ₁₂

21 12 22

12   

     S S S S S S s s out 22 S  * L  

Empleando estos resultados en la última expresión hallada para G_Ase obtiene:

0 12   S A G MAG 1 1 1 2 22 2 21 2 11 11 2 11 * _S S S S S     1 1 1 2 22 2 21 2 2 11 2 11 S S S S     1 1 1 1 2 22 2 21 2 11 S S S   

7.5.1.3.

Ganancia del transductor

La ganancia del transductor de un amplificador está definida como la razón de la potencia de salida P_L entregada a la carga sobre la potencia disponible a la entrada del amplificador P_AVS

. (Acople perfecto a la entrada).

AVS T

P P G  L La potencia en la carga:





2

2 1

2 1

L

L b

P   

La potencia disponible en la fuente:

1 2 1

2 2 AVS

s s b P

   

Luego:

AVS T

P P

G  L





1 2 1

1 2

1

2 2

2 2

2

s s b

b _L

  

  



 



2

2 2

2

2 1 1

s

s b

b  _L  



Ya se conoce la relación s b b₂

:







21 12 22

11

21 2

s s

s S S L S S L

S b

b

  

Reemplazando b₂ b_s en G_T se tiene:



 





 



Existen tres casos especiales de ganancia de transductor:

7.5.1.3.1.

Ganancia de transductor acoplada





Las líneas de entrada y de salida están perfectamente acopladas a las impedancias de la fuente y de la carga respectivamente. (No es factible lograr acople perfecto).



 





 



s S S S S

S G 2 21 TM S G 

7.5.1.3.2.

Ganancia del transductor unilateralizado

En muchos diseños se asume que el transistor es unilateral, tal que:

S₁₂  0

O se diseña una red de realimentación con el fin de lograr lo anterior.

Entonces:



 





 



1 1 0 12 2 21 12 22 11 2 2 2 21 12 T               S S S S S S S G s s s L L L



 









7.5.1.3.3.

Ganancia del transductor unilateralizado máxima

Esta ganancia se obtiene cuando _s  S₁₁* y _L  S*₂₂



 





 





 





 



1 1 2 22 22 11 11 2 22 2 11 2 21 TU * * máx S S S S S S S G     



 





 



1 1 2 2 22 2 11 2 22 2 11 2 21 S S S S S     



 



1

1 ₁₁ 2 ₂₂ 2

2 21 _    S S S

7.5.1.4.

Círculos de ganancia constante

En el análisis del amplificador se usan gráficos en la carta de Smith para determinar regiones en donde el amplificador es estable y la ganancia que se puede lograr en dichas regiones.

Para ello se construyen círculos de estabilidad tanto a la entrada como a la salida y círculos de ganancia también a la entrada y a la salida.

Para independizar los círculos de ganancia de entrada y salida se debe eliminar la realimentación, ya sea usando una red en paralelo con el dispositivo activo (unilateralización) o disponer de un elemento que tenga S₁₂ tan pequeño como sea posible y asumir que es cero.

Debe verificarse el error cometido con esta suposición comparando la ganancia del transductor real obtenida con la ganancia del transductor unilateralizado máxima. Si el error es grande, se debe cambiar de dispositivo o hacer la red de realimentación; en caso contrario, se construyen los círculos de ganancia y se hace el análisis como si fuera unilateral, el cual es mucho más simple.

La razón entre la ganancia del transductor y la ganancia del transductor unilateralizado está dada por:

























1 1 1 1 1 1 2 22 11 2 2 2 21 2 21 12 22 11 2 2 2 21 TU T L L L L L S S S S S S S S G G s s s s s                    













21 12 22 11 2 22 11 1 1 1 1 s s s L L L S S S S S S            

Dividiendo numerador y denominador por



















1 1 1 2 22 11 2 21 12 22 11 TU T L L L S S S S S S G G s s s            































1 1 1 2 22 11 21 12 22 11 22 11 L L L L S S S S S S S S s s s s                 Entonces:







1 1 2 22 11 21 12 TU T L L S S S S G G s s         De donde: 2 TU T 1 1 X G G   Con:







22 11 21 12 L L S S S S X s s       

La razón entre las ganancias estará en el rango









TU T 2 1 1 1 1 X G G X     Ya que 1 |1−𝑋|2 =

1 𝑘−2𝑅𝑒(𝑋)

1 (1+|𝑋|)2 =

1

𝑘+2√𝑅𝑒(𝑋)2_{+𝐼𝑚(𝑋)}2

1 (1−|𝑋|)2=

1

𝑘−2√𝑅𝑒(𝑋)2_{+𝐼𝑚(𝑋)}2

Con

𝑘 = 1 + |𝑋|2

El error máximo está bordeado por:















S S

S S S S M

 



M es llamado la figura unilateral de mérito y normalmente es muy pequeño (alrededor de 0.03 ( 15 dB)) y por tanto, el error máximo será:

Error máximo





 

 1

1 M 2

Considerando que se puede despreciar la realimentación:

2 22

2

2 11

2 2

21 TU

1

1 1

1

L L

S S

S G

s s

 

    

   

El primer término depende del transistor y los otros dos dependen del transistor y las impedancias de fuente y carga respectivamente.

G_TU  G_o  G_s  G_L

Figura 7.32. Amplificador unilateralizado.

En la expresión de G_TU se observa que si _s vale uno, entonces G_s vale cero y para

s

Además, si _L vale uno entonces G_L vale cero y para _L igual a S₂₂* entonces G_L es igual a G_Lmáx. (Impedancias de salida y carga complejas conjugadas).

Para cualquier valor arbitrario de _s y _L se tiene que las ganancias G_L o G_s están entre cero y el máximo.

Con G_L o G_s dados por:

𝐺_𝑠 = 1 − |Γ𝑠| 2

|1 − Γ𝑠𝑆11|2

𝐺𝐿 =

1 − |Γ_𝐿|2 |1 − Γ𝐿𝑆22|2

Para un valor dado de 𝐺, el valor de Γ está dado por un círculo. Este círculo se construye con las siguientes ecuaciones:16

El centro del círculo:

𝑑_𝑠 = 𝑔𝑛𝑠|𝑆11| 1 − |𝑆₁₁|2_{(1 − 𝑔}

𝑛𝑠)

El radio del círculo:

𝑅_𝑠 =√1 − 𝑔𝑛𝑠(1 − |𝑆11| 2₎ 1 − |𝑆₁₁|2_{(1 − 𝑔}

𝑛𝑠)

Donde 𝑔_𝑛𝑠 es el valor de la ganancia normalizada para 𝐺_𝑠. 𝑔_𝑛𝑠 = 𝐺_𝑠(1 − |𝑆11|2) =

𝐺𝑠

𝐺𝑠𝑚𝑎𝑥, 0 < 𝑔𝑛𝑠 < 1

16 _{Appendix D: Derivation of the unilateral constant}_{gain circles. En: GONZALEZ, Guillermo. Microwave}

Con 𝐺_𝑠. Ganancia del círculo.

De igual manera a la salida:

El centro del círculo:

𝑑_𝐿 = 𝑔𝑛𝐿|𝑆22| 1 − |𝑆₂₂|2_{(1 − 𝑔}

𝑛𝐿)

El radio del círculo:

𝑅𝐿 =

√1 − 𝑔𝑛𝐿(1 − |𝑆22|2) 1 − |𝑆22|2(1 − 𝑔𝑛𝐿)

Donde 𝑔𝑛𝐿 es el valor de la ganancia normalizada para 𝐺𝐿. 𝑔_𝑛𝐿 = 𝐺_𝐿(1 − |𝑆₂₂|2_{) =} 𝐺𝐿

𝐺𝐿𝑚𝑎𝑥, 0 < 𝑔𝑛𝐿 < 1

Estos círculos tienen su centro en la recta trazada desde el centro de la carta de Smith hasta 𝑆11∗𝑜 𝑆22∗ respectivamente.

Ejemplo:17

Un transistor de microondas tiene los siguientes parámetros S medidos para 4GHz con una referencia de 50:

    0.707 155

11 S

0

12  S

   5.00 180

21 S

    0.510 20

22 S

17 _{LIAO Samuel Y. Microwave circuit analysis and amplifier design. New Jersey: Prentice}_{Hall, 1987. p.}

Dibuje los círculos de ganancia constante a la entrada y los círculos de ganancia constante a la salida para 2, 1, 0, 1 dB.

 Círculos de ganancia constante a la entrada:

Los círculos de ganancia constante a la entrada tienen su centro sobre la recta trazada entre el centro de la carta de Smith y S₁₁*.

Utilizando las ecuaciones anteriores se encuentran los valores que se presentan en la

tabla 1.

Tabla 1. Valores calculados.

 

G 2 1 0 1

s

G _{1.59 1.26 1.00 0.79}

ns

g _{0.80 0.63 0.50 0.40}

s

d 0.63 0.55 0.47 0.40

s

r _{0.25 0.38 0.47 0.55}

Con estos valores se trazan los círculos de la figura 7.33.

Figura 7.33. Círculos de ganancia constante a la entrada.

0.2 0.5 1 2

j0.2

-j0.2 0

j0.5

-j0.5 0

j1

-j1 0

j2

-j2 0

1.59 1.26

1 0.79

 Círculos de ganancia constante a la salida:

Los círculos de ganancia constante a la salida tienen su centro sobre la recta trazada desde el centro de la carta de Smith hasta S₂₂*.

Los valores calculados se muestran en la tabla 2.

Tabla 2. Valores calculados.

 

G 1 0 1

l

G _{1.26 1.00 0.79}

nl

g 0.93 0.74 0.58

l

d _{0.48 0.41 0.33}

l

r 0.20 0.41 0.54

Con estos valores se trazan los círculos de la figura 7.34.

Figura 7.34. Círculos de ganancia constante a la salida.

0.2 0.5 1 2

j0.2

-j0.2 0

j0.5

-j0.5 0

j1

-j1 0

j2

-j2 0

1.26 1 0.79

7.5.2.

Estabilidad

En esta sección se analiza el concepto de estabilidad del amplificador y cómo evaluarla usando la carta de Smith.

7.5.2.1.

Análisis de estabilidad usando los conceptos de realimentación y

de resistencia negativa

Debido a la capacitancia de entrada y a la de realimentación del modelo de pequeña señal del transistor hay posibilidad de que a cierta frecuencia se presenten oscilaciones parásitas.

En tal modelo el condensador de entrada convierte el amplificador en integrador, lo mismo que el de salida produciendo cada uno un desfase menor de 90°. El amplificador en sí es un inversor y por tanto produce un desfase de 180° lo que produce un desfase total (adicionando la carga) de 360°. En estas condiciones si la ganancia es mayor o igual a uno el transistor oscilará.

Un modelo apropiado por bloques para el modelo de pequeña señal es el mostrado en la figura 7.35.

Figura 7.35. Amplificador realimentado.

Esto indica que para evitar oscilaciones hay que utilizar transistores que tengan un S ₁₂ bajo (idealmente igual a cero) o eliminar la realimentación con redes en paralelo (neutralización) o usando cargas apropiadas.

  

 

Hay más posibilidad de oscilación en RF debido a que las reactancias capacitivas disminuyen, aumentando la realimentación, esto hasta cierto límite en que la ganancia decrece lo suficiente para eliminar la posibilidad de oscilación.

Desde otro punto de vista diferente: Resistencia negativa.

Un resistor positivo convierte energía eléctrica en calor. Hay dispositivos que convierten otros tipos de energía en energía eléctrica: por ejemplo una batería y un resistor. La batería se puede ver como una resistencia negativa por la ley de Ohm. (Entrega potencia en vez de consumirla).

Por ejemplo, los diodos TUNEL, GUNN, el UJT y algunas combinaciones de dos o más transistores, absorben potencia de DC y las convierten en oscilaciones de alta frecuencia y por tanto tienen comportamiento de resistencia negativa en un ancho de banda finito como se muestra en la figura 7.36.

Figura 7.36. Curva voltampérica de una resistencia negativa.

Esta curva puede mirarse como la característica de salida de un diodo, en donde la resistencia estática v es siempre positiva (siempre absorbe potencia DC) pero la resistencia i incremental r_n  dv di es positiva en













a

Q

b

.

.

.

v

i

En estas condiciones, si se conecta con esta resistencia negativa un circuito resonante paralelo, como en el circuito de la figura 7.37.

Figura 7.37. Circuito resonante con resistencia negativa.

El voltaje a través del circuito resonante paralelo18 _será:

 





v t  et B₁ cos_dt  B₂ sen _dt

Donde

B₁, B₂: Constantes.

2 1

C R  

t R r R  _n

1

0

C L  

2 2 0  

  _d

Si el voltaje RMS es V, la carga absorbe V2 R_t y la resistencia negativa entrega

2

n

r

V . Si la potencia entregada es mayor que la absorbida, la amplitud de la oscilación crece. Esto hace que la oscilación crezca cada vez más entre a y b. En estos puntos la resistencia negativa promedio se hace cada vez más grande lo que reduce la potencia entregada hasta que se logra el equilibrio.

18 _{CHIRLIAN, Paul M. Basic Network Theory. New York: McGraw}_{Hill, 1969. p. 211}_217.



 



C t

R n

La resistencia efectiva:

R R R

R R

n n

t

t

 

 

R_n: Resistencia promedio evaluada en un ciclo.

 Si Rt  Rn . R y  son negativas y v

 

 Si R_t  R_n . R y  son positivas y decaen las oscilaciones.

 Si R_n  R_t. Las ecuaciones anteriores fallan y el voltaje es estacionario.

Como la resistencia del circuito resonante decrece a ambos lados de la frecuencia de resonancia, la mayor posibilidad de oscilación está en esta frecuencia. Sin embargo puede oscilar en un rango dependiendo del Q y por tanto el espectro no es muy limpio.

El análisis de estabilidad de un circuito transistorizado se da mirando las impedancias de entrada de los dos puertos. Si la parte real de esta impedancia en uno de los puertos es negativa se tiene que el dispositivo es inestable. Este análisis debe hacerse para todas las frecuencias de interés.

7.5.2.2.

Análisis de estabilidad usando parámetros S

La estabilidad se define en este caso como la resistencia a la oscilación.

Las oscilaciones pueden arrancar si, en una red de dos puertos, el puerto de entrada o salida muestra una impedancia con parte real negativa, o sea, cuando _in es mayor que uno o _out es mayor que uno.

1

22 21 12 11

L L

S S S S

in

 

 



1

11 21 12 22

s s out

S S S S

 

 

 

Las magnitudes de _in y _out son mayores que uno cuando las magnitudes de S₁₁ o S₂₂ son mayores que uno en el caso unilateral, o sea cuando S₁₂ es igual a cero, sin embargo aún con resistencia negativa el amplificador puede ser estable.

Tipos de estabilidad:  Condicional

Una red es condicionalmente estable si la parte real de la impedancia de entrada Z_in y/o de salida Z_out es mayor que cero para algunas impedancias de fuente y de carga reales, en una frecuencia específica.

 Incondicional

Una red es incondicionalmente estable si las partes reales de las impedancias de entrada y salida son mayores que cero para todas las impedancias de fuente y de carga en una frecuencia específica.

Que las impedancias de fuente y de carga sean reales positivas significa que: 1



_s y _L  1

Las condiciones de borde para estabilidad:

1 1

22 21 12 11

L L

S S S S

in _{ }

 

  

1 1

11 21 12 22

s s out

S S S S

 

 

Sustituyendo las partes real e imaginarias de los parámetros S, se hallan _s y _L19 que producen un coeficiente de reflexión unitario tanto a la entrada como a la salida:

2

2 11

21 12

  

S S S r_s

2 2

11

*

C

  

S

c_s s

2

2 22

21 12

  

S S S r_l

2 2

22 *

C

  

S

c_l l

Con:

s

r : Radio del círculo _s.

s

c : Centro del círculo _s.

l

r : Radio del círculo _L.

l

c : Centro del círculo _L.

En donde:

21 12 22 11

 S S  S S 

* 22 11

C

* 11 22

C

19 _{Appendix B: Stability conditions. En: GONZALEZ, Guillermo. Microwave transistor amplifiers: Analysis}

Los círculos de estabilidad pueden dibujarse directamente sobre la carta de Smith como se muestra en las figuras 7.38 a 7.42. Estos círculos separan los planos de entrada y salida en regiones estables e inestables.

Un círculo de estabilidad dibujado en el plano de salida indica los valores de todas las cargas que proveen impedancia de entrada real negativa. Similarmente para los círculos dibujados en el plano de entrada.La circunferencia representa las magnitudes de _in y _out unitarias y por tanto hay un área en que la magnitud de _in o _out es mayor que uno (región inestable) y otra en que estas magnitudes son menores que uno (región estable).

Para determinar cuál es la región estable y cuál es la región inestable, supóngase una impedancia de carga

 

 

Si se escoge un valor de _L que caiga dentro de los círculos de estabilidad se tendría que la magnitud de _in sería mayor que uno y el circuito sería inestable.

Figura 7.38. Círculo de estabilidad condicional para _L.

Circulo de estabilidad condicional

0.2 0.5 1 2 j0.2

-j0.2 0

j0.5

-j0.5 0

j1

-j1 0

j2

-j2 0

cl

Inestable Región

1 

_in

Estable Región

1 

_in

1 

_in

1

11 

S

1



 _l

l r