Resumen de temas a tratar

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Grado en Matem´

aticas

“C ´

ALCULO INFINITESIMAL”

Grupo B. Curso 2015/2016, 1er cuatrimestre

´Indice

1. El cuerpo ordenado de los n´umeros reales. 1

1.1. El conjunto de los n´umeros realesR. . . 1

1.2. Problemas complementarios. . . 4

2. Funciones de una variable real. 7 2.1. Funciones elementales. . . 12

3. Sucesiones de números reales. 21 3.1. Cáracter de las sucesiones: monoton´ıa y acotación. . . 21

3.2. L´ımite de una sucesi´on. . . 22

3.3. C´alculo pr´actico de l´ımites. . . 24

3.4. L´ımites notables. . . 26

4. L´ımite funcional y funciones continuas. 31 4.1. Definici´on de l´ımite y continuidad de una funci´on. . . 31

4.2. Propiedades de los l´ımites . . . 34

4.3. Propiedades de las funciones continuas. . . 37

4.4. Infinit´esimos equivalentes. . . 38

4.5. Continuidad uniforme (opcional) . . . 40

5. Funciones derivables. 43 5.1. El Concepto de derivada de una funci´on . . . 43

5.2. Derivabilidad de una funci´on. . . 46

5.3. Propiedades de las funciones derivables . . . 47

5.4. Derivadas de orden superior. . . 50

6. El teorema de Taylor. 55 6.1. El polinomio de Taylor . . . 55

6.2. Convexidad de una funci´on . . . 59

6.3. Puntos de inflexi´on . . . 62

6.4. Aplicaciones a la representaci´on gr´afica de funciones. . . 63

7. Otros problemas. 68

Bibliograf´ıa 77

Prof. Renato ´

Alvarez Nodarse

Dpto. Análisis Matemático, Facultad de Matemáticas, Universidad de Sevilla Despacho Módulo 15, 1er piso, 15-07.

E-mail:[email protected]

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Resumen de temas a tratar

1. N´umeros y funciones

a) Números y operaciones: Los números reales y sus propiedades. Operaciones con números. El valor absoluto y la distancia. Intervalos. El método de inducción. El axioma del supremo.

b) Funciones elementales: Las funciones elementales, sus propiedades y sus gráficas: po-linomios, funciones racionales, funciones trigonométricas y sus inversas, el logaritmo, la función exponencial y las funciones hiperbólicas.

2. Introducci´on al concepto de l´ımite

a) Introducción a las sucesiones numéricas: L´ımite de sucesiones numéricas. Convergen-cia y sucesiones monótonas. Primeras propiedades.

b) L´ımite de funciones: L´ımites de funciones: definici´on y propiedades. 3. Continuidad y derivabilidad

a) Continuidad: Funciones continuas. Tipos de discontinuidades: funciones mon´otonas. Propiedades de las funciones continuas: teoremas de Bolzano y Weierstrass.

b) Derivadas: Definición de la derivada de una función. Reglas de derivación. Cálculo de derivadas. Propiedades de las funciones derivables: teoremas de Rolle y del valor medio.

c) Aplicaciones de las derivadas: Aplicación el estudio del crecimiento de funciones y de sus extremos relativos. Aplicación al cálculo de l´ımites: la regla de L’Hopital. Derivadas sucesivas: el polinomio de Taylor. Aplicación: estudio de la concavidad y convexidad de funciones.

4. Complementos: Manejo de un programa de c´alculo simb´olico como herramienta.

S´ımbolos.

•Dado un conjunto A, si el elemento a es miembro del conjunto A, diremos que a pertenece a

A y lo denotaremos por a_∈A. Si a no pertenece a A lo denotaremos por a /_∈A.

•Si una condici´on se cumple para cualquiera sea el elementoadeAlo denotaremos por∀a ∈A, donde_∀ significa “para todo”.

• Si existe un valor a del conjunto A para el cual se cumple determinada condici´on cond

escribimos∃a∈Atal que se cumplecond, donde∃significa “existe”. Si existe un s´olo elemento

a del conjunto que cumpla con la condici´on cond (el elemento es ´unico) se escribe _∃!a. Otros s´ımbolos son:

• “Supongamos” se denota por⊐_. • “Implica” se denota por =_⇒o _−→.

• “si y s´olo si” (implicaci´on en ambos sentidos) ⇐⇒ o ←→.

• La uni´on de dos conjuntos A y B que es el conjunto C de elementos que o pertenecen a A o pertenecen a B lo denotaremos porC =A_∪B.

• La intersecci´on de dos conjuntos A y B que es el conjunto C de elementos que pertenecen a

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1. El cuerpo ordenado de los n´

umeros reales.

Los números naturales, enteros y racionales. Principio de inducción completa. Introducción axiomática del cuerpo ordenado de los números reales: axioma del supremo. Propiedad arqui-mediana. Intervalos deR. Teorema de Cantor de los intervalos encajados. Módulo de un número real. Entornos. Conjuntos abiertos y cerrados: propiedades. Conjuntos compactos. Teoremas de Heine-Borel y de Bolzano-Weierstrass.

Concepto de función. Composición de funciones. Algunos tipos particulares de funciones: Po-linomios y funciones racionales, funciones exponenciales y logaritmos, funciones trigonométricas y funciones hiperbólicas. Función inversa.

Los conjuntos de n´umeros que vamos a utilizar en este curso son los siguientes:

1. Los n´umeros naturales que denotaremos por Nque es el conjunto de los n´umeros

N=_{1,2,3,4, ..._}.

2. Los n´umeros enteros que denotaremos porZ que es el conjunto de los n´umeros

Z={0,±1,±2,±3,±4, ...}.

3. Los n´umeros racionales que denotaremos por Qque es el conjunto de los n´umeros

Q=np_q, donde p_∈Z, q_∈No.

Los n´umeros irracionales, que denotaremos por I, es el conjunto de los n´umeros que no se pueden expresar de la forma p

q, donde p∈Z, q∈N.

1.1. El conjunto de los n´

umeros reales

R

.

Definición 1.1 Definiremos al conjunto de los números reales, y lo denotaremos por R, al conjunto de todos los números racionales Q e irracionales I, o sea R=Q_∪I. Veamos ahora la definción axiomática de los números reales.

Definición axiomática del conjunto numérico R.

Definici´on 1.2 Un conjunto de elementos es un cuerpo si se cumple que cualesquiera sean

a, b∈A el elemento suma “+” a+b y el elemento multiplicaci´on “·”a·b son elementos de A. Adem´as las operaciones “+” y “_·” satisfacen las siguientes propiedades:

1. Propiedades de la suma:

a) (a+b) +c=a+ (b+c) (ley asociativa)

b) Existe un elemento 0_∈A tal que para todo a_∈A, a+ 0 = 0 +a=a (elemento nulo de la suma)

c) Para todo a _∈ A, existe un elemento (₋a) _∈ A tal que (₋a) +a = a+ (₋a) = 0

(elemento inverso de la suma)

d) a+b =b+a (ley commutativa) 2. Propiedades de la multiplicaci´on:

a) (a_·b)_·c=a_·(b_·c) (ley asociativa)

(4)

c) Para todo a ₆= 0 existe un elemento (a−1₎ _∈ _A _{tal que} ₍_a−1₎_·_a ₌ _a _·₍_a−1_{) = 1}

(elemento inverso de la multiplicaci´on)

d) a_·b=b_·a (ley commutativa) 3. Propiedades de la suma y multiplicaci´on:

a) a_·(b+c) =a_·b+a_·c (ley distributiva)

Si un conjunto de elementos satisface los axiomas anteriores se le denomina cuerpo. De la de-finición anterior deducimos que los números naturales y los enteros no conforman un cuerpo pues para cualquiera sea n ∈ N o n ∈ Z no necesariamente existe el inverso respecto a la multiplicación por ejemplo, si n = 2 el inverso ser´ıa 1

2 ∈/ Z. Es f´acil comprobar que Q es un

cuerpo.

Como consecuencia de los axiomas anteriores podemos probar f´acilmente que para todo

x_∈A, 0_·x= 0, (₋1)_·x= (₋x), que el elemento nulo 0 es ´unico que el elemento inverso de la suma es ´unico, entre otras muchas:

1. Dados a, b∈ A, la ecuación a+x=b tiene solución única, es decir sólo hay un valor de

x_∈A que cumpla con la ecuaci´on.

2. Existe un ´unico elemento neutro 1 respecto a la multiplicaci´on.

3. Para todo x_∈A, x₆= 0 existe un ´unico inverso x−1 _{tal que} _x_·_x−1 _{= 1.}

4. Dadosa, b∈A,a6= 0, la ecuación a·x=b tiene solución única, es decir sólo hay un valor dex_∈A que cumpla con la ecuación.

5. Si x·y= 0, entonces `o x= 0 `o y= 0.

6. Para todo x_∈A, (₋1)_·(₋x) =x.

7. (−x)·(−y) = x·y.

Una propiedad importante que debemos considerar es el orden. Dentro de los números naturales es evidente que existe cierto orden. Por ejemplo, 1 es menor que 2. Además sólo hay un natural que sea mayor o igual que 3 y menor igual que 3: el 3. Por tanto definamos una operación de orden que ha de cumplir ciertos requisitos.

Definición 1.3 Diremos que un conjunto de elementos A es un conjunto ordenado si existe una relación de orden _≤ tal que cualesquiera sean a yb números reales se tiene que se cumple que a_≤b o no se cumple y además se deben cumplir las siguientes propiedades:

1. Para todo a ∈A, a ≤a

2. Si a_≤b y b_≤a entonces a=b. 3. Si a≤b y b≤c entonces a ≤c. 4. Para todos a, b_∈A, o a_≤b o b _≤a.

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5. Si a_≤b entonces a+c_≤b+c. 6. Si 0_≤a y 0_≤b entonces 0_≤a_·b.

Es fácil comprobar que los números racionales son un cuerpo ordenado. No obstante hemos visto que existen algunos otros números que no son racionales. Es decir, ¡la recta de los números racionales tiene huecos vac´ıos! Ello nos conduce a tener que imponer algún axioma más que nos permita incluir los números irracionales. Existen distintas formas de hacerlo. La primera de ellas se debió al matemático alemán Richard Dedekind que introdujo la noción de cortaduras. Nosotros vamos a introducir otra forma más sencilla conocida como el axioma de continuidad o completitud que nos ayudará a definir con más precisión el conjunto de los números realesR.

Definición 1.4 Se denomina al conjunto R conjunto de los números reales, y sus elementos números reales, al cuerpo ordenado no nulo que cumplen los axiomas descritos en las defini-ciones 1.2 (axiomas de cuerpo) y 1.3 (axiomas de orden) y que además satisfagan el siguiente axioma de completitud o continuidad, comúnemnete denominado como propiedad de las corta-duras de Dedekind:

Si A y B son dos subconjuntos de R no nulos tales que cualquiera sean a _∈ A y b _∈ B se tiene que a≤b, entonces existe un c∈R tal que para todo a∈A yb ∈B, a≤c≤b.

Definici´on 1.5 Llamaremos supremo de un conjunto acotado superiormente, y lo denotaremos por supA, a la menor de las cotas superiores de A. Llamaremos ´ınfimo de un conjunto acotado inferiormente, y lo denotaremos por´ınfA, a la mayor de las cotas inferiores de A.

El axioma de completitud es equivalente al siguiente teorema:

Teorema 1.1 (Axioma del supremo) Todo conjunto acotado superiormente tiene un supremo.

Proposici´on 1.1 Sea A un conjunto acotado superiormente. Para todo ε > 0 (tan peque˜no como se quiera) existe un x∈A tal que x >supA−ε.

Gr´aficamente:

S₋ǫ ↓

x ↓

S ↓

| {z }

ǫ

|

Es fácil comprobar que todo subconjunto acotado superiormente de N tiene un elemento máximo. Como consecuencia se tiene que el conjunto de los números naturalesNno es acotado superiormente y que Z es no acotado inferiormente y superiormente.

Proposición 1.2 Sea x > 0 un número real cualquiera. Entonces siempre existe un número natural n tal que x < n.

Teorema 1.2 (Propiedad arquimediana de los números reales) Sea a > 0 un número real cualquiera (tan pequeño como se quiera) y sea b > 0 otro número real (tan grande como se quiera). Entonces existe un n_∈N tal que b < n a.

Como consecuencia de la propiedad arquimediana de los n´umeros tenemos

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Corolario 2:Sea x_≥0. Si para todo ǫ >0 se tiene quex < ǫ, entonces x= 0. Densidad deQ en R

Corolario 3: (Densidad de Q en R) Cualesquiera sean a, b_∈R(a < b), existe un q_∈ Q

tal que a < q < b.

El método de inducción: El método de inducción matemática se utiliza para probar que cierta afirmación es válida para todo n ∈ N comenzando por cierto n0. Para ello hay que

demostrar que:

1. La afirmaci´on es v´alida para cierto n0 ∈N,

2. Suponiendo que es cierta para cualquier k ∈N con k ≥n0 probar que es cierta para

k+ 1.

Finalmente mencionaremos dos teoremas de gran importancia.

Teorema 1.3 (Lema de los intervalos encajados de Cantor)

Sea _{Ik} una sucesi´on de intervalos cerrados tales que In+1= [an+1, bn+1]⊂ In = [an, bn], para

todo n natural (sucesi´on de intervalos encajados). Entonces existe al menos un punto ξ ∈ R

que pertenece a todos los intervalos. Si adem´as, para todo ǫ > 0, en la sucesi´on de intervalos encajados existe al menos un intervalo cuya longitud _|Ik|=bk−ak es menor que ǫ, entonces el

punto ξ es ´unico.

Teorema 1.4 (Teorema de Bolzano-Weierstrass para los conjuntos n´umericos)

Cualquier subconjunto infinito acotado de R tiene por lo menos un punto de acumulaci´on

1.2. Problemas complementarios.

Problema 1.1 Demuéstrese por inducción las siguientes fórmulas:

2n_≤_n_!_, _{para todo} _n_≥₄ n

P

k=1

(2k−1) = 1 + 3 + 5 + 7 +. . .+ (2n−1) =n2

n

P

k=1

(2k−1)2 _{= 1}2_{+ 3}2_{+ 5}2_{+ 7}2₊_{. . .}_{+ (2}_n₋₁₎2 ₌ n(4n 2₋₁₎

3

Problema 1.2 Demuestra las siguientes igualdades: 1. 1 + 2 +· · ·+n= n(n₂+1),

2. 12_{+ 2}2₊_{· · ·}₊_n2 ₌ n(n+1)(2n+1)

6 ,

3. 13_{+ 2}3₊_{· · ·}₊_n3 ₌ n2₍_n₊₁₎2

4 .

Problema 1.3 Demu´estrese que n5₋_n _{es m´}_{ultiplo de} ₅_{, para todo} _n _∈_N_.

Problema 1.4 D´ıgase si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: 1. La suma de dos n´umeros irracionales es un n´umero irracional.

(7)

Problema 1.5 Demu´estrese:

1. Entre dos n´umeros reales existe otro n´umero real.

2. Entre dos n´umeros racionales existe un n´umero irracional.

Problema 1.6 Escr´ıbase el conjunto de los x que verifican

a) |x−3| ≤8 b) |x−1|+|x−2|>1

c) _|x₋1_{| · |}x+ 2_|= 3 d) _||x+ 1_{| − |}x₋1_||<1.

Problema 1.7 Encu´entrese el error en el siguiente razonamiento:

x=y =_⇒x2 ₌_xy ₌_⇒

x2 ₋_y2 ₌_xy ₋_y2 ₌_⇒₍_x₊_y₎₍_x₋_y_{) =}_y₍_x₋_y_{) =}_⇒

x+y=y=_⇒2y =y=_⇒2 = 1.

Problema 1.8 H´allese el supremo y el ´ınfimo de los siguientes conjuntos, indicando en su caso si son m´aximo o m´ınimo:

A ={−1} ∪[2,3) B ={3} ∪ {2} ∪ {−1} ∪[0,1]

C =_{2 + (1/n) :n_∈N_} D=_{(n2_{+ 1)}_/n _:_n _∈_N_}_.

Problema 1.9 H´allese el supremo y el ´ınfimo de los siguientes conjuntos, indicando en su caso si son m´aximo o m´ınimo:

1. A=_{2−p_{+ 3}8q_{+ 5}−r_, _{p, q, r}_∈_Z_}_,

2. B =_{x_∈R, 3x2₋₁₀_x_{+ 3} _<₀_}_,

3. C={x∈R, (x−a)(x−b)(x−c)(x−d)<0, a < b < c < d, a, b, c, d∈R_},

Problema 1.10 Demu´estrese que, ∀x, y ∈R,

m´ax(x, y) = (x+y+|x−y|)/2,

m´ın(x, y) = (x+y− |x−y|)/2.

Problema 1.11 Si m, n, r, y s son n´umeros enteros, con n, s > 0, pru´ebese que

m n <

r s =⇒

m n <

m+r n+s <

(8)

(9)

2. Funciones de una variable real.

Definición 2.1 Una funciónf definida sobre un subconjunto A de los números reales es una regla (aplicación) que a cada elemento de A le hace corresponder uno y sólo un elemento deR. El mayor subconjunto de A tal que f esté definida se denomina dominio de f y lo denota-remos por Dom(A).

Dada una funci´on f la denotaremos por f : A _7→ R, donde, usualmente A coincide con el dominio de f.

Si a x_∈A le corresponde un valor f(x)_∈R seg´un la funci´on f :A_7→R, diremos que f(x)

es la imagen de x seg´un f. Al conjunto de todas las im´agenesf(x) para x∈A se le denomina imagen de f y le denotaremos por f(A).

A

B

x

y

z

A

B

x

y

z

f :A7→B g :A7→B

Figura 1: Funciones f :A_7→B y g :A _7→B.

Ejemplo 2.1 1. r :R_7→R, r(x) =α, α_∈R (constante) 2. t:R_7→R, t(x) =x.

3. f :R_7→R, f(x) = x2_.

4. g : [0,1]7→R, g(x) = x2_{. (}_Dom_g ₆_{= Dom}_f, ₌_⇒ _g₍_x₎₆₌_f₍_x₎₎

5. h:R+

∪ {0_{} −→}R, h(x) =√x.

Usualmente para representar una función se usa su gráfica. La gráfica de una función es el conjunto de los puntos (x, y) del plano cartesianotales que y=f(x).

Las funciones del ejemplo anterior est´an regresentadas en la figura 2.

Dos funciones que tengan el mismo dominio se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. Por ejemplo,f +β_·t₋r (β _∈R), r

f+ 1, etc.

Definición 2.2 Se dice que una función f(x) es monótona creciente en un subconjunto B de su dominio si _∀x1, x2 ∈B tal que x1 < x2, f(x1)< f(x2).

(10)

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-4 -2 0 2 4

f(x)=

3/

2

x

-4 -2 0 2 4

f(x)=

x

0 5 10 15 20 25

-4 -2 0 2 4

f(x)=

x

2

x

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 1 2 3 4 5

f(x)=

x

1/

2

x

Figura 2: Funciones f(x) =α, x, x2 _y √_x_.

x

y _f₍_x₎

x

y _f₍_x₎

Figura 3: Funciones creciente (izquierda) y creciente (derecha).

Definición 2.3 Se dice que una función f(x) es monótona decreciente en un subconjunto B

de su dominio si _∀x1, x2 ∈B tal que x1 < x2, f(x1)> f(x2).

Por ejemplo: t:R_−→R,f(x) =−x es decreciente en todo R

Definición 2.4 Se dice que una función f(x) es monótona no decreciente en un subconjunto

B de su dominio si _∀x1, x2 ∈B tal que x1 < x2, f(x1)≤f(x2).

Definición 2.5 Se dice que una función f(x) es monótona no creciente en un subconjunto B

de su dominio si _∀x1, x2 ∈B tal que x1 < x2, f(x1)≥f(x2).

(11)

Por ejemplo, la funci´ong : [0,1]_−→R,g(x) = x2_{est´a acotada superiormente pues}_g₍_x₎_≤_1,

∀x∈[0,1].

Definición 2.7 Se dice que una función f : A −→ R está acotada inferiormente si ∀x ∈ A, existe un m_∈R tal que f(x)_≥m.

Por ejemplo, la funci´on f :R _−→ R, g(x) = x2 _{est´a acotada inferiormente pues} _f₍_x₎_≥ _0,

∀x∈R.

Definición 2.8 Se dice que una función f : A −→ R está acotada, si f es acotada superior-mente e inferiorsuperior-mente. Es decir si ∀x ∈A, existe un M ∈R tal que |f(x)| ≤M.

Por ejemplo:g : [0,1]_−→R, g(x) =x2 _{est´a acotada pues} _|_g₍_x₎_|₌_x2 _≤_1, _∀_x_∈_[0_,_1].

Definici´on 2.9 Se dice que una funci´on f : A _−→ R es no acotada si _∀M _∈ R, existe un

x∈A tal que |f(x)|> M.

Por ejemplo: f :R_−→R, f(x) =x2 es no acotada.

Definición 2.10 Una función f : A _−→ R, tal que si x _∈ A entonces ₋x _∈ A (el dominio tiene que ser un conjunto simétrico respecto al origen) se llama función par si f(₋x) =f(x) e impar si f(−x) =−f(x).

x y

Figura 4: Funciones par (izquierda) e impar (derecha).

Por ejemplo, la función f :R_−→R,f(x) =x2 _{es una funciónpar y la función} _g _:_R_−→_R_,

g(x) =x3 _{es una funci´on impar.}

La funci´on h:R_−→R, h(x) =x3₊_x2 _{no es par ni impar pues} _f₍₋_x₎₆₌_f₍_x₎₆₌₋_f₍_x_).

Las funciones f : (0,1) −→ R, f(x) = x2 _y _g _{: (0}_,₁₎ _−→ _R_, _g₍_x_{) =} _x3 _{no son ni pares ni}

impares.

Definición 2.11 Una función f :R_−→R es periódica si existe un h >0, h_∈R tal que

f(x+h) =f(x), ∀x∈R.

Al menor n´umero h que cumple la condici´on anterior se denomina periodo de f.

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x y

Figura 5: Funci´on peri´odica f(x) =x₋E(x).

x

y

z

f

g f(x)

g(f(x))

A

B

C

D

Figura 6: Composici´on de funciones g(f(x)). f :A_7→C =f(A) g :B _7→D,C =f(A)_⊂B.

Definici´on 2.12 (Composici´on de funciones)

Seaf :A_−→Runa función cuya imagen esf(A), y sea g :B _−→Runa función cuyo dominio es B. Supongamos que f(A) y B son tales que f(A) está contenido en B, es decir, que todo

y_∈f(A) pertenece a B. Entonces definiremos la función g_◦f : A_−→R y la denominaremos función compuesta de g en f a la función que le hace corresponder a cada x _∈ A un número real tal que (g◦f)(x) =g(f(x)).

Ejemplo: f : R _−→ R, f(x) = x2 _y _g _: _R _−→ _R_, _g₍_x_{) =} _x _{+ 2. img}_f _⊂ _Dom_g_{, =}_⇒

(g_◦f)(x) =g(f(x)):

(g_◦f)(x) =g(f(x)) =g(x2) = x2+ 2.

imgg _⊂Domf, =_⇒ (f_◦g)(x) =f(g(x)):

(f◦g)(x) =f(g(x)) =f(x+ 2) = (x+ 2)2.

N´otese que (f _◦g)(x)₆= (g_◦f)(x). Si _∃(f_◦g)(x) =₆_{⇒ ∃}(g_◦f)(x).

Ejemplo: f : [−1,1]−→R, f(x) =x y g : [0,1]−→R, g(x) =x2_,

(13)

Definición 2.13 Una función se llama sobreyectiva si todo elemento y de R es imagen de algún elemento x del dominio, es decir f :A−→R es tal que

∀y∈R, ∃x∈A tal que f(x) =y, ⇐⇒ Imgf ≡R.

Definición 2.14 Una función se llama inyectiva si todo elemento y de la imagen de f es imagen a lo sumo de uno y sólo un elemento x del dominio. Es decir f :A_−→R es tal que

∀y1, y2 ∈Imgf, tal que y1=f(x1) =y2 =f(x2), =⇒ x1 =x2.

Definici´on 2.15 Una funci´on inyectiva y sobreyectiva se denomina biyectiva.

Una función es sobreyectiva si, para todo y real, la ecuación f(x) =y tiene al menos una solución.

f es inyectiva si la ecuación f(x) = y tiene o bien una única solución, o bien no tiene solución.

f es biyectiva si para todoyreal, la ecuaciónf(x) = ytiene una y sólo una solución solución.

Por ejemplo, f :R_−→R, f(x) =x2 _{no es inyectiva ni sobreyectiva}

h:R_−→R,h(x) =x3 _{es sobreyectiva}

f : [0,+_∞)_−→R, f(x) =x2 _{es inyectiva}

Teorema 2.1 Si f : A _−→ R es inyectiva entonces existe una y s´olo una funci´on g definida sobre la imagen de f tal que f(g(x)) = x para todo x de la imagen de f.

Definición 2.16 Sea f : A−→ R una función inyectiva. Llamaremos función inversa de f y la denotaremos por f−1 _{a la función} _f−1 _:_f₍_A₎_−→_R _{tal que} _∀_x_∈ _Imagen_f_, _f₍_f−1₍_x_{)) =}_x_.

Es decir, el dominio de f−1 _{ser´a la imagen de} _f _{y la imagen de} _f−1 _{ser´a el dominio de} _f_.

Adem´as sif es inyectiva f−1 _{tambi´en lo es y por tanto se cumple que}_f−1₍_f₍_x_{)) =}_x_{para todo}

x del dominio de f.

La funci´on f : [0,+_∞)_−→R,f(x) = x2 _{es inyectiva} ₌_⇒_f _{: [0}_,₊_∞₎_−→_R_{tiene inversa}

y ficha inversa es f−1 _{: [0}_,₊_∞₎_∈_R_, _f−1₍_x_{) =}√_x_.

En la figura 7 mostramos como se puede construir el gráfico de la función inversa a partir de la función original para el caso de f : [0,1]_7→R, f(x) =x2_.

Teorema 2.2 Si f es una funci´on mon´otona (estrictamente) creciente o decreciente en A

entonces es inyectiva en A.

Es importante destacar que las condiciones del teorema son suficientes, es decir que si tenemos monoton´ıa, tenemos inyectividad pero no viceversa, es decir inyectividad no implica monoton´ıa. Un ejemplo puede ser la funci´on (ver figura 8)

f(x) =

x2_{+ 2}_, ₋₂_≤_{x <}₀

(14)

x

y _f₍_x_{) =}_x2

x

y _f₍_x_{) =} _x2

Funci´on original Trazamos la recta y =x

x y

x

y _f−1₍_x_{) =}√_x

Reflejamos los puntos def en y=x Funci´on inversa

Figura 7: Construcci´on de la funci´on inversa de x2 _{en [0}_,_1]

-2 -1 1 2

-2 2 4 6

Figura 8: Inyectividad no implica monoton´ıa.

2.1. Funciones elementales.

Funci´on potencial entera.

Comenzaremos con las potencias naturales. Si n_∈N, tenemos

f :R_7→R, f(x) =xn ≡

n veces

z }| {

x·x· · ·x, n∈N.

Adem´as, como x−n _{= 1}_/xn_{, podemos definir, para todo} _x ₆_{= 0 la funci´on potencial con}

exponente entero negativo.

(15)

x -8

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

-4 -2 0 2 4

Figura 9: Funci´on potencial: f(x) = 1, x, x2_{, x}3_.

-4 -2 0 2 4

-10 -5 0 5 10

f(x)

x

0 1 2 3 4 5 6 7

-4 -2 0 2 4

f(x)

x

Figura 10: Funci´on potencial:f(x) = 1/x5_,₁_/x3_,₁_/x_{(izquierda) y}_f₍_x_{) = 1}_/x4_,₁_/x2 _(derecha).

1. Funciones seno y coseno.

Para definir las funciones seno y coseno echaremos manos de la geom´etria elemental.

Definiremos el seno de el ángulo x como el número cuyo valor absoluto viene dado mediante la razón entre el lado opuesto ax AB y la hipotenusa (el radio) del triángulo

[

0AB y cuyo signo es + o − si el segmento BA est´a orientado hacia arriba o hacia abajo, respectivamente, y lo denotaremos por senx.

El coseno del ángulo x será entonces un número cuyo valor absoluto viene dado mediante la razón entre el lado adyacente a x 0B y la hipotenusa y cuyo signo corresponde al + si el segmento 0B está orientado hacia la derecha y ₋ si es a la izquierda y lo denotaremos por cosx.

f :R_7→R, f(x) = senxy f :R_7→R,f(x) = cosx.

(16)

sen

cos

R=1

A

0 _B

x

C

Figura 11: Definici´on de las funciones seno y coseno.

sen2_x_{+ cos}2_x_{= 1}_,

sen π

2 −x

= cosx, cos π

2 −x

= senx

sen(x+ 2π) = senx, cos(x+ 2π) = cosx

cos(₋x) = cosx, sen(₋x) =₋senx.

-6 -4 -2 2 4 6

seno

-1 -0.5 0.5 1

-6 -4 -2 2 4 6

coseno

-1 -0.5 0.5 1

Figura 12: Funciones seno y coseno:f(x) = senx,cosx.

Nótese que la gráfica del coseno se obtiene de la gráfica del seno al trasladar ésta ´

ultima π₂ a la izquierda.

Una de las principales propiedades del seno y el coseno son las denominadasf´ormulas de adici´on

Entonces, usando sencillos razonamientos geom´etricos podemos f´acilmente compro-bar que

sen(x+y) = senxcosy+ senycosx

y

(17)

x

x y

sen sen

sen

sen(x+y) cos(x+y)

cosx cosy

x y cosx

cosy

x sen y

cosy sen y

0 _B

A D

Figura 13: F´ormulas de adici´on para el seno y el coseno.

N´otese que a partir una cualquiera de las dos f´ormulas anteriores se deduce la otra.

sen(x+y) = cos π₂ −(x+y)= cos π₂ −x+ (−y))

= cos π₂ −xcos(−x)−sen π₂ −xsen(−y)

= senxcosy+ senycosx.

De las expresiones anteriores se deducen otras muchas, por ejemplo

sen 2x= 2 senxcosx, cos 2x= cos2x−sen2x,

de donde a su vez tenemos

sen2x= 1−cos 2x

2 , cos

2_x₌ 1 + cos 2x

2

o, equivalentemente,

senx 2 =±

r

1₋cosx

2 , cos

x

2 =±

r

1 + cosx

2

2. Funci´on tangente.

f : R_{− {}(2k₋1)π

2, k ∈Z} 7→ R, f(x) = tanx =

senx

cosx. En f´acil comprobar que la

tangente es una funci´on peri´odica con periodo π cuya imagen es todo R.

Tambi´en podemos definir las funciones cotangente ctgx= cosx

senx, secante secx =

1 cosx,

cosecante cosecx= 1 senx.

Desiguladades

(18)

-3 -2 -1 1 2 3 funcion tangente

-40 -20 20 40

-3 -2 -1 1 2 3

funcion cotangente

-40 -20 20 40

Figura 14: Funciones tangente y cotangente: f(x) = tanx, ctgx.

x

cosx sen x

l

0 A C

B

cos x

x

D

E

tan x

1−

R= 1

Figura 15: Desigualdades para el seno y el coseno.

0_≤ 1−cosx

x ≤

x

2.

1− 1−cosx x <

senx x <1.

senx < x <tanx ⇐⇒ ⇐⇒ cosx < senx x <1.

Funciones circulares inversas.

El seno, en [−π/2, π/2] es monótona creciente, entonces podemos definir el inverso de la función seno restringida al intervalo [₋π/2, π/2]. Análogamente podemos considerar la función coseno en el intervalo [0, π] La tangente en [₋π/2, π/2] obtenemos una función creciente cuya inversa estará definida en todoR.

(19)

1. Funci´on arcoseno.

f : [−1,1]7→R,f(x) = arc senx. El arcoseno se define como el ´unico y∈[−π

2,

π

2] tal

que seny=x. La imagen del arcoseno es el intervalo [₋π

2,

π

2].

2. Funci´on arcocoseno.

f : [−1,1]7→R,f(x) = arc cosx. El arcocoseno se define como el ´unico y∈[0, π] tal que cosy =x. La imagen del arcocoseno es el intervalo [0, π].

-1 -0.5 0.5 1

funcion arcoseno

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-1 -0.5 0.5 1

funcion arcocoseno

0.5 1 1.5 2 2.5 3

Figura 16: Funciones arcoseno f(x) = arc senx y arcocoseno f(x) = arc cosx.

3. Funci´on arcotangente.

f :R_7→R, f(x) = arctanx. La arcotangente se define como el ´unicoy∈[−π

2,

π

2] tal

que tany=x. La imagen de la arcotangente es el intervalo [₋π

2,

π

2].

-10 -5 5 10

funcion arcotangente

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-10 -5 5 10

funcion arcocotangente

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

Figura 17: Funciones arcotangente y arcocotangente: f(x) = arctanx,arcctgx.

Para construir las correspondientes gráficas basta usar el método descrito anteriormente. Como ejemplo lo mostraremos para la función inversa del seno (figura 18) y del coseno (figura 19).

De manera an´aloga podemos definir las funciones inversas de la ctgx, f−1₍_x_{) = arcctg}_x_,

secx, f−1₍_x_{) = arcsec}_x_{y de la cosec}_{x, f}−1₍_x_{) = arccosec}_x_.

Funciones exponenciales y logar´ıtmicas.

La función exponencial no es sencilla de definir sin usar herramientas más avanzadas del análisis.

Es f´acil comprobar quear_>_{0 para todo} _r _∈_Q _{y adem´as}

1) a0 _{= 1}_. ₂₎ _∀_{r, s}_∈_Q_, _ar_as ₌_ar+s_.

3) ∀x∈R, a−r ₌ 1

(20)

x y

Funci´on sinx en [₋π/2, π/2] Trazamos la recta y =x

x y

Reflejamos los puntos def en y=x Funci´on inversa en [₋1,1]

Figura 18: Construcci´on de la funci´on inversa del seno.

Extender las propiedades anteriores a todo R de forma que la imagen de ax _{sea el}

con-junto “continuo” (0,+_∞). El logaritmo lo definiremos simplemente como la inversa de la exponencial.

1. Funci´on exponencial.

f :R_7→R, f(x) =ax_{, donde} _{a >}_{0. Esta funci´on es creciente en todo su dominio si}

a >1 y decreciente si 0 < a <1. La imagen de ax _{es (0}_,₊_∞_).

2. Funci´on logar´ıtmica.

f : (0,+∞)7→ R, f(x) = logax, donde la base de logar´ıtmo a > 0. Esta funci´on es

la la inversa de la funci´on exponencial. Es decir, el log_ax es el ´unico y _∈ R tal que

ay ₌_x_{. El log}

ax es creciente en todo su dominio si a >1 y decreciente si 0< a < 1

(21)

x y

Funci´on cosx en [0, π] Trazamos la recta y =x

x y

Reflejamos los puntos def en y=x Funci´on inversa en [₋1,1]

Figura 19: Construcci´on de la funci´on inversa del coseno.

-3 -2 -1 1 2 3

funcion exponencial

2 4 6 8 10

1 2 3 4 5

funcion logaritmo

-6 -4 -2 2 4 6

Figura 20: Funciones exponencial y logaritmo: f(x) =ex_,_log ax.

Las funci´ones logar´ıtmicas satisfacen las propiedades:

1) log_a1 = 0. 2) _∀x, y _∈R, log_a(x_·y) = log_ax+ log_ay.

3) _∀x, y _∈R, log_a(xy_{) =} _y _log ax.

4) _∀x, a, b_∈(0,+_∞), log_bx= logax logab

(22)

Funciones hiperb´olicas.

1. Funci´on seno hiperb´olico.

f :R_7→R, f(x) = shx = e

x₋_e−x

2 . La imagen de shx es R. 2. Funci´on coseno hiperb´olico.

f :R_7→R, f(x) = chx= e

x₊_e−x

2 . La imagen de chx es [1,+∞). 3. Funci´on tangente hiperb´olica.

f : R_7→ R, f(x) = tanhx = shx chx =

ex₋_e−x

ex₊_e−x. La imagen de tanhx es el intervalo

(−1,1).

-3 -2 -1 1 2 3

funcion seno hiperbolico

-10 -5 5 10

-3 -2 -1 1 2 3

funcion coseno hiperbolico

2 4 6 8 10

Figura 21: Funciones seno y coseno hiperb´olicos: f(x) = shx, chx.

-4 -2 2 4

funcion tangente hiperbolica

-1 -0.5 0.5 1

-4 -2 2 4

funcion cotangente hiperbolica

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

Figura 22: Funciones tangente y cotangente hiperb´olicas: f(x) = tanhx, cthx.

Tambi´en podemos definir las funciones cotangente hiperb´olica cthx = chx

shx, secante

hi-perb´olica sechx= 1

chx y la cosecante hiperb´olica cosechx=

1 shx.

Las funciones hiperb´olicas satisfacen las siguientes propiedades: 1) ch2x₋ sh2x= 1.

2) sh (x+y) = shx chy+ chx shy .

3) ch (x+y) = chx chy+ shx shy .

4) sh2x= ch 2x−1

2 . 5) ch

2_x₌ 1 + ch 2x

(23)

3. Sucesiones de n´

umeros reales.

Sucesiones. L´ımite de una sucesión: propiedades. Sucesiones monótonas. Subsucesiones y l´ımites de oscilación. Teorema de Bolzano-Weierstrass. El número e. Sucesiones de Cauchy. Completitud de R. Cálculo práctico de l´ımites.

Definición 3.1 Una sucesión de números reales {an} no es más que una regla que a cada

n´umero natural le hace corresponder otro real:

an :N7→R, an =f(n), n = 1,2,3, ...

Por ejemplo, an = 1, una sucesión constante; an = n, la sucesión de los números naturales;

bn = _n1, la sucesi´on de los inversos de los n´umeros naturales; etc.

3.1. C´

aracter de las sucesiones: monoton´ıa y acotaci´

on.

Definición 3.2 Se dice que una sucesión {an} es monótona creciente si ∀n ∈N, an+1 > an.

Por ejemplo, la sucesi´onan=n2 es mon´otona creciente.

Definición 3.3 Se dice que una sucesión {an} es monótona decreciente si ∀n ∈N, an+1 < an.

Por ejemplo, la sucesi´on an=

1

n es mon´otona decreciente.

Definición 3.4 Se dice que una sucesión _{an} es monótona no decreciente si ∀n∈N, an+1 ≥

an.

Definición 3.5 Se dice que una sucesión_{an}es monótona no creciente si∀n∈N, an+1 ≤an.

Ejemplos de sucesiones no crecientes y no decrecientes son, por ejemplo, las sucesiones

{1,1,2,2,3,3, ..._} y _{1,1,1/2,1/2,1/3,1/3, ..._}, respectivamente. Otro ejemplo es el de las su-cesiones constantes.

Definición 3.6 Se dice que una sucesión {an} está acotada superiormente si ∀n ∈ N, existe

un M _∈R tal que an≤M.

Por ejemplo, la sucesi´on bn =

1

n2 est´a acotada superiormente pues bn≤1,∀n ∈N.

Definición 3.7 Se dice que una sucesión _{an} está acotada inferiormente si ∀n ∈ N, existe

un m _∈R tal que an ≥m.

Por ejemplo, la sucesi´on bn =n2 est´a acotada inferiormente pues bn≥ 1,∀n∈N .

Definición 3.8 Se dice que una sucesión {an} está acotada, si {an} está acotada superior e

inferiormente. Es decir si _∀n_∈N, existe un M _∈R tal que _|an| ≤M.

Por ejemplo, la sucesi´on bn = (−1)n est´a acotada pues |bn| ≤1, ∀n∈N.

Definici´on 3.9 Se dice que una sucesi´on _{an} es no acotada si ∀M ∈ R, existe un n∈ N tal

que |an|> M.

Por ejemplo, la sucesión bn = (−1)nn2 no está acotada. Como veremos más adelante el

(24)

3.2. L´ımite de una sucesi´

on.

Intuitivamente una sucesi´on an de n´umeros reales tiene l´ımite a ∈ R si a medida que

aumentamos n, an se acerca cada vez m´as a a tal y como muestra el siguiente esquema:

00 00 00 00 11 11 11 11 000 000 000 000 111 111 111 111 000 000 000 000 111 111 111 111 00 00 00 00 11 11 11 11 00 00 00 00 11 11 11 11 00 00 00 00 11 11 11 11 000 000 000 000 111 111 111 111 00 00 00 00 11 11 11 11 00 00 00 00 11 11 11 11 0 0 0 0 1 1 1 1 000000 111111

a2 an

a₁

an a

a

a3 a4

Lo anterior se puede formalizar de la siguiente forma:

Definici´on 3.10 Se dice que una sucesi´on _{an} tiene l´ımite a si para todo ǫ > 0 existe un

N ∈N tal que si n > N, entonces |an−a|< ǫ y se denota l´ım

n→∞an =a. O sea,

l´ım

n→∞an =a ⇐⇒ ∀ǫ >0,∃N ∈N tal que si n > N, |an−a|< ǫ.

Por ejemplo, la sucesi´on an= 1/n tiene l´ımite 0.

Se dice que una sucesi´on {an} tiene l´ımite +∞ si

l´ım

n→∞an = +∞ ⇐⇒ ∀M >0,∃N ∈N tal que si n > N, an> M.

Por ejemplo, la sucesi´onan=n tiene l´ımite +∞.

An´alogamente se define l´ım

n→∞an=−∞.

Una sucesi´on {an} que tenga l´ımite se denomina convergente y si el l´ımite no existe o es

infinito (_±∞) se llama divergente.

Geométricamente significa que _∀ǫ >0, en el intervalo a₋ǫ, a+ǫ (la parte sombreada de la figura) se encuentran todos los términos de la sucesión a partir de un cierto n = N, o sea los

an, n ≥ N y por tanto en dicho intervalo hay infinitos términos, y fuera sólo hay un número

finito de t´erminos (los N primeros t´erminos) de la misma.

a

| {z }

ǫ

|_{| {z }}

ǫ

Teorema 3.1 La manipulación de un número de términos de una sucesión no altera el carácter convergente o divergente de la misma.

Teorema 3.2 (Unicidad del l´ımite de una sucesi´on.)

Si la sucesi´on{an} es convergente entonces tiene un ´unico l´ımite.

Teorema 3.3 (Condición necesaria para la existencia de l´ımite de una sucesión.) Si la sucesión_{an} es convergente entonces es acotada.

Corolario 3.1 Toda sucesi´on _{an} no acotada es divergente.

Lema 3.1 Sean_{an}y{bn}dos sucesiones que tienden a cero. Entonces, cualquiera seaM ∈R

las sucesionesMan yan+bn son convergentes y tambi´en tienen l´ımite cero, o equivalentemente:

Si las sucesiones {an} y {bn} tienden a cero, entonces para todos α, β ∈ R, la sucesi´on

(25)

Teorema 3.4 (Teorema de las tres sucesiones)

Sean las sucesiones {an}, {bn} y {cn} tales que an ≤ cn ≤ bn para todo n ≥ N ∈ N. Adem´as

{an} y{bn} son convergentes con l´ım

n→∞an =l y nl´ım→∞bn=l. Entonces, {cn} es convergente y

l´ım

n→∞cn=l.

Se tienen las siguientes propiedades:

1. Una sucesi´on convergente _{an} de t´erminos no positivos (no negativos) tiene l´ımite no

positivo (no negativo). O sea, si an ≥0⇒ an →a≥0 y si an≤0 ⇒an →a≤0.

2. Si una sucesi´on tiene todos sus t´erminos mayores (menores) que un cierto m entonces el l´ımite de an no puede ser menor (mayor) que dicho m.

3. Si l´ım

n→∞an =a, y l´ımn→∞bn =b, y an≤bn para todon, entoncesa ≤b.

Teorema 3.5 (Propiedades algebraicas de los l´ımites.) Sean dos sucesiones convergentes {an} y {bn} con l´ım

n→∞an =a, y nl´ım→∞bn=b. Entonces:

1. l´ım

n→∞an+bn =a+b,

2. l´ım

n→∞an·bn=a·b. En particular, ∀α∈R, nl´ım→∞α an =α a,

3. Si _∀n _∈N, bn6= 0, b6= 0, entonces, l´ım n→∞

an

bn

= a

b.

Teorema 3.6 (Criterio de Weierstrass para las sucesiones mon´otonas)

Para que una sucesi´on mon´otona _{an} sea convergente es necesario y suficiente que este

aco-tada. Adem´as, el l´ımite es el supremo o el inf´ımo del conjunto A={an, n∈N} de los valores

de an, o sea,

l´ım

n→∞an=

inf(A) si an es decreciente

sup(A) si an es creciente .

Teorema 3.7 Si {an} es mon´otona no decreciente (no creciente) y no acotada superiormente

(inferiormente), entonces l´ım

n→∞an+∞ (−∞).

Sea _N = _{n1, n2, ..., nk, ..., k ∈ N} el conjunto formado por los elementos {nk} de una

sucesión estrictamente creciente de números naturales. Nótese que como la sucesión nk es

de n´umeros naturales y es estrictamente creciente entonces nk≥k. Sea {a_n} una sucesi´on de

n´umeros reales. Construyamos a partir de_{an}una sucesi´on cuyos elementos sean los elementos

dean correspondientes a los valoresnk deN. Es decir, construyamos el subconjunto{ank, k ∈

N_}del conjunto _{an, n∈N}.La nueva sucesi´on as´ı obtenida la denotaremos {ank} y

la llamaremos subsucesi´on de _{an}.

Por ejemplo, seaan = (−1)n. Escojamos los los subconjuntosN1 ={2,4, ...,2k, ..., k ∈N}y

N2 ={1,3, ...,2k−1, ..., k∈N}y construyamos las subsucesiones a2k y a2k−1 de los elementos

pares e impares, respectivamente. Es obvio que a2k= 1 y a2k−1 =−1.

Teorema 3.8 Cualquier subsucesi´on _{ank} de una sucesi´on convergente {an} es convergente.

O sea, si

l´ım

n→∞an =a =⇒nkl´ım→∞ank =a.

Teorema 3.9 (Teorema de Bolzano-Weierstrass para las sucesiones) De toda sucesi´on acotada se puede extraer una subsucesi´on convergente.

Teorema 3.10 (Criterio de Cauchy para las sucesiones) Una sucesi´on {an} es convergente si

(26)

3.3. C´

alculo pr´

actico de l´ımites.

Comenzaremos enunciando un teorema “t´ecnico”.

Teorema 3.11 (Toeplitz) Sea[Pnk]nk=1 una matriz de elementos no negativos (Pnk ≥0) tal que n

X

k=1

Pnk = 1 y l´ım

n→∞Pnk = 0 para todo k. Entonces, si nl´ım→∞an =a, nl´ım→∞

n

X

k=1

Pnkan =a.

Ejemplo 3.1 Probar que si l´ım

n→∞xn =a, entonces nl´ım→∞

x1+x2+· · ·xn

n =a.

Sea Pnk = 1_n ≥ 0, Pnk n→∞

−→ 0, adem´as

n

X

k=1

Pnk = n

X

k=1

1

n = 1, luego el Teorema de Toeplitz nos

dice que l´ım n→∞ n X k=1

Pnkxk = l´ım

n→∞xn=a, pero

n

X

k=1

Pnkxk =

x1+x2+· · ·xn

n .

Es decir, la media aritmética de una sucesión convergente es convergente y tiene el mismo l´ımite que la sucesión original.

Ejemplo 3.2 Sea ahora la media armónica de una sucesión convergente de términos positivos (xn>0) hn = 1 n

x₁+

1

x₂+···+

1

xn

. Probar que si l´ım

n→∞xn =a, entonces hn

n→∞

−→ a.

Como xn>0 es acotada superiormente (es convergente), entonces existe unM >0 tal que

xn< M, luego 1/xn>1/M. Escojamos

Pnk =

1

xk

1

x1 +

1

x2 +· · ·+

1

xn

>0, =⇒

n

X

k=1

Pnk = 1, 0≤Pnk ≤

1

xk n M

n→∞

−→ 0,

luego aplicando el teorema de Toeplitz tenemos quehn n→∞

−→ a.

Como consecuencia de los dos ejemplos anteriores, el teorema de las tres sucesiones, as´ı como la desigualdad

n

1

x1 +

1

x2 +· · ·+

1

xn

≤ √n_x

1x2· · ·xn ≤

x1 +x2+· · ·+xn

n ,

obtenemos que la media armónica de una sucesión convergente de términos positivos (xn>0) n

√_x

1x2· · ·xn es convergente y tiene el mismo l´ımite, o sea,

l´ım

n→∞xn =a, =⇒ nl´ım→∞

n

√

x1x2· · ·xn=a. (3.1)

A partir de la igualdad anterior se deduce f´acilmente el siguiente

Teorema 3.12 (Criterio de la ra´ız)

Sea {an} una sucesi´on de t´erminos positivos tal que l´ım n→∞

an+1

an

=l. Entonces, l´ım

n→∞

n

√

an =l.

Ejemplo 3.3 Calcular los l´ımites l´ım

n→∞

n

r an

n!, a∈R y nl´ım→∞

n

(27)

Usando el criterio de la ra´ız tenemos, en el primer caso

an=

an

n!, nl´ım→∞

an+1

an

= l´ım

n→∞

2

n+ 1 = 0, =⇒ nl´ım→∞

n

r an

n! = 0. En el segundo,

an =n, l´ım n→∞

an+1

an

= l´ım

n→∞

n+ 1

n = 1, =⇒ nl´ım→∞

n

√ n= 1.

Una consecuencia de este ´ultimo l´ımite es que l´ım

n→∞

n

√

x= 1 cualquiera sea x >0.

Hemos de hacer notar que las condiciones del teorema son s´olo suficientes, es decir que si no existe l´ımn→∞ an_an+1, ello no indica que no exista el de la ra´ız n-´esima. En efecto, Sea

an= 2 + (−1)n. Obviamente no existe el l´ımite l´ımn→∞ 2+(−1)

n+1

2+(−1)n (¿por qu´e?), pero

n

√

1_≤ pn

2 + (₋1)n_≤ √n

3,

luego por el teorema de las tres sucesiones vemos que pn _{2 + (}₋₁₎n n_−→→∞_{1, ya que} √n

3n−→→∞1.

Como consecuencia del teorema de Toeplitz, tenemos el siguiente teorema:

Teorema 3.13 (Stolz) Sea an

bn

una sucesi´on tal que bn es creciente con l´ımite infinito y sea que la sucesi´on

an−an−1

bn−bn−1

es convergente con l´ımite l. Entonces an

bn

es convergente y

l´ım n→∞ an bn = l´ım n→∞

an+1−an

bn+1−bn

= l´ım

n→∞

an−an−1

bn−bn−1

=l.

Ejemplo 3.4 Calcular los l´ımites

l´ım

n→∞

1 + 2 +· · ·+n

n2 , _nl´ım_→∞

1 + 1/2 +· · ·+ 1/n

logn , nl´ım→∞

1/√1 + 1/√2 +· · ·+ 1/√n √

n .

Para el primero podemos usar 1 + 2 +_{· · ·}+n =n(n+ 1)/2 lo que nos da, en el l´ımite 1/2, no obstante usaremos el teorema de Stolz. Tomandoan = 1 + 2 +· · ·+n y bn=n tenemos que

se cumplen todas las condiciones del teorema adem´as

l´ım

n→∞

an−1−an

bn−1−bn

= l´ım

n→∞

n

2n₋1 = 1 2.

En el segundo caso tomamosan = 1 + 1/2 +· · ·+ 1/ny bn = logn de forma que se cumplen

todas las condiciones del teorema adem´as

l´ım

n→∞

an−1−an

bn−1−bn

= l´ım

n→∞

1/n

logn−log(n−1) = l´ımn→∞

1

log

1 + 1

n₋1

n = 1.

Finalmente para el tercero escogemosan = 1/

√

1 + 1/√2 +_{· · ·}+ 1/√n y bn =√n y obtenemos

que

l´ım

n→∞

an−1−an

bn−1−bn

= l´ım

n→∞

1/√n √

(28)

3.4. L´ımites notables.

En este apartado vamos a encontrar una serie de l´ımites importantes que aparecen en un sinn´umero de ejemplos y problemas: los denominados l´ımites notables.

Teorema 3.14 Las siguientes afirmaciones son ciertas: 1. l´ım

n→∞

1 + 1

n

=e. 2. l´ım

n→∞

n

√

x= 1, para todo x_∈ R, x > 0. 3. l´ım

n→∞

n

√ n= 1. 4. l´ım

n→∞x

n_{= 0}_{, para todo} _x

∈R, _|x_|<1. 5. l´ım

n→∞

1

nα = 0, para todo α∈R, α >0.

6. l´ım

n→∞

lnn

nα = 0, para todo α ∈R, α >0.

7. l´ım

n→∞

nα

an = 0, para todo a >1, α >0.

8. l´ım

n→∞

xn

n! = 0, para todo x∈R. (n! = 1·2·3· · ·n)

9. l´ım

n→∞

n!

nn = 0. (n! = 1·2·3· · ·n)

Definici´on 3.11 Dos sucesiones _{an} y {bn} se denominan equivalentes si l´ım n→∞

an

bn

= 1, y se escribe an∼bn.

Por ejemplo, la sucesi´on an =n! es equivalente a la sucesi´on bn =

√

2πne−n_nn _{y por tanto}

la siguiente fórmula, conocida como la fórmula de Stirling, es válida:

n!∼√2πne−nnn. (3.2)

Ejemplo 3.5 Calcular el l´ımite l´ım

n→∞

√

2n+ 1nn_e−n

2(n!) . Sea xn=n!. Definamos sn=

√

2πne−n_nn_{. Entonces, como} _s n/xn

n→∞

−→ 1,

l´ım

n→∞

√

2n+ 1nn_e−n

2(n!) = nl´ım→∞

√

2n+ 1nn_e−n

2xn

= l´ım

n→∞

√

2n+ 1nn_e−n

2sn

sn xn = = l´ım n→∞ √

2n+ 1nn_e−n

2sn

l´ım n→∞ sn xn = l´ım n→∞ √

2n+ 1nn_e−n

2sn

,

pero

l´ım

n→∞

√

2n+ 1nn_e−n

2sn

, l´ım

n→∞

√

2n+ 1nn_e−n

2√2πne−n_nn =

(29)

Definici´on 3.12 Una sucesi´on _{an} se denomina infinitesimal si l´ım

n→∞an = 0.

Definici´on 3.13 Dos sucesiones _{an} y {bn} se denominan infinit´esimos equivalentes y se

escribe an∼bn si l´ım

n→∞an = 0, nl´ım→∞bn = 0 y nl´ım→∞

an

bn

= 1.

Teorema 3.15 Si {an} es una sucesi´on infinitesimal, entonces:

1. senan ∼an.

2. tanan ∼an.

3. arc senan∼an.

4. arctanan∼an.

5. 1₋cosan∼

a2

n

2 .

6. (1 +an)α−1∼α an.

7. ean ₋1_∼an, ban −1∼anlnb .

8. ln(1 +an)∼an, logb(1 +an)∼anlogbe .

3.5. Problemas complementarios.

Problema 3.1 Estudiar el car´acter (monoton´ıa, acotaci´on), de las siguientes sucesiones:

a) an= 1 +

1

n b) bn= 1 +

(₋1)n

n

c) cn=n+

1

n d) dn =

1 + 1

n

+ (₋1)n

1₋ 3

n

.

Problema 3.2

1. ¿Qué se puede decir de una sucesión de numeros enteros que es convergente?. 2. Demostrar que toda sucesión convergente es acotada.

3. Demostrar que si l´ımn→∞xn = x entonces l´ım

nk→∞xnk = x para toda subsucesi´on {xnk} ⊂

{xn}.

Problema 3.3

1. Sea_{an}una sucesi´on acotada y consideremos la sucesi´on dada porbn = sup{an, an+1,· · ·}.

Demostrar que _{bn} es convergente.

2. Calcular l´ımn→∞bn para las sucesiones:

a) an =

1 + (₋1)n

2 b) an= (−1)

n

3 + 1

n

(30)

Problema 3.4 Pruébese que si la sucesión _{an} es convergente, entonces {|an|} es también

convergente. ¿Es cierto el rec´ıproco?

Problema 3.5 Demu´estrese que la sucesi´on an = n

P

j=1

1

j no es de Cauchy.

Problema 3.6

1. Sea x1 = 1 y xn+1 = √2xn, n ∈ N. Pru´ebese que la sucesi´on {xn} es convergente y

calc´ulese l´ımn→∞xn.

Ayuda: Estudiar si es una sucesión monótona y acotada. 2. La misma cuestión para z1 = 1, zn+1 =√1 + 2zn−1.

3. Para esta última sucesión (_{zn}) calcular también l´ımn→∞

zn

zn+1

y l´ımn→∞nzn.

Problema 3.7 Calc´ulense los siguientes l´ımites:

a) l´ım

n→∞

√

n2₊_n₋_n _b₎ _l´ım

n→∞

3 √

27n3_{+ 3}_n2₋₂₋₃_n

c) l´ım

n→∞

n2_{+ 1}

n2₋₃_n

n2−1 2n

d) l´ım

n→∞ r

3n+ 2 3n

!√ 1

3n+ 2−√3n

e) l´ım

n→∞

2n+1_{+ 3}n+1

2n_{+ 3}n f) _nl´ım_→∞

1 + 1 2 +

1 3 +· · ·

1

n

logn g) l´ım

n→∞

2n

n! h) nl´ım→∞

n2

2n.

Problema 3.8 Calc´ulense los siguientes l´ımites: 1. l´ım

n→∞

n

√

an₊_bn_, ₍_{a, b >} ₀₎_,

2. √2,p2 +√2, q

2 +p2 +√2, . . ., 3. l´ım

n→∞{

8 √

n2_{+ 1}₋√4

n+ 1_}, 4. l´ım

n→∞

n

√ n!,

5. l´ım

n→∞

1

n2 +

2

n2 +· · ·+

n₋1

n2 ,

6. l´ım

n→∞

3 √

n2_sen_n_!

n+ 1 ,

7. l´ım

n→∞

1 + 2 + 3 +· · ·+n

n+ 2 −

n

2,

8. l´ım

n→∞nsennπ,

9. l´ım

n→∞

4 √

n5 _{+ 1}₋√3

n2_{+ 1}

5 √

n4 _{+ 2}₋√3

(31)

10. l´ım

n→∞

1

√

n2_{+ 1} +

1

√

n2_{+ 2} +· · ·+

1

√

n2₊_n.

Problema 3.9 Demostrar que la sucesi´on definida por

a1 =a >0, an =

1

n ean−1

,

es convergente y calcular su l´ımite.

Problema 3.10 Sea la sucesi´on recurrente definida por u1 = 0; un+1 = 1/(un+ 1).

1. Calcular el posible l´ımite l.

2. Demostrar que se tiene |un+1−l|< ₃2|un−l| ∀n∈N.

3. Demostrar que efectivamente l´ımn→∞un=l.

Problema 3.11 Sea {xn} la sucesi´on de n´umeros reales definida por recurrencia mediante la

regla

xn+1 =

x2

n+ 2

2xn

, x1 = 2.

1. Probar que _{xn} es decreciente y est´a acotada inferiormente por

√

2. 2. Hallar limn→∞xn .

Problema 3.12 Sea xn la sucesi´on definida por

x1 = 4, xn+1=

x2

n+ 5

6 .

1. Probar que xn≥1 para todo n y que xn ≤5 para todo n.

2. Demostrar que xn es convergente. Calcular su l´ımite.

Problema 3.13 Sea xn la sucesi´on definida por

x1 = 5, xn+1 =

x2

n+ 24

10 .

1. Probar que xn ≥4 para todo n y que xn ≤6 para todo n.

2. Demostrar que xn es convergente. Calcular su l´ımite.

Problema 3.14 Consid´erese la sucesi´on definida por recurrencia de la siguiente forma:

3an+1 = 2 +a3n, a1 =−

3 2 .

Pruébese que tal sucesión es monótona creciente y acotada superiormente porK = 1. Calcúlese su l´ımite.

(32)

1. Sea _{xn} una sucesi´on convergente, e {yn} una divergente. ¿Qu´e se puede decir de la

sucesi´on producto,{xnyn}, suma,{xn+yn}, y cociente, {xn/yn}(suponiendo que yn 6= 0,

para todo n_∈N)?

2. Si _{xn} es convergente, entonces {|xn|} es convergente. ¿Es cierto el rec´ıproco?

3. Prueba que una reordenación de un número finito de término de una sucesión no altera su carácter convergente o divergente.

Problema 3.16 (examen de noviembre de 1992)

Sea la sucesi´on definida por

un+1 =

1 2

un+

4

un

,

con u0 = 1. Prueba que:

1. un≥2, ∀n ∈N;

2. _{un} es una sucesi´on mon´otona decreciente;

3. existe l´ım

n→∞un y calc´ulalo.

Problema 3.17 Sea_{xn}∞n=1 una sucesi´on de n´umeros reales (nonecesariamente convergente)

que cumple 0≤xn≤a, con a ∈R. Para α∈R (0< α <1) se define la sucesi´on

yn =

(x1+x2+· · ·+xn)α

n .

Demuestra que l´ım

(33)

4. L´ımite funcional y funciones continuas.

Definición de l´ımite funcional y primeras propiedades. Relación entre l´ımite funcional y se-cuencial. Teorema general de convergencia de Cauchy. L´ımites infinitos: propiedades. As´ıntotas. Infinitésimos e infinitos: funciones equivalentes. Cálculo práctico de l´ımites. Definición de conti-nuidad: propiedades. Continuidad de la función compuesta. Función inversa. Continuidad de la función inversa. Funciones continuas en intervalos cerrados: teoremas de Weierstrass, Bolzano y Darboux. Funciones monótonas. Continuidad uniforme: teorema de Heine.

4.1. Definici´

on de l´ımite y continuidad de una funci´

on.

Definici´on 4.1 (Heine) Se dice que una funci´on f :A_7→R tiene l´ımitel cuando x tiende aa

(punto de acumulaci´on de A), y se denota l´ım

x→af(x) =l, si las im´agenes de cualquier sucesi´on

{xn} que converja a a con xn 6=a, convergen al. O sea,

l´ım

x→af(x) =l ⇐⇒ ∀{xn}, xn 6=a y nl´ım→∞xn =a=⇒nl´ım→∞f(xn) =l .

x

_n

f( )

_l

x

_n

a

l

x

0 y

f

Figura 23: Definici´on de l´ımite seg´un Heine

Definición 4.2 (Weiersstras) Se dice que una funciónf :A 7→Rtiene l´ımitelcuandoxtiende a a (punto de acumulación de A) si para todo ǫ >0 existe un δ >0 tal que si 0<_|x₋a_|< δ, entonces |f(x)−l|< ǫ.

l´ım

x→af(x) =l⇐⇒ ∀ǫ >0,∃δ >0,0<|x−a|< δ =⇒ |f(x)−l| < ǫ.

Es decir que l´ım

x→af(x) = l si y s´olo si cualquiera sea el entorno U(l) de l que escojamos,

existe un entornoUa(a) de a, que no contiene a a tal que f(Ua(a))⊂U(l) (ver la figura 24).

(34)

a

l

x

f

0 U

V

y

Figura 24: Definici´on de l´ımite seg´un Weierstrass

Definición 4.3 Diremos que una función es continua en x = a (punto de acumulación del dominio de f) si f está definida en el punto x=a y

l´ım

x→af(x) =f(a).

En otras palabras, f es continua en a si y s´olo si

∀{xn}, xn tal que l´ım

n→∞xn=a=⇒nl´ım→∞f(xn) =f(a),

o, equivalentemente,

Se dice que una funci´on f :A−→ R es continua (seg´un Cauchy) en x=a si para todo ǫ >0

existe un δ > 0 tal que si _|x₋a_| < δ, entonces _|f(x)₋f(a)_| < ǫ. Es decir, si existe f(a) (la funci´on est´a definida en el punto x=a) y l´ım