1. ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA - ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

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1. ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

1.1.

DEFINICIONES

Radio: Recta que une el centro de la circunferencia con

un punto cualquiera de ella.

Diámetro: Recta que une dos puntos opuestos de la

circunferencia, pasando por el centro.

Arco: Porción de circunferencia entre dos puntos de ella.

Cuerda: Recta que une dos puntos de la circunferencia,

sin pasar por el centro. La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.

Flecha: Recta que une el centro de una cuerda con el

punto medio del arco que delimita. Distancia máxima del arco a la cuerda. Pertenece a la mediatriz.

Dependiendo de su situación respecto a una circunferencia los ángulos se llaman:

α α α

α → ANGULO CENTRAL: El que tiene su vértice en el centro de la circunferencia.

β β β

β → ANGULO INSCRITO: El que tiene su vértice sobre la circunferencia siendo sus lados secantes a ella.

γ γ γ

γ → ANGULO SEMIINSCRITO: El que tiene su vértice sobre la circunferencia, siendo uno de sus lados secante y el otro tangente a ella.

δ δ δ

δ→ ANGULO INTERIOR: El que tiene su vértice en el interior de la circunferencia.

ε ε ε

ε → ANGULO EXTERIOR: El que tiene su vértice fuera de la circunferencia y sus lados son secantes o tangentes a ella.

El objeto de los siguientes apartados será determinar el valor de dichos ángulos en función de ángulos centrales.

1.2.

VALOR DEL ÁNGULO INSCRITO EN FUNCIÓN DEL

ÁNGULO CENTRAL

Consideremos un ángulo inscrito ∠AVB en la circunferencia de modo que uno de sus lados VB pase por el centro de la circunferencia O.

Si trazamos la recta OA, tenemos un triángulo ∆VOA isósceles, ya que sus lados OV y OA son radios de la circunferencia. Por tanto:

∠AVB = ∠OAV

Por ser el ángulo ∠AOB exterior en el triángulo ∆VOA, ∠AOB = ∠AVB+ ∠OAV

es decir, ∠AOB = 2 ∠AVB Por tanto, ∠AVB = ∠AOB /2

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Para poder generalizar esta fórmula a todos los ángulos inscritos, debemos considerar los dos casos siguientes:

Caso 1º: El ángulo AVB deja al centro de la circunferencia en su interior.

Trazamos la recta VOC que divide el ángulo A VB en la suma de dos:

∠AVB= ∠AVC + ∠CVB

Como cada uno de estos dos ángulos cumple la condición particular de la primera demostración, podemos sustituir su valor por la mitad del ángulo central correspondiente:

∠AVC=∠AOC/2 ∠CVB=∠COB/2

Sustituyendo en la anterior igualdad,

2

2

2

2

AOB

COB

AOC

COB

AOC

AVB

=

+

=

+

=

Caso 2°: El ángulo ∠AVB deja al centro O de la circunferencia en su exterior.

Trazamos la recta VOC que convierte a ∠AVB en la diferencia de otros dos ángulos:

∠AVB = ∠AVC - ∠CVB

Como cada uno de estos dos ángulos cumple la condición particular de la primera demostración, podemos sustituir su valor por la mitad del ángulo central correspondiente:

∠CVB = ∠COB /2 ∠AVC=∠AOC/2

Sustituyendo en la anterior igualdad,

∠AVB = ∠AOC/2 - ∠COB/2= (∠AOC - ∠COB)/2 = ∠AOB/2

Por tanto podemos generalizar:

El valor de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco de circunferencia.

OBSERVACIONES

Si tomamos una cuerda AB de la circunferencia, cualquier punto V1, V2, V3, Vn, que tomemos sobre la circunferencia, determinará ángulos iguales al unirlo con los puntos A y B, puesto que el ángulo central determinado es igual en todos los casos.

α

=

β

/2

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Dado que el ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central que determina,: Si el ángulo inscrito es menor de 90º, el central será menor de 180º Si el ángulo inscrito es mayor de 90º, el central será mayor de 180º

Si el ángulo inscrito es 90º, el central será 180º, es decir, los lados del ángulo inscrito determinan un diámetro de la circunferencia.

1.3.

VALOR DEL ANGULO SEMIINSCRITO EN FUNCIÓN

DEL ÁNGULO CENTRAL

Consideremos sobre una circunferencia un ángulo semiinscrito formado por la la secante VA y la tangente t en

el punto V.

EL ángulo formado por la tangente t y el radio VO es 90º.

Llamando α al ángulo inscrito ∠tVA,

∠AVO = 90 - α

Por ser el triángulo AVB isósceles, (OA = OV), ∠AVO = ∠VAO = 90 - α

Llamando β al ángulo central ∠AOV, En el triángulo AOV se cumplirá: β + (90 - α) + (90 - α) = 180º y simplificando,:

β - 2α = 0

El valor de un ángulo semiinscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco de circunferencia.

1.4.

VALOR DEL ÁNGULO INTERIOR EN FUNCIÓN DE

ÁNGULOS CENTRALES

Consideramos un ángulo interior α = ∠AVB y las prolongaciones de sus lados en dirección opuesta, que cortan a la circunferencia en C y D. Trazamos la cuerda DA, quedando formado un triángulo ∆VAD en el cual α es ángulo exterior; por tanto:

α = ∠VDA + ∠VAD

Por ser estos ángulos inscritos en la circunferencia, su valor es la mitad del central que determinan:

∠VAD = γ/2 ∠VDA = β/2

Sustituyendo este valor en la primera ecuación, α = β/2 + γ/2

El valor de un ángulo interior a una circunferencia es la semisuma de los ángulos centrales que determinan el ángulo y su opuesto por el vértice

α

=

β

/2

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1.5.

VALOR DEL ÁNGULO EXTERIOR EN FUNCION DE

ÁNGULOS CENTRALES

Consideramos un ángulo exterior α = ∠AVB y las prolongaciones de sus lados, que cortan a la circunferencia en C y D. Trazamos la cuerda DA, quedando formado un triángulo ∆VAD en el cual el ángulo ∠ es ángulo exterior; por tanto:

∠CAD = ∠ADB + α α = ∠CAD - ∠ADB

Por ser estos ángulos inscritos en la circunferencia, su valor es la mitad del central que determinan:

∠CAD = β/2 ∠ADB = γ/2

Sustituyendo este valor en la anterior ecuación,

α = β/2 - γ/2

El valor de un ángulo exterior a una circunferencia es la semidiferencia de los ángulos centrales determinados por el ángulo y sus prolongaciones.

1.6.

ARCO CAPAZ

Arco Capaz de un ángulo dado para un segmento fijo es el lugar geométrico de los puntos desde los que se ve dicho segmento bajo dicho ángulo

Vimos anteriormente que todos los ángulos inscritos cuyos lados pasan por dos puntos fijos de la circunferencia son iguales entre sí. Por tanto los puntos de la circunferencia pertenecerán al arco capaz.

Para comprobar que sólo dichos puntos forman el arco capaz, vemos en la figura siguiente: si el vértice del ángulo está en la circunferencia, α = β/2

si está en el interior de la circunferencia, α = (β + γ)/2; por tanto, α >β/2 si está en el exterior de la circunferencia, α = (β - δ)/2; por tanto, α <β/2

Es decir, solamente los puntos del arco superior de la circunferencia pertenecerán al arco capaz del ángulo α para el segmento AB. (Para el semiplano superior de AB)

Para el semiplano situado por encima de AB:

Si el ángulo es menor de 90º, el arco capaz será mayor que una semicircunferencia Si el ángulo es 90º, el arco capaz será una semicircunferencia de diámetro AB Si el ángulo es mayor de 90º, el arco capaz será menor que una semicircunferencia

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1.7.

CONSTRUCCIÓN DEL ARCO CAPAZ

Si en una circunferencia fijamos una cuerda AB, todos los puntos del arco superior pertenecerán al arco capaz del ángulo α para el segmento AB. Si trazamos una tangente a la circunferencia en el punto B, el ángulo semiinscrito formado será igualmente α, puesto que el ángulo central β es el mismo, y tanto los valores del ángulo inscrito como el del ángulo semiinscrito son la mitad del ángulo central.

En este hecho se basa la construcción del arco capaz del ángulo α para el segmento AB:

1.- Fijo el segmento AB, conocemos el valor del ángulo α del que queremos hallar el arco capaz

2.- Medimos el ángulo α en un extremo del segmento hallando la recta tangente al arco capaz

3.- Trazamos la perpendicular a la tangente en el punto B. (normal a la tangente, que pasará por el centro

de la circunferencia)

4.- Hallamos la mediatriz del segmento AB.

(puesto que la distancia del centro a A y B es la misma)

5.- El centro del arco se encuentra en el corte de la mediatriz y la perpendicular a la tangente.

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En el caso de ser el ángulo mayor de 90º, el centro de la circunferencia quedará en el semiplano inferior

En el caso de ser el ángulo igual a 90º, el centro es el punto medio de AB

Para hallar la parte del arco capaz contenida en el semiplano inferior, bastará con hallar el simétrico del centro con respecto a la recta AB

1.8.

ANGULOS OPUESTOS. CUADRILATERO INSCRIPTIBLE

Se llaman ángulos opuestos en una circunferencia a dos ángulos cuyos lados acaban en dos puntos fijos de la circunferencia, estando sus vértices en cada uno de los dos arcos delimitados por dichos puntos.

En la figura, los ángulos A y C son opuestos, así como los ángulos B y D

Los ángulos opuestos son suplementarios. A = α/2 C = β/2

α + β = 360º por tanto,

A + C = α/2 + β/2 = (α + β)/2 = 360º/2 = 180º De igual manera, veríamos que B + D = 180º

Llamamos Cuadrilátero Inscriptible a un cuadrilátero ABCD capaz de ser inscrito en una circunferencia.

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1.9.

TRAZADOS DERIVADOS DEL ARCO CAPAZ DE 90º

1.9.1.

TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN

PUNTO EXTERIOR

Como el ángulo que forman la tangente y el radio es de 90º, los puntos de tangencia se han de encontrar en el arco capaz de 90º para el segmento determinado por el punto y el centro de la circunferencia.

1.9.2. TANGENTE EXTERIOR COMÚN A DOS CIRCUNFERENCIAS

Se toma una circunferencia auxiliar de radio diferencia de radios y centro el centro de la circunferencia mayor. Se halla con arco capaz de 90º la tangente desde el centro de la pequeña. Se trazan dos perpendiculares a dicha tangente en sus extremos, obteniéndose los puntos de tangencia de la tangente común buscada

1.9.3. TANGENTE INTERIOR COMÚN A DOS CIRCUNFERENCIAS

Igual forma que la anterior construcción, pero la circunferencia auxiliar ha de tener de radio la suma de

radios de ambas

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1.10.

PROBLEMAS

• Desde un barco se ven los faros A y B formando 90º y los de A y C formando 120º. Determinar la posición del barco.

• Dibujar un triángulo conociendo: a = 5 cm; A = 60º; ha = 3 cm

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• Dibujar un triángulo conociendo: a = 5 cm; hb = 4,5 cm; hc = 3,5 cm

• Dibujar un triángulo equilátero ABC conociendo su lado, y sabiendo que los puntos P y Q pertenecen a los lados AB y AC, y que el vértice A está sobre la recta r

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1.10.1.

SOLUCIONES

• Desde un barco se ven los faros A y B formando 90º y los de A y C formando 120º. Determinar la posición del barco.

Se trazan el arco capaz de 90º para AB y el arco capaz de 120º para AC. El punto de intersección de ambos arcos capaces será la posición del barco.

• Dibujar un triángulo conociendo: a = 5 cm; A = 60º; ha = 3,5 cm

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• Dibujar un triángulo conociendo: a = 6 cm; A = 45º; ma = 3,5 cm

Fijo el lado a, el vértice opuesto se encontrará en el arco capaz de 45º. También se encontrará en la circunferencia de centro M, punto medio de BC (base de la mediana) y de radio 45mm. Hay dos posibles soluciones.

• Dibujar un triángulo conociendo: a = 5 cm; hb = 4,5 cm; hc = 3,5 cm

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• Dibujar un triángulo equilátero ABC conociendo su lado, y sabiendo que los puntos P y Q pertenecen a los lados AB y AC, y que el vértice A está sobre la recta r

El ángulo PAB es 60º, luego A se debe encontrar en el arco capaz de 60º para el segmento PQ. Se determina su posición con el corte del arco capaz y la recta r (dos posibles soluciones). Tra-zadas las rectas AP y AQ, se mide sobre ellas la longitud del lado, hallándose los puntos B y C.

• De un triángulo isósceles conocemos su vértice A, siendo AB = AC, los vértices B y C están sobre las dos rectas paralelas r y s, y están alineados con P

Por ser el triángulo isósceles, el pie H de la altura está en el punto medio del lado BC. Como el ángulo es 90º, y el lado BC está alineado con P, H se debe encontrar en el arco capaz de 90º para AP. Como H es punto medio entre B y C, y estos puntos se encuentran en dos paralelas r y s, H se encontrará en la paralela a media distancia entre r y s. Donde el arco capaz y la paralela media se corten encontramos H (2 posibles soluciones). Uniendo H con P, encontramos B y C.

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