homotecia

(1)

PROGRAMA DE TRANSICIÓN BASE

MATEMÁTICA

(2)

Ruta de aprendizaje

Teorema de

Thales y modelos a esc ala

Plano c artesiano

Ecuación de la r

ecta y posiciones r elativas

Transformaciones isométric as

Homot ecia Semejanza de triángulos

• Comprender el concepto de homotecia.

• Resolver problemas que involucren homotecias de razón positiva y negativa en distintos contextos.

Objetivos

Contenidos específicos

Concepto de

Homotecia Tipos de

homotecia Homotecia vectorial

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Activación

En primera instancia es importante que se enfrenten al problema de forma individual y luego, sea socializado en grupo.

Observa la siguiente imagen y luego, responde las preguntas que se encuentran a continuación.

A

C CF = 6 cm

HK = 7,5 cm

∠AFC = ∠FKH = 75°

8 cm

2 cm H

I

B

F G E

D

J K

a) ¿Identificas figuras semejantes?, ¿cuáles?

b) ¿Puedes determinar el valor de la razón de semejanza entre las figuras semejantes identificadas en a)?

(4)

Mapa conceptual

Homotecia

Transformación geométrica que permite obtener una figura a partir de otra, a partir de un centro de homotecia O y una razón de homotecia k.

Ejemplo: El triángulo DEF es homotético al triángulo ABC en

la razón 3.

F

E

D O

B

A 15 cm 5 cm

C

la razón 0,25.

C

B

A O

E

D 6 cm 8 cm

F

la razón –1.

C

B A

O E

D 2 cm

2 cm F

la razón –0,25.

C B

O A 6 cm 8 cm E

D F Ejemplo: El triángulo DEF es

homotético al triángulo ABC en la razón –3.

C B A 5 cmO 15 cm E

F D

Según el valor de la razón de homotecia se identifican 5 casos diferentes.

│k│ =^OD OA k: razón de homotecia O: Centro de homotecia

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Ejercicios

A continuación se presentan 20 ejercicios, de los cuales se sugiere responder el máximo posible. Luego, solicita a tu profesor(a) revisar y resolver detalladamente las preguntas que te resultaron de mayor dificultad y complejidad.

1. En la figura, el triángulo STU es homotético al triángulo PRQ con respecto al centro de homotecia N. Si RT = 5 cm y TN = 3 cm, ¿cuál es el valor de la razón de homotecia?

A) 0,375 B) 0,6 C) 0,625 D) 1,6

E) 2,6 P

R T

U N Q

S

2. Si al punto O(8, –4) se le aplica una homotecia de razón –2 y centro en el origen, ¿cuáles son las coordenadas del punto homotético?

A) O’(16, –8) B) O’(–16, 8) C) O’(4, –2) D) O’(–4,2) E) O’(–16,–8)

3. En el plano cartesiano, el triángulo G’H’K’, cuyos vértices son G’(2,10), H’(8,–2) y K’(14, 6), es resultado de una homotecia de centro en el origen y razón –2 aplicada al triángulo GHK, entonces,

¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo GHK?

A) G(–4, –20), H(–16,4) y K(–28,–12) B) G(–4, –20), H(–16,4) y K(28,–12) C) G(–1, –5), H(–4,1) y K(–7,–3) D) G(–1, –5), H(4,1) y K(–7,3) E) G(–4, –5), H(–16,1) y K(–28,3)

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4. En la figura, al cuadrilátero ABCD se le aplica una homotecia de centro en O y razón 0,5, transformándose en el cuadrilátero A’B’C’D’. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si AB = 9 cm, entonces A’B’ = 4,5 cm.

II) Si OC = 12 cm, entonces CC’ = 4 cm.

III) Si OA’ = 5 cm, entonces AA’= 5 cm.

A) Solo I

B) Solo III

A D

B C

O

A’ D’

B’ C’

C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III

5. A un triángulo equilátero de área 5�3 cm² se le aplica una homotecia de razón 1,5. ¿Cuál es aproximadamente el perímetro del nuevo triángulo?

A) 15 cm B) 30 cm C) 45 cm D) 60 cm E) 20 cm

6. Doris mide 1,6 m de altura y se encuentra de pie entre un foco de luz que está sobre el suelo y la pared, de tal manera que su sombra se proyecta en ella. Si Doris se encuentra a 1,5 m de la pared y la distancia entre el foco de luz y la pared es de 3,5 m, ¿cuál de las siguientes expresiones permite establecer la razón de homotecia, si el centro es el foco de luz y su sombra, el resultado de la homotecia?

A) 3,5 – 1,5 1,5 B) 3,51,6

C) 3,5 3,5 – 1,5 D) 1,6

3,5 – 1,5

(7)

7. El diámetro de una circunferencia de centro O ( O centro de homotecia) es 40 cm. Si se le aplica una homotecia de razón – 0,75, ¿cuál es el radio de la nueva circunferencia?

A) 80

3 cm B) 15 cm

C) 30 cm

D) 160

3 cm

E) Ninguno de los anteriores.

8. Al siguiente cuadrado DEFG se le aplica una homotecia con centro en el punto Q(2,1) y razón de homotecia 2, obteniendo el cuadrado MNOP.

D

G y

x E Q

F 4 3 2

2 –1

–2 –3

1

Si los vértices M, N, O y P son imágenes de los vértices D, E, F y G, respectivamente, entonces

¿cuáles son las coordenadas del vértice O?

A) (6, –1) B) (–4, 3) C) (0, 4) D) (–2, 3) E) (–4, 4)

(8)

9. Al punto P(–7, –2) se le aplica una homotecia de centro O y razón de homotecia –4, obteniéndose el punto T(23,23). ¿Cuáles son las coordenadas del centro de homotecia O?

A) (–1,3) B) (1,–3) C) (28,8) D) (3, –1) E) (0,0)

10. El pentágono BCDEF es resultado de aplicar una homotecia de centro L al pentágono QRSTU como se observa en la figura

E S F

T U

Q R

B

L C

D 12 cm 8 cm

Para determinar la razón de homotecia entre ambos pentágonos, Karina, Miriam y César manifiestan lo siguiente:

Karina dice: “Al aplicarle al pentágono QRSTU una homotecia de razón mayor que cero, siempre se obtiene un pentágono de menor tamaño”.

Miriam señala: “La razón de homotecia es 0,6, ya que el pentágono BCDEF es más pequeño que el pentágono QRSTU”.

César asegura: “Como el vértice E es homotético al vértice T, entonces la razón de homotecia es 0,4”.

¿Quién(es) entrega(n) una información incorrecta?

A) Solo Miriam

B) Solo César y Karina C) Solo Miriam y César D) Solo Karina y Miriam

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11. El siguiente romboide ABCD se obtuvo tras aplicar una homotecia al triángulo ABC. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

A) La razón de homotecia está entre –1 y 0.

B) El centro de homotecia es el punto medio de la diagonal AC.

C) La razón de homotecia está entre 0 y 1.

D) El centro de homotecia es el vértice B.

E) Ninguna de las anteriores.

A

C B D

12. Al triángulo KLM se le aplica una homotecia de razón –0,25, obteniéndose el triángulo K’L’M’. Si el área del triángulo KLM es 45 cm², ¿cuál es el área del triángulo K’L’M’?

A) 180 cm² B) 90 cm²

C) 45

16^cm² D) 720 cm²

E) 45

4 ^cm²

13. Al segmento CA de la figura, se le aplica una homotecia con centro en el punto P(4,2) y razón de homotecia –3. ¿Cuáles son las coordenadas del segmento homotético C’A’?

y

x P

4 4

32

–1 –3

A C

A) C’(21,3) y A’(15,6) B) C’(9,–9) y A’(3,–12) C) C’(25,–1) y A’(19,–4)

D) C’(21,–3) y A’(15,–6)

E) C’(–21,4) y A’(–11,8)

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14. Para su clase de tecnología, Manuel diseña una máquina de burbujas, donde el triángulo PBC es congruente con el triángulo PEF y 2PF = FH, como se muestra en la figura.

P

D C

B

A F

E G

H

Si P es el centro de homotecia que transforma al segmento BC en el segmento GH, ¿cuál es la razón de homotecia?

A) 0,5 B) –0,3

C) –3 D) 0,3 E) 3

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15. Para que nuestro cerebro procese las imágenes, los rayos de luz que captan nuestros ojos a través de la córnea se refractan en nuestro lente natural, el cristalino. Gracias a esto, las imágenes que observamos son enfocadas y proyectadas en sentido inverso en nuestra retina.

A continuación, se muestra un esquema simplificado de este proceso, considerando solo dos rayos de luz y donde O es el centro del cristalino.

0,012 m O 1,64 m

Si se considera O como centro de homotecia que transforma a Ariel en su proyección dentro de los ojos de un observador. ¿Cuál es la razón de homotecia?

A) 3 410

B) 410

3 C) – 410

3

D) – 3

410

16. La circunferencia de centro N(2,2) y radio b es homotética a la circunferencia de centro N’(8,10) y radio d. Si la razón de homotecia es 0,5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) b < d

B) El centro de homotecia se encuentra en el tercer cuadrante.

C) La circunferencia de centro N es más pequeña que la circunferencia de centro N’.

D) El diámetro de la circunferencia de centro N’ mide el doble que el diámetro de la circunferencia de centro N.

E) El área de la circunferencia de centro N es equivalente a la mitad del área de la circunferencia

(12)

17. En la figura adjunta se muestra una homotecia de centro O que transforma al triángulo ABC en el triángulo DEF. Si OC > OF, entonces la razón de homotecia es

D O

C

A B

E F A) menor que – 1.

B) igual a – 1.

C) mayor que – 1 y menor que 0.

D) mayor que 0 y menor que 1.

E) mayor que 1.

18. En la figura, se muestra una homotecia de razón negativa k y centro de homotecia O que transforma al triángulo ABC en el triángulo EFG.

A G

B O 16 cm C 4 cm

E F

¿En cuál de las siguientes figuras se representa la misma homotecia anterior, pero de razón k positiva?

G C

A E

B O F O

C G

E

A) B)

C) D)

A

F B

16 cm 4 cm 4 cm 16 cm

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19. El punto F(2,–1) es homotético al punto R(5,3). Se puede determinar el valor de la razón de homotecia si:

(1) El centro de homotecia se encuentra en el segundo cuadrante.

(2) La distancia entre el punto R y el punto F es 5.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

20. El triángulo TUV es resultado de aplicar una homotecia al triángulo FGH. Se puede determinar el perímetro del triángulo TUV si se sabe que:

(1) La razón de homotecia es –3.

(2) El perímetro del triángulo FGH es 32 cm.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

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Desafío

Para un concurso de pintura vanguardista, Amanda realiza un dibujo en perspectiva como se muestra a continuación:

P

A

B

C

Si 3PA = 2AB = BC y P es centro de homotecia que transforma al segmento PC en el segmento PB,

¿cuál es la razón de homotecia?

A) 5 10

B) 11

5 C) 2 3 D) 2 5

E) Ninguna de las anteriores.

Resolución Mis observaciones

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Tabla de corrección

Ítem Alternativa Habilidad

1 Aplicar

2 Aplicar

3 Aplicar

4 Aplicar

5 ASE

6 Resolver problemas

7 Aplicar

8 ASE

9 ASE

10 Argumentar

11 Comprender

12 Aplicar

13 ASE

14 ASE

15 Modelar

16 Comprender

17 Comprender

18 Representar

19 ASE

20 ASE

Recuerda que en tu intranet se encuentra disponible el solucionario de esta guía.

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Coordinación de Currículum y Evaluación Karla Delgado Briones

Equipo de Curriculum y Evaluación Jennyfer Araneda Muñoz

Maureen Carrasco Guerrero Cristóbal Lagos Alarcón

Coordinación de Diseño y Diagramación Elizabeth Rojas Alarcón

Equipo de Diseño y Diagramación Cynthia Ahumada Pérez

Vania Muñoz Díaz Tania Muñoz Romero Corrección Idiomática Alex Carreño Rozas Imágenes

Banco Archivo Cpech

El Equipo de Currículum y Evaluación ha puesto su esfuerzo en obtener los permisos correspondientes para utilizar las distintas obras con copyright que aparecen en esta publicación.

En caso de presentarse alguna omisión o error, será enmendado en las siguientes ediciones a través de las inclusiones o correcciones necesarias.