Estudio teórico-experimental del secado de sólidos porosos en presencia de esfuerzos

(1)

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

Sección de Estudios de Posgrado e Investigación

Laboratorio de Ingeniería Térmica e Hidráulica Aplicada

ESTUDIO TEORICO-EXPERIMENTAL DEL SECADO DE

SÓLIDOS POROSOS EN PRESENCIA DE ESFUERZOS

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

DOCTOR EN CIENCIAS EN INGENIERÍA

MECÁNICA OPCIÓN ENERGETICA

P R E S E N T A

M. en C. JOSÉ HERNÁNDEZ RODRÍGUEZ

D I R E C T O R D E T E S I S

DR. PEDRO QUINTO DIEZ

(2)

(3)

(4)

Este trabajo de tesis esta dedicado muy en especial a:

Mi esposa Celina, por todo el ánimo con que siempre me ha apoyado y que nunca he tenido palabras suficientes para agradecérselo.

Mis hijos José y Mariajose, por la alegría que han traído a mi vida.

(5)

Agradecimientos

Al Dr. Pedro Quinto Diez de manera muy en especial tengo que agradecerle por sus consejos y el tiempo que ha dedicado para asesorarme en la realización de este trabajo de tesis.

Al Dr. Miguel Toledo Velásquez un agradecimiento muy especial ya que gracias a él me inicie en la investigación, y sus comentarios siempre valiosos han enriquecido este trabajo.

Al Dr. Florencio Sánchez Silva porque siempre nos anima a dar mas de nosotros.

A los Dr. Ignacio Carvajal y José A. Ortega, por sus invaluables observaciones que han realizado a mi trabajo.

Al M en C Guilibaldo Tolentino debo expresar mi mas profundo y sincero agradecimiento por su apoyo en innumerables situaciones, además de su amistad.

A todo el personal del LABINTHAP por el apoyo que he recibido

(6)

I CONTENIDO

Pagina

Simbología IV

Resumen VII

Abstract VIII

Introducción IX

Objetivos X

Justificación XI

Lista de Figuras XII

Lista de Tablas XV

Capítulo I: Medios Porosos 1

1.1 Introducción a los Medios Porosos 2

1.2 Propiedades Macroscópicas de los Medios Porosos 4

1.3 Propiedades Microscópicas de los Medios Porosos 6

1.4 Clasificación de los Medios Porosos 7

1.5 Fenómenos de Transporte en Medios Porosos 7

1.5.1 Ecuaciones de Transporte en un Medio Poroso 9

1.5.2 Migración de Fluido (Ley de Darcy) 10

1.5.3 Efecto de la presión interna en la transferencia de masa 11

1.5.4 Teoría general de los Medios Porosos. Ecuaciones Fundamentales 12

1.5.4.1 Concepto de Volumen Promedio 15

1.5.4.2 Ecuación de continuidad 17

1.5.4.3 Ecuación de la energía 17

1.5.4.4 Ecuación de momento 18

1.5.5 Ecuaciones de transporte aplicadas al estudio del secado

de Medios Porosos 18

1.5.5.1 Condiciones de frontera 27

1.5.6 Propiedades de Transporte 28

1.5.6.1 Permeabilidad y permeabilidad relativa 28

1.5.6.2 Presión Capilar 29

1.5.6.3 Difusividades de la fase vapor y agua ligada 29

1.5.6.4 Conductividad Térmica Efectiva 30

Capítulo II: Teorías Aplicadas al Secado de Medios Porosos 32

(7)

2.2 Aspectos básicos del secado 34

2.3 Mecanismos del movimiento de la humedad 38

2.4 Principales Modelos matemáticos del secado de Medios Porosos 39

2.4.1 Teoría de difusión líquida 39

2.4.2 Teoría Capilar 40

2.4.3 Teoría de condensación-evaporación 41

2.4.4 Teoría de Philip y De Vries 44

2.4.5 Teoría de Krischer-Berger-Pei 46

2.4.6 Teoría de Luikov 48

2.4.7 Teoría de Whitaker 51

2.4.8 Teoría de Kowalski 54

Capítulo III: Esfuerzos Producidos durante el Proceso de Secado 60

3.1 Efecto de los esfuerzos que se presentan durante el secado de

Medios Porosos 61

3.2 Parámetros relacionados con los esfuerzos desarrollados durante

el secado 62

3.2.1 Tensión capilar 62

3.2.2 Contenido de humedad 63

3.2.3 Temperatura 64

3.3 Cambios dimensionales en la madera 65

3.4 Esfuerzos producidos durante el secado 66

3.4.1 Ecuaciones de esfuerzo-deformación para un medio poroso 67

3.5 Solución de las ecuaciones de secado de medios porosos 68

3.5.1 Teoría de Kowalski 68

3.5.2 Teoría de Luikov 71

3.5.3 Teoría de Whitaker 76

3.6 Comparación de resultados teóricos.Madera de abeto 83

3.7 Influencia de diversos parámetros en el secado 87

Capítulo IV: Determinación Experimental de los Principales Parámetros

de los Medios Porosos 98

4.1 Metodología para estudiar el proceso de secado de Medios Porosos 99

4.2 Determinación de parámetros principales de los Medios Porosos 101

4.2.1 Permeabilidad 101

4.2.2 Coeficientes de Difusión 104

(8)

III

4.2.5 Instalación para estudiar el proceso de secado de la

madera de pino 120

Capítulo V: Estudio del Proceso de Secado de la Madera de Pino 123

5.1 Análisis del estudio teórico-experimental del secado

de la Madera de Pino 124

5.1.2 Determinación de los coeficientes de convección de calor 124

5.1.3 Determinación de los coeficientes de convección de humedad 125

5.1.4 Determinación del coeficiente de conductividad de humedad 125

5.1.5 Determinación del coeficiente de termodifusión 126

5.2 Pruebas de secado de madera de pino empleando convección natural 127 5.2.1 Comparación teórico-experimental del secado por convección

natural 132

5.3 Secado de madera de pino por convección forzada en régimen laminar 144

Conclusiones 159

Referencias Bibliográficas 165

Trabajos Publicados 178

Apéndice I: Código del programa SECAMEP I, basado en la teoría de

Kowalski 180

Apéndice II: Código del programa SECAMEP II, basado en la teoría de

Luikov 192

Apéndice III: Código del programa SECAMEP III, basado en la teoría de

Whitaker 201

Apéndice IV: Defectos producidos durante el secado 213

(9)

Simbología

A Área (m2)

Aβσ Área de la interfase β-σ contenida dentro del volumen de control (m2) a´ Coeficiente de difusividad térmica en función del potencial de humedad Aef Módulo de Elasticidad (MPa)

aαi Aceleración del α-esimo constituyente (m/s2)

ap Coeficiente de difusión de vapor debido a filtración

a Fracción de volumen de aire en los poros (adimensional) Bim Número de Biot de transferencia de masa (adimensional)

Bi Número de Biot de transferencia de calor (adimensional) c Concentración molar (kmol / m3)

Cp Calor específico a presión constante (J / kg K)

Cm Capacidad isotérmica de humedad

Cv Calor específico a volumen constante (J/kg K)

DAB Difusión de un compuesto A con respecto a un compuesto B (m2 / s )

Dva Coeficiente de difusión efectiva para vapor en aire (m2 / s)

Dbl Coeficiente de difusión para líquido ligado (m2 / s)

d Espesor (m)

Δd Variación de dimensiones (m) E Energía de activación e Energía interna (J/kg) F(S) Función capilar

Fo Número de Fourier de transferencia de calor fα Energía libre (J/kg)

f(r) Distribución de tamaño de poros g Aceleración de la gravedad (m / s2)

hq Coeficiente de transferencia de calor (J / m2 s K)

hfg Calor latente de evaporación (J / kg)

hm Coeficiente de transferencia de masa convectiva (kg / s)

hs Calor de adsorción (J / kg)

j Flujo de masa (kg /m s)

kq Conductividad térmica (W / m K)

K Permeabilidad (Darcy)

kr Permeabilidad relativa (Adimensional)

KH Conductividad hidráulica

km Conductividad de humedad

Ko Número de Kossovitch (adimensional) Lu Número de Luikov (adimensional) L Longitud (m)

Lv Calor para adsorber o resorber 1 gr de vapor de agua por un sólido

(10)

V Mef Módulo de Esfuerzos (MPa)

NA Cantidad molar de una sustancia (kmol)

nβσ Vector normal dirigido desde la fase β hacia la fase σ Nu Número de Nusselt (adimensional)

ni Vector unitario normal (Adimensional)

P Presión (Pa)

∇P Caída o diferencia de presión (Pa) pc Presión capilar (Pa)

Pn Número de Posnov (adimensional) Pr Número de Prandtl (adimensional) q Flujo de calor (W/m2)

R Constante universal de los gases (kJ / kg K) Re Numero de Reynolds (adimensional) r Radio de tubo capilar (m)

r* Suministro de calor (J/kg) sα Entropía (J/kg K) S Saturación (%) t Tiempo (s)

T Temperatura (o_C)

T Temperatura (K) tαi Vector de esfuerzos (MPa)

U Potencial de transferencia de humedad ui Vector de desplazamiento (m)

v Velocidad (m / s)

Vα Volumen de la fase α contenido dentro del volumen promedio (m3) vβ Vector de velocidad en la fase β (m / s)

x Vector de posición que localiza el centroide del volumen promedio (m) X Coordenada adimensional

Xαí Contenido del α-esimo constituyente (adimensional)

y Distancia (m)

yα Vector de posición relativa para localizar el un punto dentro de la fase α respecto al centroide del volumen promedio (m)

Letras Griegas

α Difusividad térmica μ Viscosidad dinámica (N s / m2) τ Esfuerzo cortante (N / m2) ρ Densidad (kg / m3)

Ω Fuente de calor (J / m2 s) Φ Fuente de calor (J / m3 s) V Volumen promedio (m3)

(11)

τ Tortuosidad (adimensional)

σ* _{Constante de Stefan-Boltzman (W/m}2_K4₎

ε*_Emisividad_{(Adimensional)}

Ψ Potencial capilar σ Tensión superficial ϕ Humedad relativa ξ Potencial químico del agua

ω Coeficiente de transformación de líquido a vapor

δ’ Coeficiente de gradiente térmico en función del potencial de humedad δij Delta de Kroneker

σα

ij Tensor de Esfuerzos (MPa)

μα

i Potencial del constituyente (J/kg)

φ Fracción de volumen δij Delta de Kroeneker

δ´ Coeficiente del gradiente de temperatura

δ´´ Relación de coeficiente de transferencia de masa

αx Coeficiente de expansión por cambio de contenido de humedad (%)

αT Coeficiente expansión térmica (1/K)

Subíndices

g Gas

l Líquido

(12)

VII Resumen

En este trabajo se ha estudiado el secado de los medios porosos, en primer lugar se analizan las diferentes teorías que se han elaborado para explicar los fenómenos de transferencia de calor y masa, analizando las ventajas y desventajas de cada una.

Posteriormente se han seleccionado tres teorías como las más completas para estudiarse con mas detalle. Estas teorías son las de Luikov, Kowalski, y Whitaker, las dos primeras basadas en la termodinámica de los procesos irreversibles aunque ambas siguen diferentes aproximaciones al proceso, y la última basada en la teoría de los medios porosos, la cual se basa en establecer ecuaciones de balance a nivel microscópico y después promediarlas sobre un volumen representativo.

Los modelos de ecuaciones de las teorías estudiadas son sistemas de al menos 3 ecuaciones diferenciales parciales acopladas, las cuales se han resuelto por el método de diferencias finitas. Se han planteado las condiciones de frontera para analizar secado de medios porosos de espesor delgado. Con la solución de los sistemas de ecuaciones se obtienen valores de perfiles de temperatura, contenido de humedad, presión en el interior del poro y deformación.

(13)

Abstract

In this work the drying of the porous media has been studied, in the first place analyze different theories that have been elaborated to explain the phenomena of heat and mass transfer, analyzing the advantages and disadvantages of each one.

Later on three theories considerer as the most complete has been selected to be studied in details. These theories are: Luikov, Kowalski, and Whitaker, both first based on the thermodynamic of the irreversible processes although both follow different approaches to the process, and the last one based on the theory of the porous media, which is based on establishing equations of balance at microscopic level and later to average them on a representative volume.

The models of equations of the studied theories are systems of at least 3 coupled partial differential equations, which have been solved for the method of finite differences. They have thought about the frontier conditions to analyze drying of porous media of thin thickness. With the solution of the systems of equations values of profiles of temperature are obtained, moisture content, pressure inside the pore and deformation.

Finally drying of pine wood has taken as case of study, where have been obtained their main parameters experimentally, which have been used for obtaining the numeric solution of the theories of Luikov, Kowalski and Whitaker, and the obtained values have been compared with regard to those measured experimentally of the process of wood drying of pine in low temperature.

(14)

IX Introducción

Los procesos industriales de secado emplean cantidades importantes de energía y representan el factor principal del costo de producción de muchos bienes de consumo. Por ejemplo, en los EUA se estima que la industria maderera consumió en 1990, 1.59 Mtep, es decir un 0.1% de toda la energía consumida en dicho país, y aunque en México no se cuenta con datos precisos al respecto, se considera que del total de la energía consumida por esta industria, el 80% es utilizada tan solo en los procesos de secado.

A nivel industrial los procesos de tienen una gran aplicación que incluyen entre otros, la producción de textiles, papel y pulpa, productos químicos, materiales de construcción, así como la preservación de productos agrícolas.

Si bien hasta hoy día no se cuenta con un modelo que permita explicar con mayor precisión el proceso de secado, existen trabajos muy destacados a nivel mundial que acercan a dicha comprensión y dan la pauta a seguir para continuar investigando este proceso.

La mayor parte de los trabajos realizados a la fecha que intentan proporcionar una mejor comprensión del proceso simultáneo de transferencia de calor y masa en medios porosos, han sido de tipo analítico y numérico, existiendo una gran falta de trabajos experimentales al respecto, lo cual no permite contar con datos suficientes para llevar a cabo comparaciones contra los resultados proporcionados por las modelaciones.

Asimismo, son pocos todavía los estudios experimentales de los esfuerzos que experimenta un cuerpo por el efecto simultáneo de pérdida de humedad y aumento de temperatura. Esto es de gran importancia para algunos materiales, ya que pueden alcanzar tal magnitud que ocasionen daños permanentes a los mismos.

En este proyecto se toma como punto de partida el análisis de las diferentes teorías de secado de medios porosos, señalando cuales son las ventajas y desventajas de su aplicación.

Posteriormente, se estudian los modelos matemáticos ya conocidos sobre la transferencia simultánea de transferencia de calor y masa en medios porosos, y se desarrollan sus soluciones numéricas de forma mas completa, de tal forma que incluyan el efecto de los esfuerzos internos a que esta sometido el cuerpo, y que además se pueda comparar con resultados obtenidos a través de la experimentación.

Además en el trabajo se presenta una metodología experimental para medir los parámetros más importantes relacionados con el transporte de calor y masa en los medios porosos durante el proceso de secado.

(15)

Objetivo

a) Objetivo General.

Analizar tanto desde el punto de vista teórico como experimental el proceso simultáneo de la transferencia de calor y masa, aunado a la presencia de los esfuerzos internos asociados con las contracciones que experimentan los medios porosos cuando son sometidos a un proceso de secado.

b) Objetivos Particulares.

1. Análisis de las teorías de secado de medios porosos

2. Solución numérica de los principales modelos matemáticos del secado de medios porosos.

(16)

XI Justificación.

La mayor parte de los trabajos realizados a la fecha que intentan proporcionar una mejor comprensión del proceso simultáneo de transferencia de calor y masa en medios porosos, han sido de tipo analítico y numérico, existiendo una gran falta de trabajos experimentales al respecto, lo cual no permite contar con datos suficientes para llevar a cabo comparaciones contra los resultados proporcionados por las modelaciones.

Asimismo, no se cuenta todavía no se cuenta con estudios experimentales que consideren a los esfuerzos que experimenta un cuerpo por el efecto del retiro de la humedad ligada al mismo.

Dicho efecto de los esfuerzos internos en un cuerpo bajo condiciones de secado, es de gran importancia para algunos materiales, ya que estos pueden ser de tal magnitud que pueden ocasionar un daño permanente al mismo.

En este proyecto se toma como punto de partida los modelos matemáticos ya conocidos sobre la transferencia simultánea de transferencia de calor y masa en medios porosos, y se desarrollan sus soluciones numéricas de forma mas completa, de tal forma que incluyan el efecto de los esfuerzos internos a que esta sometido el cuerpo, y que además se pueda comparar con resultados obtenidos a través de la experimentación.

Además en el trabajo se presenta una metodología experimental para medir los parámetros más importantes relacionados con el transporte de calor y masa en los medios porosos durante el proceso de secado.

Finalmente se incluye un análisis sobre las diferentes teorías de secado de medios porosos, señalando cuales son las ventajas y desventajas de su aplicación.

Alcances.

El desarrollo de este trabajo doctoral tiene los siguientes alcances:

1) Desarrollo de una metodología experimental para determinar los parámetros más importantes relacionados con la transferencia de calor y masa, en el proceso de secado de medios porosos.

2) Obtener datos experimentales del proceso de secado de medios porosos que puedan ser utilizados para comparar con respecto a las soluciones numéricas de los modelos matemáticos de Luikov, Kowlaski y Whitaker

(17)

Lista de Figuras

1.1Formas de arreglos de medios porosos en base al modelo de partículas 1.2Estructura de la madera

1.3Efecto de la presión en la ebullición del agua

1.4Representación de un medio poroso y concepto de volumen promedio 1.5Frontera entre un medio poroso y un fluido homogéneo

2.1 Curva de secado de una capa delgada de granos de maíz. Temperatura del aire 65 oC, humedad relativa 6.3 %, flujo de aire 91.5 m/min

2.2 Variación del contenido de humedad contra el tiempo para los datos de la figura 2.1.

2.3 Curva de rapidez de secado para rebanadas de papa en una corriente de aire a 60 0C 2.4 Movimiento de la humedad durante el secado

3.1 Variación del contenido de humedad en la madera de abeto. Comparación de soluciones numéricas con respecto a valores reportados por Liu, Thomas y Cervantes.

3.2 Variación de la temperatura en la superficie de la madera de abeto. Comparación de soluciones numéricas con respecto a valores reportados por Liu, Thomas y

Cervantes.

3.3 Perfil de contenido de humedad en la superficie de la madera de pino durante un proceso de secado interrumpido a los 500 min.

3.4 Influencia del número de Biot de transferencia de masa en el potencial de humedad 3.5 Influencia del número de Biot de transferencia de masa en el potencial de temperatura 3.6 Influencia del número de Biot de transferencia de calor en el potencial de humedad 3.7 Influencia del número de Biot de transferencia de calor en el potencial de temperatura 3.8 Influencia del número de Kossovitch en el potencial de humedad

3.9 Influencia del número de Kossovitch en el potencial de temperatura 3.10 Influencia del número de Luikov en el potencial de humedad 3.11 Influencia del número de Luikov en el potencial de temperatura 3.12 Influencia del número de Posnov en el potencial de humedad 3.13 Influencia del número de Posnov en el potencial de temperatura 3.14 Efecto de la conductividad térmica en el perfil de temperatura

3.15 Efecto de la conductividad térmica en el perfil de contenido de humedad 3.16 Efecto del coeficiente de convección de humedad en el perfil de temperatura

3.17 Efecto del coeficiente de convección de humedad en el perfil de contenido de humedad 3.18 Efecto de la permeabilidad en el perfil de contenido de humedad

3.19 Efecto de la permeabilidad en el perfil de temperatura

4.1 Representación de la metodología para investigar el proceso de secado 4.2 Aparato para medir permeabilidad por el método de columna descendente 4.3 Valores de la permeabilidad de la madera de pino

4.4 Esquema de celda de adsorción

(18)

XIII madera de pino a 40 oC.

4.7 Variación del peso en muestras de pino a T = 40 oC y HR = 50%

4.8 Variación del contenido de humedad en muestras de madera de pino a T = 40 oC y HR = 65 %.

4.9 Variación del peso en muestras de madera de pino a T = 40 oC y HR = 65 %

4.10 Variación del contenido de humedad en muestras de madera de pino a T = 40 o_{C y}

HR = 65 %.

4.11 Variación del peso en muestras de madera de pino a T = 40 oC y HR = 11.8 %. 4.12 Variación del contenido de humedad en muestras de madera de pino a T = 40 oC y HR = 11.8 %.

4.13 Comparación de tiempos de secado de muestras de madera de pino

4.14 Curva de desorción teórica y experimental para madera de pino a T = 40 oC. 4.15 Curva de desorción teórica y experimental para madera de pino a T = 50 oC. 4.16 Curvas de coeficientes de difusión de humedad para T = 40 oC y 50 oC. 4.17 Fotografía del conductímetro de placa caliente guardada

4.18 Principio de operación del conductimetro de placa caliente guardada 4.19 Elementos que conforman el conductimetro de placa caliente guardada 4.20 Conductividad térmica del pino

4.21 Diagrama de la instalación para realizar pruebas de obtención de la porosidad 4.22 Resultados de la medición de la porosidad en la madera de pino

4.23 Instalación experimental para estudio del proceso de secado 4.24 Aparato para medir presión en el interior del poro

5.1 Temperatura del medio secante. Pruebas con v = 0

5.2 Variación de la humedad relativa del medio secante para las pruebas realizadas a v = 0 m/s

5.3 Comparación de la pérdida de humedad a la temperatura de 50 oC y humedades relativas de 65 y 12 %.

5.4 Comparación de la pérdida de humedad con humedad relativa similar y temperaturas de 40 y 50 oC.

5.5 Efecto del contenido de humedad en el desarrollo del perfil de temperatura en el interior de la madera de pino.

5.6 Variación de la temperatura en el interior de la madera de pino en condiciones de T = 40 oC, HR = 11.8 % y V = 0 m/s.

5.7 Variación de la temperatura en la superficie de la madera de pino en condiciones de T = 40 oC, HR = 11.8 % y V = 0 m/s.

5.8 Variación del contenido de humedad en la superficie de la madera de pino en condiciones de T = 40 oC, HR = 11.8 % y V = 0 m/s.

5.9 Variación del contenido de humedad en el centro de la madera de pino en condiciones de T = 40 oC, HR = 11.8 % y V = 0 m/s.

5.10 Variación de la temperatura en la superficie de la madera de pino en condiciones de T = 50 oC, HR = 57 % , CHI = 60 % y V = 0 m/s.

5.11 Variación de la temperatura en el centro de la madera de pino en condiciones de T = 50 oC, HR = 57 % , CHI = 60 % y V = 0 m/s.

(19)

5.13 Variación del contenido de humedad en la superficie de la madera de pino según los modelos de Luikov, Whitaker y Kowalski para T = 50 oC, HR = 57 % y V = 0 m/s. 5.14 Variación de la temperatura en la superficie de la madera de pino en condiciones de T = 50 oC, HR = 12.8 %, CHI = 63 % y V = 0 m/s.

5.15 Variación de la temperatura en el centro de la madera de pino en condiciones de T = 50 o_{C, HR = 12.8 %, CHI = 63 % y V = 0 m/s.}

5.16 Variación del contenido de humedad en la superficie de la madera de pino en condiciones de T = 50 oC, HR = 12.8 %, CHI = 63 % y V = 0 m/s.

5.17 Variación del contenido de humedad en el centro de la madera de pino en condiciones de T = 50 oC, HR = 12.8 %, CHI = 63 % y V = 0 m/s.

5.18 Variación del espesor de la madera de pino en condiciones de T = 50 oC, HR = 12.8 %, CHI = 63 % y V = 0 m/s.

5.19 Variación de la presión en el interior del poro en el centro de la madera de pino en condiciones de T = 50 oC, HR = 12.8 %, CHI = 63 % y V = 0 m/s.

5.20 Variaciones de la temperatura del medio secante en las pruebas de secado por convección forzada

5.21 Variaciones de la velocidad del medio secante en las pruebas de secado por convección forzada

5.22 Variaciones de la humedad relativa del medio secante en las pruebas de secado por convección forzada

5.23 Variación del contenido de humedad global de la madera de pino 5.24 Variación del contenido de humedad superficial de la madera de pino 5.25 Variación del contenido de humedad interior de la madera de pino 5.26 Esfuerzos presentes durante el secado de la madera

5.27 Influencia de la pérdida de humedad en los esfuerzos generados en el material a secar 5.28 Influencia de la temperatura en los esfuerzos generados en el material a secar

5.29 Variación del contenido de humedad en el centro de la muestra 5.30 Perfil del contenido de humedad superficial teórico y experimental

5.31 Perfiles de temperatura teóricos y experimental para la superficie de la madera de pino.

5.32 Perfiles de temperatura teóricos y experimental para el centro de la madera de pino. 5.33 Comparación teórica y experimental de la deformación en la madera de pino.

IV.1 Muestra de madera de pino sin defectos de secado. Condiciones del proceso: convección natural con T = 65 oC y HR = 11.8 %.

IV.2 Muestra de madera de pino sometida a un proceso de secado de convección natural con T = 40 oC y HR = 65 %.

IV.3 Vista de la cara posterior de la muestra de madera de pino de la figura IV.2, en donde se observa el crecimiento de hongos.

IV.4 Muestra de madera de pino sometida a proceso de secado por convección natural a T = 50 0C y HR = 65 %.

IV.5 Muestra de madera sometida a un proceso de secado por convección forzada con T = 45 oC, HR = 29.3 %, y v = 2.6 m/s

(20)

XV IV.8 Misma muestra de la figura anterior que muestra la deformación que se produce por efecto del secado.

IV.9 Muestra de madera que se logro secar completamente sin defectos a T = 45 oC y HR = 57 %.

Lista de Tablas

3.1 Tensión superficial de interfaces aire-líquido a 20 oC

3.2 Porcentaje de cambio en las propiedades de resistencia de la madera con el cambio de temperatura

3.3 Ejemplo de valores de los coeficientes de encogimiento radial y tangencial para algunos tipos de maderas.

3.4 datos de la madera de abeto y medio secante

4.1 Datos usados en la determinación de la permeabilidad de la madera de pino 4.2 Resultados obtenidos de la conductividad térmica de la madera de pino 4.3 Valores empleados y porosidad final obtenida de la madera de pino.

5.1 Pruebas de secado de madera de pino por convección natural 5.2 Principales parámetros termofísicos de la madera de pino.

5.3 Parámetros utilizados para estudiar el proceso de secado por convección natural de la madera de pino.

(21)

CAPÍTULO I

(22)

Capítulo I Medios Porosos

══════════════════════════════════════════════════════

1.1. Introducción a los Medios Porosos

Todos los materiales sólidos y semisólidos contienen espacios intersticiales (poros) del tamaño de moléculas ordinarias que pueden ser penetradas por un fluido. La distinción entre un material poroso y un sólido no poroso aún no es clara. Sin embargo sí solo se considera la permeabilidad como condición para establecer una clasificación, un material poroso deberá tener una permeabilidad específica, y su valor será únicamente determinado por la geometría del poro, independientemente de las propiedades del fluido penetrante.

Actualmente existen dos categorías de modelos de estructura de los materiales porosos: en la primera están los modelos que consisten de arreglos de partículas esféricas, y en la segunda se encuentran los modelos que consideran a la estructura del material poroso formada por arreglos de tubos capilares, como se explica a continuación.

a) Modelos de arreglos de partículas.

En estos modelos se idealiza a los cuerpos porosos considerándolos como arreglos de partículas esféricas y espacios vacíos [1]. Esto conlleva a que las partículas esféricas pueden ser arregladas en diferentes formas, tal y como se muestra en la figura 1.1. Pueden estar en un paquete flojo (arreglo cúbico) o en un paquete denso (arreglo hexagonal). La porosidad de tales materiales depende del tipo de arreglo más que del radio de la partícula. Con un arreglo cúbico la porosidad es 47.64%, y con un arreglo hexagonal es de 23.95%.

Figura 1.1. Formas de arreglos de medios porosos en base al modelo de partículas. a) general, b) cúbico, c) hexagonal [A. Luikov 1966]

(23)

══════════════════════════════════════════════════════

b) Modelos de arreglos de tubos capilares.

Los modelos de estructura de medios porosos considerando arreglos de tubos capilares, es un tema muy amplio de estudio, ya que existe una gran variedad de modelos. Entre los más usualmente encontrados en la literatura se tienen: modelos de paquetes, redes y fractales, que se describen a continuación [2].

b.1 Modelo de paquetes de tubos capilares.

El modelo de paquetes de tubos capilares, es la forma más simple de representación de la estructura de los materiales porosos, dentro de esta categoría [3]. En este modelo, se considera que existe un arreglo de tubos cilíndricos capilares de diferentes diámetros y de longitudes iguales. Cada capilar tiene un diámetro uniforme a lo largo de su longitud. Una de las principales ventajas de este modelo, es que proporciona una explicación sencilla del fenómeno de drenado. Es evidente que este simple modelo es incapaz de tomar en cuenta la histéresis capilar y la existencia de saturaciones residuales de las fases húmeda y no húmeda.

b.2 Modelos de redes de tubos capilares.

La estructura de la mayoría de los medios porosos consiste de una red interconectada tridimensional de espacios vacíos, poros o capilares. La red usualmente tiene una geometría irregular, segmentos capilares de diferentes formas y tamaños [4].

Cuando a través de pequeñas muestras de un medio se conoce con suficiente detalle la geometría del poro, entonces con la ayuda de las computadoras pueden crearse modelos con los cuales es posible estudiar algunos fenómenos de transporte.

Actualmente se han desarrollado modelos de redes para medios porosos con el objeto de estudiar fenómenos tales como la imbibición, que es de particular interés en los procesos de extracción del petróleo [5].

b.3 Modelos de fractales de tubos capilares

En este modelo los sistemas de fractales se dividen en dos clases. Una clase contiene sistemas cuya morfología exhibe propiedades de fractales, denominándose a tales sistemas como fractales geométricos. En el segundo caso, están aquellos sistemas cuya dinámica posee propiedades de fractales, estos se conocen como fractales dinámicos [6].

(24)

══════════════════════════════════════════════════════

de cierta escala de longitud que pueden ser magnificadas para recuperar la estructura del sistema en otra escala superior de longitud. Algunos sistemas son fractales a cualquier escala de longitud, mientras los sistemas naturales que exhiben propiedades de fractal típicamente pierden tal propiedad a escalas de longitudes suficientemente pequeñas o grandes. Sin embargo, debe señalarse que los sistemas naturales no son generalmente, en el sentido matemático estricto fractales, sino que más bien su comportamiento se aproxima a una muestra de la geometría fractal.

El uso del concepto de fractal ha ganado una gran aceptación aplicado al flujo a través de medios porosos.

La aplicación más obvia de los fractales es en la representación de la morfología del poro, la cual normalmente es rugosa. Una sección de plano normal a la superficie del poro mostraría líneas irregulares que tienen propiedades análogas a los fractales.

1.2 Propiedades macroscópicas de los medios porosos

Se denominan propiedades macroscópicas de un medio poroso a aquellas propiedades que dependen únicamente de la estructura del medio, siendo las más importantes: la porosidad, la permeabilidad, el factor de formación, la presión capilar, área específica de superficie y la anisotropía. Cada una de estas propiedades se describe a continuación.

a) Porosidad.

La porosidad usualmente es definida como la relación del volumen del poro con respecto al volumen del cuerpo [8]. Ligada a esta propiedad, existe el concepto de porosidad superficial que se define como una relación del área efectiva de superficie del poro al área total del cuerpo.

La porosidad también llamada espacio vacío, es la fracción de volumen de la muestra porosa que es ocupada por los poros o espacios vacíos. Dependiendo del tipo de medio poroso, la porosidad puede variar desde cerca de cero a casi la unidad. Por ejemplo, metales y ciertos tipos de rocas volcánicas tienen muy bajas porosidades, mientras que filtros fibrosos y aislantes térmicos son sustancias altamente porosas.

Ahora bien, es importante distinguir entre dos tipos de porosidad, una que forma una fase continúa con el medio poroso, y que es debida a que los diversos poros del medio se encuentran interconectados, a esta porosidad se le denomina como porosidad efectiva. Por otra parte existen poros en el medio que no están interconectados. A esto se le denomina simplemente espacios vacíos en el medio. Estos espacios no interconectados no contribuyen al transporte de materia a través del medio poroso, y solamente los poros interconectados o espacio efectivo del poro pueden hacerlo.

(25)

══════════════════════════════════════════════════════

b) Permeabilidad

La permeabilidad es el término usado para la conductividad del medio poroso con respecto a la penetración por un fluido newtoniano [9]. Su valor en una muestra porosa puede variar con las propiedades del fluido penetrante y el mecanismo de penetración. Es usual el separar el parámetro que mide la contribución del medio poroso a la conductividad y es independiente de tanto las propiedades del fluido y los mecanismos de flujo, esta cantidad se denomina permeabilidad específica.

e) Factor de formación.

El factor de formación es definido como la relación de la resistencia eléctrica de una muestra de material poroso saturada con una solución iónica, a la resistencia global de la misma solución iónica ocupando el mismo espacio que la muestra de material poroso [10].

c) Presión capilar

La presión capilar de acuerdo con Schubert [11] corresponde a la penetración de un fluido en un poro a la cual el menisco esta completamente desarrollado. Aunque esta definición no es del todo adecuada debido a que no se define claramente que es una penetración sustancial y que existen gargantas de poro de una variedad de diferentes tamaños.

Entonces se ha optado por usar el concepto de presión capilar de penetración de una fase no húmeda, y que corresponde a la aparición de una fase no húmeda en la cara exterior de una muestra (por ejemplo: mercurio en una muestra evacuada o aire en una muestra saturada con un fluido húmedo) [12].

d) Área específica de superficie.

La superficie específica o área específica de superficie de un material poroso es definida como el área de superficie intersticial de los poros ya sea por unidad de masa o por unidad de volumen del material poroso [13].

La superficie específica juega un papel importante en una variedad de diferentes aplicaciones de los medios porosos. Esta es una medida de su capacidad de adsorción de varios solventes industriales, así como en la efectividad de la catálisis, columnas de intercambio iónico, filtros y también esta relacionada con la conductividad de un fluido o permeabilidad del medio poroso.

f) Anisotropía.

(26)

══════════════════════════════════════════════════════

el factor de resistividad de formación y la presión capilar dependen de la dirección [14].

La anisotropía de un medio poroso es usualmente causada por la superposición de capas. Esto es, una capa menos permeable se superpone a una más permeable.

1.3 Propiedades microscópicas de los medios porosos.

El conocimiento y/o determinación de la estructura microscópica de los medios porosos es un tema extremadamente difícil de estudio debido a la gran irregularidad de la geometría de los poros. Tales irregularidades en la forma de los capilares o poros, así como diámetro o tamaño del mismo solo permiten tener una simplificación intuitiva de la estructura real.

La comprobación directa de la existencia de los poros (también llamados espacios vacíos o capilares) en medios sólidos a nivel microscópico, se ha obtenido por medio de la examinación bajo el microscopio óptico o electrónico, de secciones de muestra de las superficies del medio.

Se tienen tres parámetros importantes de las propiedades a nivel microscópico de los medios porosos, y que son: la conectividad, la dimensionalidad y la topología.

a) Conectividad.

Conectividad es un parámetro topológico que mide el grado en el cual una estructura esta múltiplemente conectada. Esta es definida como el número de caminos no redundantes por el cual todas las regiones dentro de la forma pueden ser inspeccionadas. Los lazos redundantes son aquellos que pueden ser transformados en otros por deformación, que pueden ser encogidos sin pasar fuera de una superficie cerrada, o que no da acceso a cualquiera nueva parte de la forma.

b) Dimensionalidad

La dimensionalidad a nivel microscópico en un medio poroso, se refiere a la forma en que se puede visualizar esta conformada la estructura de los poros o capilares, es decir se puede tratar de arreglos de estructura de los poros en una, dos o tres dimensiones.

c) Topología

La topología es un termino que se refiere a la forma en sí de los poros en la estructura, en este concepto se considera si los poros son de forma y distribución regular o irregular, así como a las variaciones de dimensiones que presentan los poros a lo largo de su longitud.

(27)

══════════════════════════════════════════════════════

1.4 Clasificación de los medios porosos

Existen diversas formas de clasificar a los medios porosos. Dos de estas formas son en base a la constitución y a la geometría, tal y como a continuación se presenta.

Los medios porosos se clasifican en base a su constitución en:

- Materiales monolíticos (por ejemplo ladrillo, madera)

- Materiales granulares

- Materiales en partículas

Por otro lado, lo medios porosos se clasifican en base a su geometría en:

- Hojas (por ejemplo: papel, textiles) - Fibras de materiales

Cabe señalar que en sí, los materiales en partículas o en polvo no son materiales porosos, sin embargo, cuando se emplean o procesan en lechos o camas empacadas su comportamiento es el de un material poroso.

Por otro lado también se puede establecer otra clasificación de los materiales porosos en función de la humedad que contienen y entonces se pueden denominar: higroscópicos y no higroscópicos. En los primeros existe tanto la humedad libre como la ligada tal y como ocurre en los productos de origen biológico como la madera y la mayoría de los productos alimenticios. Por otra parte los materiales no higroscópicos son aquellos en donde básicamente lo que existe es la humedad libre ya que la ligada esta en muy poca cantidad y normalmente no es de interés.

1.5 Fenómenos de Transporte en medios porosos.

El estudio de los fenómenos de transporte de calor y masa en medios porosos, son un tema de estudio muy importante debido a la gran cantidad de aplicaciones industriales que tienen, tales como el secado, contaminación de suelos y en las etapas de moldeo durante la manufactura de diversos productos, entre otras.

La investigación básica y aplicada de la transferencia de calor y masa en medios porosos se ha incrementado durante las últimas décadas, lográndose significativos avances en la comprensión de diversos fenómenos físicos.

(28)

══════════════════════════════════════════════════════

La dificultad para comprender los fenómenos de transporte en los medios porosos, se debe a que por ejemplo el transporte de un gas inerte o un vapor puede ocurrir por diferentes mecanismos: difusión, filtración o una variación de presión. De forma semejante, la transferencia de líquido puede ocurrir por difusión, capilaridad y filtración. Además los poros poseen diferentes tipos de humedad ligada, lo cual provoca que las propiedades del medio varíen en forma significativa, pero más aún hay que considerar que no en todos los poros de dicho medio se contiene la misma cantidad de humedad, ya que pueden existir poros completamente saturados y poros prácticamente sin humedad.

Para describir el comportamiento de la transferencia de calor y masa en un medio poroso, debe de tomarse en cuenta la dependencia que existe entre las características más relevantes del medio, tales como: topología, fenómenos entre las interfases sólida, líquida y gaseosa, así como el equilibrio líquido-vapor.

En principio las ecuaciones para los diversos fenómenos de transporte en un medio poroso pueden ser escritas a un nivel microscópico, es decir a nivel de la escala del poro (el tamaño de un poro es del orden de 1μm). Sin embargo, dichas ecuaciones generalmente no son resueltas en el nivel microscópico, dado que la geometría del medio poroso y la distribución de las fases no es observable o es muy compleja de describir [15].

A parte de esto, una descripción a nivel microscópica del movimiento de la humedad a la vez de difícil, tiene poca relevancia práctica, por lo tanto, una descripción del proceso de transporte de humedad a nivel macroscópico es más deseable.

Por el método de volumen promedio, se obtienen las ecuaciones de transporte a nivel macroscópico a partir de las ecuaciones a nivel microscópico.

Las cantidades derivadas a nivel macroscópico son continuas y medibles. Los coeficientes macroscópicos en las ecuaciones gobernantes serán los coeficientes del material, los cuales estarán referidos a las propiedades geométricas del material.

(29)

══════════════════════════════════════════════════════

Las leyes básicas de conservación de cada cantidad (momentum, energía y masa) son el origen de la formulación de la transferencia de calor y masa en los medios porosos.

Los flujos de calor y masa pueden ser escritos como el producto de un coeficiente (característico del medio) multiplicado por la fuerza impulsora (variación espacial del potencial que induce el flujo).

1.5.1 Ecuaciones de transporte en un medio poroso.

En un medio contínuo, la transferencia de momento, energía y masa obedecen las leyes clásicas de la viscosidad, conducción de calor y difusión de masa propuestas respectivamente por Newton, Fourier, y Fick [16]. Dichas leyes son en su forma unidimensional:

Flujo de momento: T

dy d

yx μ

τ =− (1.1)

Flujo de calor: T

dy d k

q_y =− _q (1.2)

Flujo de masa:

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −

=

c c dy

d D cN

j A

AB A

Ay (1.3)

Un medio poroso consiste de varias fases (sólida, líquida, gaseosa y agua ligada como en el caso de la madera). La transferencia dentro de tal medio debe ser escrita para cada fase, tomando en consideración los intercambios entre ellas. Sin embargo, la geometría de un medio poroso es típicamente tan compleja que las ecuaciones deben ser escritas a una escala macroscópica, como ejemplo en la figura 1.2, se ilustra la complejidad existente en la estructura de la madera. Esto lleva a la definición de leyes empíricas de migración, que deben ser demostradas para una amplia generalización por promedios sobre volúmenes representativos. En este nivel, la fase sólida del medio poroso es observada como un medio continuo ficticio [17].

(30)

══════════════════════════════════════════════════════

Figura 1.2. Estructura de la madera. [J. F. Siau 1995]

1.5.2 Migración de Fluido (Ley de Darcy).

Cuando se somete un medio poroso a una diferencia de presión, tiene lugar en este un flujo de fluido. En un medio completamente saturado (donde solamente esta presente una fase fluida) este flujo puede quedar completamente expresado por la ley de Darcy. En la ley de Darcy, se establece que el flujo es proporcional al gradiente de presión multiplicado por la permeabilidad K.

L P P AK

j =− ( 1− 2)

μ

ρ _(1.4)

Sin embargo, durante el secado de medios porosos al menos dos fases fluidas (gas y líquido) están presentes, y deben considerarse dos efectos importantes:

1. Debido a la curvatura de la interfase entre el líquido y gas, la presión del fluido húmedo es menor que la de la fase no húmeda: la presión capilar representa esta diferencia. Por supuesto, la curvatura del menisco incrementa conforme la saturación de la fase húmeda decrece. Esto es porque el fluido es conducido desde zonas húmedas a zonas secas. Este fenómeno conocido como migración capilar, es responsable de la mayoría del flujo de líquido en el caso de condiciones moderadas de secado.

(31)

══════════════════════════════════════════════════════

2. La permeabilidad de una fase líquida depende de la saturación. Sin lugar a dudas, es fácil de entender que los flujos de gas y líquido inducidos por el mismo gradiente de presión puede ser altamente modificado por sus contenidos respectivos.

Estos fenómenos son tomados en cuenta en la ley general de Darcy a través de los coeficientes de permeabilidad relativa, los cuales son asumidos como funciones de la saturación, entonces se tiene

Flujos de masa:

g g g

rg g g g

g g

g P

Kk v

j =− =− ∇

μ ρ

ρ (1.5)

l l

rl g l l g l

l P

Kk v

j =− =− ∇

μ

ρ

(1.6)

Sin embargo, no debe olvidarse que las permeabilidades relativas introducidas en las ecuaciones anteriores son poco conocidas y dependen de las condiciones de migración. Entonces las ecuaciones (1.5 y 1.6), son solamente una aproximación a la complejidad del flujo multifase en medios porosos.

1.5.3 Efecto de la presión interna en la transferencia de masa.

Con el objeto de reducir el tiempo de secado sin decremento de la calidad del producto secado, las condiciones de secado deben ser tales que la temperatura del producto este por arriba del punto de ebullición del agua. Tales condiciones aseguran que exista una sobrepresión dentro del material, lo cual implica que un gradiente de presión conduce a la humedad (líquido y/o vapor) a través de las superficies de intercambio

A la presión atmosférica el punto de ebullición del agua es igual a 100 o_{C, por}

lo tanto para asegurar que exista una sobrepresión dentro del material a secar, se debe lograr que la temperatura del medio poroso este por arriba de dicho valor, al menos durante una parte del proceso.

(32)

══════════════════════════════════════════════════════

Figura 1.3. Efecto de la presión en la ebullición del agua.[F. A. L. Dullien 1992]

Sin embargo, cabe señalar algunos efectos indirectos que se presentan al reducir la presión y que son debidos principalmente al incremento del camino molecular libre medio. Una vez que se asume que el camino medio libre es comparable al tamaño del poro, el gas ya no puede considerarse como un medio contínuo y dos fenómenos de transporte específicos ocurren: la difusión molecular libre y el deslizamiento de flujo. Además cabe mencionar que la conductividad térmica también es afectada por este efecto.

1.5.4 Teoría general de los medios porosos. Ecuaciones fundamentales

En esta sección, se presenta de forma introductoria la teoría general de los medios porosos, aunque cabe señalar que no se estudia de forma muy profunda, ya que este es un tema muy amplio y cae fuera del alcance del presente trabajo.

Para el estudio del transporte en medios porosos, considérese el sistema ilustrado en la figura 1.4, donde la fase σ representa un sólido rígido impermeable y la fase β representa un fluido Newtoniano.

(33)

══════════════════════════════════════════════════════

Figura 1.4. Representación de un medio poroso y concepto de volumen promedio [K. Vafai 2000].

En un análisis tradicional de la transferencia de calor en un medio poroso, el acoplamiento entre los procesos de transporte bajo consideración es ignorado. Sin embargo existen muchos procesos de transporte importantes en medios porosos en los cuales el acoplamiento que ocurre tanto en el nivel macroscópico y microscópico, son importantes y no pueden ser ignorados. Los efectos del acoplamiento macroscópico están bien documentados en diversos trabajos [18], pero el acoplamiento en el nivel microscópico todavía esta bajo estudio, pero es claramente importante en procesos como el de secado.

Considerando al sistema mostrado en la figura 1.4, y en ausencia de acoplamiento las ecuaciones gobernantes y condiciones de frontera bajo consideración se expresan como:

en la fase β (1.7)

(1.8)

Condición de frontera 1:

(1.9)

(1.10)

en la fase β

en Aβσ

(34)

Capítulo I Medios Porosos

════════════════════════════════════════════════════════

en la fase σ (1.11)

en la fase β (1.12)

en Aβσ (1.13)

En las expresiones anteriores se ha usado Aβσ, para representar el área completa

de la interfase β-σ contenida en la región macroscópica ilustrada en la figura 1.4. Bajo circunstancias normales, la fuente térmica heterogénea en la ecuación (1.10) puede ser acoplada al problema de transferencia de masa apropiada involucrando una reacción química, adsorción o cambio de fase en la interfase β-σ. Además, la fuente térmica homogénea podría normalmente estar acoplada a la difusión, un proceso de reacción o a un proceso de calentamiento electromagnético, sin embargo, se ha simplificado el tratamiento de Ω y Φσ como funciones específicas

con el objeto de determinar como estas funciones influencian la estructura de las ecuaciones de transporte en un volumen promedio.

Además de las condiciones de frontera interfaciales indicadas por las ecuaciones (1.9), (1.10) y (1.13), se necesitan también condiciones de frontera en las entradas y salidas del sistema macroscópico mostrado en la figura 1.5. En general, estas condiciones de frontera no se tienen disponibles en términos de valores puntuales de temperatura y velocidad, y se necesita el construir condiciones para otro orden de escala en términos de valores promedio de temperatura y velocidad. Esto se ha realizado para el caso de transporte de calor pasivo, sin embargo aún la influencia de Ω y Φσ en las nuevas condiciones permanece poco clara.

(35)

════════════════════════════════════════════════════════

Figura 1.5. Frontera entre un medio poroso y un fluido homogéneo. [K. Vafai 2000].

1.5.4.1 Concepto de volumen promedio

Con el objeto de desarrollar la forma de las ecuaciones de transporte de masa, energía y momento para un volumen promedio, se asocia un volumen promedio V, con cada punto en el espacio, y se definen valores promedio en términos de tal volumen. Tal volumen promedio es ilustrado en la figura 1.4, y puede ser representado en términos de volúmenes de las fases individuales de acuerdo con:

(1.14)

En la figura 1.5, el centroide de un volumen promedio es localizado por el vector de posición x, y que tal punto en la fase β esta localizado por el vector de posición

relativo yβ.

Se usa el volumen promedio para definir tres promedios: el promedio superficial, el intrínseco, y el espacial. Cada uno de estos promedios es rutinariamente usado en la descripción del proceso de transporte multifásico, y es importante definir cada uno. En términos del volumen promedio, se define el promedio superficial de alguna función Ψβ de acuerdo con:

(36)

════════════════════════════════════════════════════════

(1.15)

Esto indica que 〈Ψβ〉 esta asociada con el centroide y que la integración es llevada

a cabo con respecto a las componentes del vector de posición relativo yβ. Además

para la superficie promedio, se hará uso del promedio intrínseco definido por:

(1.16)

Es importante señalar la notación precisa usada en las ecuaciones (1.15) y (1.16); sin embargo a continuación se hará uso de las representaciones simplificadas dadas por:

(1.17)

(1.18)

Estos dos promedios están relacionados por:

(1.19)

En la cual εβ es la fracción de volumen de la fase β definida explícitamente por:

(1.20)

En esta notación para los volúmenes promedio, un subíndice griego es usado para identificar la fase particular bajo consideración y un superíndice griego es usado para identificar un volumen intrínseco. Donde los promedios intrínseco y superficial difieren por un factor de εβ, por esto es esencial hacer uso de una notación que

claramente distinga entre los dos.

Cuando se parte del volumen promedio o cualquier ecuación de transporte, inmediatamente se confronta con el promedio de un gradiente o el promedio de una divergencia y este es el gradiente o divergencia del promedio que se esta buscando. Con el objeto de intercambiar la integración o diferenciación, se hará uso del teorema del promedio espacial. Para un sistema en dos fases como el ilustrado en la figura 1.5 este teorema puede ser expresado como:

16

〈Ψβ〉 = εβ〈Ψβ〉β

(37)

════════════════════════════════════════════════════════

(1.21)

En la cual Ψβ es cualquier función asociada con la fase β. Aquí Aβσ representa el

área interfacial dentro del volumen promedio, y se tiene que usar nβσ para

representar el vector unitario normal apuntando desde la fase β a través de la fase

σ.

1.5.4.2 Ecuación de continuidad

Haciendo uso del teorema del promedio espacial, con la ecuación 1.7, se tiene:

(1.22)

Y el hecho de que la fase σ es asumida como rígida e impermeable permite expresar el promedio superficial a partir de la ecuación de continuidad como:

(1.23)

El hecho de que la velocidad promedio superficial 〈vβ〉 es senoidal enfatiza su uso

como la representación preferente del campo de velocidad macroscópico o de volumen promedio. También se puede hacer uso de la ecuación de continuidad en términos de la velocidad promedio intrínseca 〈vβ〉β, entonces, haciendo uso de la

relación entre la velocidad superficial y la intrínseca se tiene:

(1.24)

Para obtener una forma alternativa de la ecuación de continuidad dada por:

(38)

════════════════════════════════════════════════════════

1.5.4.3 Ecuación de la energía

El análisis del proceso de transporte de energía inicia con la fase β. A partir del promedio superficial de la ecuación 1.8, se obtiene:

(1.26)

Es posible que las propiedades físicas de la fase β puedan variar

significativamente sobre la región macroscópica, sin embargo variaciones sobre el volumen promedio pueden generalmente ser despreciadas.

Con esto se ha hecho uso de la ecuación de continuidad para expresar el transporte convectivo en una forma que sería conveniente para usar con el teorema del promedio.

Se ha elegido representar la temperatura promedio en términos del promedio intrínseco, con la idea de que esta temperatura es la que mejor representa el proceso de transporte de la energía térmica que tiene lugar en la fase β.

1.5.4.4 Ecuación de momento

La ecuación de momento es similar en forma a la ecuación de transporte convectivo de calor, excepto por el hecho de que contiene el gradiente de presión y la fuerza gravitacional, y esta dada por:

(1.27)

Con esto se han obtenido las ecuaciones de momento, continuidad, y calor para un medio poroso, en base a considerar sus parámetros a nivel microscópico, las cuales después de aplicar las ecuaciones de promedio de un medio poroso, permite obtener la representación a nivel macroscópico de los fenómenos de transporte en tales medios.

1.5.5 Ecuaciones de transporte aplicadas al estudio del secado de medios porosos

(39)

════════════════════════════════════════════════════════

Aun cuando existen varias teorías sobre el proceso de secado de medios porosos, (tal y como se vera en el siguiente capítulo) en esta parte se presenta en forma muy general una aproximación hacia el uso del volumen promedio en las ecuaciones de secado.

En el secado de materiales porosos el interés se enfoca en el transporte simultáneo de calor, líquido (libre y ligado), vapor y aire (considerando que el ambiente de secado esta controlado), lo cual resulta de la aplicación de calor a la superficie por conducción, convección y/o radiación o internamente por ondas electromagnéticas. En la mayoría de los procesos la eliminación del agua líquida y el vapor de agua es el objetivo principal del proceso, sin embargo también puede ser cualquier líquido volátil.

El proceso de secado puede ser modelado usando una aproximación macroscópica basada en la consideración que las ecuaciones de balance de calor, masa y momento, obtenidas a través de un proceso de ponderación sobre un volumen representativo.

Las ecuaciones de balance macroscópicas que se asumen validas sobre un volumen promedio o un volumen elemental (REV) incluyen una muestra representativa de la geometría incluyendo volumen libre y canales de flujo, así como la distribución de las fases sólido, líquido y gas, asumiendo el equilibrio de masa y térmico. Entonces las cantidades calculadas, incluyendo temperatura, velocidades de las fases presentes y fracciones de masa de las mismas, son valores promedio para el REV. Además, se considera en la mayoría de los casos que la fase sólida no es deformable. Esta consideración conduce a una simplificación significativa pero puede no ser apropiada si el encogimiento ocurre durante el proceso de secado.

Con las consideraciones expuestas y otras restricciones señaladas por Whitaker [19], las ecuaciones básicas del balance de masa y energía pueden escribirse como:

Fase líquida libre:

(1.28)

Fase líquido ligada:

(1.29)

Fase gaseosa

(40)

════════════════════════════════════════════════════════

(1.31)

Aire

(1.32)

Energía:

(1.33)

En las ecuaciones anteriores las ρ se refieren a densidades, y las φ a fracciones de volumen. Observe que las fracciones de volumen, porosidad y saturación de la fase líquida están relacionadas a través de las siguientes relaciones:

(1.34)

(1.35)

(1.36)

(1.37)

Las v en las ecuaciones anteriores representan velocidades promedio de masa y las j representan flujos. La conductividad térmica efectiva kqeff se obtiene a través

del procedimiento formal del volumen promedio y será asumida una propiedad predecible la cual depende fuertemente de la saturación de la fase líquida. Para conveniencia, el producto ρiφi, el cual es la fracción de masa del componente i,

será escrita como *.

i

ρ

La ley de Fourier que corresponde a la ecuación de transferencia de calor (1.33) considera que la fase gaseosa puede ser tratada como incompresible. En las ecuaciones (1.28) a (1.32), se requiere de la ley de Darcy (multifase) para las velocidades promedio de masa y de la ley de Fick para los flujos difusivos:

Ley de Darcy:

(1.38)

(1.39)

Ley de Fick:

(41)

════════════════════════════════════════════════════════

(1.40)

(1.41)

Aquí se ha considerado que el flujo de líquido libre es totalmente convectivo, el flujo de agua ligado es difusivo, y ambos difusión y convección contribuyen a el flujo de la fase vapor. La difusión térmicamente conducida es despreciada para tanto el vapor como el agua ligada. Además, se ha considerado que los efectos gravitacionales no son importantes en la fase gaseosa (no hay convección natural). Además se asume que la fase gaseosa es incompresible y se comporta como una mezcla de gases ideales, y utiliza las siguientes relaciones las cuales resultan de la consideración del equilibrio térmico local:

Gas ideal:

T R

P=ρ_g _g P_v =ρ_vR_vT P_a =ρ_aR_aT y

P P P_v + _a =

Presión capilar:

(1.42)

Equilibrio líquido-vapor (Clausius-Clapeyron):

(1.43)

Equilibrio vapor-líquido ligado (curva de sorción):

(1.44)

(42)

════════════════════════════════════════════════════════

Para resolver el sistema de ecuaciones (1.28) a (1.44) es necesario reducirlo a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, lo cual se logra agrupando términos que permitan expresar todo en función de tres variables que son: contenido de humedad, temperatura y presión en el poro. Así el contenido de humedad queda entonces definido como:

(1.45)

En la gran mayoría de los procesos de secado la fase de vapor tiene solo una aportación pequeña al contenido de humedad total, por lo que normalmente se desprecia dicho termino en la ecuación (1.45), esto es porque la densidad del vapor de agua es de un orden de magnitud tres veces menor que la del agua líquida [20]. Aunque para ciertos procesos de secado o para líquidos diferentes al agua la contribución de la fase vapor al contenido de humedad total si puede ser significativo.

Turner y Perre [21] han sugerido el uso de diferentes variables dependientes en función de la naturaleza del problema. Por ejemplo, para materiales porosos no higroscópicos ellos recomiendan saturación de líquido, temperatura y densidad del aire, o contenido de humedad, temperatura y presión de la fase gaseosa. Couture [22] recomienda contenido de humedad, densidad del aire y entalpía total (en lugar de temperatura). Pruess [23] utiliza presión, temperatura y saturación de la fase gaseosa. En el análisis que sigue, el contenido de humedad es definido en términos de la ecuación (1.45), y se seleccionan como variables primarias temperatura y presión de la fase gaseosa.

Para obtener un modelo final de secado que conduzca a un conjunto mínimo de consideraciones para hacerlo aplicable a un amplio rango de problemas de secado, primero se suman las ecuaciones (1.28), (1.29) y (1.31), y se eliminan las velocidades promedio de masa y los flujos difusivos, por la sustitución de las ecuaciones (1.38), (1.39), (1.40) y (1.41), en tanto las ecuaciones de conservación para la humedad total y la ecuación de energía, obteniéndose así:

(1.46)

y

(1.47)

(43)

════════════════════════════════════════════════════════

En la ecuación (1.47) los flujos convectivos resultantes de la difusión de vapor y el agua ligada se asumen despreciables y la capacidad de calor promedio de masa para el sólido húmedo es definida como:

(1.48)

A continuación se escribe la presión de la fase líquida en términos de la presión total, contenido de humedad y temperatura, usando la ecuación (1.42) acoplada con la consideración que la presión capilar puede ser expresada en términos de la temperatura y presión, a través de la función de Leverett [24]:

(1.49)

(1.50)

donde K/ε es usada para caracterizar el poro a una escala de longitud.

Escribiendo la saturación en términos del contenido de humedad y combinando los términos convectivos se llega al siguiente sistema de ecuaciones:

Humedad:

(1.51)

Energía:

(1.52)

Donde los coeficientes de transporte están definidos como:

(44)

════════════════════════════════════════════════════════

Si se considera que:

(1.54)

Entonces

(1.55)

Siguiendo a Hartley [25], el gradiente de la fracción de masa de la fase vapor, , es a continuación expresado en términos de las variables primarias seleccionadas M, T y P. Debe notarse primero que usando las ecuaciones de gas ideal, se tiene:

*

v

ρ

(1.56)

y otra vez a partir de la ecuación dichas ecuaciones:

(1.57)

Combinando las ecuaciones (1.56) y (1.57), se tiene:

(1.58)

donde ρv = f(M,T, p)

(1.59)

sustituyendo (1.59) en (1.58) y combinando términos, se llega al resultado final:

(1.60)