La enseñanza de la proporcionalidad, más allá de la regla de tres

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LA ENSEÑANZA DE LA PROPORCIONALIDAD, MÁS ALLÁ DE LA REGLA DE TRES

Wilson Fabián Cortés Barajas John Jairo Cruz Beltrán

Dirigido por:

Dr. Luis Ángel Bohórquez Arenas

Informe de tesis

Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de educación

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Es para nosotros una gran satisfacción y orgullo dar por terminado este proyecto de investigación, por lo que deseamos agradecer a la Universidad Distrital Francisco José de Caldas por las valiosas enseñanzas y acompañamiento en este proceso de formación, así como también a nuestro director el Dr. Luis Ángel Bohórquez Arenas y su gran paciencia y dedicación con nosotros.

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Pág.

1. Resumen ejecutivo………...6

2. Planteamiento de la temática o del problema de investigación………...8

3. Objetivos...11

4. Antecedentes y referentes...13

5. Metodología………...19

6. Recolección y análisis de datos...24

6.1 Análisis de los resultados de la prueba de entrada...24

6.1.1 Ejercicios 1, 2, 3 y 6...24

6.1.2 Ejercicios 4 y 5...29

6.1.3 Ejercicio 7...32

6.1.4 Ejercicios 8, 9 y 10...34

6.1.5 Ejercicio 11...38

6.1.6 Ejercicio 12...40

6.1.7 Ejercicio 13...42

6.2 Análisis de la secuencia didáctica...45

6.2.1 Actividad 1...45

6.2.2 Actividad 1-A...52

6.2.6 Actividades 5 y 6...69

6.3 Análisis de los resultados de la prueba de salida...76

7. Conclusiones... 81

7.1 Principales resultados de la investigación……….. 81

7.2 Recomendaciones y reflexión final……… 82

Anexos... 85

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Tabla 1...23

Tabla 2...24

Tabla 3...29

Tabla 4...29

Tabla 5...31

Tabla 6...32

Tabla 7...33

Tabla 8...35

Tabla 9...38

Tabla 10...38

Tabla 11...39

Tabla 12...40

Tabla 13...41

Tabla 14...42

Tabla 15...44

Tabla 16...46

Tabla 17...74

Tabla 18...75

Tabla 19...75

Tabla 20...75

Tabla 21...76

Tabla 22...76

Tabla 23...76

Tabla 24...77

Tabla 25...79

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Figura 42...64

Figura 43...68

Figura 44...71

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1. RESUMEN EJECUTIVO

El aprendizaje de la proporcionalidad está enmarcado en el sistema educativo colombiano ya que se encuentra en los planes de estudio, tanto en la educación básica como en la media, lo cual puede ser referenciado en los Estándares (MEN, 2003) y los Derechos Básicos de Aprendizaje (DBA) (MEN, 2016). Así mismo, la relación de proporcionalidad es de gran uso o aplicabilidad para las personas en diferentes contextos sociales, como son: la utilización de porcentajes en el contexto comercial, aspectos sociales de densidad de población, lecturas de mapas, situaciones de concentraciones en la preparación de alimentos, entre muchas otras. De ese modo, surgió la pregunta: ¿qué impacto tiene la implementación de una secuencia de actividades que acude a la resolución de problemas y al GeoGebra en la comprensión del concepto de proporcionalidad de

los estudiantes de grado séptimo?

La propuesta se orientó en una intervención en el aula de un grado séptimo de un colegio distrital de Bogotá, a través de una secuencia didáctica basada en una serie de problemas y la utilización de un software de geometría dinámica, en nuestro caso el GeoGebra, con lo que se pretendió desarrollar algunas habilidades y destrezas en los estudiantes con respecto al aprendizaje de la proporcionalidad, sin acudir, como suele ser, al uso indiscriminado del algoritmo de la regla de tres. (Godino & Batanero 2002). Utilizamos la metodología Investigación-acción como eje central, la cual fue de tipo cualitativo con algunos elementos cuantitativos, con carácter descriptivo e interpretativo. La finalidad de la educación basada en esta metodología es mejorar la práctica, al tiempo que se mejora la comprensión en los que se realiza. (Carr y Kemmis, 1988).

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aprendizaje y enseñanza (Stone 1999), entendiendo los desempeños de comprensión como la capacidad de actuar flexiblemente con saber.

Por otro lado, la innovación tuvo en cuenta la adecuación de la tesis doctoral Proporcionalidad aritmética: una propuesta didáctica para alumnos de secundaria, del profesor

Oller, A. (2012), de la cual se tomaron actividades relacionadas con la proporcionalidad directa y que estaban encaminadas a la comparación e identificación de razones, proporciones y condiciones de regularidad.

Realizamos un análisis cualitativo de las respuestas de las pruebas aplicadas al inicio y al final de la intervención. Así mismo, asignamos un valor numérico jerárquico a la categorización (unidades de análisis) de las respuestas dadas, que al final nos permitió realizar el análisis cuantitativo con ayuda de la prueba T-Student. La secuencia de actividades presentaba una estructura que se inicia con una introducción, seguida de los objetivos, una descripción y por último un análisis cualitativo de los resultados obtenidos en cada actividad.

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2. PLANTEAMIENTO DE LA TEMÁTICA O DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

Investigaciones indican que adolescentes y adultos tienen grandes dificultades en resolver problemas que exigen el razonamiento proporcional (Hart, 1981; Vergnaud, 1983; Behr, 1987), estas dificultades se deben, en buena medida, al bajo grado de comprensión por parte de los estudiantes, de los conceptos implicados en este tópico matemático (magnitud, medida, razón, proporción fracción, fracciones equivalentes, división, multiplicación, etc.) (Heller, Ahlgren, Post, Behr y Lesh, 1989), y a la falta de destreza para aplicar correctamente las técnicas más frecuentes de la regla de tres (Cramer & Post, 1993). También el manejo que se hace en los textos escolares y el manejo direccionado de los profesores en el aprendizaje; pues éstos presentan propuestas difusas y exiguas relaciones en la manera en que se aborda la proporcionalidad (Guacaneme, 2002). Un factor determinante puede ser el paso que hace el estudiante de los algoritmos matemáticos a la solución de situaciones problema, en este pasaje se evidencia, en muchos casos, que el estudiante no maneja ese lenguaje, esa interpretación de determinada situación, o simplemente no identifica las operaciones a realizar (Obando et al., 2014). Todo esto se evidencia de manera justificada en pruebas internas y externas, como son las pruebas Pisa, Icfes Saber 11, entre otras, que corroboran las dificultades anteriormente anunciadas del manejo de la proporcionalidad.

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de un contexto, el cual es visto por el MEN (1998, p.35) como «algo que tiene que ver con los ambientes que rodean al estudiante y que le dan sentido a las matemáticas que aprende».

Es importante tener en cuenta las implicaciones en la manera de enseñar la proporcionalidad respecto a la construcción del significado del concepto «razón», y su desarrollo del pensamiento multiplicativo (Steffe, 1994). Asimismo, la forma en que se enseña la proporcionalidad a los estudiantes a lo largo de básica y la media, que aunque dan respuestas de manera correcta en los problemas proporcionales, es de manera incorrecta en los problemas aditivos. Las respuestas aditivas correctas usadas en los problemas aditivos, disminuyen en secundaria, por lo que se plantea la necesidad de centrar la atención en la enseñanza sobre el análisis de las relaciones entre las cantidades de las situaciones como un objetivo explícito (Fernández & Llinares, 2012).

Existen estrategias que permiten trabajar las diferentes dificultades en el aprendizaje de la proporcionalidad; el manejo de tablas de números proporcionales y no proporcionales, en contextos reales, permite ayudar a los estudiantes a identificar las relaciones entre los números (Lamon 1999; Singer, Kohn & Renick, 1997). Como también la necesidad de usar diferentes tipos de razones (enteras y no enteras) al introducir la idea de «razón» como un índice comparativo y la utilización de diferentes tipos de problemas en contextos aritméticos y geométricos en donde se muestren relaciones proporcionales y no proporcionales, con las cuales el estudiante desarrolle la capacidad de diferenciarlos por medio de actividades de clasificación, sin necesidad de resolverlos (Fernández & Llinares, 2012).

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que además pueden decidir la secuencia de información a seguir, establecer el ritmo, cantidad y profundización de la información que desean (López, 2003). Los softwares como GeoGebra, Cabri o CarMetal, son instrumentos informáticos que facilitan establecer propiedades, interpretaciones, relaciones, que apuntan a favorecer el aspecto geométrico de la proporcionalidad. Las regletas de Cuisenaire y el propio Tangram son materiales didácticos que permiten realizar comparaciones de medidas de razones y por consiguiente fortalecer el pensamiento lógico de los estudiantes.

Es por estas razones que se ve la necesidad de diseñar nuevas propuestas encaminadas a reconstruir procesos de enseñanza y aprendizaje acerca de la razón, la proporción y la proporcionalidad, y considerar como uno de los objetivos fundamentales de este trabajo: investigar las dificultades de comprensión del concepto, el método con el cual se enseña y con base en ellas, realizar una propuesta de actividades que ayude a superar dichas dificultades.

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¿Qué impacto tiene la implementación de una secuencia de actividades que acude a la

resolución de problemas y al GeoGebra en la comprensión del concepto de proporcionalidad de

los estudiantes de grado séptimo?

3. OBJETIVOS 3.1 GENERAL:

Implementar en un aula de clase de grado séptimo una propuesta didáctica que favorezca la comprensión del concepto de proporcionalidad mediante una secuencia de actividades.

3.2 ESPECÍFICOS:

 Promover el razonamiento proporcional en los estudiantes y desarrollarlo, utilizando operaciones contextualizadas sin acudir a la regla de tres.

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4. ANTECEDENTES Y/O REFERENTES

En la labor docente, la enseñanza que se realiza de la proporcionalidad se ha caracterizado por la adquisición de una serie de habilidades y metodologías que permiten resolver problemas, en la mayoría de los casos direccionada por los textos escolares, y finalizando con la infaltable regla de tres. Pero, estas técnicas de enseñanza en este caso particular, han demostrado una eficacia parcial y en muchos casos ninguna, en el aprendizaje, ya que a los estudiantes se les satura mecánicamente de algoritmos, iniciando por la definición de razón, pasando rápidamente a las proporciones y terminando con una larga ejercitación del algoritmo de la regla de tres. La mayoría de estas en situaciones de problemas aislados de su contexto y evidenciando dificultades en interpretar cuando existe proporcionalidad entre dos magnitudes o relacionando el algoritmo con unas «flechas», sin el sentido real de lo que se está realizando.

Una buena cantidad de trabajos en educación matemática se han dedicado al estudio de la proporcionalidad desde el punto de vista didáctico. Entre otras razones, por considerarse un concepto de gran importancia dentro de los planes de estudio, sin embargo, aún se sigue teniendo un tratamiento deficiente de este concepto, lo que impide su comprensión y el desarrollo del pensamiento matemático necesario para otras disciplinas, como lo son el álgebra, la geometría, la biología, la física y la química.

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está la ya mencionada exagerada manipulación de símbolos y fórmulas que se dan en la educación básica (Behr et al., 2014).

Desde una mirada epistemológica del concepto de proporcionalidad, en los Elementos de Euclides (edición 2007), el concepto de razón no está definido, en el libro VII este término

apenas aparece, mientras que en el libro V todo lo que se menciona es que «una razón es determinada relación con respecto a su tamaño entre dos magnitudes homogéneas» (V, Def. 3)

y que «guardan razón entre sí las magnitudes que, al multiplicarse, pueden exceder una a otra» (V, Def. 4). Lo que parece quedar claro a partir de estas dos definiciones, es que la razón no es, en modo alguno, un número. Este carácter no numérico de las razones en los Elementos está reforzado por el hecho de que no se haga ningún intento por definir sistemáticamente operaciones entre razones; además, nunca se habla de igualdad de razones, sino de «guardar la misma razón» (V, Def. 5) o de «guardar una razón mayor». (V, Def. 7).

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Teniendo en cuenta esta mirada desde Euclides en el libro Descartes y la ciencia del siglo XVII, en el capítulo Descartes lector de Euclides (Álvarez & Martínez, 2000), Descartes

descubre un tratado que establece el fundamento de la tradicional división de las dos disciplinas clásicas de la matemática: aritmética y geometría, y encuentra la clave que permitirá tratarlas bajo una misma visión de integración, pese a su naturaleza distinta. Desde la proporcionalidad, la lectura que hace Descartes de Euclides establece que

«Dados dos segmentos a y b, de la introducción de un segmento o tomado a voluntad y considerado

como “unidad”. El producto c de la multiplicación de a y b será el segmento encontrado a partir del

teorema de Tales, o bien de la proposición VI-12 de Euclides, que permite encontrar, dadas tres líneas

rectas, la cuarta (línea recta) proporcional». (Álvarez & Martínez, 2000, p.128)

El proyecto Edumat-Maestros , cuyo director es Godino (2002), elabora un texto que permite analizar las implicaciones que tiene la enseñanza de la proporcionalidad en la educación básica y enfatiza en la necesidad de presentar de manera muy clara los conceptos ligados a la proporcionalidad como lo son: razón, proporción y magnitudes proporcionales; este énfasis va muy de la mano con la teoría de los campos conceptuales de (Vergnaud, 1991), quien argumenta que ningún concepto se construye solitario, sino por el contrario, ligado a una red de otros conceptos que le aportan sentido, en el caso particular del campo conceptual de las estructuras multiplicativas que encierran todas aquellas situaciones y problemas, cuyo estudio las identifica como proporciones simples o compuestas, y que por lo tanto, para ser abordados, requieren de la multiplicación, la división o de ambas operaciones. En el texto, además se hace una crítica importante a la regla de tres reconociendo que da cierta ventaja algorítmica, pero que dificulta comprender en muchos casos la naturaleza de los problemas que se pretenden solucionar.

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discriminar situaciones con estructura aditiva de las situaciones proporcionales, las investigaciones elaboradas por Fernández y Llinares (2012), de la estructura aditiva a la multiplicativa: efecto de dos variables en el desarrollo del razonamiento proporcional, realizadas con 197 estudiantes, plantearon problemas proporcionales, aditivos y distractores, y concluyeron dar especial relevancia entre estas dos situaciones porque la noción de razón en las situaciones proporcionales no proviene de la estructura aditiva. Es también importante tener en cuenta que en la conceptualización de la razón como unidad se debe considerar que las relaciones multiplicativas enteras y no enteras desempeñan varios papeles en la forma del manejo de los estudiantes de la covariación de las cantidades en las situaciones proporcionales.

Teniendo en cuenta todo lo que implica la proporcionalidad directa y su tratamiento, es importante tomar en cuenta que para desarrollarla debemos tener un buen razonamiento lógico-matemático y basándonos en el documento, Estándares básicos de competencias, el cual enuncia que es conveniente que las situaciones de aprendizaje propicien el razonamiento en los aspectos espaciales, métricos y geométricos, el razonamiento numérico y, en particular, el razonamiento

proporcional apoyado en el uso de gráficas (MEN, 2003, p.54), realizaremos algunos aportes referentes a este tipo razonamiento. Lamon (2005) propone que el desarrollo del razonamiento proporcional se debe entender como la habilidad de establecer relaciones multiplicativas entre dos cantidades y de extender dicha relación a otro par de cantidades es un objetivo en el

currículo de Educación Primaria y Secundaria.

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lo son. Asi mismo, el desarrollo del razonamiento proporcional conlleva varios procesos cognitivos interrelacionados, que van desde el pensamiento cualitativo hasta el razonamiento multiplicativo (BEHR et al., 1992; KAPUT; MAXWELL, 1994) pasando por tres etapas. La primera pertenece al uso de correspondencias cualitativas, la segunda corresponde a las compensaciones aditivas o al uso de la razón como el doble y en la tercera se pueden establecer relaciones multiplicativas entre dos cantidades y extender dichas relaciones a otro par de cantidades.

Por otra parte, nuestra investigación está apoyada en «resolución de problemas», que, según este énfasis, como método integral para la enseñanza de la matemática, se apoya en la concepción que Ernest (1988, p.97) sintetiza así: «[…] hay una visión de la matemática (conducida por la resolución de problemas) como un campo de la creación y la invención humana en continua expansión, en el cual los patrones son generados y luego convertidos en conocimiento». Es básico en el trabajo realizado que se generen inquietudes en los estudiantes sobre el concepto a ocuparse, por lo que en palabras de Bosch y Gascon (2004):

Solo interesan los problemas fecundos que están llamados a reproducirse y desarrollarse para

formar tipos de problemas cada vez más amplios y complejos, tipos de problemas cuyo estudio

provocará nuevas necesidades tecnológicas que, a su vez permitirán construir y justificar técnicas

«nuevas» capaces de resolver nuevos tipos de problemas y hasta problemas formulados en el nivel

tecnológico respecto de la organización matemática inicial. (Bosh & Gascon, 2004, p.205-206).

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propuestas de acción didáctica se centran en poner al estudiante ante las situaciones-problemas (fenómenos), con lo cual se comenzará a constituir objetos mentales, es decir, una estructura cognitiva personal que posteriormente podrá ser enriquecida con la visión discursiva cultural y aplicada a una ciencia o disciplina cualquiera.

También se va a tener en cuenta el apoyo de nuevas tecnologías en el aula, en concordancia con el mundo actual de los estudiantes que se encuentran en su cotidianidad con estas, y que permiten el apoyo en programas de Geometría Dinámica, que posibilitan llegar de una manera más fácil a su ambiente escolar. Su principal ventaja consiste en que las figuras dejan de ser estáticas: del papel saltan a la pantalla del computador y estas animaciones les permitirán observarlas desde distintos puntos de vista e incluso interactuar con ellas al modificar ciertas condiciones en el diseño, y analizar qué es lo que ocurre de una manera más vivencial.

Algunos proyectos como Descartes tienen como principal finalidad promover nuevas formas de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas integrando las TIC en el aula como herramienta didáctica. Este aparece en el año 1998 con la intención de romper esa tendencia tradicional aprovechando las circunstancias que se dan en este nuevo siglo, tanto desde el punto de vista económico y tecnológico, como es el abaratamiento de los equipos, la aparición de las líneas de alta velocidad para la transmisión de datos, la utilización generalizada de Internet a bajo costo, etcétera; en el marco de lo social, la utilización generalizada del ordenador y de Internet en la sociedad y, en particular, el interés de muchos profesores de matemáticas por las TIC.

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El profesor Jonathan Borwein (Citado por Acosta, 2005) habla de la necesidad de reconocer la utilización de computadoras en la investigación matemática como una práctica legítima, para lo cual propone definir las matemáticas experimentales como aquellas que utilizan la computadora para generar datos y poner a prueba sus conjeturas. En este enfoque, se hace énfasis en los procesos de construcción del conocimiento más que en su formalización y se reconocen las ventajas de la formalización del conocimiento, pero no se considera dicha formalización como condición indispensable para la investigación. Reconociendo así la legitimidad del conocimiento validado por la experiencia, en espera de una posible formalización. Esto, en síntesis, resume lo que se quiere al implementar la secuencia didáctica, pues se espera reconocer destrezas, habilidades y cómo construyen los estudiantes el conocimiento, más que centrarse en la formalización, aunque luego en plenarias se trate de conectar el conocimiento de ellos con el «saber sabio» (institucionalización).

Por otra parte, García (2011) dice que la formación, experiencia y actitud positiva, constituyen tres factores estrechamente relacionados, que van a influir decisivamente en la incorporación de las TIC en la educación escolar. Cuando los docentes conocen cómo enseñar con las TIC y viven experiencias positivas, en las que comprueban que los alumnos aprenden, e incluso que están más motivados, su valoración de este modo de enseñar se hace más positiva, lo cual, a su vez, les anima a seguir formándose. Del mismo modo, las actitudes de los profesores dependen de su habilidad en el manejo del ordenador y de sus ideas sobre el valor de las TIC en la enseñanza y aprendizaje.

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por los profesores como una metodología eficaz y satisfactoria, y constituiría una mejora sistemática independientemente del nivel educativo del alumno.

Es importante para nuestro estudio determinar unas ideas básicas sobre la enseñanza para la comprensión, dentro de las cuales se pueden enunciar que comprender es la habilidad para pensar y actuar con flexibilidad a partir de lo que uno sabe, y se es reconocida por medio del desempeño que se ejerce entre aprendizaje y enseñanza (Stone 1999). Entendiendo a los desempeños de comprensión como la capacidad de actuar flexiblemente con saber. Actuar flexiblemente significa la posibilidad de resolver situaciones nuevas, crear productos, reorganizar nuevas informaciones con saber. Significa un conocimiento disponible y fértil (Pogré 2012).

La comprensión es reconocida no solo mediante un desempeño flexible, sino que podemos afirmar que es el desempeño flexible. Relacionar, operar, describir, comparar, diferenciar, adecuar, relatar, diagramar, analizar, decidir, representar, secuenciar, organizar, etc., son desempeños que si bien permiten reconocer la comprensión, se puede afirmar que son la comprensión misma. En este sentido es importante discriminar que los desempeños en términos de acción no implican sólo y necesariamente “acciones observables a simple vista”. Procesos mentales complejos como conjeturar, discernir, el pensar mismo, son desempeños (Pogré 2012).

5. METODOLOGÍA

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Este trabajo está direccionado a ser un modelo que sigue líneas de investigación como las realizadas por Castro (1994), Romero (1995), Gairín (1999) y Escolano (2007), que han sido concebidas dentro de la metodología denominada Investigación-Acción y fundamentalmente este método de investigación es reflexionar sobre la práctica en general , con la intención fundamental de mejorar la calidad de dicha práctica educativa (McNiff, 1992) a través de una indagación introspectiva colectiva (Kemmis y McTaggart, 1988). De este modo, el campo de actuación de esta metodología se limita a entornos reducidos que permitan la introducción de modificaciones y el análisis de las consecuencias de dichas modificaciones por un pequeño grupo de investigadores. Esta perspectiva permitió comprender aspectos de la realidad existente e identificar fortalezas y debilidades propias del estudiante y su contexto, y describió la forma en que el estudiante comprendió el concepto de proporcionalidad. La metodología condujo a lograr un proceso de autorreflexión tanto en el estudiante como en los investigadores. Las características de la investigación – acción se resumen en cuatro etapas básicas que son: observación, planificación, acción y reflexión. Estas etapas constituyen un proceso continuo en espiral donde se van dando los momentos de problematización, diagnóstico, diseño de una propuesta de cambio, aplicación de la propuesta y evaluación, para luego reiniciar de nuevo.

Instrumentos de recolección de datos

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propio de Colombia y solo tomando las preguntas y actividades referentes a la proporcionalidad directa, ya que dicha prueba y actividades analizaban de una manera más extensa y detallada

todos los tipos de Proporcionalidad.

También se hizo un análisis cuantitativo a esta prueba, teniendo en cuenta que se le asignó un valor numérico a la categorización o unidades de análisis de las respuestas dadas, las cuales se tomaron de la tesis doctoral antes mencionada. Todo este análisis estaba enfocado en la comprensión de los aspectos conceptuales relacionados con la proporcionalidad y a la aplicación de dichos aspectos a la hora de resolver problemas relacionados con la proporcionalidad.

La metodología para la práctica en el aula, fue observar el estado actual de los estudiantes en el tema de la proporcionalidad y de acuerdo con el estudio teórico se plantearon las actividades que buscaron mejorar la comprensión y posterior análisis de los resultados obtenidos.

Los instrumentos que permitieron la recolección de datos para esta investigación inician con la prueba de entrada, la cual permitió indagar, diagnosticar y a su vez establecer los conceptos previos de los estudiantes; fue un insumo valioso de la efectividad de la secuencia ya que al final se aplicó nuevamente como prueba de salida, y ayudó a contrastar los beneficios de la secuencia aplicada.

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atención a condiciones de regularidad y por último el uso de la razón como «tanto por uno», donde se establece como la cantidad de una magnitud que se corresponde con una unidad de otra magnitud, en situaciones de proporcionalidad directa. Dicho ejercicio se utilizó como prueba de entrada y salida, y permitió determinar el impacto en la comprensión de la proporcionalidad en los estudiantes a los cuales se les aplicó, en concordancia con la realización de la secuencia de actividades.

La secuencia didáctica constó de siete (7) actividades (dos de ellas con el software GeoGebra). Se realizó en clases consecutivas y su metodología fue específica para cada actividad; su aplicación se estructuró en el planteamiento de objetivos, la organización de la actividad (Espacios y tiempos), breve descripción (lo planteado en la guía de actividades) y el análisis de los resultados. La recolección de datos se complementó con grabaciones de audio y video, esto con el fin de observar circunstancias que no son expresadas de manera verbal o escrita y es un enfoque apropiado para obtener determinados datos e información de los estudiantes respecto al tema de investigación, así como también entrevistas semiestructuradas que nos permitieron aclarar algunas respuestas dadas por los estudiantes, las cuales no son fáciles de explicar para ellos en público.

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realizó un análisis cuantitativo a partir de la prueba T-Student, en el que se realizó una comparación estadística de las muestras antes y después de haberse realizado la intervención.

Descripción de los Participantes

La muestra de esta investigación se realizó en una institución educativa del distrito capital de carácter oficial en la localidad de Engativá (10). Se seleccionó esta institución porque en ella labora uno de los integrantes del grupo de trabajo y es el titular de los cursos de matemáticas en grado séptimo. Por esta razón seleccionamos uno de los grupos a cargo: el curso 701 de la jornada tarde. El grupo está compuesto por 42 estudiantes, entre los cuales se encuentran niños y niñas en edades entre 11 y 14 años.

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6. ANÁLISIS DE DATOS POR INSTRUMENTO

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manera muy clara, los conceptos acuñados por Godino (2002) ligados a la proporcionalidad como son: razón, proporción y magnitudes proporcionales, también desde el punto de vista de la transición del pensamiento aditivo al multiplicativo y a partir de resultados de estudios realizados en los que se evidenciaron las dificultades de los estudiantes a la hora de discriminar situaciones con estructuras aditivas de las situaciones proporcionales, las investigaciones elaboradas por Fernández y Llinares (2012), se pudieron comprobar en las actividades propuestas.

6.1 Análisis de los resultados de la prueba de entrada

Se realizó un análisis por separado de los tipos de respuestas dadas por los estudiantes en cada uno de los ejercicios o problemas propuestos, para lo cual se agruparon según la característica de lo que se está indagando o buscando con relación con la proporcionalidad. Por ello, las unidades de análisis para las respuestas de los alumnos fueron distintas en cada tipo de ejercicio.

6.1.1 Ejercicios 1, 2, 3 y 6:

En estos ejercicios las magnitudes involucradas pueden suponerse directamente proporcionales y, además, la razón es la herramienta más útil a la hora de comparar las dos situaciones presentadas. Las unidades de análisis son las siguientes:

Tabla 1

Unidades de análisis ejercicios 1, 2, 3 y 6

0 No entrega o no asiste a clase 1 Respuesta en blanco

2 Respuesta incorrecta sin usar razones 3 Respuesta incorrecta usando razones

4 Respuesta correcta sin razonamiento o con razonamiento incorrecto 5 Respuesta parcialmente correcta

6 Respuesta totalmente correcta

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De acuerdo con estas unidades de análisis los resultados obtenidos por los estudiantes en estos ejercicios se presentan en la siguiente tabla:

Tabla 2

Resultados respuestas ejercicios 1, 2, 3 y 6

0 1 2 3 4 5 6

Ejercicio

1 #Respuestas 2 % 4.8 1 2.4 8 19 2 4.8 29 69 0 0 0 0 Ejercicio

2

#Respuestas 2 0 17 2 14 7 0

% 4.8 0 40.4 4.8 33.3 16.7 0

Ejercicio 3

#Respuestas 2 0 16 3 15 6 0

% 4.8 0 38.1 7.1 35.7 14.3 0

Ejercicio 6

#Respuestas 2 2 30 1 7 0 0

% 4.8 4.8 71.4 2.3 16.7 0 0

Fuente: Elaboración propia

Como se puede observar, el porcentaje más alto de estudiantes que responde correctamente el ejercicio 1 (ver anexo prueba de entrada) se encuentra en la categoría 4. Aunque son respuestas correctas, no presentan razonamiento o un razonamiento incorrecto, este grupo es de aproximadamente el 70 %. El ejercicio con un menor porcentaje de aciertos es el número 6. Esto es, hasta cierto punto, esperado, ya que la situación involucra razones decimales. El ejercicio 2 presenta un mayor porcentaje de aciertos entre las unidades de análisis 4 y 5, seguramente por presentarse en un contexto muy común para los estudiantes como es el fútbol. En el ejercicio 1 aparecen diversos errores muy interesantes. Algunos reflejan los problemas de los alumnos a la hora de manejar el orden en el que aparecen las magnitudes además de indicar el hecho de que los alumnos no comprenden bien la expresión «cambiar euros a dólares».

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estudiantes acierta ya que opta por elegir aquella situación en la que el enunciado proporciona la información requerida de un modo directo: «Al banco B porque te cambian € por $».

Figura 1. Imagen tomada de lo realizado por los estudiantes en la prueba de entrada.

También hay errores cometidos por alumnos que todavía no han asimilado las estrategias multiplicativas relacionadas con el concepto de razón, es decir, dificultades en manejo de la transición de lo aditivo a lo multiplicativo (Fernández & Llinares, 2005). Así, en este caso, hay algunos estudiantes que tratan de aplicar estrategias aditivas basadas en la diferencia entre euros y dólares. Lo interesante de la respuesta de este estudiante es que habla de proporción como muestra la figura 2.

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En el ejercicio que se muestra a continuación, aunque el 33 % acertó en la respuesta, se puede decir que el error más común ha sido nuevamente razonamientos de tipo aditivo, como las siguientes figuras 4 y 5.

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estudiantes cometieron el error de considerar que tendrá mayor sabor aquella mezcla que posea más cantidad de naranja sin tener en cuenta el agua utilizada en la mezcla. Es, nuevamente, el error de considerar cantidades absolutas y no relativas. Los resultados mostrados evidencian que, aunque un 35 % responde correctamente, no hay razonamiento o simplemente es incorrecto, como lo muestran las figuras 6 y 7:

El ejercicio 6 es el que presentó mayores dificultades en sus resultados por parte de los alumnos, estando el 78 % de ellos con respuestas en blanco o incorrectas; la situación no debería resultar ajena a los estudiantes y, además, no difiere sustancialmente del ejercicio 1. En este se incrementa el número de alumnos que responden mal, usando incorrectamente la idea de razón. En concreto, calculan la razón inversa de lo que se necesita calcular o también aparecen errores causados por el razonamiento aditivo, por ejemplo, el que indica la figura 8: «Es como igual porque en la primera, compras 3 y te dan 4 y en la otra pues 4 discos y 5 camisetas». También

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6.1.2 Ejercicios 4 y 5:

En el ejercicio 4 una de las variables involucradas no es una magnitud (el curso) y, por tanto, no tiene sentido calcular ninguna razón. Por otra parte, en el ejercicio 5, aunque puede tener sentido calcular la razón entre profesores y alumnos, esta razón no es una herramienta útil a la hora de comparar las dos situaciones presentadas en el sentido en que se hace la pregunta. Las unidades de análisis para estos ejercicios son las siguientes:

Tabla 3

Unidades de análisis ejercicios 4 y 5 0 No entrega o no asiste a clase 1 Respuesta en blanco

2 Responde incorrectamente usando razones 3 Responde incorrectamente sin usar razones

4 Indica la imposibilidad de responder, pero no lo argumenta

5 Argumenta correctamente que no puede responderse a la pregunta

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De acuerdo con estas unidades de análisis, los resultados obtenidos por los estudiantes en estos ejercicios se presentan en la siguiente tabla:

Tabla 4

Resultados respuestas ejercicios 4 y 5

0 1 2 3 4 5

Ejercicio

4 #Respuestas 2 % 4.8 0 0 0 0 33 78.6 7 16.6 0 0 Ejercicio

5

#Respuestas 2 2 2 34 2 0

% 4.8 4.8 4.8 80.8 4.8 0

Fuente:Elaboración propia

En el ejercicio 4 se planteó una situación en la que una de las variables no era una magnitud. En consecuencia, era imposible definir alguna razón. Muchos alumnos respondieron incorrectamente o simplemente indicaron la imposibilidad de responder, pero no argumentaron (95 %) y nadie señaló que el curso no es una magnitud. El índice de respuestas incorrectas es bastante alto y se debe a que muchos alumnos tratan de responder a la pregunta puesto que, a diferencia de lo que sucede en el ejercicio 5, la pregunta parece tener sentido a partir de los datos que se proporcionan. En esta línea, las respuestas que proporcionan algún argumento pueden clasificarse en dos grupos. Un gran número de estudiantes dio una respuesta errada teniendo en cuenta las dificultades de los cursos, y considera que «En séptimo le fue mejor porque es un grado más difícil».

(33)

Otros estudiantes, por el contrario, no consideran un factor de importancia el número de aprobados y se fijan tan solo en la cantidad absoluta. Un ejemplo es el decir «En los dos tuvo el mismo rendimiento, porque no cambio su resultado».

El ejercicio 5 era similar al anterior en el sentido que no podía responderse a la pregunta que se planteaba, pero presentaba una diferencia importante: en este ejercicio tenía sentido calcular la razón entre las magnitudes involucradas. Se puede establecer que el 90 % de los estudiantes no contestaron o simplemente daban respuestas sin argumentos.

(34)

6.1.3 Ejercicio 7:

En este aparecen explícitamente dos magnitudes: número de vacas y número de días. Entre estas dos magnitudes no tiene sentido calcular la razón, sin embargo, si se hace entrar en juego una tercera magnitud «disimulada» (la cantidad de leche producida), sí tiene sentido hablar de razón. Ahora bien, la razón que resulta útil para resolver este ejercicio es leche/(vaca×día). Además de tener que hacer entrar en juego una nueva magnitud que «no se ve» en el enunciado, se debe «producir» la magnitud vaca-día que carece de un sentido claro. Por todo esto, este ejercicio tenía un mayor grado de dificultad y esto se ve en los resultados. Las unidades de análisis para estos ejercicios son las siguientes:

Tabla 5

Unidades de análisis ejercicio 7

2 Respuesta arbitraria sin razonar

3 Respuesta incorrecta sin calcular razones 4 Trata de calcular la razón vacas/día o viceversa 5 Respuesta correcta

Fuente:proporcionalidad aritmética: una propuesta didáctica para alumnos de secundaria,del profesor Oller, Antonio (2012).

De acuerdo con estas unidades de análisis, los resultados obtenidos por los estudiantes en estos ejercicios se presentan en la siguiente tabla:

Tabla 6

Resultado respuesta ejercicio 7

0 1 2 3 4 5

Ejercicio 7

% 4.8 11.9 42.9 9.5 30.9 0

(35)

Como se observa, el 65 % no contestó la respuesta mayoritaria, dio una respuesta errada o simplemente no utilizó razones. El 30 % de los estudiantes intentó calcular la razón vacas/día o viceversa. Esta razón no tiene ningún sentido ya que en el contexto del problema todas las vacas están presentes todos los días. No procede repartir las vacas entre los días y mucho menos a la inversa. Algunos alumnos han calculado dichas razones y les han asignado significados incorrectos que después han utilizado para resolver el problema. Hay alumnos que han tratado de dar una respuesta sin emplear razones o simplemente utilizando ideas incorrectas, basadas en el tiempo, fijadas únicamente en el número de vacas. Entre otras respuestas, las principales se muestran en las figuras 14, 15 y 16.

Es curiosa la interpretación da este estudiante en donde hace una similitud del texto, por lo que dice que es igual.

(36)

Se ve que un estudiante trata de realizar razones entre vacas y días.

6.1.4 Ejercicios 8, 9 y 10

En estos ejercicios las magnitudes involucradas pueden suponerse (asumiendo las condiciones de regularidad adecuadas) directamente proporcionales y, por tanto, tiene sentido resolver el ejercicio. Las unidades de análisis para este grupo de situaciones son las siguientes:

Tabla 7

Unidades de análisis ejercicios 8, 9 y 10

2 Respuesta incorrecta

3 Indica que no se puede hallar la razón 4 Respuesta correcta sin usar razones

5 Resuelve usando razones sin señalar condición de regularidad 6 Resuelve usando razones señalando condición de regularidad

Fuente:proporcionalidad aritmética: una propuesta didáctica para alumnos de secundaria,del profesor Oller, Antonio (2012)

De acuerdo con estas unidades de análisis, los resultados obtenidos por los alumnos en estos ejercicios se presentan en la siguiente tabla:

Tabla 8

Resultados respuestas ejercicios 8, 9 y 10

0 1 2 3 4 5 6

(37)

8 % 4.8 28.6 57.1 0 9.5 0 0 Ejercicio

9

#Respuestas 2 13 22 0 5 0 0

% 4.8 30.9 52.4 0 11.9 0 0

Ejercicio

10 #Respuestas 2 % 4.8 7 16.6 18 42.9 0 0 11 26.2 3 7.1 1 2.4 Fuente: Elaboración propia.

Observando los resultados obtenidos, en los datos hay varios aspectos a resaltar: primero, ningún estudiante resuelve los ejercicios usando razones; segundo, solo en el ejercicio 10, tres estudiantes utilizan algún tipo de razón; tercero, en los ejercicios 8 y 9 el 90 % de los estudiantes o dejan en blanco o dan una respuesta incorrecta, dentro de este grupo se encuentran estudiantes que utilizan técnicas no relacionadas con la razón. Por último se puede evidenciar que el ejercicio 8 es el de menor grado de entendimiento por parte de los estudiantes, es decir, el que menos revela respuestas satisfactorias (entendidas estas como aquellas que hacen uso de la razón como tanto por uno1). La siguiente figura evidencia repuesta parcial respecto a 12 kg de hormigón, pero se les dificulta cuando es 100 kg.

1_{A partir de la actividad de intercambio surge de forma natural la idea de razón como «}_{tanto por uno»}_{, es decir,}

(38)

Para el ejercicio 9, la dificultad persiste y en la mayoría del grupo se presenta al momento de trabajar simultáneamente con dos unidades, por ejemplo, los huevos y las docenas de huevos, y los estudiantes realizan operaciones aditivas en las cuales dan respuestas aproximadas, pero sin tener en cuenta ningún tipo de uso de razones, o respuestas un tanto confusas en sus argumentos.

(39)

Figura 21. Imagen tomada de lo realizado por los estudiantes en la prueba de entrada

En el ejercicio 10 aumenta el número de alumnos que da respuestas correctas sin hacer uso de la razón (26 %). Esto se debe a relación multiplicativa existente entre las cantidades de magnitudes involucradas, que facilita su generalización. Esto hace que aparezcan respuestas como la de los siguientes estudiantes, aunque son la excepción. Como ya se indicó anteriormente, en general las respuestas son incorrectas o no resuelven.

(40)

En la siguiente respuesta dada por un estudiante, equivocadamente trata de establecer una relación entre obreros, días y metros, pero es realmente difuso el razonamiento realizado.

6.1.5 Ejercicio 11

Este ejercicio constaba de 4 apartados: en el primero se pedía calcular la cantidad total de árboles conociendo la cantidad correspondiente a un cierto porcentaje del total, en el segundo se trataba de calcular la cantidad correspondiente a un cierto porcentaje del total (problemas inverso y directo respectivamente), el tercero pretendía recordar la idea de razón entre dos magnitudes y, finalmente, el cuarto apartado era una pregunta “trampa” que no podía responderse con los datos del problema.

Las unidades de análisis para este ejercicio aparecen recogidas en la tabla siguiente. En este caso las posibilidades presentadas no son excluyentes y, por tanto, los porcentajes de cada fila no han de sumar 100 necesariamente:

Tabla 9

(41)

2 Resuelve correctamente el problema inverso 3 Resuelve correctamente el problema directo 4 Indica al menos el significado de la razón

5 Justifica que no puede calcularse el número de pinos

Fuente:proporcionalidad aritmética: una propuesta didáctica para alumnos de secundaria,del profesor Oller, Antonio (2012)

De acuerdo con estas unidades de análisis, los resultados obtenidos por los alumnos son los siguientes:

Tabla 10

Resultado respuesta ejercicio 11

0 1 2 3 4 5

Ejercicio 11

% 4.8 66.7 0 7,1 14.2 7.1

Se observa un alto porcentaje de respuestas erradas o simplemente no contestadas en donde escriben «no sé cómo realizarlo»; es muy bajo el porcentaje a la hora de resolver los problemas directo e inverso, en general, las respuestas dadas por los estudiantes se limitan a relacionar los datos que tiene el problema, y un pequeño porcentaje (14 %) establece la imposibilidad de calcular el número de pinos. Para concluir el análisis de este ejercicio, se puede determinar que los estudiantes presentan una débil comprensión de la situación de porcentajes y la utilización de razones. Las siguientes figuras dan evidencia de las repuestas más representativas dadas por los estudiantes.

(42)

Este ejercicio plantea una situación abierta, se presenta un cartel con dos informaciones contradictorias: por un lado, el porcentaje de descuento y, por otro, el precio original y el rebajado. Como es natural, el precio rebajado es mayor de lo que debería ser en caso de haber aplicado correctamente el descuento. La pregunta hecha a los alumnos es simplemente su opinión sobre el cartel mostrado, nuevamente la respuesta abierta es una dificultad añadida al ejercicio.

Para este ejercicio, las unidades de análisis aparecen recogidas en la tabla siguiente. Tabla 11

Unidades de análisis ejercicio 12

0 No entrega o no asiste a clase 1 Respuesta en blanco o incorrecta.

2 Aplica el descuento porcentual correctamente 3 Interpreta correctamente los resultados

Tabla 12

Resultado respuesta ejercicios 12

(43)

Ejercicio 12

#Respuestas 2 40 0 0

% 4,8 95,2 0 0

Fuente: Elaboración propia

El total de los estudiantes 95 %, se limitaron a dar respuestas sin sentido como «es una buena oferta», «que está barato», o relataban lo enunciado en el cartel, entre otras respuestas, o

simplemente aseguraban que sí o que no correspondía al 20 %, pero sin dar un argumento matemático, es decir, los estudiantes no dan una respuesta coherente con lo enunciado. Las siguientes figuras muestran las respuestas más utilizadas o errores más interesantes a tener en cuenta.

Respuestas sin argumentos o razonamientos

(44)

Figura 29. Imagen tomada de lo realizado por los estudiantes en la prueba de entrada

Estudiante con una aplicación intuitiva o de desconocimiento de lo que es un porcentaje.

Este ejercicio es algo más complicado que el anterior. En él aparecen involucradas ideas de disminuciones porcentuales, de comparaciones y de búsqueda de cantidades desconocidas en situaciones de proporcionalidad directa. En concreto, el apartado primero del ejercicio es un ejemplo típico de esto último. Por su parte, el segundo apartado vuelve a implicar un cálculo similar junto con una disminución porcentual y una pregunta abierta respecto a lo engañoso o no de la publicidad. Es decir, la respuesta al ejercicio no es simplemente numérica.

Para este ejercicio, las unidades de análisis aparecen recogidas en la tabla siguiente.

Tabla 13

Unidades de análisis ejercicios 13 0 No entrega o no asiste a clase 1 Respuesta en blanco o incorrecta

(45)

4 Responde razonadamente a la pregunta del apartado ii)

Tabla 14

Resultado respuesta ejercicios 13

0 1 2 3 4

Ejercicio 13

#Respuestas 2 38 2 0 0

% 4,8 90,4 4,8 0 0

El porcentaje correspondiente 95 % es de estudiantes, dejó la respuesta en blanco, los estudiantes simplemente dieron una respuesta errada o no asistieron, lo que indica que hay total desconocimiento de la proporcionalidad directa y de operación de diminuciones porcentuales, por consiguiente, con los datos del ejercicio 13, los estudiantes no llegan a hacer una interpretación para dar la respuesta verbal que pedía el problema. Las respuestas de apartado i) fueron parciales, pero sin argumento, ejemplo, figura 31.

(46)

6.2 Análisis de la secuencia didáctica

Las actividades propuestas (1, 1A, 2 ,3 y 4) se adecuaron de la tesis doctoral Proporcionalidad aritmética: una propuesta didáctica para alumnos de secundaria, Oller, A (2012), y las dos últimas son de geometría dinámica, más específicamente de GeoGebra de uso libre con diferentes actividades en el campo matemático. A partir de los resultados obtenidos se pusieron en juego estas actividades consecuentes con las consideraciones dadas por los autores estudiados en el marco teórico.

Analizando los datos de la prueba diagnóstico se logró determinar que los estudiantes presentan ciertas dificultades en los conceptos asociados a la proporcionalidad, para lo cual se piensa que el objetivo principal que tuvo la adaptación de la propuesta curricular es el de incrementar la comprensión de los alumnos en tres campos fundamentalmente:

• El uso significativo de las estructuras multiplicativas.

• La comprensión de los aspectos conceptuales relacionados con la proporcionalidad.

(47)

En lo que sigue se va a distinguir entre ideas relativas a aspectos conceptuales (aunque algunas irán orientadas a la resolución de problemas) e ideas relativas a aplicaciones prácticas.

En un inicio se contempló implementar seis sesiones de clase de 50 minutos cada una, pero al aplicar la actividad 1, y antes de aplicarse la actividad 2, se hizo una actividad complemento, ya que debido a un receso escolar no programado se necesitaba aplicar la prueba refuerzo para retomar la serie de actividades programadas, por lo cual en total se realizaron siete, las cuales se organizaron en torno a los focos de investigación establecidos en la secuencia didáctica.

En el siguiente cuadro se presenta la distribución de las sesiones y actividades para cada uno de los núcleos.

Tabla 15

Distribución de sesiones secuencia

Núcleo de contenido

Sesiones Actividades de aula Razón y condición

de regularidad

1, 2, 3, 4 1, 1A, 2 y 3 Proporcionalidad

directa

5, 6 4, 5 y 6

6.2.1 Actividad 1

Es la actividad de punto de partida de la secuencia, se plantea en el trabajo una situación de intercambio en la que, a partir de una información gráfica, los alumnos deben decidir la cantidad de una de las magnitudes en juego que se obtiene a cambio de distintas cantidades de la otra.

Objetivos

(48)

2. Hacer ver al alumno las ventajas del razonamiento multiplicativo en dichas situaciones. 3. Presentar la idea de razón entre magnitudes de distinta naturaleza.

4. Definir la razón en términos de «tanto por uno».

Organización de la actividad Sesión 1: (55 minutos)

Se lleva a cabo en clase la Actividad 1 (Introducción del concepto de razón), con la siguiente distribución de tiempo:

• Trabajo de los alumnos (30 min) • Puesta en común (15 min)

• Intervención del profesor (10 min) Descripción de la actividad 1

En un lugar visible de la clase se muestra un cartel como el siguiente, en el que se indica visualmente que cuatro tarjetas se convierten en seis pitillos:

(49)

Se formaron los grupos de tres estudiantes. A cada grupo se le van entregando sobres que contienen una determinada cantidad de tarjetas y una cantidad suficiente de pitillos (20) para que puedan manipular. En concreto, los sobres contienen las siguientes cantidades de tarjetas:

Tabla 16

Sobre 1: 2 tarjetas. Sobre 4: 10 tarjetas. Sobre 2: 8 tarjetas. Sobre 5: 1 tarjeta. Sobre 3: 6 tarjetas. Sobre 6: 3 tarjetas.

El trabajo del grupo consistió en decidir cuántos pitillos se obtienen a cambio de las tarjetas contenidas en el sobre. La decisión tomada por el grupo se reflejó en una ficha en la que debían incluir tanto el número de pitillos correspondiente como un razonamiento o explicación del método obtenido seguido para la resolución.

Análisis de los resultados de la actividad

El estudio y análisis de las producciones de los alumnos, se organizó según la estructura interna de la actividad. El análisis está diferenciado en: la primera formada por los dos primeros sobres, la segunda por el tercero y el cuarto; la tercera parte se dedicará al quinto sobre y, finalmente, la cuarta parte está dedicada al último de los sobres entregado a los alumnos. Los tipos de estrategias que pudieron utilizar los estudiantes son de carácter multiplicativo y de razón directa. Se aclara lo que se entiende por cada una de estas estrategias:

(50)

• Razón directa: estos alumnos calculan los pitillos que le corresponden a una tarjeta y usan ese dato de forma correcta multiplicando por la cantidad dada de tarjetas.

El análisis hecho de acuerdo con las respuestas dadas por los estudiantes, en los sobres y en la ficha donde escribían sus respuestas totales, se resumió de la siguiente manera:

Sobres 1 y 2:

El sobre 1 se preguntaba por los pitillos obtenidos a cambio de 2 tarjetas y en el sobre 2 por los obtenidos a cambio de 8 tarjetas. La información que se proporciona al alumno es que, por cada 4 tarjetas, se obtienen 6 pitillos. Los resultados obtenidos en estos dos apartados, se indican en las siguientes figuras:

Sobre 1

Figura 34. Imagen tomada de lo realizado por los estudiantes del grupo G9 en la actividad 1

Sobre 2

(51)

En estos primeros sobres, dadas las sencillas relaciones multiplicativas entre las cantidades involucradas, el grupo de trabajo logró un total acierto. Además, como se observa en las respuestas del grupo, el argumento que utilizan es de tipo multiplicativo.

Sobres 3 y 4:

En el sobre 3 se preguntaba por los pitillos obtenidos a cambio de 6 tarjetas y en el sobre 4 por las obtenidos a cambio de 10 tarjetas. En este caso sigue habiendo relaciones multiplicativas sencillas, pero no con la cantidad de tarjetas del cartel, sino con la del sobre 1, esto hará que aparezcan nuevas estrategias de resolución que se verán más adelante.

Sobre 3

Sobre 4

(52)

En el sobre 5 se incluía una única tarjeta. De este modo se forzaba a los alumnos a calcular la razón entre pitillos y tarjetas.

Sobre 6

En este último sobre aparecían tres tarjetas y se pretendía observar si, una vez obtenido el valor correspondiente a una tarjeta, los alumnos utilizaban dicho valor para resolver este apartado o si, por el contrario, reaparecían estrategias de tipo aditivo.

(53)

El razonamiento básico que utilizaron en los sobres 1 y 2 es un razonamiento «2 es la mitad de» y «8 es el doble de», es decir, siempre teniendo como referencia el cartel o también utilizando la división, lo que es importante porque ya empieza una comprensión de la relación entre magnitudes y la correspondiente relación entre ellas, que es lo previo a la razón.

En los sobres en que las operaciones multiplicativas o la razón directa no era aplicable, los estudiantes razonaron que «si de 2 salen 3, entonces la mitad de 3 es 1,5».

La siguiente conversación2 relaciona la dificultad de establecer razonamientos proporcionales o de tipo multiplicativo:

- Estudiante 103: Nos repartimos los sobres y después nos ponemos de acuerdo, ¿vale?

- Estudiante 7: Me tocaron las difíciles, no son exactas, ¿será que utilizo las tijeras?, mejor no… - Estudiante 37: Le voy preguntar al profe si es obligatorio utilizar las tijeras y los pitillos, porque esto yo lo hago sin estas cosas.

- Estudiante 10: Yo estoy haciendo las operaciones con sumas, que es más fácil, pero oiga E7, ¿por qué me dice que haga multiplicaciones o divisiones?

- Estudiante 7: Vamos terminando, al fin no utilizamos las tijeras, simplemente venga le muestro cómo haciendo multiplicaciones y divisiones damos la respuesta, para que sea rápido y llenar lo

que toca…

Se pudo establecer, en los fragmentos de los diálogos que tuvieron los integrantes del grupo G9, que no había unanimidad en la forma de abordar relaciones de intercambio y se mostraron interesados en el abordaje del problema, pero como el estudiante E10 continúa en el campo de lo aditivo, se hace necesario que uno de sus compañeros le haga saber estrategias multiplicativas.

2_{Esta conversación es grabación de audio que se realizó en el espacio en que el grupo observado realizaban la} actividad

3_{El número hace referencia al código del estudiante en la lista del curso}

(54)

Se evidencia que después establecieron la relación o equivalencia de una tarjeta con lo correspondiente a pitillos, pero aun así fue cuando requirieron realizar este intercambio y no desde un inicio. Así, la relación entre lo mostrado por el cartel de 4 tarjetas es a 6 pitillos, por lo que la relación «tanto por uno» no fue comprendida en su totalidad.

6.2.2 Actividad 1-A

Esta actividad se estableció como una continuación de la actividad 1. Se planteó para retomar las actividades, ya que en un principio se había organizado la aplicación de estas de manera secuencial una vez se realizara el análisis de cada una, pero debido a un cese de actividades no programado, se determinó en acuerdo con el director de tesis aplicarse para que los estudiantes retomaran las actividades y recordar lo que se había hecho en la primera actividad.

Objetivos

1. Reforzar el concepto de razón entre magnitudes en una situación de intercambio.

2. Mostrar la reversibilidad de las situaciones de intercambio.

3. Observar qué sucede con la razón cuando se «invierte» el sentido de un intercambio.

Se lleva a cabo en clase la actividad 1A - complemento (refuerzo del concepto de razón), con la siguiente distribución de tiempo:

(55)

• Intervención del profesor (10 min)

Descripción de la actividad 1A

A los grupos de trabajo se les entregó una guía, en ella se presenta la misma situación de intercambio, pero a la inversa, es decir, que ahora las tarjetas se obtienen a cambio de los pitillos y no al revés. También se les proporciona a los alumnos 20 pitillos, 20 tarjetas en cartulina y tijeras.

La actividad consta de dos partes bien diferenciadas. En la primera, los alumnos deben utilizar la información gráfica proporcionada en el enunciado (similar a la que se les dio en la actividad 1) para averiguar cuántas tarjetas se obtendrían a cambio de diversas cantidades de pitillos, y la segunda es dar una razón entre las tarjetas y los pitillos, y el significado que tiene en la situación planteada.

(56)

El apartado 3 constituye el punto de inflexión de la actividad, allí se le “forzó” al grupo de trabajo a obtener la cantidad de tarjetas que se consiguen a cambio de un pitillo, con el fin de ver si en los apartados siguientes utilizan esa información, no obstante, erróneamente determinaron como equivalencia 1,5, donde escriben como razonamiento «si tenemos un pitillo, nos daría 1,5 y no hay nada más con qué sumarlo», es decir, estuvieron en lo aditivo con la particularidad que

realizaron una relación inversa, es decir, de tarjetas a pitillos.

Aunque el concepto de razón se introdujo en la primera sesión, en la puesta en común y la intervención del profesor, los estudiantes recordaron lo socializado, sin embargo, realizaron la relación inversa entre las magnitudes, o sea, el grupo calculó este valor referente a un pitillo= 1,5 y lo hizo extensivo para los apartados 4, 5 y 6. Este error cometido en el punto de inflexión, estableció como justificación que se sumaba 1,5 o simplemente se multiplicaba por este número.

(57)

Figura 40. Imagen tomada de lo realizado por los estudiantes del grupo G9 en la actividad 1A

Realizada la actividad, se hizo la puesta en común en donde se aclararon dudas y se consolidó la relación entre magnitudes y cómo utilizaron razones como herramienta para la comparación de situaciones de intercambio. De acuerdo con una entrevista semiestructurada, realizada a los estudiantes del grupo G9, se pudieron determinar algunos aspectos que dan claridad del porqué de sus respuestas en la guía. Las respuestas que llamaron más la atención y que dieron claridad sobre lo realizado, son las siguientes:

Estudiante 7, ¿por qué en el intercambio de un pitillo escribieron que obtendrían 1,5 de

tarjetas?

- Dividíamos los pitillos entre las tarjetas y ese resultado nos daba 1,5 y nos confundimos ya

que dividimos 1,5 entre 1 y no al revés, por eso creíamos que era la respuesta.

(58)

Estudiante 10, ¿qué opinas de lo realizado en la actividad?

- Estábamos un poco confundidos, pero íbamos bien hasta que nos confundimos con un pitillo,

pero sí teníamos la idea de que al dividir una de las cantidades entre la otra, nos debía dar

igual, y de ahí seguir multiplicando, pero ya tenemos claro cuál fue nuestro error…

Es evidente que los estudiantes no realizaron un análisis de la equivalencia 6/4 es 3/2, simplemente la estrategia multiplicativa la razonaban como que 3 es la mitad de 6, o el grupo razona con base en relaciones aditivas entre las cantidades involucradas. Por ejemplo, que 9 es la suma de 6 y 3. La razón directa no fue correctamente aplicada ya que no tuvieron en cuenta el orden de las magnitudes comparadas.

6.2.3 Actividad 2

En esta actividad se pretendía comprobar si los estudiantes utilizaban espontáneamente la idea de razón (trabajada ya en las dos actividades anteriores), a la hora de comparar distintas situaciones de intercambio para elegir la más ventajosa.

Los carteles informativos tenían mensajes gráficos con una flecha doble indicando que las situaciones son reversibles (esto ya había sido advertido por los alumnos tras trabajar la actividad 1 complemento), pero con los dibujos en los dos sentidos posibles. Es decir, se presentaban dos carteles con las tarjetas en primer lugar y otros dos a la inversa. Con esto se pretendía afianzar la reversibilidad además de que los alumnos pudieran tener claro el orden en el que se debían efectuar las operaciones para obtener la información requerida.

(59)

Objetivos

1. Reforzar el concepto de razón en situaciones de intercambio. 2. Calcular razones en situaciones de intercambio.

3. Utilizar las razones como herramienta para la comparación de situaciones de intercambio.

Se lleva a cabo en clase la actividad 2 (Comparación de razones), con la siguiente distribución de tiempo:

• Trabajo de los alumnos (30 min) • Puesta en común (15 min)

• Intervención del profesor (10 min) Descripción de la actividad 2

Se les entrega a los grupos de estudiantes dos hojas, en una se encuentran cuatro situaciones de intercambio diferentes entre patillos y tarjetas, y en la otra vine una pequeña guía para solucionar. A cada grupo de trabajo se le entregó una cantidad suficiente de pitillos y tarjetas para que estos elementos puedan ser utilizados si lo requerían. La actividad consistió en decidir qué situación de las anteriores resultaba más ventajosa a la hora de cambiar pitillos por tarjetas o viceversa. Se debía llenar la hoja guía con las respuestas del grupo, como se muestra en el anexo 4.