UNIDAD DIDÁCTICA 8. Los principios de la dinámica (Dinámica I) 1. Las fuerzas y sus efectos
* Concepto de fuerza: la fuerza es una magnitud vectorial que mide la causa capaz de producir o provocar deformaciones o cambios en el estado de movimiento de los cuerpos.
• La fuerza es el resultado de la interacción entre dos cuerpos. Las fuerzas siempre van por parejas, una actúa sobre uno
de los cuerpos y la otra sobre el otro.
* Tipos de fuerzas según el contacto o no entre los cuerpos.
• Fuerzas de contacto entre cuerpos que están en contacto físico. Ejemplos: cables y ascensor,
buey y carreta,…
• Fuerzas a distancia entre cuerpos que no están en contacto físico. Ejemplos: Tierra y Luna,
dos imanes, dos cargas eléctricas,…
* La fuerza como magnitud vectorial: se representa con vectores F⃗
• Dirección: línea recta sobre la que actúa la fuerza.
• Sentido: hacia donde se ejerce la fuerza en la línea de acción.
• Módulo o intensidad: valor numérico de la fuerza.
o Unidades: en el SI newton (N); otra kilopondio (kp) 1 kp = 9,8 N.
• Punto de aplicación: punto en el que se ejerce la fuerza.
* Sistemas de fuerzas:
• La fuerza total o resultante es la suma vectorial de todas las fuerzas del sistema (fuerzas que actúan sobre una partícula
u objeto, o sobre un conjunto de ellos) R
⃗⃗ = ∑ F⃗⃗⃗ = Fi ⃗⃗⃗⃗ + F1 ⃗⃗⃗⃗ + F2 ⃗⃗⃗⃗ + ⋯ (8.1)3
2. Fuerzas y deformaciones
* La ley de Hooke cuando se aplica una fuerza a un muelle, resorte o cuerpo elástico, dentro
de su límite de elasticidad, le provoca una deformación directamente proporcional al valor de esa fuerza.
• Aplicable a cuerpos elásticos.
• Matemáticamente:
F = – k · Δ l (8.2)
• k es la constante de proporcionalidad y se llama constante elástica del muelle
o cuerpo elástico: es la fuerza que hay que realizar sobre el resorte para que se alargue una unidad de longitud. Unidad en el SI: N/m.
• l es el alargamiento, elongación o deformación del muelle o cuerpo elástico.
* Dinamómetro: instrumento que sirve para medir fuerzas.
3. El peso
* Peso: fuerza con que la Tierra o cualquier objeto celeste atrae a un cuerpo.
• Dirección: línea que va desde el cuerpo hasta el centro de la Tierra (cuerpo celeste)
• Sentido: hacia el centro de la Tierra
• Módulo o intensidad:
|P⃗⃗ | = G ·m · M
r2 = m · G · M
r2= m · g (8.3)
Donde |P⃗⃗ | (P) es el peso, m es la masa del cuerpo, M es la masa del cuerpo celeste y g es la aceleración de la gravedad o intensidad del campo gravitatorio debida al cuerpo celeste en cuestión.
• En la superficie de la Tierra:
|P⃗⃗⃗ | = G ·T m · M
r2 = m · G · MT
R2T ⇒ goT = G · MT
RT2 (8.4)
Donde goT es la intensidad del campo gravitatorio en la superficie terrestre (aceleración de la gravedad = 9,8 N/kg = 9,8 m/s2),
MT es la masa de la Tierra y RT es el radio de la Tierra.
• Punto de aplicación: centro de gravedad del cuerpo.
• Definición de un kilopondio: fuerza con la Tierra atrae a un kg de masa (peso en la Tierra de un kg de masa)
1 kp = 1 kg · 9,8 m/s2 = 9,8 N
4. Fuerzas y cambios en los movimientos
* Dinámica: parte de la Física que estudia los movimientos teniendo en cuenta las causas que los producen. * Principios de la dinámica (clásica): Isaac Newton en 1687 para sistemas inerciales:
• Primer principio de la dinámica, primera ley de Newton o principio de inercia:
Sentido
Módulo
Dirección
o Enunciado: cuando la fuerza neta o resultante que actúa sobre un cuerpo es cero, el cuerpo mantiene su estado de movimiento: si estaba en reposo, continúa en reposo; y si estaba en movimiento, seguirá moviéndose con MRU.
o A destacar: un cuerpo puede estar en movimiento cuando no actúan fuerzas sobre él, y puede encontrarse en
reposo aunque actúan fuerzas sobre él.
o Conceptos:
▪ Fuerza: como causa de los cambios de movimiento.
▪ Inercia: propiedad de los cuerpos materiales que nos indica la oposición que presentan a cambiar el
estado de movimiento que poseen o que nos indica la tendencia que tienen a mantener el estado de movimiento que llevan la
magnitud que mide la inercia de un cuerpo es la masa inerte.
• Segundo principio de la dinámica, segunda ley de Newton o principio fundamental de la dinámica:
o Enunciado: la aceleración que adquiere un cuerpo es directamente proporcional a la resultante de las fuerzas
que actúan sobre él, estando dirigida en la misma dirección y sentido.
o Matemáticamente:
R
⃗⃗ = ∑ F⃗ = m · a⃗ (8.5)
o Constante de proporcionalidad: la masa inerte, m, es la relación constante entre la resultante de las fuerzas que
actúan sobre un cuerpo y la aceleración que adquiere. m =|F1|a⃗⃗⃗⃗ | 1 ⃗⃗⃗⃗ |=
|F2⃗⃗⃗⃗ | |a⃗⃗⃗⃗ |2 =
|F3⃗⃗⃗⃗ |
|a⃗⃗⃗⃗ |3 = ⋯ = constante
▪ Masa inerte: medida de la inercia de un cuerpo.
▪ Unidades: kg (kilogramo) en el SI.
o Definición de la unidad de fuerza en el SI: un newton (N) es la fuerza que actuando sobre un kilogramo de
masa le imprime una aceleración de 1 m·s-2 en su misma dirección y sentido 1 N = 1 kg · 1 m·s-2.
o El primer principio o principio de inercia es un caso particular del 2º: resultante igual a cero aceleración
igual a cero reposo o MRU.
• Tercer principio de la dinámica, tercera ley de Newton o principio de acción y reacción:
o Enunciado: cuando un cuerpo ejerce sobre otro una fuerza (acción), este, al mismo tiempo, ejerce sobre el primero una fuerza igual y de sentido contrario (reacción).
o Matemáticamente:
F12
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −F⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (8.6)21
o Las fuerzas aparecen por parejas, no están aisladas (interacción).
o Aspectos a tener en cuenta:
▪ las fuerzas se ejercen sobre cuerpos distintos y no se pueden anular.
▪ las fuerzas se ejercen al mismo tiempo, son simultáneas.
* Validez de la dinámica clásica:
• Para sistemas inerciales (reposo o MRU).
• Para velocidades “pequeñas” comparadas con la velocidad de la luz en el vacío (c = 3,0 · 108 m·s-1) v < c/10.
5. Momento lineal o cantidad de movimiento
* Concepto de momento lineal o cantidad de movimiento: magnitud vectorial que mide cómo se mueve un cuerpo, desde los
puntos de vista cinemático y dinámico caracteriza dinámicamente el movimiento de un objeto.
• Matemáticamente:
p
⃗ = m · v⃗ (8.7)
• Unidad SI: kg · m·s-1.
* Segundo principio de la dinámica y cantidad de movimiento: R⃗⃗ = ∑ F⃗ =dp⃗⃗ dt (∑ F⃗ =
Δp⃗⃗
Δt si la resultante es constante)
fuerzas como causantes de cambios en la cantidad de movimiento de una partícula.
• si
R
⃗⃗ = 0⃗ ⇒ dp⃗
dt = 0⃗ ⇒ p⃗ = constante⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (8.8) * Sistemas de partículas: conjunto de partículas, cuerpos u objetos.
• Cantidad de movimiento del sistema: suma de las cantidades de movimiento de cada una
p⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ∑ psis ⃗⃗⃗ = pi ⃗⃗⃗⃗ + p1 ⃗⃗⃗⃗ + p2 ⃗⃗⃗⃗ + ⋯ (8.9)3
• Fuerzas en un sistema:
o Fuerzas exteriores: fuerzas que se realizan por cuerpos u objetos que no pertenecen al sistema.
o Fuerzas interiores: fuerzas que se ejercen entre sí las partículas u objetos del sistema la suma de las fuerzas
interiores de un sistema de partículas (resultante de las fuerzas interiores) es cero ∑ Fi⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ int ..
• Conservación de la cantidad de movimiento: en un sistema aislado la cantidad de movimiento total del sistema permanece constante
o Si
∑ F⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ext i
⇒ p⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = constantesis ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (8.10)
6. Principios de la dinámica y cantidad de movimiento
* Primer principio:
R
⃗⃗ = ∑ F⃗ = 0⃗ ⇒ dp⃗
dt = 0⃗ ⇒ p⃗ = constante⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ m · v⃗ = constante⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ v⃗ = constante⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ reposo o MRU (8.11) * Segundo principio:
R
⃗⃗ = ∑ F⃗ =dp⃗ dt =
d(m · v⃗ )
dt = m ·
dv⃗
dt = m · a⃗ (8.12) * Tercer principio:
∑ F⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ⇒ pext ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = constantesis ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ p⃗⃗⃗⃗ + p1 ⃗⃗⃗⃗ = p2 ⃗⃗⃗⃗⃗ + p1′ ⃗⃗⃗⃗ ⇒ p2′ ⃗⃗⃗⃗ − p1 ⃗⃗⃗⃗ = p1′ ⃗⃗⃗⃗ − p2 ⃗⃗⃗⃗ ⇒2′
−Δp⃗⃗⃗⃗ =1 Δp⃗⃗⃗⃗ ⇒ −2 Δp⃗⃗⃗⃗ 1
Δt =
Δp⃗⃗⃗⃗ 2
Δt ⇒ −F⃗⃗⃗⃗ = F1 ⃗⃗⃗⃗ (8.13)2
6.1. Sistema de dos partículas
* Sistema de dos partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema.
• Sobre la partícula 1 actúa la fuerza exterior F⃗⃗⃗⃗ 1y la fuerza que ejerce la partícula 2, F⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 12. Sobre la partícula 2 actúa la
fuerza exterior F⃗⃗⃗⃗ 2 y la fuerza que ejerce la partícula 1, F⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 21.
o Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores serían
las que ejerce el Sol (y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores serían la atracció n mutua entre estos dos cuerpos celestes.
• Para cada una de las partículas se cumple que la razón de la variación del momento lineal con el tiempo es igual la
resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula considerada, es decir, el movimiento de cada partícula viene determinado por las fuerzas interiores y exteriores que actúan sobre dicha partícula.
o Matemáticamente:
R
⃗⃗ = ∑ F⃗ =dp⃗ dt⇒
{
F⃗⃗⃗⃗ + F1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12
dp⃗⃗⃗⃗ 1
dt
F2
⃗⃗⃗⃗ + F⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =21 dp⃗⃗⃗⃗ 2
dt
o Sumando miembro a miembro y teniendo en cuenta la tercera Ley de Newton, F⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −F12 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 21,
tenemos que:
F1 ⃗⃗⃗⃗ + F⃗⃗⃗⃗ =2
d(p⃗⃗⃗⃗ + p1 ⃗⃗⃗⃗ )2
dt ⇒ ∑ F⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ext dp⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sis
dt (8.14)
o Donde p⃗⃗⃗⃗⃗⃗ es el momento lineal total del sistema y sis ∑ F⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ext es la resultante de las fuerzas exteriores que actúan
sobre el sistema de partículas. El movimiento del sistema de partículas viene determinado solamente por las fuerzas exteriores.
• Conservación del momento lineal de un sistema de partículas. Considérese dos partículas que pueden interactuar entre
sí pero que están aisladas de los alrededores. Las partículas se mueven bajo su interacción mutua pero no hay fuerzas exteriores al sistema:
∑ F⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ⇒ext
dp⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sis
dt =
d(p⃗⃗⃗⃗ + p1 ⃗⃗⃗⃗ )2
dt = 0⃗ ⇒
psis
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = constante⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ p⃗⃗⃗⃗ + p1 ⃗⃗⃗⃗ = p2 ⃗⃗⃗⃗⃗ + p1′ ⃗⃗⃗⃗ (8.15) 2′
o El principio de conservación del momento lineal afirma que el momento lineal total del sistema de partículas
permanece constante, si el sistema es aislado, es decir, si no actúan fuerzas exteriores sobre las partículas del sistema. El principio de conservación del momento lineal es independiente de la naturaleza de las fuerzas de interacción entre las partículas del sistema aislado.
• Colisiones. Se emplea el término de colisión para representar la situación en la que dos o más partículas interaccionan
o El momento lineal total se conserva en las colisiones. Sin embargo, la energía cinética no se conserva debido a que parte de la energía cinética se transforma en energía térmica y en energía potencial elástica interna cuando los cuerpos se deforman durante la colisión.
o Se define colisión inelástica como la colisión en la cual no se conserva la energía cinética. Cuando dos objetos
que chocan se quedan juntos después del choque se dice que la colisión es perfectamente inelástica. Por ejemplo, un meteorito que choca con la Tierra.
7. Impulso lineal o mecánico
* Concepto de impulso lineal: magnitud vectorial que mide o cuantifica la acción de una fuerza sobre un cuerpo o partícula teniendo en cuenta el tiempo que se está ejerciendo.
• Matemáticamente (considerando que la fuerza se mantiene constante durante el intervalo Δt):
I = F⃗ ·Δt (8.16)
• Unidad en SI: N·s.
* Teorema del impulso lineal o mecánico: el impulso lineal o mecánico ejercido sobre un cuerpo o partícula es igual a la variación
de su cantidad de movimiento Matemáticamente:
I =Δp⃗ ⇒ I = F⃗ ·Δt =Δp⃗
Δt·Δt =Δp⃗ (8.17)
8. Fuerzas de rozamiento por deslizamiento
* Fuerzas de rozamiento por deslizamiento:
• Se oponen a los movimientos.
• Se localizan en las zonas de contacto entre las superficies.
• Causas (de origen electromagnético):
o Rugosidades de dichas superficies.
o Fuerzas de cohesión entre las superficies de contacto.
• Medida: magnitud vectorial, F⃗⃗⃗ r
o Dirección: paralela al movimiento relativo entre las superficies de contacto.
o Sentido: opuesto al movimiento relativo de las superficies
o Punto de aplicación: en las zonas de contacto.
o Módulo o intensidad: es variable (depende de la fuerza que se ejerza para mover las superficies) y su valor
máximo es proporcional a las fuerzas que mantienen unidas las superficies (fuerza normal) |F⃗⃗⃗ | ∝ |Nr ⃗⃗ |.
➢ Toma un valor máximo en la situación estática límite (casi con movimiento)
|F⃗⃗⃗⃗⃗ | = μre e· |N⃗⃗ | (8.18)
• μe es el coeficiente de rozamiento estático: situación inmediatamente previa al movimiento, pero
sin movimiento.
o depende de la naturaleza de las superficies de contacto.
o representa la fuerza de rozamiento máxima entre superficies estáticas por cada unidad de
fuerza que las mantiene unidas μe=|F⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |re |N⃗⃗ |.
o no tiene unidades, es adimensional.
➢ Cuando hay movimiento relativo entre las superficies:
|F⃗⃗⃗⃗⃗ | = μrc c· |N⃗⃗ | (8.19)
• μc es el coeficiente de rozamiento cinético o dinámico: situación de movimiento.
o depende de la naturaleza de las superficies de contacto.
o representa la fuerza de rozamiento máxima entre superficies en movimiento relativo por
cada unidad de fuerza que las mantiene unidas μc=
|F⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |rc |N⃗⃗ |.
o no tiene unidades, es adimensional.
o se cumple que μe > μc (|F⃗⃗⃗⃗⃗ | > |Fre ⃗⃗⃗⃗⃗ |rc ) se necesita vencer menos fuerza para mantener
el movimiento que para iniciarlo.
➢ Fuerza normal, N⃗⃗ : fuerza que se relaciona con la cohesión entre superficies de contacto representa
las fuerzas que se ejercen mutuamente una superficie sobre otra como consecuencia del principio de acción y reacción.
• Dirección: perpendicular a las superficies.
• Sentido: dirigido de cada una de las superficies hacia la otra.
• Punto de aplicación: la zona de contacto entre las superficies.
• Módulo o intensidad: depende de la interacción entre ambas superficies.
9. Procedimiento de resolución de problemas de dinámica
* 2º Realización de un diagrama de fuerzas. * 3º Elección de un sistema de referencia adecuado.
* 4º Descomposición de las fuerzas en el sistema de referencia elegido. * 5º Aplicación de los principios de la dinámica clásica.
* 6º Resolución de las ecuaciones que nos permita obtener las magnitudes que se soliciten. * 7º Análisis de los resultados.
10. Sistemas no inerciales
* Concepto de sistemas no inerciales: sistemas en los que no son válidos los principios de la dinámica clásica.
• Son sistemas que están acelerados respecto a otros (no se encuentran ni en reposo ni se mueven con MRU respecto a
otros).
• Fuerzas de inercia: pseudofuerzas (no existen en realidad porque no son ejercidas por ningún cuerpo) que se deben
introducir en los sistemas no inerciales para que se puedan seguir aplicando los principios de la dinámica clásica.
o Matemáticamente:
Fi
⃗⃗⃗ = −m · a⃗ (8.20)
➢ a⃗ es la aceleración con la que se mueve el sistema no inercial.
➢ En movimientos circulares se suele denominar fuerza centrífuga:
Fi
⃗⃗⃗ = F⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −m · acentrífuga ⃗⃗⃗ (8.21)c
11. Fuerzas elásticas
* Fuerzas elásticas: descritas por la ley de Hooke
F = – k · Δ l = – k · (l – lo) = – k · Δx = – k · x
• Cuerpos sometidos a fuerzas elásticas (resultantes) describen un movimiento armónico simple (MAS)
∑ F⃗ = −k · x = m · a ⇒ a = −k
m· x = −ω
2· x ⇒ MAS
ω = √k
m (8.22)
T = 2 · π · √m
UNIDAD DIDÁCTICA 9. Dinámica del movimiento circular (Dinámica II) 1. Dinámica del movimiento circular uniforme
* En el estudio del movimiento circular uniforme, hemos visto que la velocidad del móvil no cambia de módulo pero cambia constantemente de dirección. El móvil tiene una aceleración que está dirigida hacia el centro de la trayectoria, denominada
aceleración normal y cuyo módulo es an=v2
R.
* La segunda ley de Newton afirma, que la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo que describe un movimiento circular uniforme es igual al producto de la masa por la aceleración normal:
∑ F⃗ = m · a⃗⃗⃗⃗ → R = m · an n= m · v2
R (9.1)
• Desde el punto de vista de un observador inercial, el móvil describe un movimiento circular uniforme. El móvil cambia
constantemente la dirección de la velocidad, aunque su módulo permanece constante. La fuerza necesaria para producir la aceleración normal es (fuerza centrípeta):
F = m · an= m · v2
R = m · ω
2· R (9.2)
• Desde el punto de vista del observador no inercial situado en el móvil, éste está en equilibrio bajo la acción de dos
fuerzas. La fuerza de interacción correspondiente y una fuerza de inercia que se denomina fuerza centrífuga. La fuerza centrífuga es el producto de la masa por la aceleración centrífuga
Fcentrífuga
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = F⃗⃗⃗ − m · ac ⃗⃗⃗ → Fc c= −m · ac= −m · ω2· R (9.3)
• La fuerza centrífuga, no describe ninguna interacción entre cuerpos, como la tensión de una cuerda, el peso, la fuerza
de rozamiento, etc. La fuerza centrífuga surge al analizar el movimiento de un cuerpo desde un sistema de referencia no inercial (acelerado) que describe un movimiento circular uniforme.
2. Las leyes de Kepler
* Leyes de Kepler (astrónomo y matemático alemán, 1571-1630). Convencido teoría Copérnico, se basa en datos de su maestro Tycho Brahe (astrónomo danés, 1546-1601) para proponer leyes cinemáticas del movimiento planetario.
• Primera ley (1609): los planetas giran alrededor del Sol en órbitas elípticas con el Sol en uno de los focos (casi circunferencias).
• Segunda ley o ley de las áreas (1609): la recta (radiovector) que une un planeta con el Sol barre áreas iguales en
tiempos iguales (velocidad areolar constante)
mayor velocidad en el perihelio (más cerca) y menor en el afelio (más lejos).• Tercera ley (1619): los cuadrados de los períodos orbitales (tiempo en dar una órbita completa) son proporcionales a
los cubos de las distancias medias al Sol (también al semieje mayor)
T2 = k · r3 (9.4)
o Describe el movimiento planetario (avance decisivo ciencia), pero no los explica: cinemática, no dinámica.
3. Momento de un fuerza y momento angular
* Momento de una fuerza: magnitud vectorial que se relaciona con los giros y las rotaciones, que mide la causa capaz de producir cambios en el movimiento de rotación o giro.
• Matemáticamente: el momento M⃗⃗⃗⃗⃗⃗ O de una fuerza F⃗ , respecto a un punto O es el producto
vectorial del vector que une el punto O con el punto P de aplicación de la fuerza, r = OP⃗⃗⃗⃗⃗ , por el vector fuerza,
F
⃗ ⇒ M⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = r × F⃗ = r ∧ F⃗ (9.5)O
• Es un vector:
o Módulo o intensidad (módulo del producto vectorial):
|M⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |r | · |F⃗ | · sen α (9.6)O
o Dirección: perpendicular al plano que forman r y F⃗ , es decir, perpendicular a ambos vectores (como sucede
con todos los productos vectoriales).
o Sentido: regla de la mano derecha, sacacorchos, tornillos, Maxwell,… llevando el vector r sobre el vector F⃗ .
o Unidad SI: N·m.
* Sistemas de fuerzas:
• Momento total o resultante respecto a un punto O es la suma vectorial de todos los
MO
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ∑ M⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = MOi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MO1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MO2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⋯ (9.7)O3
* Momento angular o cinético de una partícula. Consideremos una partícula de masa m que se mueve con respecto a O con una
velocidad v⃗ . Definimos una nueva magnitud vectorial, llamada momento angular de la partícula con respecto a O (L⃗ ) (momento
de la cantidad de movimiento):
LO
⃗⃗⃗⃗ = r ∧ m · v⃗ = r ∧ p⃗ (9.8) LO= r · m · v · sen θ (9.9) • Sus unidades son: m2·kg·s-1.
• El vector L⃗ es en cada instante perpendicular al plano formado por el vector de posición y el vector velocidad; cuando
la trayectoria es plana y el origen está contenido en el plano de la misma, L⃗ es perpendicular a dicho plano.
• Conservación del momento angular. Para determinar bajo qué condiciones L⃗ se mantiene constante, derivamos con
respecto al tiempo:
dL⃗⃗⃗⃗ O
dt =
d(r ∧ p⃗ )
dt =
dr
dt∧ p⃗ + r ∧ dp⃗
dt = 0⃗ + r ∧ dp⃗ dt
o El primer término es nulo por tratarse del producto vectorial de dos vectores paralelos, con lo que aplicando la
definición de fuerza dada en la segunda ley de Newton queda: dL⃗⃗⃗⃗ O
dt = r ∧ ∑ F⃗ = ∑ M⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (9.10)O
o El vector L⃗ será constante cuando su derivada sea nula. Esto constituye el teorema de conservación del momento angular: si la resultante del momento de las fuerza que actúan sobre una partícula es nulo, su momento angular o cinético se mantiene constante.
▪ Matemáticamente:
∑ M⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = r ∧ ∑ F⃗ = 0⃗ ⇒O dL⃗⃗⃗⃗ O
dt = 0⃗ ⇒ L⃗⃗⃗⃗ = constanteO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (9.11)
o Esta condición se cumple en dos casos:
o En el caso de una partícula libre, la fuerza a la que está sometida es nula por lo que no ejerce momento
y por tanto se mueve con L⃗ constante, además de con momento lineal constante.
o Cuando el vector posición es paralelo a la fuerza, el producto vectorial es nulo por lo que L⃗ también es
constante. Esto sucede en el caso de una fuerza central, es decir, que pasa siempre por un punto fijo: el momento angular de una partícula sometida exclusivamente a una fuerza central es constante. La fuerza gravitatoria es una fuerza central por lo que, por ejemplo, la Tierra se mueve con respecto al Sol con L⃗ constante.
* Fuerzas centrales. Una fuerza es central, cuando el vector posición r es paralelo al vector fuerza F⃗ .
• El momento de la fuerza M⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = r × F⃗ = r ∧ F⃗ = 0⃗ O y, por tanto, el momento angular permanece constante en módulo,
dirección y sentido.
• Ejemplos de fuerzas centrales: fuerzas gravitatorias, fuerzas electrostáticas,…
4. Interacción gravitatoria
* Interacción gravitatoria:
• Ley de Gravitación Universal: propuesta por Newton en 1687 (Isaac Newton, físico y matemático inglés, 1642-1727).
− Enunciado: Todos los cuerpos, considerados dos a dos, se atraen con una fuerza que es directamente
proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros, estando dirigida según la línea que los une.
− Matemáticamente:
|F⃗ | = G ·m1· m2
r2 (9.12)
(vectorialmente F⃗ = −G ·m1·m2 r2 u⃗⃗⃗ r).
− G es la constante de gravitación universal. No depende del medio (es universal) y su valor 6,67 · 10-11 N ·
m2/kg2. Fue calculada por primera vez en 1789 por el físico y químico británico Henry Cavendish (balanza de torsión).
− El signo – indica que la fuerza es atractiva.
− Interacción: F⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −Fm1m2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ m2m1ó ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −FF12 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 21, la fuerza que m1 ejerce sobre m2 es igual a la fuerza que ejerce
m2 sobre m1, pero de sentido contrario. Fuerzas entre cuerpos por parejas, no aisladas.
− La interacción gravitatoria depende de:
Las masas: mayores masas mayores intensidades fuerzas.
La distancia (cuadrado) entre las masas: mayor distancia menor intensidad fuerza.
− Atractiva.
− Central (dirigida hacia punto o centro) y conservativa.
− Carácter universal de G: no depende del medio (igual para planetas, cuerpos, manzanas, piedras, todos los cuerpos).
− Tiene un alcance infinito.
− Está asociada a las masas.
− Su intensidad relativa es muy pequeña 10-39.
5. Interacción electrostática
* Ley de Coulomb: En 1785 Charles Coulomb usó las ideas de Newton sobre las fuerzas gravitatorias para explicar sus experiencias con una balanza de torsión (similar a la que después usaría Cavendish) realizadas sobre las fuerzas entre cargas eléctricas en reposo (electrostáticas).
• Enunciado: Todos los cuerpos cargados, considerados dos a dos, se atraen o repelen con una fuerza que es directamente
proporcional al producto de sus cargas eléctricas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros, estando dirigida según la línea que los une. (La fuerza con que se atraen o repelen dos cargas puntuales – cuerpos cargados de tamaño despreciable frente a la distancia que los separa, puntos matemáticos – es directamente proporcional al producto de los valores de sus cargas eléctricas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, estando dirigida según la línea que las une.)
− Matemáticamente:
F
⃗ = kQ · Q′
r2 u⃗ r (9.13)
F
⃗ = kq · q′ r2 u⃗ r
− El carácter atractivo o repulsivo de la fuerza está implícito en los signos de Q y Q’: si son del mismo signo será
repulsiva (+) y si son de signo contrario atractiva (-).
− k es la constante de Coulomb. Depende del medio (no es universal como G) y su valor en el vacío es ko = 9·109
N·m2·C-2.
* Características de la interacción electrostática
• Puede ser atractiva o repulsiva.
• Es central y conservativa.
• Depende del medio.
• Tiene un alcance infinito.
• Está asociada a las cargas en reposo.
• Su intensidad relativa si consideramos la interacción electromagnética es 10-2 (7,3 · 10-3).
Animación suma de fuerzas (http://www.walter-fendt.de/ph14s/resultant_s.htm)
Animación experimento 2ª ley de Newton (http://www.walter-fendt.de/ph14s/n2law_s.htm)
Animación fuerzaymovimiento1 (http://phet.colorado.edu/es/simulation/forces-and-motion-basics)
Animación fuerzas en planos inclinados (http://phet.colorado.edu/es/simulation/ramp-forces-and-motion)
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LAS UNIDADES 8 Y 9 DINÁMICA
1.
Una fuerza tiene de módulo 4 N y forma un ángulo con el eje positivo de las x de 30°. Calcula las componentes cartesianas. Sol.: 3,5 i + 2 j N.2.
Dadas las fuerzas F⃗⃗⃗⃗ 1= 3 i − 8 j N y F⃗⃗⃗⃗ 2= −4 i + 5 j N: a) Represéntalas gráficamente. b) Calcula su suma y represéntala. c) Halla el módulo de la suma. Sol.: b) − i − 3 j N; c) 3,2 N.3.
Un muelle de longitud 20 cm tiene una constante elástica 6 N/m. a) ¿Qué intensidad tiene una fuerza que produce un alargamiento igual a su longitud inicial? b) ¿A qué alargamiento da lugar una fuerza de 0,28 N? c) ¿Qué longitud tiene el muelle del apartado anterior? Sol.: a) 1,2 N; b) 0,047 m; c) 0,247 m.4.
¿Con qué fuerza se atraerán dos esferas de plomo de una tonelada cada una si sus centros están a 1 m de distancia? Sol.:6,67 · 10-5 N.
5.
Un coche de 650 kg es capaz de adquirir una velocidad de 100 km/h en 8 s, desde el reposo. Calcula cuál será la fuerza total que actúa sobre él en la dirección del movimiento para conseguir este resultado. Sol.: 2256 N.6.
Dejamos caer una bola de 2 kg de masa y la Tierra la atrae con una fuerza de 19,62 N (peso de la bola). a) ¿Cuáles serán el módulo, la dirección, el sentido y el punto de aplicación de la fuerza que la bola ejerce sobre la Tierra? b) ¿Por qué se mueve la bola y no la Tierra? c) ¿Con qué aceleración cae la bola? d) Si la masa de la Tierra es de 5,97 · 1024 kg, ¿qué aceleraciónadquiere la Tierra? Sol.: a) 19,62 N; c) 9,81 m·s-2; d) 3,3 · 10-24 m·s-2.
7.
Ariane es el cohete espacial europeo. En el despegue, los dos motores propulsores laterales producen una fuerza de 6713 kN cada uno. Si suponemos que la masa, 725 t, se mantiene constante durante los 5 primeros segundos, calcula la velocidad que adquiere el cohete en ese tiempo, expresada en km/h. Sol.: 333 km·h-1.8.
Un ciclista marcha a 15 km/h y choca de frente contra un vehículo aparcado. La duración del choque es de 0,3 s. Si el ciclista más la bicicleta tienen una masa de 92 kg ¿qué fuerza se ejerce durante el choque?, ¿hacia dónde y con qué velocidad será desplazado el ciclista? Sol.: – 1278 N; 15 km·h-1.9.
Cuando una bola de 200 g se mueve con una velocidad de 1 m/s, se le aplica una fuerza de 0,8 N durante 0,5 s en el mismo sentido que el desplazamiento. Calcula la aceleración y la variación del momento lineal. Sol.: 4 m·s-2; 0,4 kg·m·s-1.10.
Un balón de baloncesto de 0,6 kg llega al suelo con una velocidad vertical de 4,5 m/s y comienza a subir con una velocidad, también vertical, de 4 m/s. Calcula: a) El momento lineal antes del bote. b) El momento lineal después del bote. c) La variación del momento lineal de la pelota al botar en el suelo. Sol.: a) – 2,7 kg·m·s-1; b) 2,4 kg·m·s-1; c) 5,1 kg·m·s-1.11.
Un camión de 10 t avanza a una velocidad de 70 km/h y choca con un coche de 1,8 t que está en reposo. Después del choque, el camión arrastra al coche en la misma dirección de su movimiento. ¿Con qué velocidad se mueven los dos vehículos tras el choque? Sol.: 16,5 m·s-1.12.
Un cañón de 2 t dispara horizontalmente un proyectil de 12 kg con una velocidad de 225 m/s. Calcula la velocidad de retroceso del cañón y la variación de su momento lineal. Sol.: – 1,35 m·s-1; – 2700 kg·m·s-1.13.
Un satélite de M = 10 t, en reposo respecto a la Tierra, debe modificar su órbita. Para eso, dispone de propulsores que emiten 1 kg de gas cada segundo a 3,5 km/s. Halla: a) El impulso del satélite en una ignición de 3 s. b) La velocidad con que se moverá el satélite respecto a la Tierra al finalizar la ignición. Sol.: a) 1,05 · 104 N·s; b) 1,05 m·s-1.14.
El resorte de un dinamómetro de laboratorio se ha alargado 11,7 cm a tope de escala, que es 2 N. ¿Cuál es la constante del resorte con el que ha sido fabricado ese dinamómetro? ¿Cuánto se alargará al aplicarle la fuerza de 0,4 N? Sol.: 17 N·m-1;0,0234 m.
15.
Un muelle horizontal de longitud lo se comprime aplicando una fuerza de 50 N, hasta que su longitud es de 15 cm. Si leaplicamos una fuerza de 100 N, su longitud queda reducida a 5 cm. a) ¿Cuál es la longitud inicial del muelle? b) ¿Cuánto vale su constante? Sol.: a) 25 cm; b) 500 N·m-1.
16.
El peso de un cuerpo en la Luna es de 400 N. ¿Cuánto pesará ese cuerpo en la Tierra? (Dato: gravedad en la Luna gL =1,63 m/s2). Sol.: 2405 N.
17.
¿A qué distancia estarán situadas dos grandes esferas suspendidas del techo si cada una posee una masa de 1 t para que se atraigan con una fuerza de 1 μN? Sol.: 8,2 m.19.
Un pequeño péndulo va suspendido en el techo de un automóvil. Indica qué dirección tiene el hilo: a) Cuando arranca el automóvil. b) Cuando se mueve con velocidad constante. c) Al frenar y disminuir su velocidad.20.
¿Durante cuánto tiempo ha actuado una fuerza de 60 N inclinada 60° respecto a la horizontal, sobre una masa de 40 kg, para que alcance una velocidad de 10 m/s? Sol.: 13,3 s.21.
Dos tractores, que están paralelos a las orillas de un canal, tiran de un bote de 200 kg mediante cables que forman un ángulo de 90º entre sí. Los valores de las fuerzas aplicadas sobre el bote son 3000 N y 2500 N. Calcula las coordenadas cartesianas de la aceleración del bote, su módulo y su dirección. Sol.: 19,4 i − 1,77 j m · s−2; 19,5 m · s−2; −5,2o.22.
Estudia el equilibrio de fuerzas aplicadas sobre un libro de 15 N de peso que está encima de una mesa de 150 N. Indica por separado las fuerzas aplicadas sobre el libro y sobre la mesa. ¿Qué ejerce cada fuerza? ¿Sobre qué se aplica?23.
Tenemos dos libros colocados uno encima del otro, de masas m1 = 0,5 kg y m2 = 1,5 kg, ambos sobre una mesa de masaM = 20 kg.a) Dibuja, indicando quién la ejerce, cada una de las fuerzas que actúan sobre la mesa y los libros. b) Calcula cada una de las fuerzas y comprueba que el sistema se encuentra en equilibrio. (Dato: g = 10 m/s2.)
24.
La ecuación del movimiento de un cuerpo de 2 kg, expresada en unidades internacionales, es: x = 3t + 2t2 (SI).Calcula: a) El momento lineal en los instantes t1 = 3 s y t2 = 5 s. b) La fuerza neta que actúa sobre él en ese intervalo de tiempo.
Sol.: a) 30 i kg · m · s−1; 46 i kg · m · s−1; b) 8 i N.
25.
Miguel se encuentra en un lago helado y realiza 20 disparos en 4 s con un fusil de fogueo. Si Miguel con su equipo tiene una masa de 80 kg y cada proyectil tiene una masa de 40 g, calcula, sabiendo que la velocidad de los proyectiles es de 400 m/s: a) El impulso experimentado por Miguel. b) La velocidad con que es impulsado. c) La fuerza media. Sol.: a) 320 N·s; b) 4 m/s; c) 80 N.26.
En una mesa de billar, una de las bolas, de 0,2 kg, se impulsa hacia la banda con una velocidad de 0,70 m/s, formando un ángulo de 30º con la banda. Rebota, saliendo con un ángulo de 15º y con velocidad de 0,20 m/s. Halla: a) Los momentos lineales de la bola antes y después del choque. b) La variación del momento lineal de la bola. c) La fuerza media durante el choque con la banda si la interacción duró 0,13 s. Sol.: a) 0,12 i − 0,07 j kg · m · s−1; b) −0,081 i + 0,080 j kg · m · s−1; c)0,62 i − 0,62 j N.
27.
Una patinadora de 60 kg se desliza en una pista de hielo a 5 m/s y coge en brazos por detrás a su hijo de 20 kg, que se desliza en la misma dirección y sentido que ella a 3 m/s. ¿Con qué velocidad se mueven los patinadores mientras deslizan juntos y en qué sentido? Sol.: 4,5 m·s-1.28.
Al dinamitar una roca, esta sale despedida en tres fragmentos, dos de los cuales, de masas m1 = 15 kg y m2 = 10 kg,salen en ángulo recto con velocidades de v1 = 10 m/s y v2 = 20 m/s respectivamente. El resto sale despedido con una velocidad
de v3 = 50 m/s. Determina la dirección y la masa del tercer fragmento. Sol.: 233º ó – 127º; 5 kg.
29.
Sobre la superficie de un lago helado se lanza un taco de acero a la velocidad de 15 m/s. Si la fuerza de rozamiento dinámico es el 3% de su peso, ¿con qué aceleración se mueve el taco? ¿Qué espacio puede recorrer hasta pararse? Sol.: – 0,3 m·s-2; 375 m.30.
Se deja un cuerpo sobre un plano inclinado 50º con la horizontal. Si entre el cuerpo y el plano existe un coeficiente de rozamiento dinámico de 0,25, ¿cuál es la aceleración y cuál la velocidad a los 5 s? Sol.: 6,05 m·s-2; 30,3 m·s-1.31.
En una mesa hay un carrito de masa M = 150 g unido a la masa m = 20 g que cuelga mediante un hilo que pasa por una polea de masa despreciable. Si el sistema se mueve sin rozamiento, calcula la aceleración y la tensión del hilo. Sol.: 1,18 m·s-2;0,176 N.
32.
Sobre una mesa hay un taco de madera de 500 g unido, mediante un hilo que pasa por una polea de masa despreciable, a otro de 250 g que cuelga. Si los coeficientes de rozamiento estático y cinético son μe = 0,30 y μc = 0,25: a) Demuestra si sedeslizará el taco de la madera. b) En caso afirmativo, halla la aceleración y la tensión del hilo. Sol.: b) 1,7 m·s-2; 2,1 N.
33.
Una joven de m = 55 kg está dentro de un ascensor que desciende con aceleración constante de 1 m/s2. ¿Qué fuerzaejerce el suelo del ascensor sobre la joven? Sol.: 495 N.
34.
Un péndulo está constituido por una esfera de 300 g de masa que cuelga mediante un hilo del techo de un vagón de tren. Si partiendo del reposo el tren acelera con una aceleración constante de 3 m/s2, el péndulo se desplaza un cierto ángulo de suposición de equilibrio. a) ¿En qué dirección y sentido se desplaza la masa del péndulo? b) ¿Qué ángulo forma el péndulo con la vertical mientras dura la aceleración? c) ¿Cuál es la tensión del hilo? Sol.: b) 16,7º; c) 3,1 N.
36.
Un cuerpo de 5 kg de masa se desliza por un plano horizontal. Al pasar por un punto, su velocidad es de 7 m/s y se para 8 m más allá, por efecto del rozamiento. Calcula: a) La aceleración del movimiento. b) La fuerza de rozamiento. c) El coeficiente de rozamiento. Sol.: a) – 3,06 m·s-2; b) – 15,3 N; c) 0,306.37.
Un cuerpo de 10 kg se mueve en un plano horizontal por la acción de una fuerza paralela al plano de 75 N. Si el coeficiente de rozamiento es μ = 0,3, calcula: a) La aceleración del movimiento. b) La velocidad a los 5 m de recorrido. c) El tiempo que transcurre en esos 5 m. Sol.: a) 4,5 m·s-2; b) 6,7 m·s-1; c) 1,5 s.38.
Un cuerpo de 25 kg sube por un plano inclinado 25º, cuyo coeficiente de rozamiento es μ = 0,25, debido a que sobre él se aplica una fuerza de 300 N en la dirección del desplazamiento. a) ¿Con qué aceleración asciende elcuerpo? b) ¿Qué fuerza habría que aplicar en la dirección del desplazamiento para que el cuerpo suba con velocidad constante? Sol.: a) 5,49 m·s-2; b) 163 N.
39.
Utiliza los datos de la figura para calcular la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda, sabiendo que el coeficiente de rozamiento es 0,4. ¿Cuánto tendrá que valer m2 para que se mueva convelocidad constante? Sol.: 2,6 m·s-2; 6,6 N; 0,94 kg.
40.
En el sistema representado en la figura, las masas de los cuerpos son m1 = 50 kg, m2 =75 kg y m3 = 100 kg, y el coeficiente de rozamiento entre el plano y el cuerpo es μ = 0,25. Calcula:
a) La aceleración del sistema. b) Las tensiones de las cuerdas. Sol.: a) 1,4 m·s-2; b) 569 N; 860
N.
41.
¿Con qué velocidad angular mínima hay que hacer girar un cubo en el plano vertical según un círculo de radio 80 cm para que el agua que contiene no se derrame? ¿Cuál será la velocidad tangencial del cubo en esas condiciones? Sol.: 3,5 rad·s-1; 2,8 m·s-1.42.
Un vehículo de masa 1300 kg toma una curva sin peralte de 200 m de radio a una velocidad de 90 km/h. Calcula: a) La fuerza de rozamiento. b) La velocidad que podría tomar en la curva si tuviera un peralte de 10º y el mismo rozamiento. Sol.: a) 4063 N; b) 31,4 m·s-1.43.
Un vagón se mueve sobre una vía horizontal con una aceleración constante de 2,5 m/s2. En el interior, colgado del techo, se coloca un péndulo de longitud L = 1 m y masa m = 300 g. a) Dibuja el diagrama de fuerzas ejercidas sobre la masa del péndulo para un observador inercial y para otro que está dentro del vagón. b) Calcula el ángulo que se desvía el péndulo respecto a la vertical. Sol.: b) 14º.44.
Un muelle de constante k = 150 N·m-1 está suspendido del techo de un ascensor. Del otro extremo pende un cuerpo de2 kg. Halla la deformación producida cuando el ascensor: a) Sube con velocidad constante. b) Arranca con aceleración de 1 m/s2.
Sol.: a) 0,13 m; b) 0,15 m.
45.
Una cualquiera de las masas en una máquina de Atwood está unida a una cuerda mediante un muelle de constante elástica 35 N/m, que supondremos sin masa. Si las masas de la máquina son m1= 175 g y m2= 250 g, ¿cuál es el alargamientodel muelle? Sol.: 0,0588 m.
46.
Una mesa horizontal con rozamiento de coeficiente μ = 0,25, tiene un agujero. Sobre la mesa hay un cuerpo de masa m = 500 g unido, mediante una cuerda que pasa por el agujero, a otro cuerpo de masa M = 750 g. Este segundo cuerpo está suspendido. Calcula la velocidad con la que debe dar vueltas m en una circunferencia de 25 cm de radio, para que M esté en reposo. Sol.: 1,77 m·s-1.47.
Te has olvidado la mochila sobre la parte delantera del techo de un coche de 1,5 m de largo. El coeficiente estático de rozamiento entre el techo del coche y la mochila es de 0,25 y el dinámico de 0,20. Si el coche arranca en línea recta con una aceleración de 2,7 m/s2, averigua si deslizará la mochila y, en caso afirmativo, calcula cuánto tiempo tardará en caer por el otroextremo del techo del coche. Sol.: 2,07 s.
48.
De acuerdo con la Ley de Coulomb, ¿cuánto se debe modificar la distancia entre dos cargas para que la fuerza de interacción entre ellas: a) aumente en nueve veces? b) se reduzca a la mitad? c) se haga cuatro veces mayor? Sol.: a) la tercera parte; b) raíz de dos veces; c) la mitad.49.
Dos partículas alfa están separadas por una distancia de 10-13 m. Calcula la fuerza electrostática con que se repelen y lafuerza gravitatoria con que se atraen. Compara ambas fuerzas entre sí. Datos: Masa partícula alfa = 6,68 · 10-27 kg. Carga = 3,2
· 10-19 C; k
o = 9·109 N·m2·C-2; G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2. Sol.: Fe = 9,22 · 10-2 N; Fg = 2,98 · 10-37 N; Fe/Fg = 3 · 1035.
50.
Dos esferas iguales de 0,2 g cada una cuelgan de un mismo punto mediante hilos de 50 cm de longitud. Si a las esferas51.
Tenemos dos cargas puntuales q1 y q2 separadas una distancia r. ¿Cómo varía la fuerza de interacción entre ellas en lossiguientes casos? a) q1 se reduce a la mitad y q2 se hace tres veces mayor. b) Cada una de las cargas se duplica y la distancia se
reduce a la mitad. Sol.: a) 1,5 veces mayor; b) 16veces mayor.
52.
¿A qué distancia, una de otra, debes colocar dos cargas iguales de un microculombio cada una para que se repelan conla fuerza de 1 N? Dato: ko = 9·109 N·m2·C-2. Sol.: 0,095 m.
53.
Sobre un cuerpo de 40 kg, que inicialmente está en reposo, actúa una fuerza de 80 N durante 6 s. Calcula: a) La velocidadque adquiere el cuerpo y su cantidad de movimiento. b) El impulso lineal. Sol.: a) 12 m/s, 480 kg·m/s; b) 480 N·s.
54.
Un cuerpo está sometido a dos fuerzas concurrentes de 11 N y 16 N. Dibuja la fuerza resultante y calcula su módulo encada uno de los siguientes casos:
a) Las fuerzas tienen la misma dirección y el mismo sentido.
b) Las fuerzas tienen la misma dirección y sentido contrario. Sol.: a) 27 N; b) 5 N.
55.
La resultante de dos fuerzas perpendiculares es de 7,6 N y una de ellas vale 3 N. Determina el módulo de la otra fuerza.Sol.: 7 N.
56.
El módulo de la fuerza resultante de dos fuerzas perpendiculares es 5 N y la suma de los módulos de estas fuerzas es 7N. Calcula el valor de los módulos de ambas fuerzas. Sol.: 3 N y 4 N.
57.
Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas, F1 = 5 N y F2 = 12 N, formando un ángulo de 90º. ¿Qué fuerza debe aplicarse alcuerpo para que permanezca en reposo? Sol.: 13 N formando un ángulo de 112,6º con F1.
58.
Un trineo avanza gracias a la acción de dos fuerzas, F⃗⃗⃗⃗ 1 y F⃗⃗⃗⃗ 2 La fuerza F⃗⃗⃗⃗ 1 tiene un módulo igual a 50 N Y forma un ángulo de 20º con el eje X. La fuerza F⃗⃗⃗⃗ 2, de módulo igual a 60 N, forma un ángulo de 80º con el eje X. Determina el módulo de la resultante y su dirección. Sol: 84,5N , 64,4º con el eje OX.59.
Dos patinadores de 62 kg y 70 kg chocan frontalmente con velocidades de 26 m/s y 12 m/s,respectivamente. Si los dos patinadores quedan abrazados después del choque, determina su velocidad final. Sol.: 5,8 m/s.
60.
Un jugador de tenis golpea con su raqueta una pelota de 125 g de masa, quele llega con una velocidad de 12 m/s, y la devuelve en la misma dirección y sentido contrario a 20 m/s. Si la fuerza aplicada por el jugador es de 400 N, calcula cuál fue el tiempo de contacto entre la raqueta y la pelota. Sol: t = 0,01 s.
61.
Un cuerpo de 15 kg está en reposo sobre una superficie horizontal. Calcula los coeficientes de rozamiento estático ycinético si hay que aplicar paralelamente a dicho plano una fuerza de 51,45 N para que comience a deslizarse, y otra de 36,75 N
para que mantenga su MRU. Sol.: a) 0,35; b) 0,25.
62.
Se aplica una fuerza horizontal de 100 N a un cuerpo de 20 kg de masa apoyado sobre una superficie horizontal. Si elcoeficiente de rozamiento cinético es de 0,25, calcula: a) la fuerza de rozamiento, b) la aceleración del cuerpo; c) su velocidad al cabo de 3 s si partió con una velocidad de 10 m/s. Sol.: a) 49 N; b) 2,5 m/s2; c) 17,5 m/s.
63.
Se aplica una fuerza de 50 N, que forma un ángulo de 60° con la horizontal, a un cuerpo de 8 kg de masa. Calcula laaceleración del cuerpo si éste se mueve por un plano horizontal y el coeficiente de rozamiento cinético es de 0,1. Sol: 2,7
m/s2.
64.
Se desea subir un cuerpo de 100 kg por un plano inclinado 45° con respecto a la horizontal. Si el coeficiente de rozamiento cinético es de 0,4, calcula: a) la fuerza de rozamiento; b) la fuerza que debe aplicarse paralelamente a dicho plano para que el cuerpo suba con velocidad constante. Sol.: a) 277,2 N; b) 970,2 N.65.
Un cuerpo de 3 kg de masa sube por un plano inclinado 30° con respecto a la horizontal, por efecto de una fuerza de 50N paralela a dicho plano. Si el coeficiente de rozamiento cinético es de 0,3, calcula: a) las componentes del peso, b) la fuerza de rozamiento; c) la aceleración del cuerpo.
Sol.: a) Px = 14,7 N, Py = 25,5 N; b) 7,6 N; c) 9,2 m/s2.
66.
De los extremos de la cuerda de una polea cuelgan dos cuerpos de 30 kg y 12 kg. Calcula: a) la aceleración del sistema; b) la tensión de la cuerda. Sol.: a) 4,2 m/s2; b) 168 N.67.
Calcula la aceleración del sistema de la68.
Calcula la aceleración del sistema de la figura y la tensión de la cuerda si el coeficiente de rozamiento cinético entre el primer cuerpo y la superficie es 0,2. Sol: 1,3 m/s2; 22,2 N.69.
Calcula la aceleración del sistema de la figura y la tensión de la cuerda si: a)no hay rozamiento; b) el coeficiente de rozamiento cinético entre el cuerpo 1 y la superficie es de 0,3. Sol.: a) 1,9 m/s2, 79 N; b) 0,25 m/s2; 95,5 N.
70.
Se ata una bola al extremo de una cuerda de 70 cm de longitud y se hace girar en el aire con una velocidad constante enmódulo. Si la cuerda forma un ángulo de 45° con la vertical, calcula: a) la velocidad de la bola; b) el tiempo que tarda la bola en dar una vuelta completa; c) el número de vueltas que da la bola en un minuto. Sol.: a) 2,2 m/s; b) 1,4 s; c) 42 vueltas.
71.
Se ata un cuerpo de 2 kg al extremo de una cuerda de 1 m de longitud y se hacegirar en un plano horizontal, sobre el que se apoya y con el que no tiene rozamiento, a razón de 40 vueltas por minuto. Calcula la tensión de la cuerda. Sol.: 35,1 N.
72.
Una piedra de 100 g, atada al extremo de una cuerda de 1 m de longitud, gira conuna velocidad constante en módulo apoyándose en un plano horizontal. Calcula la velocidad de la piedra si no existe rozamiento y la tensión de la cuerda es de 2,5 N. Sol: 5m/s.
73.
Calcula la aceleración y la tensión de la cuerda para los sistemas de la figura.Sol: a) 4,6 m/s2; 103,4 N; b) 0,46 m/s2; 123 N.
74.
La figura representa el comportamiento de un muelle. Calcula:a) El valor de la constante elástica del muelle. b) La fuerza que hay que aplicar para que el muelle sufra un alargamiento de 18 cm.
Sol: a) 400N/m; b) 72 N.
75.
Sobre un muelle de constante elástica 12 N/m y longitud inicial 10 cm se aplicauna fuerza de 2 N. Determina la longitud final del muelle. Sol.: 26,6 cm.
76.
Un muelle se alarga 20 cm cuando ejercemos sobre él una fuerza de 24 N. Calcula:a) El valor de la constante elástica del muelle.
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS EN EXÁMENES DE CURSOS ANTERIORES UNIDADES 8 Y 9
1.
Para variar, el alumnado de 1º B sigue teniendo cierto déficit de confianza con respecto a su tristeprofesor de Física y Química. Por ello, para comprobar las leyes de la dinámica de Newton, realizan un montaje de laboratorio que consiste en dos cuerpos unidos por una cuerda (cuya masa, como la de la polea, se supone despreciable). El cuerpo que desliza sobre la mesa tiene una masa de 5,0 kg y el que pende de la cuerda 3,5 kg. Calcula la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda si: a) se suponen nulos los rozamientos; b) si el coeficiente de rozamiento cinético entre el cuerpo de 5,0 kg y la mesa es 0,25. Sol.: a) 4,1 m·s-2; 21 N; b) 2,6 m·s-2; 26 N. (25/5/2015)
Estrategia de resolución. Debemos seguir los pasos habituales para resolver este tipo de problemas:
1º hacemos un dibujo (derecha);
2º hacemos un diagrama de fuerzas (derecha);
3º elegimos un sistema de referencia, teniendo en cuenta que el sistema se moverá hacia la derecha;
4º convertimos las unidades al S. I.: ya lo están.
5º aplicamos el segundo principio de la dinámica a cada uno de los dos cuerpos: ∑ F⃗ = m · a⃗
• Cuerpo 1): escribimos la expresión vectorial, para después escribir las componentes
correspondientes a los dos ejes del sistema de referencia elegido
T1
⃗⃗⃗ + N⃗⃗ + P⃗⃗⃗ + F1 ⃗⃗⃗ + F⃗ = mr 1· a⃗⃗⃗ {1
(1)Eje X: T1− Fr= m1· a1 (2)Eje Y: N − P1= 0 → N = P1= m1· g • Cuerpo 2): T⃗⃗⃗ + P2 ⃗⃗⃗ = m2 2· a⃗⃗⃗ → (3)Eje Y: P2 2− T2= m2· a2
• Debemos tener en cuenta que, según el sistema de referencia elegido:
T1= −T2= T a1= a2= a |F⃗⃗⃗ | = μ · |Nr ⃗⃗ | = μ · m1· g → Fr= μ · m1· g P1= m1· g P2= m2· g Si sumamos las expresiones (1) y (3) podemos hallar la aceleración y la tensión:
T − μ · m1· g = m1· a
−T + m2· g = m2· a} ⇒ m2· g − F − μ · m1· g = m1· a + m2· a ⇒ a =m2· g − μ · m1· g
m1+ m2 y T = m2· g − m2· a
a) Si se suponen nulos los rozamientos, μ = 0
a = m2· g
m1+ m2=
3,5 kg · 10 m · s−2
3,5 kg + 5 kg = 4,1 m · s−2
T = m2· g − m2· a = 3,5 kg · (10 m · s−2− 4,1 m · s−2) = 21 N
Es decir: a = 4,1 m/s2; T = 21 N.
b) Si el coeficiente de rozamiento cinético es μ = 0,25
a =m2· g − μ · m1· g
m1+ m2 =
3,5 kg · 10 m · s−2− 0,25 · 5,0 kg · 10 m · s−2
3,5 kg + 5 kg = 2,6 m · s
−2
T = m2· g − m2· a = 3,5 kg · (10 m · s−2− 2,6 m · s−2) = 26 N
Es decir: a = 2,6 m/s2; T = 26 N.
2.
Un objeto de 2,5 kg se desplaza por una superficie horizontal con una velocidad inicial de 10 m·s-1. Si el coeficiente derozamiento cinético entre el cuerpo y la superficie es 0,15, a) ¿qué distancia recorrerá hasta detenerse? b) ¿Cuál sería esa distancia si el cuerpo sube por un plano inclinado 25º hacia arriba? Sol.: a) 33 m; b) 8,9 m. (25/5/2015)
a) Estrategia de resolución. Para determinar la distancia que recorrerá hasta detenerse por una superficie horizontal, seguiremos los pasos habituales:
1º hacemos un dibujo (derecha);
2º hacemos un diagrama de fuerzas (derecha);
3º elegimos un sistema de referencia, teniendo en cuenta que el cuerpo se mueve hacia la izquierda en el plano horizontal, el eje X es positivo en el sentido del movimiento y el eje Y es positivo hacia arriba,
perpendicularmente a la superficie del plano horizontal; descomponemos las fuerzas que no estén dirigidas en el sistema elegido: no es necesario en este caso
4º convertimos las unidades al S. I.: están expresadas en el SI.
5º aplicamos el segundo principio de la dinámica para determinar la aceleración y, a partir de ella, la distancia que recorrerá hasta detenerse:
∑ F⃗ = m · a⃗ ⇒ N⃗⃗ + P⃗⃗ + F⃗⃗⃗ = m · a⃗ → {r
(1)Eje X: −Fr= m · a (2)Eje Y: N − P = 0 → N = P = m · g Debemos tener en cuenta que, según el sistema de referencia elegido:
𝑃⃗
𝐹
𝑟|F⃗⃗⃗ | = μ · |Nr ⃗⃗ | = μ · |P⃗⃗ | = μ · m · g → Fr= μ · m · g Podemos hallar la aceleración a partir de la expresión (1):
a =−Fr
m =
−μ · m · g
m = −μ · g = −1,5 m · s
−2
También podríamos haber calculado las fuerzas para sustituirlas en la expresión: Fr = μ·m·g = 3,75 N
a =−Fr
m =
−3,75 N
2,5 kg = −1,5 m · s −2
Con este resultado podemos calcular la distancia que recorrerá hasta detenerse, suponiendo que describe un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (aceleración constante y en la misma dirección que la velocidad inicial) y teniendo en cuenta que según el sistema de referencia vo = 10 m/s, v = 0 y a = – 1,5 m/s2:
v2− v o
2= 2 · a · Δx ⇒ ∆x = distancia =v2− vo2
2 · a =
02− (10 m · s−1)2
2 · (−1,5 m · s−2) = 33 m Recorre 33 m sobre el plano horizontal hasta detenerse.
b) Estrategia de resolución. Para determinar la distancia que recorrerá hasta detenerse por una superficie inclinada 25º, seguiremos nuevamente los pasos habituales:
1º hacemos un dibujo (derecha);
2º hacemos un diagrama de fuerzas (derecha);
3º elegimos un sistema de referencia, teniendo en cuenta que el cuerpo se mueve hacia arriba en el plano inclinado, el eje X es positivo en el sentido del movimiento y el eje Y es positivo hacia arriba, perpendicularmente a la superficie de dicho plano inclinado; descomponemos las fuerzas que no estén dirigidas en el sistema elegido:
{|P⃗⃗⃗ | = |P⃗⃗ | · sen 25x
o= m · g · sen 25o
|P⃗⃗⃗ | = |P⃗⃗ | · cos 25y o= m · g · cos 25o}
4º convertimos las unidades al S. I.: están expresadas en el SI.
5º aplicamos el segundo principio de la dinámica para determinar la aceleración y, a partir de ella, la velocidad que se nos pide:
∑ F⃗ = m · a⃗ ⇒ N⃗⃗ + P⃗⃗ + F⃗⃗⃗ = m · a⃗ → {r
(1)Eje X: −Px− Fr= m · a
(2)Eje Y: N − Py = 0 → N = Py= m · g · cos 25o
Debemos tener en cuenta que, según el sistema de referencia elegido: |F⃗⃗⃗ | = μ · |Nr ⃗⃗ | = μ · |P⃗⃗⃗ | = μ · m · g · cos 25y o → F
r= μ · m · g · cos 25o
Podemos hallar la aceleración a partir de la expresión (1):
a =−Px− Fr
m =
−m · g · sen 25o− μ · m · g · cos 25o
m = −g · sen 25
o− μ · g · cos 25o= −5,6 m · s−2
También podríamos haber calculado las fuerzas para sustituirlas en la expresión:
Px = m·g·sen 25º = 10,6 N Fr = μ·m·g·cos 25º = 3,4 N
a =Px− Fr
m =
−10,6 N − 3,4 N
2,5 kg = −5,6 m · s−2
Con este resultado podemos calcular la distancia que recorrerá hasta detenerse, suponiendo que describe un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (aceleración constante y en la misma dirección que la velocidad inicial) y teniendo en cuenta que según el sistema de referencia vo = 10 m/s, v = 0 y a = – 5,6 m/s2:
v2− v
o2= 2 · a · Δx ⇒ ∆x = distancia = v2− v
o2
2 · a =
02− (10 m · s−1)2
2 · (−5,6 m · s−2) = 8,9 m Recorre 8,9 m sobre el plano inclinado 25º hasta detenerse.
3.
Un cuerpo de 6,0 kg se abandona (él nunca lo haría) en la parte más alta, 20 m de altura, de una pendiente de 30º. a) Hallala velocidad que llevará cuando llegue al final del plano inclinado. b) ¿Qué velocidad mínima habría que darle desde el pie de la pendiente para que llegue a la parte más alta? El coeficiente de rozamiento cinético entre el cuerpo y la superficie es 0,20. Sol.: a) 16 m·s-1; b) 23 m·s-1. (25/5/2015)
a) Estrategia de resolución. Debemos seguir los pasos habituales para resolver este tipo de problemas: 1º hacemos un dibujo (derecha);
2º hacemos un diagrama de fuerzas (derecha);
3º elegimos un sistema de referencia, teniendo en cuenta que el cuerpo se mueve hacia abajo en el plano inclinado, el eje X es positivo en el sentido del movimiento y el eje Y es positivo hacia arriba, perpendicularmente a
la superficie del plano inclinado; descomponemos las fuerzas que no estén dirigidas en el sistema elegido:
{|P⃗⃗⃗ | = |P⃗⃗ | · sen 30x
o= m · g · sen 30o
|P⃗⃗⃗ | = |P⃗⃗ | · cos 30y o= m · g · cos 30o}
4º convertimos las unidades al S. I.: están expresadas en el SI.
𝑁⃗⃗
𝐹𝑟 ⃗⃗⃗
5º aplicamos el segundo principio de la dinámica para determinar la aceleración y, a partir de ella, la velocidad con que llegará al final del plano:
∑ F⃗ = m · a⃗ ⇒ N⃗⃗ + P⃗⃗ + F⃗⃗⃗ = m · a⃗ ⟹ {r (1)Eje X: Px− Fr= m · a
(2)Eje Y: N − Py= 0 → N = Py= m · g · cos 30o
Debemos tener en cuenta que, según el sistema de referencia elegido: |F⃗⃗⃗ | = μ · |Nr ⃗⃗ | = μ · |P⃗⃗⃗ | = μ · m · g · cos 30y o → F
r= μ · m · g · cos 30o
Podemos hallar la aceleración a partir de la expresión (1):
a =Px− Fr
m =
m · g · sen 30o− μ · m · g · cos 30o
m = g · sen 30
o− μ · g · cos 30o= 3,27 m · s−2
También podríamos haber calculado las fuerzas para sustituirlas en la expresión:
Px = m·g·sen 30º = 30 N Fr = μ·m·g·cos 30º = 10,4 N
a =Px− Fr
m =
30 N − 10,4 N
6,0 kg = 3,27 m · s
−2
Con este resultado podemos calcular la velocidad con la que llega a la base del plano, suponiendo que describe un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (aceleración constante y en la misma dirección que la velocidad inicial) y teniendo en cuenta que según el sistema de referencia:
vo = 0 m/s; sen 30o= h
Δx⇒ ∆x =
h
sen 30o= 40 m;
a = 3,27 m/s2:
v2− v
o2= 2 · a · Δx ⇒ v = √vo2+ 2 · a · ∆x = √02+ 2 · 3,27 m · s−2· 40 m = 16 m · s−1 El cuerpo habrá adquirido una velocidad de 16 m·s-1.
b) Estrategia de resolución. Para hallar la velocidad mínima que habría que darle desde el pie de la pendiente para que llegue a la parte más alta, debemos seguir los pasos habituales para resolver este tipo de problemas:
1º hacemos un dibujo (derecha);
2º hacemos un diagrama de fuerzas (derecha);
3º elegimos un sistema de referencia, teniendo en cuenta que el cuerpo se mueve hacia arriba en el plano inclinado, el eje X es positivo en el sentido del movimiento y el eje Y es positivo hacia arriba, perpendicularmente a la superficie del plano inclinado; descomponemos las fuerzas que no estén dirigidas en el sistema elegido:
{|P⃗⃗⃗ | = |P⃗⃗ | · sen 30x
o= m · g · sen 30o
|P⃗⃗⃗ | = |P⃗⃗ | · cos 30y o= m · g · cos 30o}
4º convertimos las unidades al S. I.: están expresadas en el SI.
5º aplicamos el segundo principio de la dinámica para determinar la aceleración y, a partir de ella, la velocidad con que llegará al final del plano:
∑ F⃗ = m · a⃗ ⇒ N⃗⃗ + P⃗⃗ + F⃗⃗⃗ = m · a⃗ ⟹ {r
(1)Eje X: −Px− Fr= m · a
(2)Eje Y: N − Py= 0 → N = Py= m · g · cos 30o
Debemos tener en cuenta que, según el sistema de referencia elegido: |F⃗⃗⃗ | = μ · |Nr ⃗⃗ | = μ · |P⃗⃗⃗ | = μ · m · g · cos 30y o → F
r= μ · m · g · cos 30o
Podemos hallar la aceleración a partir de la expresión (1):
a =−Px− Fr
m =
−m · g · sen 30o− μ · m · g · cos 30o
m = −g · sen 30
o− μ · g · cos 30o= −6,7 m · s−2
También podríamos haber calculado las fuerzas para sustituirlas en la expresión:
Px = m·g·sen 30º = 30 N Fr = μ·m·g·cos 30º = 10,4 N
a =−Px− Fr
m =
−30 N − 10,4 N
6,0 kg = −6,7 m · s−2
Con este resultado podemos calcular la velocidad inicial, suponiendo que describe un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (aceleración constante y en la misma dirección que la velocidad inicial) y teniendo en cuenta que según el sistema de referencia:
v = 0 m/s (velocidad con la que como mínimo tiene que llegar a la parte alta del plano); sen 30o= h
Δx⇒ ∆x =
h
sen 30o= 40 m;
a = – 6,7 m/s2: v2− v
o2= 2 · a · Δx ⇒ vo= √v2− 2 · a · ∆x = √02− 2 · (−6,7 m · s−2) · 40 m = 23 m · s−1
La velocidad mínima que habrá que darle al cuerpo para que llegue a la parte alta del plano inclinado es de 23 m·s-1.
4.
En el ascensor del instituto va una alumna de 1º de bachillerato de 65 kg. La caja del ascensor y todos sus accesorios tienenuna masa de 420 kg. Halla la tensión que soporta el cable del mismo y la fuerza que hace la alumna sobre su suelo: a) cuando
arranca hacia arriba con una aceleración de 1,25 m/s2; b) cuando sube con velocidad constante de 4,0 m/s; c) cuando frena para
detenerse con una aceleración de 2,5 m/s2. Sol.: a) 4850 N; 731 N; b) 4850 N; 650 N; c) 3638 N; 487,5 N. (25/5/2015)
