Utilización de diseños ornamentales en la enseñanza de la Cristalografía

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(1)HENARES, Rev . Geol., 2: 331 -343 (1988). UTILlZACIO. DE DISERos OllNAKEB'IALES EN LA ENSEWZA DE LA CRISTALOGKAFIA. Josefina Besteiro Bafales (*) ". Cinta Osácar Soriano (*) Teófilo Sanfeliú ~ntolio ( * *). *. Dep art amento de Ciencias de la Tie r ra (Cri stalografia y Mineralogía) . Fa cultad de Ciencias . UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA. * * Colegio Univer sitario de Castellón. RESUlfEN. El aná l is is de modelo s periódicos y simét ri co s de una y dos dimensiones puede servir de introdu cción a l est ud i o de las propiedade s de l a pe riodicidad y simetría de la estructura t ridimensional de los cri s ta l e s . En est e t ra ba jo se propone un e squema de a ná l i s i s de dichos disefios, sobre l os que se van des cubriendo prog r e sivamente los distintos conc eptos relacionados con este tema. Para la asignación al di sefio de l gr upo espacial correspondi ente de una o dos dimensi ones se proponen sendos diagramas . Los dis efios qu e se ofrecen se han tomado de motivos ornamentales de us o c otid iano , para aprovechar los conceptos intuitivos de periodicidad y simetría.. ABSTllACT The analgsis of periodi c and s gmmetric patterns in one o r two di mensions can be used as an introduction to the studg of periodicitg and s gmmetrg in the thre e - dimen sional structure of crgstals . In the present paper a scheme t o analgse such patterns is proposed: t he not i on s rela ted with periodicitg and sgmmetrg are graduall y discovered through t he pattern. Two di a gra ms are proposed to correlate everg pattern with its own s pa t i a l group (in one or t,~o di me n sion s ) . The patterns presented in t he paper have been taken from ornamental designs of common . us e , in order to tak e advantage of the intuitive knowledge of periodicitg and symmetry .. Las propi eda des f í s i c a s de los materiales es t án condicionada s por el tipo de disposición de l a s partículas constituyentes de los mismos. En Geología , los materiales con que se tr ab aj a habitualmente -los mine rales- tienen una e s t r uct ur a trid imensional periódica , por lo que el estudio de sus propiedades conlleva el conocimiento de las mismas . La aproximaci6n a este problema suele plantear l a di fic ul t ad de la comprensión de los conceptos de s i me t r í a y periodicidad al mismo t i empo que se intenta la visu alización de l os modelos periódicos t r i di mens i ona l e s co r r espondi entes . Todo c ristal e s un medio periódico, homogéneo, a nisót r opo y, por consiguiente , s imétrico, que s e caracteriza por la repetición de su s partí culas constituyentes medi ante tre s tr aslacione s unitarias i nde pe ndient es , cuyo conjunto arm a en el espacio un disefio tridim en sional infinito "el retículo c rist alino" , dos de ellas un plano "el plano reticula r" , y un a s ola "la fila reticular" .. Existen 14 tipos distint os de r e t í c ulo s cristalinos (redes de Bra vais) , qu e s on el resultado de combinar tres traslaciones independientes, que pueden ser iguale s o diferentes entre si , y que f ormen ent re ellas tres ángulos que s ólo pued en tomar de t e r mi na dos valores. En un plano reticular sólo son posibles 5 tipos de rede s distintas (grupos planos o bidimensionale s), que se definen también por sus dos traslaciones i nde pe ndi ent e s , iguale s en magnitud o diferentes, y por el ángu l o que f or ma n entre ellas. En una dire c c i ón, "fila reticular", sólo es posible un ti po de r ed constituido por la sucesión de moti vos equivalentes entre si por una tra slac i ón (grupa; de bandas). Todo cristal, s i ha podido desarr ollarse libremente, adqu irirá l a for ma de poliedro cristalino limitado por c ara s planas y ar istas rec t ilíneas. Las c ara s naturales y las de exfoliac ión correspond en a planos ret iculares con la mi s ma or i e nt a ción que éstos, y l a s aristas a fil a s r eticulares tamb ién con la mi s ma or i en t a ción que ellas ..

(2) 332. La simetrla en el espacio de tres dimensiones puede explicarse de modo análogo a como se ha c e e n dos o en una dimensión, a partir de disellos u objetos que presenten periodicidad en esas d irecciones. El anális is de dichos disellos periódicos supone delimitar en é l el motivo repetitivo ( gr upo pun t ual ), observando si éste es simétrico o no , y el modo como se repite (tipo de r e t l c ul o) . En un plano esos conceptos son f áci l e s de comprender v i s ua l me nt e porque es tamos má s familiarizados con l a s representac iones planas. Por ello se propone el aná lisis previo de disellos periódicos planos que formen parte de nuestro entorno, tales c omo la disposición de pa vimentos en calzadas, alicatados, e t c . , donde los conceptos de mo t ivo , dominio fundamental (unidad asimétrica del moti vo), celda unidad, red y eleme nt os de simetria punt ual y espacial surgen de dicho análisis de forma cas i i nt uit iv a ( BESTEI RO, J. et al 1982 y 1985 ). Ejemplos tales como ornamentac iones arquitectónicas hechas a base de modelos repetidos e n una dire cc i ón ( gru po de ba ndas ) o en dos d irecciones ( g ru po s planos ), puede n ser út i l e s pa r a e l e nte nd i mient o de l a s redes tr idi mens i o na l es periód i cas porque ést a s podrá n extra po larse a par tir de sus equ i va lentes pla nos. En un a ba nda s ó l o existen s iete po s i bili d a de s de repet ir un mot i vo, ta l como se i nd i ca en la FI GURA l. La s ún i c a s pos i bilid a d e s de s i metr ia q ue puede n esta ,' pr e s e nt e s s on, además de l a t r a s l a ció n ( t) , l a s rotaciones mona ri a s (1) y binaria (2 ) y l a s ref lexi ones espec ulares ( m) o en desliz ami en to ( g) . En un d i sello bid imens ional sólo e x is ten 17 posibil idades de combinar los 5 tipos de redes planas , indicados en la FI GURA 2 , con l os 10 gr upo s puntuales de simet r a en dos d i mensiones, que son, por c on s e c ue nc i a , l a s únic a s pos ibilidades simé t ric a s que pueden presentar las caras de un cri st al. La s o pe r aci o ne s de s imetrla qu e pu e d e n e x is t ir e n esa s 17 c ombi na cio ne s ( FI GURAS 3 a y b ) s o n l a s rotaciones de o r d en 1 , 2, 3, 4 Y 6, l a s reflexiones espec ulares (m) y la s ref lex i o nes en deslizamiento í. (g) •. ANALISIS DEL DISEÑO REPETITIVO Al of r e c e r a l es t udiante un disello de este tipo lo primer o sobre lo que hay q ue llama r s u atenc ión es precisamente sobre l a ex istenc ia en él de una repetición. . Una ve z asimi lado este concepto y establecida la cuali da d de periódico del d isello, e l paso siguiente debe consistir e n descubr ir c uá l es este dibujo que se r ep i te y c ómo l o hace, es decir, cual es la celda unidad y cuáles son las traslaciones. que la delimitan. Dichas traslaciones deben ser vectores que puedan aplicarse sobre cua lquier punto del disetlo y el resultado sea siempre la unión de puntos iguales e igualmente orientados (puntos homólogos). El concepto de simetria puede i nt r od uc i r s e aqul, volviendo a la parte del di sello que se habla establecido como uni d ad de repetición. Se trata de descubrir si puede ser descompuesto en porciones seme jantes con orientaciones diferentes. Si es asi, podremos decir que dicho motivo presenta simetrla, y la porción más pequella que pueda definirse de esta manera será el dominio fundamental. El estudio de las relac iones entre las posiciones de estas porciones semejantes del motivo nos conducirá a la definición de las distintas opera·- · ciones de simetria. En ellas van a distinguirse dos tipos: las operaciones de simetria cuya aplicación sucesiva a un dominio fundamental conduce a la posición original tras un número finito de repeticiones (orden de simetrla), y aquéllas cuya aplicac ión genere nuevos dominios fundamentales inc luso fuera de la celda unidad (operación de simetrla con t r a s l a c i ón asociada). El con junto de las operaciones de simetrla del primer tipo que puedan describirse en e l moti vo constituirá e l grupo puntual de s imetria. Cuando se atiende, no sólo al motivo, sino al diseflo completo puede ocurrir que entre los distintos motivos yuxtapuestos aparezcan otra vez operaciones de simetrla de los tipos ya definidos, pero que no existlan en el motivo. El conj unt o de todas las operaciones de simetrla posibles en el di sello constituirá su grupo de s imetria espacial. El dibujo escogido como motivo puede o no ocupar todo el espacio delimitado por las traslaciones. En el primer caso la simetrla del grupo puntual va a ser del mismo orden que la que aparezca en e l di sello completo. En el segundo caso esta simetria puede ser o no del mismo orden. Aparece entonces el concepto de simetrla compatible con el espacio n-dimensional de que se trate. Las FIGURAS 4, S, 6 Y 7 son di sellos ornamentales que pueden utilizarse en la forma descrita. De todos modos, la elecci6n de un disello más o menos complejo puede ir en función del concepto que se desee explicar en cada momento: un grupo de bandas puede ilustrar más intuitivamente que uno bidimensional la noción de periodicidad, mientras que la observación de las operaciones de simetrla posibles se realizará mejor con uno bidimensional. En las FIGURAS 8 Y 9 se ofrecen diagramas de flujo a través de los cuales se puede llegar por medio de preguntas sencillas a identificar ' la simetrla de un disello, de una o dos dimensiones, y.

(3) 333. asignarle el grupo de si etrIa espacial correspondiente, cuya representaci6n aparece en las FIGURAS 1 Y 3 (a y b). En la FIGURA 3 se ha setla1ado en cada uno de los grupos, además de la celda unidad (lInea de puntos) p o c, el motivo que se repite, bien en trazo continuo cuando la direcci6n coincide con direcciones especulares, bien en trazo discontinuo si no se produce esta coincidencia.. BIBLIOGJl.APIA. *. J.; GONZALEZ, J. y ARRESE, F. (1982). "Simetria en ornamentacio-. BESTEIRO,. algunos grupos nes peri6dicas: de la A1jaferIa y de La Seo de Acad. Ciencias, Zaragoza" . Rev. Zaragoza, 37, pp. 113-122.. * BESTEIRO. RAFALES, J. y OSACAR SORIANO, M.C. (1985 ). "Simetria en el arte y su ap1icaci6n a la enseflanza de la Crista10grafIa". Bo1etIn Sociedad Espaflo1a de Minera10gia, 8, pp. 421-433.. APLICACIONES Esta comunicaci6n forma parte de una lInea de trabajo de los · autores, que ha dado lugar a varias publicaciones, conferencias y cursillos, sobre la presencia de simetrIa en los distintos aspectos de la vida cotidiana y su ap1icaci6n a la ensefianza de la Crista10grafIa.. *. BESTEIRO RAFALES, J. (1986). "Repr e sent ac í.g nes simétricas en las 1acerias mudéjares de Arag6n". Actas 111 Simposio Internacional de llfudejarismo, Terue1, Septiembre de 1984, pp. 459-469.. Una de las manifestaciones de la s imetrIa sobre la que más se ha incidido es sobre los diseflos peri6dicos en construcc iones y ornamentaciones, especialmente en el arte mudejar, aplicando diagramas semejantes a los de las FIGURAS 8 Y 9 para la reconstrucci6n de bandas ornamentales y patios decorativos. Finalmente viene siendo habitual en los últimos aflos el introducir en la ensetlanza de la Crista10grafIa de las licencia t ur a s de Geo16gicas y QuImicas de la Uni ve r s i da d de Zaragoza, prácticas basadas en el análisis de disetlos peri6dicos. Los dibujos utilizados son progresivamente más difIci1es: se empieza observando la simetrIa que presentan algunas letras del alfabeto y se pasa a analizar bandas formadas por esas letras. Posteriormente se utilizan disetlos bidimensionales sencillos a base de figuras geométricas, por ejemplo diseflos tomados de ornamentaciones mudéjares de nuestro entorno, y finalmente se ensetla a los alumnos para su análisis completo, dibujos bidimensionales a base de figuras complejas, tales como las conocidas del pintor ESCHER.. NOTA: Los disetios de este trabajo se han tanado del tema "Superposici6n de triángulos", proyecto seleccionado en el 111 Coocurso Nacional de D1sero In:iustria1 y Cerámico, convocado por el Instituto de Tecnolog1a Cerámica de Caste1160, en Octubre de 1985..

(4) 334. 1t 1. -I - L -I - 1:...-I - L -I -I. • ----.J. I •--.J•. I •----.J•. I •----.J•. ~llllllllllllr I. I. L. L. 1. ---.J. r. I. '. ---, r. L. 1. -.J 1. ~. •. • t FIGURA l. - Lo s 7 grupos de bandas.. L. ". gtl. lt2. ltm. mtl. mtm.

(5) 335. "1-t- - i,. (,;:90'\. '\, • t, ,. \. ', , 'P t- - -t---t. tr---+----- 1. ,90.. t. 1. I. .-----... ----... P. •..........+...........• ..... ""-V ..... ......... *.·120" . . . .... , ..... : . . ~~. e. ..... .,..... ...... t······· ····.- .......... .•. , I. ,. I. !/-+--ft. Y , )' A 1Xl. I. I. I. P. "--+--é. p. FIGURA 2.- Los 5 tipos de redes planas. con sus celdas unidad correspondientes (p-primitiva, e-ce ntrada)..

(6) 336. ·. •. I. I. I. .,. L U U L' L ·. .. ·. .. I I I. I I I. J U :J :J U •.. .. . . .. _. __ .J. L L L L L. J. JL. Jl. JL. ~ tJLJl JL. JL. JL. t.. J. Ji;;. JL JL JL:J'LUL. JL. ~~JJL JL JL. Jt" .. JL : ~. E:. Jl. JL. .r. : Q,. J. lr. JC"'"Jl lr. ~. ~. l~l¡rJL~ ~ Jr·····jL. JL. .. ~. lr JL. JL. 'ir JL. JL. "-. ...'"'" Cl). 1r JL. r r r r r. 1rlrlr1rlr. J J J J J. 1 1 1 ~"" ~l. lrlrlnJ.Clr. ~. LL l L L. r r.: r ~ r. ~r I. I. .. '. ~ ~. E:. JI J = J U ~ JLJLJLOJLJL ~ J,L......=I •• • ••• • 1 1 1 1 1 lrlrlrlrlr L L L L L JLJlJLJLJL. r r r r r. lrlrlrlrlr. JLJLJLJLJL. lr. lr. J. JLJLJLJLJL. lr. lr. f. lr 'ir lrlr lr. JL JL .............. JL. 1. lr JL. JLJLJLUÜJL. JL ' JL. JL. J. r. ~ 1 ¡ 1 : ~ L ~ L :. JL. ti. J L J L J L JL J L. 1. J. r ~ r Jr Ljr----]. JL.. JL. J J .J J J. JLJL JL JLJL. r. r. JJ J J . ........J ,..---,. J J J J J. JLJLJLJLJL. ! ... "'-". .:3 ~. ;. -;. .:¡ gal. .... III. g.. al. 8-. ='. ~. 110. J J J. J. J. J J J J J ..... J J. J J J . . _...I J J. IJ I J J L.I _ J J J. J. J. J. .... Q,. Jr J r JrJ~. Jr :" ':J Jr J :J r: r Jr r~ ....: Jr '" Jr J Jr Jr r ,. -1JrJr j 1 Jrl Jr r~_ J J Jr Jr Jr r Jr Q,. al. s. .. I. "-. ....'".

(7) r. r. j~-" " " " "'1'" I. : 1-, : 1...1 j r- L . ¡ r-L. r. r. L-.*t........ .L.:-,. J. J. p4. p3. p 4mm. p4mg. p3 1m. p3ml. p : c.tda. p~imitiva. e : c.tda. c.nt~ada. m : g : p6. r. 'j-, J. ~efZ.:ión especuZa~ ~6fZ.:ión. aamiento. FIGURA 3 ( b ). - Los 17 grupos planos de sl.etrla (toaados de DESTEIRD . J. 1986).. r. L. -,. en desti.

(8) 338. Unidades asimétricas - I - izquierda (I). L. D - derecha. (D). ...J. ltl. •. t. lt2. t. r------. -----~. icz P!CZ P CZ L_____. _. J. ltm. •. gtl. FIGURA 4.- Ejemplosde grupos de bandas. En cada uno se indica el grupo puntual correspondiente. el periOdo traslacional y las operaciones de st.etria que aparecen co.a consecuencia de la repetici6n. ..

(9) 339. g~upo. g~upo. plano. pl4nO. p2. pg. FIGURA S.- Ejeaplos de grupos planos. En cada uno de ellos se indican, adeaás del grupo puntual, los periodos traslacionales y los ele.entos de st.etria que surgen de la repetición..

(10) 3 40. cz i* ! 1CSLJl r-----------------~. I. I. ~----------------~. 2mm. 9 PkPO plano. 9~UPO. plano. c2mm. p2. .. FIGURA 6.- Ejemplos de grupos planos. En cada uno de ellos se indican. ade.!s del grupo puntual. los periodos traslacionales y los ele.entos de si~tria que surgen de la repetición..

(11) 341. PCZ r--- - --- - - ------.,. ~P • Q~. _____________ .J. r----- -- - - - - ---,. CZ~ •. [)1LJ. ~---------------~ 4. r----- -- ----- ---.,. L. ~. 4. gr upo plano. p4. PIGURA 7. - Bje.plos de grupos planos. Bn cada uno de ellos se i ndican . adeaás del grupo puntual. los perIodos t raslacionales y los ele.entos de st.etrla que surgen de la repetici6n..

(12) IDENTIFICACION. DEL GRUPO DE SIMETRIA. (1). -----. Los mot ivos repetitivos están relacionados entre si por 1 traslación Si. I. Los motivos repetitivos están relacionados entre si por reflexión. -:. e specular o. deslizam iento ~e~n~~~~==~~~ Si. No. I I. I I Sl. en una sola dirección -. mediante giros Si. /. 360 0. I. Iltll. ". I. ----. reflexión especular. mtll. 1. Si. -:. perpendicul~res. I. Si. en la direccion peri6dica. 180 0. ~. No - - en direcciones. <,. <,. amba. -r >:. reflexione. ,\PEjre. No. reflexión la. specul r solo. perpendicular a. dirección periódica. I gtm 1. reflexión en deslizamiento. en la dirección perpendicular a la p riodicidad. Iltm 1. FIGURA 8.- Esqueaa para identificar el grupo de si. tria espacial en grupos de bandas.. la.

(13) 3 43. JDENTJFJCACJON DEL GRUPO DE SJMETR JA 121 Los IlIOtiVOS npetitivos esdn relacionados entre si por 2 traslaciones independientes. Si. -:. <,. I Los IIIOtivos repetitivos estb relacionados entre. No. <,. ~-------------------,. I No se trata de un 9rupo pla no. I. ~-------- -----------~. I. I 360". 180'. ~. 90'. I 60'. ~ ~. 8. I. 120'. en dos direcciones.. Si. -------. ¿~. I. po11¡ono defiDen las dos. traslaciones menores?. /. un rectingulo. un. IIIOtivo. &S~trico. .>. dentro. del recdngulo .. No. <, II:Dtivo. s~trico. dentro. del recdngulo.. éJ. I p J =&1 ¿ Qu6 pol1g0n0 definen las reflexiones especulares?. I. I. medio trUn&ulo. trilngulo equilAtero. /~. equi14tero. IlIOtivo s~trico. dentro ·del trUn¡ulo. IIIOtivo. &S~trico. dentro del triAngulo. ~. I. «:(. medi o. cuadrado. /. G. IIlOtivo asilll6trico dentro del recdngulo. @ -. I. I. recdngulo. Kltivo. s~trico. cuadra do. dentro. del recdngulo. é. PIGURA 9.- Esqueaa para identificar el grupo de st.etrla espacial en grupos planos (DESTEllO. J. 1986)..

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