POLÍGONOS: POLÍGONOS REGULARES y POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS
.
Polígono es la superficie plana encerrada dentro de un contorno formado por segmentos rectos unidos en sus extremos.
Cada uno de los segmentos se denomina
lado
.
El punto de unión de cada par de segmentos se denomina
ángulo
.
El numero de lados, ( y por tanto de ángulos) ha de ser mayor o igual a tres.
Polígono cruzado:
Dos o mas lados se cortan. Los polígonos regulares estrellados son el caso más interesante.Polígono convexo: Si el segmento que une dos puntos cualesquiera del polígono es interior al polígono. Todos los ángulos interiores son menores de 180º. Si uno o más de los ángulos interiores es mayor de 180, el polígono es no convexo, o cóncavo.
Polígono regular.
Si tiene lados y ángulos iguales.
El representado a la derecha es polígono equilátero,(lados iguales) pero no es regular (ángulos no iguales)
Cruzado Reg Estrellado 9/2 Convexo No convexo (cóncavo) Regular convexo Regular estrellado
5/2 No regular
Algunas propiedades de los polígonos:
La suma de los
ángulos interiores
de un
polígono de n lados es 180(n-2).
En un polígono convexo la suma de
los
ángulos exteriores
es 360.
Número de
diagonales
(segmentos que unen vértices no consecutivos)de un polígono es
D
n= n
Polígonos regulares: convexos y estrellados.
POLÍGONOS REGULARES CONVEXOS.
En la figura se muestran los elementos más importantes de un polígono regular.
Radio (r): segmento que une el centro con un vértice. Es el radio de la circunferencia circunscrita. Apotema (a): Segmento que une el centro con el punto medio de un lado.
En un polígono regular de n lados: Angulo central =360/n
Angulo interior = 180 - 360/n
Área = Perímetro x Apotema /2; A = n· L · a /2 , ya que es el área de n triángulos de base L y altura a
(L/2)
2+ a
2= r
2por ser triangulo rectángulo
L/2
,
r
y
a
CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES.
No todo polígono regular puede construirse con regla y compás. Más bien al contrario,
algunos polígonos regulares pueden
construirse de forma exacta.
Se presentan algunos de los polígonos regulares construibles. Desde cada imagen se accede a su construcción.
Triangulo Equilátero
Cuadrado
. Pentágono Regular Hexágono Regular Octógono
Regular. Decágono Regular Pentadecágono Regular Heptadecágono Regular
Si un polígono regular de N lados es construible, también lo es el regular de 2N lados. Basta con trazar la circunferencia circunscrita y trazar la mediatriz de cada lado. Si un polígono de N lados es construible, también lo son los polígonos cuyo número de lados sea divisor de N. Uniendo los vértices correspondientes.
Desde Euclides se conocían construcciones geométricas con sólo regla y compás para polígonos regulares de 3, 4, 5 y 15 lados y
todos los que se deducen de ellos por bisección: 6, 8, 10, 12,... lados.
Gauss demostró, que son construibles los polígonos regulares con número de lados
esto es, de
lados
N=3
(n=0),
N=5
(n=1),
N=17
(n=2),
N=257
(n=3),
N=65537
(n=4).
También demostró la imposibilidad de la construcción de polígonos regulares de lados, 7,9,11,13,... en la que muchos habían
fracasado.
En algunos textos y páginas de Internet es fácil encontrar la construcción de alguno de estos, que es aproximada, aunque a veces no se indique con claridad.
Construcciones aproximadas de los
polígonos regulares de 7 y 9 lados.
En la imagen ampliada se observa la aproximación.
A la derecha se muestra ampliado 10 veces, las
inmediaciones del vértice A.
Existen procedimientos para construir de forma aproximada polígonos de numero de lados cualesquiera, que suelen tratarse en temas de dibujo técnico.
POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS.
También son, de acuerdo a la definición polígonos regulares, los estrellados. Estos, se obtienen a partir del regular convexo,
uniendo
vértices no consecutivos
, recorriendo todos los vértices de forma continua.
No debemos confundir los polígonos estrellados con las estrellas.
La figura de la izquierda representa el polígono estrellado 8/3, octógono estrellado. La imagen de la derecha son dos cuadrados, girado uno respecto al otro 45º.
